文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（江苏专用）
黄金卷01
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．已知集合 ，则 （
）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，解得 或 ，所以 ．
由 ，得 ，即 ，所以 ，所以 ．故选B．
2．已知复数 ， 为虚数单位，则复数 的虚部为 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】 ， 虚部为1．故选C．
3．已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D． 或
【答案】D
【解析】 或 （舍）．故选C．
4．函数 的部分图象为 （ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 为奇函数关于原点对称，排除BC， 时， ，排除A．故选D．
5．已知向量 ，且 ，则 （ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】B
【解析】 ．故选B．
6．生活中有很多常见的工具有独特的几何体结构特征，例如垃圾畚箕，其结构如图所示的五面体
，其中四边形 与 都为等腰梯形， 为平行四边形，若 面 ，
且 ，记三棱锥 的体积为 ，则该五面体的体积为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 为平行四边形，所以 ，所以 ．
记梯形 的高为 ，因为 ，所以 ，
所以 ，所以该五面体的体积 ．
故选C．
7．已知定义在 上的偶函数 满足 ．则 （
）
A．4545 B．4552 C．4553 D．4554
【答案】D
【解析】 ， ，
周期 ，又 为偶函数， ， ，
， ， ．故选D．
8． 在四棱锥 中，底面 是直角梯形， ， ．若 ，且三棱锥 的外接球的表面积为 ，则当四棱锥 的体积最
大时， 长为 （
）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】由球的表面积 ，得 ，
因为 为直角三角形，所以 的外接球球心 在底面的投影为 中点 ，
而 ，故 在底面的投影为 垂直平分线与 垂直平分线的交点，即 中点 ，
， ，可得 ，设 ，则 ，
，设 ，令 ，
则 ，
，
故当 时， ，函数单调递增，当 时， ，函数单调递减，
当 即 时，函数取最大值，此时四棱锥 的体积最大， 长为 ．故选A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知非零向量 ，下列命题正确的是 （ ）
A．若 ，则
B．与向量 共线的单位向量是
C．“ ”是“ 与 的夹角是锐角”的充分不必要条件
D．若 是平面的一组基底，则 也能作为该平面的一组基底
【答案】AD
【解析】 B选项，与 共线的单位向量是 ，B错误；C选项， ，当 与 共线时，夹角为
0，不是锐角，C错误．故选AD．
10． 将函数 的图象向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短
为原来的 ，纵坐标保持不变，得到函数 的图象，则关于 的说法正确的是（ ）
A． 最小正周期为 B． 偶函数
C． 在 上单调递增 D． 关于 中心对称
【答案】BCD
【解析】 ， 的图象向左平移 个单位长度得到
，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标保持不变，得到 ，所以， 的最小正周期为 ，A选项错误．
是偶函数，B选项正确．
由 得 ，所以 在 上单调递增，C选项正确．
，所以D选项正确．故选BD．
11．已知直三棱柱 中， ， ，M，N，Q分别为
棱 ， ，AC 的中点，P 是线段 上（包含端点）的动点，则下列说法正确的是
（ ）
A． 平面MNA
B．三棱锥 的体积为定值
C． 的最大值为4
D．若P为 的中点，则过A，M，P三点的平面截三棱柱所得截面的周长为
【答案】AC
【解析】连接 ， ，易证平面 平面 ， 平面 ，则 平面MNA，故
A正确； ，故B错误；
，当P和 重合时， 最大
为4，故C正确；由题意，A，M，P三点所确定的截面周长为 ，故D错误．故选AC．12．已知函数 的定义域为 ， 为 的导函数，且 ， ，
若 为偶函数，则下列结论一定成立的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对A：∵ 为偶函数，则 ，两边求导可得 ，
∴ 为奇函数，则 ，令 ，则可得 ，则 ，A成立；
对B：令 ，则可得 ，则 ，B成立；
∵ ，则可得 ， ，则可得 ，
两式相加可得： ，∴ 关于点 成中心对称，
则 ，D成立，又∵ ，则可得 ，
，则可得 ，∴ 以4为周期的周期函数，
根据以上性质只能推出 ，不能推出 ，C不一定成立．故选ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．将5本不同的书分发给4位同学，其中甲、乙两本书不能同时发给某一位同学，每位同学都发到书，
每本书只能给一位同学，则不同的分配方案数为_________（用数字作答）【答案】216
【解析】5本书送4人共有 ，甲，乙送一人有 个结果， ．故答案为：
216．
14．已知等比数列 的前 项和为 ，公比为2，且 成等差，则 ．
【答案】93
【解析】 ．故答案为：93．
15．从圆 外一点 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为 ．
【答案】
【解析】由 得 ，所以圆心为 ，半径为 ，设切点分别为
,连接 ,则 为两切线的夹角，由于 ,所以 ,
由二倍角公式可得 ．故答案为： ．
16．若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是_________．
【答案】【解析】 ，
，
在 ， ， ， ．
在 ， ， 时， ； 时， ；
， ， 有两个根 ．故答案为： ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）已知a，b，c分别为说角△ABC三个内角A，B，C的对边，满足
（1）求A；
（2）若b=2，求 面积的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）由已知及正弦定理得， …………………………………………… 2分
由余弦定理可得 …………………………………………… 4
分又 ， …………………………………………… 5分
（2） 由已知及正弦定理得，
由 得
………………………… 6分
ABC是锐角三角形，得 得 ．
△
，…………………………………………… 8分
所以 面积的取值范围是 ．…………………………………………… 10分
18．（12分）已知 为数列 的前 项和， ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）若 , ，求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）（方法一)当 时， ，即 ，由 ，得 ，
由 ，得 ，
两式相减得： ．又 ，满足上式．
所以当 时， ， ………………………………………………………… 1分
又当 时， ，
两式相减得： ，………………………………………………………… 2分
所以数列 的奇数项是以 为首项，4为公差的等差数列，所以 (n为奇数)， …………………………………… 3分
数列 的偶数项是以 为首项，4为公差的等差数列，
所以 (n为偶数)， …………………………………… 4分
所以 ，即 的通项公式是 ．………………………………………… 5分
（方法二）因为 ，所以 ， ……… 2分
因为 ，所以 ，即 ，……………………………………………… 3分
当 时， ，………………………………………… 4分
当 时， 适合上式，所以 的通项公式是 ． ………………………… 5分
（2）因为 ，所以：
当 时， ……①
当 时， ……②
①、②两式相减得： ，………………………………………………… 6分
因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以当 为奇数时， ， ………………………………… 7分
当 为偶数时， ，
所以 ，………………………………………………………… 8分
所以 ， ………………………………………………………………… 9分
(i)当n为偶数时，． ………… 10分
(ii)当n为奇数时，
． ……… 11分
综上, ． ……………………………………………………… 12分
19．（12 分）如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形， ， ，
，平面 平面 ， ， ， ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
AC⊂
【解析】（1）因为平面 平面 ，平面PDB 平面ABCD=BD， ， 平面ABCD
所以AC⊥平面PDB，………………………………………………………………………… 1分
又因为PD⊂平面PDB，所以AC⊥PD， ………………………………………………… 2分
又因为 ， ，AC⊂平面 ，AB⊂平面 ，
所以PD⊥平面 ，……………………………………………………………………… 4分
（2）由（1）知PD⊥平面 ，
z
又AD 平面 ，AB 平面 ，
所以PD⊥AD，PD⊥AB，
过A作 ，则有AZ⊥AD，AZ⊥AB，AB⊥AD
又因为 ，即 ，
以A为原点，以AB为x轴，以 为y轴，以AZ为z轴建立空间直角坐标系， …… 5分
A(0,0,0) B(t,0,0) C(t,1,0)
设 ，则 ， ， ， ， ,
⃗AC=(t,1,0) ⃗BD=(−t,2,0) ⃗DP=(0,0,√2)
所以 ， ， ,
⃗AC⋅¿¿ ⃗BD=0
由于 ，所以 ，
所以 ，即 ，……………………………………………………………………… 7分
C(√2,1,0) ⃗DC=(√2,−1,0)
从而 ，则 ，……………………………………………………… 8分
设平面PDC的一个法向量为⃗n=(x,y,z)，则有 即
取 ，解得 即 ， ……………………………………………… 9分
PBC
⃗m=(1,0,1)
同理，可求得平面 的一个法向量为 ， ………………………………… 10分
所以 ………………………………………………………… 11分
设二面角D−PC−B的平面角为θ，θ为钝角，
所以二面角 的平面角余弦值为 ． ………………………………………… 12分
D−PC−B
20．（12分）某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一
次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为 ；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，
则这次抽中的概率为 ，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为 ．记该顾客第n次摸球抽中奖品的概
率为 ．(1)求 的值，并探究数列 的通项公式；
(2)求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程．
【答案】(1) ， (2)第二次，证明见解析
【解析】（1）记该顾客第 次摸球抽中奖品为事件A，依题意， ，
．……………………… 2分
因为 ， ， ，
所以 ，………………………………………… 3分
所以 ，………………………………………… 4分
所以 ，
又因为 ，则 ，………………………………………… 5分
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
故 ．………………………………………… 6分
（2）证明：当n为奇数时， ，…………………………………………8分
当n为偶数时， ，则 随着n的增大而减小，……………………………… 10分
所以， ．………………………………………… 11分
综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大．………………………………………… 12分
21．（12分）已知函数 ．(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)当 时，恒有 成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) 的单调递增区间是 ，单调递减区间是
(2)
【解析】（1） ，……………………………………2分
当 时， ，
由 ，得 ，由 ，得 ，…………………………………… 4分
故 时， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ；………………… 6分
（2）因为当 时，恒有 成立，
即 对任意 恒成立，
令 ，…………………………………… 8分
当 时， 在 上单调递减，
，满足题意，
当 时， 在 上单调递增，当 时， ，………………10分
当 时， 在 上单调递增， ，
故 ．…………………………………… 12分
22．（12分）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l： 交C于P，Q两点，且
．已知点 ，且 与l相切．（1）求C， 的方程；
（2）设 是C上的三个点，直线 ， 均与 相切．判断直线 与 的位置关系，并
说明理由．
【答案】（1）抛物线 ， 方程为 ；（2）相切，理由见解析
【解析】（1）依题意设抛物线 ，
，…………………………………… 2分
所以抛物线 的方程为 ， 与 相切，所以半径为 ，
所以 的方程为 ；……………………………………4分
（2）（方法一）设
若 斜率不存在，则 方程为 或 ，…………………………………… 5分
若 方程为 ，根据对称性不妨设 ，
则过 与圆 相切的另一条直线方程为 ，…………………………………… 6分
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在 ，不合题意；
若 方程为 ，根据对称性不妨设
则过 与圆 相切的直线 为 ，
又 ，…………………………………… 8分
，此时直线 关于 轴对称，
所以直线 与圆 相切；若直线 斜率均存在，则 ，
所以直线 方程为 ，
整理得 ，
同理直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
与圆 相切， ，整理得 ，
与圆 相切，同理
所以 为方程 的两根，
，…………………………………… 10分
到直线 的距离为： ，
所以直线 与圆 相切；
综上，若直线 与圆 相切，则直线 与圆 相切．…………………………… 12分
（方法2）【最优解】：设 ．
当 时，同解法1．
当 时，直线 的方程为 ，即 ．………………6分由直线 与 相切得 ，化简得 ，
同理，由直线 与 相切得 ．…………………………………… 8分
因为方程 同时经过点 ，
所以 的直线方程为 ，…………………………………… 10分
点M到直线 距离为 ．
所以直线 与 相切．
综上所述，若直线 与 相切，则直线 与 相切．…………………… 12分
