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【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（江苏专用）
黄金卷07
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．设集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，解得： ， ，
， ， ．故选C．
2．已知复数 满足 ， 为虚数单位，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ， ．故选D．
3 ． 已 知 ， 且 ， 则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】 ，则 ，则 ，A正确．
，В错误． ，C错误，
，D错误．故选A．
4．已知 ，满足对任意 ，都有 成立，那么 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，对任意 ，不妨取 所以 ，
所以f(x)是在R上的增函数，于是有 ，解得 ．故选C．
5．已知向量 ， 满足 ，且 ，则向量 在向量 上的投影向量为 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ ， ，∴ ， 为 在 上的投影向量，故选C．
6．如图为古代玩具蹴鞠，又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包
皮革、内实米糠的球。因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．2006年5月20
日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A，B，C，D，四面体ABCD的体积为 ，BD经过该鞠的中心，且 ， ，
则该鞠的表面积为 （
）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，取AC的中点M，连接BM与球O交于另一点N，连接OM，DN，易知AC为圆面ABC的
直径， 平面ABC，O，M分别为BD，BN的中点，所以 平面ABC，
∵ ，∴ ，即 ，在Rt△ABC中， ，
∴ ，∴ ，∴球O的表面积为 ．故选D．
7 ． 已 知 ， ， （ e 为 自 然 对 数 的 底 数 ） ， 则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对 两边取对数， ，而在 上单调递增，∴ ．法一：令 ， ，∴
在 单调递減，∴ ，即 ，∴ ；法二：
；
又 ，∴ ，∴ ．
故选A．
8．已知 ， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为
= - ．
，
；
， ，所以 ，故 ．故选D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列函数中,最小正周期为 ,且在 上单调递增的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】因为 的最小正周期为 ,故排除；B正确；C选项图像由 通过保留 轴上方的
图像不变,将 轴下方的图像沿着 轴翻折到 轴上方得来,故最小正周期为 ,且在 上单调递增,正确；
C选项图像由 通过保留 轴上方的图像不变,将 轴下方的图像沿着 轴翻折到 轴上方得来,故最
小正周期为 ,且在 上单调递增,正确；故选 ．
10．已知函数 ，则（ ）
A． 当 时，函数 的最小值为
B． 当 时，函数 的极大值点为
C． 存在实数 使得函数 在定义域上单调递增
D． 若 恒成立，则实数 的取值范围为
【答案】AD
【解析】因为函数 ，则 ，其中 ，
当 时，则 ，令 ，可得 ，当 时， ，则函数 单调递减，当 时， ，则函数 单调递
增，当 时， 有极小值，即最小值 ，故A正确；
当 时，则 ，令 ，可得 ，当 时， ，则函数 单调
递减，当 时， ，则函数 单调递增，当 时，函数 有极小值，则
为极小值点，故B错误；
假设存在实数 使得函数 在定义域上单调递增，则 在 上恒成立，即
在 上恒成立，所以 在 上恒成立，因为 的值
域为 ，所以函数 无最小值，故不存在实数 使得函数 在定义域上单调递增，故C错误；
若 恒成立，即 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
令 ，则 ，令 ，则 ，当 时， ，
则函数 单调递减，当 时， ，则函数 单调递增，当 时， 有极小
值，即最小值 ，所以 ，故D正确．故选AD．
11．已知正四棱台 的上下底面边长分别为4，6，高为 ，E是 的中点，则（
）A． 正四棱台 的体积为
B． 正四棱台 的外接球的表面积为104π
C． AE∥平面
D． 到平面 的距离为
【答案】BCD
【解析】正四棱台 的体积为 ，
，故A错误；
连接 相交于 ，连接 相交于 ，如果外接球的球心 在正四棱台
的内部，则 在 上， ，因为上下底面边长分别为4，6，所以
， ，设外接球 的半径为 ，所以，即
，无解，所以外接球的球心 在正四棱台 的外部，如下图，
则 在 延长线上， ，因为上下底面边长分别为4，6，所以 ，
，设外接球 的半径为 ，所以 ，即
，解得 ，所以正四棱台 的外接球的表面积为
，故B正确；
取 的中点 ，连接 ， ，连接 ，
所以 ，所以 是 的中点，因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，又因为 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 ，所以 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，因为 ，所以平面 平面 ，因为 平面 ，所以 平面 ，
故C正确；
以 为原点， 所在的直线分别为 建立如图所示的空间直角坐标系，则
， ， ， ，
， ，
设平面 的一个法向量为 ，所以 ，即 ，
令 可得 ， 到平面 的距离为 ，故D正确．
故选BCD．
的
12．某岗位聘用考核设置2个环节，竞聘者需要参加2个环节 全部考核，2个环节的考核同时合格才能
录用．规定：第1环节考核3个项目，至少通过2个为合格，否则为不合格；第2环节考核5个项目，至
少连续通过3个为合格，否则为不合格．统计已有的测试数据得出第1环节每个项目通过的概率均为 ，
第2环节每个项目通过的概率均为 ，各环节、各项目间相互独立，则（ ）
A． 竞聘者第1环节考核通过的概率为B． 若竞聘者第1环节考核通过 个项目，则 的均值
C． 竞聘者第2环节考核通过的概率为
D． 竞聘者不通过岗位聘用考核可能性在95%以下
【答案】BD
【解析】设 分别为两个环节第 个项目通过，则
，且 间相互独立，
对于A，竞聘者第1环节考核通过的概率为
，所以A错误，
对于B，由题意可得 可能取0，1，2，3，则 ，
，
，
，
所以 ，所以B正确，
对于C，竞聘者第2环节考核通过的概率为，所以C错误，
对于D，由AC选项可得竞聘者不通过岗位聘用考核概率为 ，所以D正确．
故选BD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数 ，① ，② ，请写出一个同
时满足条件①②的函数 的解析式为______．
【答案】
【解析】由①知 的图象关于直线 对称，由②知 为偶函数，所以
，故 为周期为2的周期函数，符合该条件的函数可以为 ．
故答案为： （答案不唯一，只要符合条件即可）．
14．已知圆锥的底面半径为2，侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形．把该圆锥截成圆台，已知圆台的
下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为1，则圆台的体积为 ．
【答案】
【解析】设圆锥母线长为 ，则 ，故圆锥的高为 ，由圆台的上底面半径
为1，故截去的小圆锥的高为 ，所以圆台体积为 ．故答案为：
．15．已知 分别为椭圆 的左右焦点，P为C上一动点，A为C的左顶点，若
，则C的离心率为 ．
【答案】
【解析】∵ ，∴ ，即
∴ ∴ ，∴ ．故答案为： ．
16． “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第
二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，
问物几何？现有这样一个相关的问题：被 除余 且被 除余 的正整数按照从小到大的顺序排成一列，
构成数列 ，记数列 的前 项和为 ，则 的最小值为_______．
【答案】
【解析】被 除余 且被 除余 的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成首项为 ，公差为
的等差数列，所以 ， ，从而
，当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 的最小值为 ．故答案为： ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）已知函数 ．
（1）求 的最小值及取得最小值时 的取值集合；
（2）若 的图象向右平移 个单位后得到的函数恰好为偶函数，求 的最小值．
【解析】（1）因为 ，…………………………………………… 2分
当 即 时，f (x)取得最小值－2， ……………… 4分
所以f (x)的最小值为－2，此时x的取值集合为 ． ……………… 5分
（2）设 的图象向右平移 个单位后得到函数 ，则 ，
因为 为偶函数，所以 ，即 ，
所以 恒成立，所以 ， ……………………… 8分
所以 ， ………………………………………………………………… 9分
又因为 ，所以 ．…………………………………………………………… 10分
18．（12分）已知等差数列 的公差为正数， ，前 项和为 ，数列 为等比数列， ，且
， ．
(1)求数列 、 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项的和 ．
【答案】(1) ， ；(2) ．【解析】（1）设 的公差为 ， 的公比为 ，
因为 且 ，
所以 ，…………………… 2分
所以 ，所以 ， ；…………………… 4分
（2）因为 ，
所以 …………………… 6分
；
所以 …………………… 8分
记
所以 …………………… 10分
所以
所以 ．…………………… 12分
19．（12分）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 底面
为线段 的中点， 为线段 上的动点．(1)求证：平面 平面 ；
(2)试求 的长，使平面 与平面 所成的锐二面角为 ．
【答案】(2)
【解析】（1） 平面 ， 平面 ， ，…………………… 2分
为矩形， ，
又 ， 平面 ， 平面 ，…………………… 4分
平面 ， ，
， 为线段 的中点， ，…………………… 5分
又 ， 平面 ，
平面 ，又 平面 ，
所以平面 平面 ．…………………… 6分
（2）以A为坐标原点， ， ， 分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系
，
则 ， ， ， ， ， ，
， ， ，…………………… 8分设 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ， ，
令 ，则 ， ，…………………… 10分
设平面 的一个法向量为 ，则 ， ，
令 ，则 ， ，…………………… 11分
平面 与平面 所成的锐二面角为 ，
，解得 ，
， ，即 ，
当 时，平面 与平面 所成的锐二面角为 ．…………………… 12分
20．（12分）日前，中华人民共和国应急管理部公布了《高层民用建筑消防安全规定》．其中提到：在公
共门厅等地停放电动车或充电，拒不改正的个人，最高可处以100元罚款，为了研究知晓规定是否与年龄
有关，某市随机抽取125名市民进行抽样调查，得到如下2×2列联表∶
知晓 不知晓 总计
年龄≤60 16 34 50
年龄>60 9 66 75
总计 25 100 125
参考公式∶ ，其中0．10 0．05 0．025 0．010 0．005 0．001
2．706 3．841 5．024 6．635 7．879 10．828
（1）根据以上统计数据，是否有 的把握认为知晓规定与年龄有关?
（2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从本地所有市民中，采用随机抽样的方法抽取 位市民，记
被抽取的 位市民中知晓规定的人数为 ，求 的分布列及数学期望．
【答案】（1）有 的把握认为知晓规定与年龄有关；
（2）分布列见解析，
【解析】（1） ，………… 2分
有 的把握认为知晓规定与年龄有关．…………………… 4分
（2）随机抽取一位市民知晓规定的概率为 ，
的所有可能取值为0，1，2，3，4，
， ，…………………… 6分
， ，…………………… 8分
，
的分布列为：
0 1 2 3 4
X
P
…………………… 10分， ．……………………12分
21．（12分）如图，已知点 ，抛物线 的焦点是 ，A，B是抛物线上两点，四边
形 是矩形．
(1)求抛物线的方程；
(2)求矩形 的面积．
【答案】(1) (2)8
【解析】（1）因为抛物线 的焦点是 ，
所以 ， 解得 ，…………………… 2分
所以抛物线的方程为 ；…………………… 4分
（2）设 ， ，因为四边形FAPB是矩形，
所以 ，且 ，
即 ， ，且 ．…………………… 6分
所以 ， ，且 ．…………………… 8分
所以 ．解得 ， ，
由抛物线的定义得： ，…………………… 10分所以矩形 的面积为： ．
所以矩形 的面积为8．…………………… 12分
22．（12分）已知函数 （ 为自然对数的底数）．
（1）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ； （2） ．
【解析】（1） ，…………………… 2分
由复合函数的单调性原理得 在 上单调递增，
由 得 ，即 ．…………………… 4分
（2） 对 恒成立
令 ， ，
， 在 上单调递减，
，…………………… 6分
若 ，即 时， 在 上恒成立，
则 在 上单调递减， 符合题意．若 ，即 时，……………………8分
（i）若 ，则 ， 在 上单调递增， 这与题设矛盾，舍去．
…………………… 10分
（ii）若 ，则存在 使 ，且当 时， 单调递增，
此时 这与题设也矛盾，舍去．
综上：实数 的取值范围为 ．…………………… 12分
