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山东省济南市济南育才中学中考数学第三次模拟考试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若a与﹣6互为相反数，则 的值为（ ）
A．﹣6 B．﹣5 C．5 D．6
2．鲁班锁（如图 ）亦称孔明锁、别闷棍、六子联方、莫奈何、难入木等，它起源于中国
占代建筑中首创的榫卯结构．传说是春秋时代鲁国工匠鲁班用 根木条制作一件可拼可拆
的智力玩具，如图 是鲁班锁的一个组件的示意图，该组件的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．“染色体”是人类“生命之书n中最长也是最后被破解的一章，据报道，第一号染色体
中共有 个碱基对， 用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
4．我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数
学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
试卷第1页，共3页C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知一个多边形的内角和为 ，则这个多边形是（ ）
A．八边形 B．七边形 C．六边形 D．五边形
7．某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中
一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，k的取值范围是（ ）．
A． B． 且 C． D． 且
9．如图，在 中， ， ．按照如下步骤作图：
①分别以点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 ；
②作直线 ，交 点 ；
③以 为圆心， 长为半径作弧，交 的延长线于点 ；
④连接 ．
下列说法错误的是( )
A． B． C． D．
10．新定义：若一个点的横纵坐标之和为6，则称这个点为“和谐点”．若二次函数
试卷第2页，共3页（c为常数）在 的图象上存在两个“和谐点”，则c的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．分解因式： ．
12．如图，△EFG的三个顶点E，G和F分别在平行线AB，CD上，FH平分∠EFG，交线
段EG于点H，若∠AEF＝36°，∠BEG＝57°，则∠EHF的大小为 ．
13．化简： ＝ .
14．如图，正方形 是一块绿化带，其中阴影部分 都是正方形的花圃．已
知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟不落在花圃上的概率为 ．
15．如图（ ）是甲、乙两个完全相同的圆柱形水槽的轴截面示意图，在乙槽中放入一圆
柱形实心铁块，两水槽在下侧位置连通（由连通阀门控制水流，连通阀门处的水量忽略不
计）．现将连通阀门打开，甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度 （
）与注水时间 （ ）之间的函数关系如图（ ）所示．则线段 所在直线的函数表达
式为 ．
试卷第3页，共3页16．如图，如图，将矩形ABCD对折，折痕为PQ，然后将其展开， E为BC边上一点，再
将∠C沿DE折叠，使点C刚好落在线段AQ的中点F处，则 =
三、解答题
17．计算： ．
18．解不等式组
，并写出它的所有整数解．
19．在平行四边形 中，E为 上一点，点F为 的中点，连接 并延长，交
的延长线于点G，求证： ．
20．某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含模型设计、科技小论文两个项目．为了
试卷第4页，共3页解学生的模型设计水平，从全校学生的模型设计成绩中随机抽取部分学生的模型设计成绩
（成绩为百分制，用 表示），并将其分成如下四组： ， ， ，
．
下面给出了部分信息：
的成绩为：81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，
88，88，89，89，89．
根据以上信息解决下列问题：
(1)请补全频数分布直方图；
(2)所抽取学生的模型设计成绩的中位数是________分；
(3)请估计全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数；
(4)根据活动要求，学校将模型设计成绩、科技小论文成绩按 的比例确定这次活动各人
的综合成绩．
某班甲、乙两位学生的模型设计成绩与科技小论文成绩（单位：分）如下：
模型设 科技小论
计 文
甲的成
94 90
绩
乙的成
90 95
绩
通过计算，甲、乙哪位学生的综合成绩更高？
21．实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，
安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，
， ，试管倾斜角 为 ．
试卷第5页，共3页(1)求酒精灯与铁架台的水平距离 的长度；
(2)实验时，当导气管紧贴水槽 ，延长 交 的延长线于点 ，且 （点
在一条直线上），经测得： ， ， ，求
线段 的长度．（参考数据： ， ， ）
22．如图， 是 的直径，C为 上一点，连接 ，延长 至点D，使得
，点E为 的中点，连接 交 于点F，连接 ．
(1)求证： 为 的切线；
(2)若 ，求 ．
23．《义务教育劳动课程标准》提出，将多种劳动技能纳入课程，发挥好劳动教育独特的
育人价值．为让学生体验农耕劳动，某校计划购买甲、乙两种中药树苗种植．已知甲种中
药树苗进价是乙种中药树苗进价的1.5倍，若用360元购进甲种中药树苗的数量比用320元
购进乙种中药树苗的数量少8棵．
(1)甲、乙两种中药树苗的进价分别为每棵多少元；
(2)学校计划购买甲、乙两种中药树苗共100课，且甲树苗数量不少于乙树苗数量的3倍．
请你设计一种购买树苗方案，让购买树苗的总费用最低，并求出最低费用．
24．已知：如图1，在平面直角坐标系中点 ， ，以 为顶点在第一象限内
作正方形 ，反比例函数 ， 分别经过C、D两点．
试卷第6页，共3页(1)求点C的坐标并直接写出 、 的值；
(2)如图2过点A作x轴的垂线L，在L上找一点P，当 最大时，求点P的坐标；
(3)如图3，过点D作 轴，垂足为点H，交 的图象于点E，点M为y轴
上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使得点C、E、M、N四点构成的四边形为
菱形？若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
25．如图1所示，在正方形 中，将 绕着点A逆时针旋转得到 ，
，旋转角度为 ．
(1)在图1中，当 时， ， 分别交 于点M，N．
① （ ） （填写线段名称），若正方形的边长为4， 的最小值是 ；
②求证： ；
(2)将 绕着点A逆时针旋转一周，连接 ，取 的中点G，连接 ．在旋转过程
中，当 时，求 的值．
26．如图，抛物线 交 轴于 ， 两点（点 在点 的左侧），交
试卷第7页，共3页轴于点 ， 为抛物线 上一点．
(1)求抛物线的解析式及 的值．
(2)过点 作 轴，垂足为 ，点 在直线 下方的抛物线上运动，过点 作
， ，垂足 在线段 上．
①求 面积的最小值；
②求 的最大值．
(3)将原抛物线沿射线 方向平移 个单位长度，平移后的抛物线上有一点 在第三象限
内，使得 ，请直接写出符合条件的点 的横坐标．
试卷第8页，共3页《山东省济南市济南育才中学中考数学第三次模拟考试》
参考答案
选择题、填空题答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B B D B D C C B D B
11. 12.75° 13. 14. 15. 16.
选择题、填空题解法提示
9．D
， ，
，
由题意得： ， 是 的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，故A正确；
，
，
，
，故B正确；
， ，
，
答案第1页，共2页，
，故C正确；
设 ，则 ，
解得： (负值舍去)
又∵
∴ ，故D选项错误，
故选：D．
10．B
由题意可得“和谐点”所在直线为 ，
将 代入 得 ，
将 代入 得 ，
设 ， ，如图，
联立 与 ，得方程 ，
即 ，
抛物线与直线 有两个交点，
答案第2页，共2页△ ，
解得 ，
当直线 和直线 与抛物线交点在点 ， 上方时，抛物线与线段 有两个交点，
把 代入 ，得 ，
把 代入 得 ，
，
解得 ，
．
故选：B．
15．
由题意，从 到 ，乙槽中水面上升的高度等于甲槽中水面下降的高度，也等于从
到 ，甲槽中水面下降的高度，
， ．
．
设线段 所在直线的函数表达式为 ，
将 ， 的坐标分别代入，得
，
．
线段 所在直线的函数表达式为 ．
答案第3页，共2页16．
∵如图，将矩形ABCD对折，折痕为PQ
∴ ，
∵点F是线段AQ的中点
∴
设
∴
∵将∠C沿DE折叠，使点C刚好落在线段AQ的中点F处，
∴ ，
∴
设 ，
如图，过点F作 ，交CD于点G，过点F作 ，交AD于点K，延长KF，
交BC于点H
∴四边形 、 为矩形
∴ ，
∵
∴
∵
∴
∴
在直角 中，
答案第4页，共2页∴
∴
在直角 中，
∴
∴
∴
∴
故答案为： ．
解答题参考答案
17．解：
．
18．解：
解不等式①，得：
解不等式②，得：
答案第5页，共2页所以，原不等式组的解集是：
它的所有整数解是： ； ；0；1．
19．证明：∵点F为 的中点，
∴ ，
∵平行四边形 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
20．（1）解：∵ ，而 有20人，
∴ 有 ，
补全图形如下：
。
（2）解：∵ ，
而 的成绩为：81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，
88，88，88，89，89，89．
∴50个成绩按照从小到大排列后，排在第25个，第26个数据分别是：83,83；
中位数为： ；
（3）解：全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数为：
（人）；
答案第6页，共2页（4）解：甲的成绩为： （分）；
乙的成绩为： （分）；
∴甲的综合成绩比乙高.
【点睛】本题考查的是频数分布直方图，中位数的含义，利用样本估计总体，加权平均数
的含义，掌握基础的统计知识是解本题的感觉.
21．（1）解：过点 作 于点 ，如下图，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ （ ），
∴ ，
答：酒精灯与铁架台的水平距离 的长度为19.6 ；
（2）如图，过点 作 于点H， 于点 ，过点 作 于点 ，
则 （ ）， （ ），
∵ ，
∴ （ ），
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ （ ），
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
答案第7页，共2页∴ （ ），
答：线段 的长度为21.8 ．
22．（1）证明：如图：连接 ，
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∵ 是直径，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ 为半径，
∴ 为 的切线；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，即 ，
∴ ， ，
如图：连接 ，
∵点E为 的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
答案第8页，共2页∴ ．
23．（1）解：设乙种中药树苗的进价为 元，则甲种中药树苗的进价为 元，
根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲种中药树苗的进价为15元，乙种中药树苗的进价为10元；
（2）设购买甲种中药树苗 棵，则购买乙种中药树苗 棵，
根据题意得： ，
解得： ，
设购买树苗的总费用为 元，
根据题意得： ，
，
随 的增大而增大．
时， 有最小值 ，
此时 ，
答：购买甲种中药树苗75棵，乙种中药树苗25棵的总费用最低，最低费用是1375元．
24．（1）解：如图：作 轴于 ，作 轴于 ，则
，
答案第9页，共2页，
∵在平面直角坐标系中点 ， ，
∴ ， ，
∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，即 ；
将 代入 可得： ，即 ；
同理可得： ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
将 代入 可得： ，即 ；
（2）解：∵在平面直角坐标系中点 ， ，
∴垂线 为直线 ，
如图：作点 关于垂线 的对称点 ，连接 ，并延长 交垂线 于 ，连接 ，
答案第10页，共2页，
由轴对称的性质可得： ， ，
∴ ，
∴当点 、 、 在同一直线上时， 的值最大，为 ，
由（1）可得 ，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入解析式可得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
∴ ；
（3）解：存在，
由（1）可得： ， ， ，
当 时， ，即 ，
∴ ，
答案第11页，共2页设 ， ，
∵点C、E、M、N四点构成的四边形为菱形，
∴当 为对角线时，此时 ，
则 ，
解得： ，即 ，
当 为边时，
同理可得： 或 ，
解得： 或 ，
此时 或 ；
综上所述，点 的坐标为 或 或 ．
25．解：（1）① 四边形 为正方形，对角线 ， 相交于点 ，
，
由旋转可知， ，
，
又 ，
，
，
，
，
，
答案第12页，共2页若正方形的边长为4，则 ， ，
， ， ，
，
，即 ，
当 时， 有最小值 ，即 有最小值，为 ．
故答案为： ；8．
②由①得， ，
同理可证 ，
，
，
．
（2）设 ，则 ，
垂直平分 ，
，
作 于点H，
①当点F在 上方时，如图2所示：
，
，
答案第13页，共2页过点F作 于点P，
则 ，
易证四边形 为矩形，
，
在 中，由勾股定理得， ，
，
， ，
，
，
；
②当点F在 下方时，如图3所示：
同理可求， ，
综上， 或 ．
26．解：（1）将点 和点 代入 中，
得 ，
解得 ，
答案第14页，共2页∴抛物线的解析式为
将 代入 中，得 ；
（2）①解：∵ ， 为定值，
∴当 最小时， 的面积最小，此时点 与点 重合，
∵ ， ，
∴点 的纵坐标为
将 代入 中，得 ，
解得 ， ，
∴ ，
∴ ；
②解：如图1，过点 作 轴交 于点 ，
设直线 的解析式为： ，代入 ， 可得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
又∵ ，
答案第15页，共2页∴ ， ，
∴ ，
∴
∵ 轴，
∴ 轴
∴ ，
∴ ，则 ，
∴ ，
设点 ，则点 ，
∴ ．
∵ ，
∴当 时， 有最大值，
把 代入 可得：
∴ 的最大值为 ；
（3）原抛物线沿射线 方向平移 个单位长度，相当于将抛物线向左平移 个单位长度，
向上平移 个单位长度，如图2，则新抛物线的表达式为
①，
答案第16页，共2页设直线 交 轴于点 ，过点 作 延长线于点 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，即 ，则 ，
∴ ，则 ，
∴点 ，
设直线 的解析式为 ，代入 ， 可得： ，
解得： ，
∴直线 的表达式为 ②，
联立①②得 ，
答案第17页，共2页解得 （不合题意的值已舍去）．
答案第18页，共2页
