文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（上海专用）
黄金卷04
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．已知集合 ，集合 ，则 .
【答案】
【解析】 ，
或 ，
所以 .
故答案为：
2．在平面直角坐标系 中，角 以 为始边，其终边经过点 ，则 .
【答案】
【解析】由三角函数的定义可知 .
故答案为： .
3．函数 的单调增区间为 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
令 ，解得 ，
所以 的单调增区间为 .
故答案为： .4．已知 （ 为正整数）的展开式中所有项的二项式系数的和为64，则 .
【答案】
【解析】由题意可得， ，则 .
故答案为：
5．在平行四边形 中， ， ．若 ，则 ．
【答案】 /
【解析】
由题意可得
，
所以 ， ，所以 .
故答案为：
6．已知函数 ，其中 ，则曲线 在点 处的切线方程为 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
则 ， ，
所以所求切线的方程为 .
故答案为： .
7．下列说法中正确的有 （填正确说法的序号）．①若样本数据 ， ，…， 的方差为4，则数据 ， ，…， 的标准差为4；
②已知随机变量 ，且 ，则 ；
③若线性相关系数 越接近1，则两个变量的线性相关性越弱；
④若事件A，B满足 ， ， ，则有 ．
【答案】①②④
【解析】由于 ，所以数据 ， ，…， 的方差为16，
故标准差为4，因此①正确；
根据正态分布， ，故 ，即 ，
故 .3，因此②正确；
线性相关系数 越接近1，则两个变量的线性相关性越强，故③错误；
由于 等价于“事件A与事件B相互独立，即 ，
故必有 ，因此④正确.
故答案为：①②④.
8．已知数列 满足 ， ， ，则数列 的前 项积的最大值为 ．
【答案】1
【解析】 ,
，两式相除得： ，
所以数列 是以3 为周期的周期数列,由 ， ，得：
记数列 的前n 项积为 ,结合数列的周期性，，当 时,，
，
，
所以数列 的前 项积的最大值为1.
故答案为：1
9．两个圆锥的底面是一个球的同一个截面，顶点均在球面上，若球的体积为 ，两个圆锥的高之比为
1:3，则这两个圆锥的体积之和为 .
【答案】
【解析】设球的半径为 ，因为球的体积为 ，所以有 ，
设两个圆锥的高分别为 ，于是有 且 ，
所以有 ，设圆锥的底面半径为 ，
所以有 ，
因此这两个圆锥的体积之和为 ，
故答案为：
10．在 中，角 所对的边分别为 ， ， 的平分线交 于点D，且
，则 的最小值为 ．【答案】9
【解析】［方法一］：【最优解】角平分线定义＋三角形面积公式＋基本不等式
由题意可知， ,由角平分线定义和三角形面积公式得
，化简得 ，即 ，
因此
当且仅当 时取等号，则 的最小值为 .
故答案为： .
［方法二］： 角平分线性质＋向量的数量积＋基本不等式
由三角形内角平分线性质得向量式 ．
因为 ，所以 ，化简得 ，即 ，亦即
，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号．
［方法三］：解析法＋基本不等式
如图5，以B为坐标原点， 所在直线为x轴建立平面直角坐标系．设 ，
．因为A，D，C三点共线，则 ，即 ，则有 ，
所以 ．下同方法一．
［方法四］：角平分线定理＋基本不等式
在 中， ，同理 ．根据内角平分线性质定理知
，即 ，两边平方，并利用比例性质得 ，整理得 ，
当 时，可解得 ．当 时，下同方法一．
［方法五］：正弦定理＋基本不等式
在 与 中，由正弦定理得 ．
在 中，由正弦定理得 ．
所以 ，由正弦定理得 ，即 ，下同方法一．
［方法六］： 相似＋基本不等式
如图6，作 ，交 的延长线于E．易得 为正三角形，则 ．
由 ，得 ，即 ，从而 ．下同方法一．
【整体点评】方法一：利用角平分线定义和三角形面积公式建立等量关系，再根据基本不等式“1”的代换
求出最小值，思路常规也简洁，是本题的最优解；方法二：利用角平分线的性质构建向量的等量关系，再利用数量积得到 的关系，最后利用基本不等式
求出最值，关系构建过程运算量较大；
方法三：通过建立直角坐标系，由三点共线得等量关系，由基本不等式求最值；
方法四：通过解三角形和角平分线定理构建等式关系，再由基本不等式求最值，计算量较大；
方法五：多次使用正弦定理构建等量关系，再由基本不等式求最值，中间转换较多；
方法六：由平面几何知识中的相似得等量关系，再由基本不等式求最值，求解较为简单．
11．已知半径为3和5的两个圆 和 内切于点 ，点 分别在两个圆 和 上，则
的范围是
【答案】
【解析】不妨设切点 ， ， ，
因为点 分别在两个圆 和 ，
所以设 ，
所以
，
其中 .
令 ，则 ，
所以 ，
且 ，所以 .
故答案为：
12．已知函数 ，若方程 恰有四个不同的实数解，分别记为 ，
， ， ，则 的取值范围是
【答案】
【解析】由题意知 ，
当 时， ，
令 ，则 ；
当 时， ；
当 时， ，
令 ，则 或4；令 ，则 或2；
由此可作出函数 的图象如图：由于方程 恰有四个不同的实数解，分别记为 ， ， ， ，
故 的图象与直线 有4个不同的交点，由图象可知 ，
不妨设 ，则 ，
且 关于 对称，所以 ，
又 即 ，则 ，
故 ，
由于 在 上单调递增，故 ，
所以 ，
故 的取值范围是 ，
故答案为：
二、选择题(本题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项.
13．下列函数中，在定义域内不是奇函数的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】对于A，令 ，由 ，得 的定义域为R，
，函数 不是奇函数；
对于B，令 ，由 ，得 ，即函数 的定义域为 ，
，函数 是奇函数；
对于C，令 ，显然函数 的定义域为R， ，
函数 是奇函数；
对于D，令 ，函数 的定义域为 ，
，函数 是奇函数.
故选：A
14．设 ，则“ ”是“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】 ，
，
故 ，
若“ ”，则“ ”，
若“ ”，则 ，此时 可能不成立，
例如 ，由此可知，“ ”是“ ”的必要不充分条件，故选B.
15．已知平面 所成角为 为两平面外一点，则过点 且与平面 所成角均为 的直线有（ ）
条.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】如图，作出两平面 所成二面角 的平面角 ，则 ，
设 为 的平分线，则 ，
当 以O为中心，在二面角 的角平分面上旋转时， 与两平面的夹角变小，
此时与平面 所成角均为 的直线仅 这一条；
设 为 的补角的角平分线，则 ，
当 以O为中心，在二面角 的邻补的二面角的角平分面上旋转时， 与两平面的夹角变小，
此时在 的两侧会各出现一条与两平面成 的直线，可设为 ，
故过点P可作一条与 平行的直线，符合题意；可作与 平行的直线各一条，符合题意，
故过点 且与平面 所成角均为 的直线有3条，
故选：C
16．若从无穷数列 中任取若干项 （其中 ）都依次为数列 中的连续 项，
则称 是 的“衍生数列".给出以下两个命题:（1）数列 是某个数列的“衍生数列”；
（2）若 各项均为0或1，且是自身的“衍生数列”，则 从某一项起为常数列.下列判断正确的是
（ ）.
A．（1）（2）均为真命题
B．（1）（2）均为假命题
C．（1）为真命题，（2）为假命题
D．（1）为假命题，（2）为真命题
【答案】B
【解析】对于（1）：由题意，若存在无穷数列 满足要求，则数列 包含 三项，不妨令
，符合题意，但若只取出 ，这两项不是数列 的连续两项，不
合题意，
故数列 不是某个数列的“衍生数列”，（1）为假命题；
对于（2）：当数列 为 时，满足 各项均为0或1，且是自身
的“衍生数列”，但是数列 从某一项起不是常数列，（2）为假命题.
综上，（1）（2）均为假命题.
故选：B
三、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题8分.
已知函数 .
(1)求函数 的单调递减区间；
(2)在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 ，求 的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）
令 ，则
所以，单调减区间是 .
（2）由 得：
，即 ，
由于 ，所以 .
在 中， ，
，
于是 ，则 ， ，
，所以 .
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题8分.
如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径， 是底面的内接正三角形，
为 上一点， .(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）由题设知 为等边三角形，设圆锥底面半径为1，
则 ，所以 ，
又 为等边三角形，则 ，即 为等腰直角三角形，故
同理 ，又 ， 平面 ， 平面 ,所以 平面 ；
（2）过O作 交 于点 ，因为 平面 ，以O为坐标原点， 为 轴， 为 轴建
立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，，
可求得平面 的一个法向量为 ，
平面 的一个法向量为
故 ，
二面角 为锐角，故其大小为 .
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题8分.
网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择．某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网
购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A组和B组，
这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下图：
假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响．
(1)从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大
于20的户数为X，估计X的数学期望 ；
(2)从A组和B组中分别随机抽取2户家庭，记 为A组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20
的户数， 为B组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20户数，比较方差 与 的大小．
【答案】(1)1；
(2) .
【解析】（1）由茎叶图知，A组三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的有3户，从A组随机抽取1户，网购
生鲜蔬菜次数大于20的概率 ，
B组三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的有7户，从B组随机抽取1户，网购生鲜蔬菜次数大于20的概率
，
的可能值为0，1，2，
， ，
所以X的数学期望 .
（2）由（1）知， 的可能值为0，1，2； 的可能值0，1，2，显然 、 均服从超几何分布，
，
， ；
，
， ，
所以 .
20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分6分.
如图，已知椭圆 ： 的离心率为 ， 点为其左顶点．过A的直线 交抛物线
于B、C两点，C是AB的中点．(1)求椭圆 的方程；
(2)求证：点C的横坐标是定值，并求出该定值；
(3)若直线m过C点，其倾斜角和直线l的倾斜角互补，且交椭圆于M，N两点，求p的值，使得 的
面积最大．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析，定值为1；
(3) .
【解析】（1）令椭圆 的半焦距为c，依题意， ， ，解得 ，则 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）显然直线 不垂直于坐标轴，设 的方程为 ，设 ，
由 消去x得： ， ，
则 ，而C是AB的中点，即有 ，于是 ，
满足 ，因此 ，
所以点C的横坐标是定值，该定值为1.
（3）由直线 过C点，其倾斜角和直线l的倾斜角互补，得直线 和直线l的斜率互为相反数，
则由（1）得直线 的方程为 ，即 ，由 消去x得： ， ，
设 ，则 ，
，点 到直线 ： 的距离 ，
由C是AB的中点得 的面积 ，
令 ，则 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以当 时， 的面积取得最大值，此时 .
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分8分.
已知函数 （ ､ ）．
(1)当a=2，b=0时，求函数图象过点 的切线方程；
(2)当b=1时， 既存在极大值，又存在极小值，求实数a的取值范围；
(3)当 ，b=1时， 分别为 的极大值点和极小值点，且 ，求实数k的取值范
围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）当 时， ，所以切线方程为 ，即为 ．
（2） ，
一方面，因为函数 既存在极大值，又存在极小值，
则 必有两个不等的实根，则 ，
由 可得 ，且 ，解得 且 ；
另一方面，当 且 时，不妨考虑 的情形，列表如下：
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
可知 分别在 取得极大值和极小值，符合题意．
综上，实数 的取值范围是 ．
（3）由 ，可得 ，列表如下：
0
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
所以 在 取得极大值 ；
在 取得极小值 ，
由题意可得 对任意的 恒成立，由于此时 ，则 ，
所以 ，则 ，
构造函数 ，其中 ，
则 ，
令 ，则 ．
①当 ，即 时， 在 上是严格增函数，
所以 ，即 ，符合题意；
②当 ，即 时，设方程 的两根分别为 ，
则 ，设 ，
则当 时， ，则 在 上是严格减，
所以当 时， ，即 ，不合题意．
综上所述， 的取值范围是 ．
