2015 年包头市初中升学考试
数学试题（含答案全解全析）
第Ⅰ卷(选择题,共36分)
一、选择题(本大题共有12小题,每小题3分,共36分.每小题只有一个正确选项)
1
1.在 ,0,-1,√2这四个实数中,最大的是( )
3
1
A. B.0 C.-1D.√2
3
2.2014年中国吸引外国投资达1 280亿美元,成为全球外国投资第一大目的地国.将1 280亿
美元用科学记数法表示为( )
A.12.8×1010美元 B.1.28×1011美元
C.1.28×1010美元 D.0.128×1012美元
3.下列计算结果正确的是( )
A.2a2+a2=3a4 B.(-a)2·a2=-a4
C.( 1) -2=4 D.(-2)0=-1
-
2
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,若斜边AB是直角边BC的3倍,则tan B的值是( )
1 √2
A. B.3 C. D.2√2
3 4
5.一组数据5,2,x,6,4的平均数是4,这组数据的方差是( )
A.2 B.√2 C.10 D.√10
{3(x+2)>2x+5,
6.不等式组 的最小整数解是( )
x-1 x
≤
2 3
A.-1 B.0 C.1 D.2
7.已知圆内接正三角形的边心距为1,则这个三角形的面积为( )
A.2√3 B.3√3 C.4√3 D.6√3
8.下列说法中正确的是( )
1
A.掷两枚质地均匀的硬币,“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为
2
B.“对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形”这一事件是必然事件
C.“同位角相等”这一事件是不可能事件
D.“钝角三角形三条高所在直线的交点在三角形外部”这一事件是随机事件
9.如图,在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=4,将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE,点B经
过的路径为 ⏜ ,则图中阴影部分的面积为( )
BD25 4 3 5
A. π B. π C. π D. π
12 3 4 12
4 9 16
10.观察下列各数:1, , , ,….按你发现的规律计算这列数的第6个数为( )
3 7 15
25 36 4 62
A. B. C. D.
31 35 7 63
11.已知下列命题:
①在Rt△ABC中,∠C=90°,若∠A>∠B,则sin A>sin B;
a c
②四条线段a,b,c,d中,若 = ,则ad=bc;
b d
③若a>b,则a(m2+1)>b(m2+1);
④若|-x|=-x,则x≥0.
其中原命题与逆命题均为真命题的是( )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
12.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(-1,0),对称轴为直线x=1,与y
轴的交点B在(0,2)和(0,3)之间(包括这两点),下列结论:
2
①当x>3时,y<0;②3a+b<0;③-1≤a≤- ;④4ac-b2>8a.
3
其中正确的结论是( )
A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④
第Ⅱ卷(非选择题,共84分)
二、填空题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分)
13.计算:( √1)× = .
√27- √3
3
14.化简:( 2a-1)÷a2-1= .
a-
a a
15.已知关于x的一元二次方程x2+√k-1x-1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是
.
16.一个不透明的布袋里装有5个球,其中4个红球和1个白球,它们除颜色外其余都相同,现2
再将n个白球放入布袋,搅匀后,使摸出1个球是红球的概率为 ,则n= .
3
3
17.已知点A(-2,y ),B(-1,y )和C(3,y )都在反比例函数y= 的图象上,则y,y,y 的大小关系为
1 2 3 1 2 3
x
.(用“<”连接)
1
18.如图,☉O是△ABC的外接圆,AD是☉O的直径,若☉O的半径是4,sin B= ,则线段AC的长
4
为 .
19.
如图,在边长为√3+1的菱形ABCD中,∠A=60°,点E,F分别在AB,AD上,沿EF折叠菱形,使点
A落在BC边上的点G处,且EG⊥BD于点M,则EG的长为 .
20.如图,在矩形ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,取EF的中点
G,连结CG,BG,BD,DG,下列结论:
①BE=CD;
②∠DGF=135°;
③∠ABG+∠ADG=180°;
AB 2
④若 = ,则3S =13S .
AD 3
△BDG △DGF
其中正确的结论是 .(填写所有正确结论的序号)
三、解答题(本大题共有6小题,共60分)
21.(本小题满分8分)
某学校为了解七年级男生体质健康状况,随机抽取若干名男生进行测试,测试结果分为优秀、
良好、合格、不合格四个等级,统计整理数据并绘制如下两幅尚不完整的统计图,请根据图中
信息回答下列问题:
(1)本次接受随机抽样调查的男生人数为 人,扇形统计图中“良好”所对应的圆心角
的度数为 ;
(2)补全条形统计图中“优秀”的空缺部分;(3)若该校七年级共有男生480人,请估计全年级男生体质健康状况达到“良好”的人数.
22.(本小题满分8分)
为了弘扬“社会主义核心价值观”,市政府在广场树立公益广告牌,如图所示,为固定广告牌,
在两侧加固钢缆.已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD为3米,从D点测得广告牌顶端A点
和底端B点的仰角分别是60°和45°.
(1)求公益广告牌的高度AB;
(2)求加固钢缆AD和BD的长.
(注意:本题中的计算过程和结果均保留根号)
23.(本小题满分10分)
我市某养殖场计划购买甲,乙两种鱼苗共700尾,甲种鱼苗每尾3元,乙种鱼苗每尾5元,相关
资料表明:甲,乙两种鱼苗的成活率分别为85%和90%.
(1)若购买这两种鱼苗共用去2 500元,则甲,乙两种鱼苗各购买多少尾?
(2)若要使这批鱼苗的总成活率不低于88%,则甲种鱼苗至多购买多少尾?
(3)在(2)的条件下,应如何选购鱼苗,使购买鱼苗的费用最低?并求出最低费用.24.(本小题满分10分)
如图,AB是☉O的直径,点D是 ⏜ 上的一点,且∠BDE=∠CBE,BD与AE交于点F.
AE
(1)求证:BC是☉O的切线;
(2)若BD平分∠ABE,求证:DE2=DF·DB;
(3)在(2)的条件下,延长ED,BA交于点P,若PA=AO,DE=2,求PD的长和☉O的半径.
25.(本小题满分12分)
如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AD=1厘米,AB=3厘米,BC=5厘米,动点P从点B出
发以1厘米/秒的速度沿BC方向运动,动点Q从点C出发以2厘米/秒的速度沿CD方向运动,
P、Q两点同时出发,当点Q到达点D时停止运动,点P也随之停止.设运动时间为t秒(t>0).
(1)求线段CD的长;
(2)t为何值时,线段PQ将四边形ABCD的面积分为1∶2两部分?
(3)伴随P、Q两点的运动,线段PQ的垂直平分线为l,
①t为何值时,l经过点C?
②求当l经过点D时t的值,并求出此时刻线段PQ的长.26.(本小题满分12分)
已知抛物线y=x2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴相交于点C,该抛物线的顶点为点D.
(1)求该抛物线的解析式及点D的坐标;
(2)连结AC,CD,BD,BC,设△AOC,△BOC,△BCD的面积分别为S,S 和S,用等式表示S,S ,S
1 2 3 1 2 3
之间的数量关系,并说明理由;
(3)点M是线段AB上一动点(不包括点A和点B),过点M作MN∥BC交AC于点N,连结MC,
是否存在点M使∠AMN=∠ACM?若存在,求出点M的坐标和此时刻直线MN的解析式;若不
存在,请说明理由.答案全解全析：
一、选择题
1
1.D 将这四个实数从小到大排列为-1,0, ,√2,所以最大的实数为√2.故选D.
3
2.B 1 280亿美元=128 000 000 000美元=1.28×1011美元.故选B.
3.C 因为2a2+a2=3a2;(-a)2·a2=a4;(-2)0=1,所以选项A、B、D错误.故选C.
AC
4.D 在Rt△ABC中,设BC=x(x>0),则AB=3x,∴AC=√AB2-BC2=2√2x.则tan B= =2√2
BC
.故选D.
1
5.A 由题意知5+2+x+6+4=4×5,所以x=3.则方差s2= ×[(5-4)2+(2-4)2+(3-4)2+(6-4)2+(4-4)2]=2.
5
故选A.
x-1 x
6.B 解不等式3(x+2)>2x+5得x>-1;解不等式 ≤ 得x≤3.所以不等式组的解集为-1<x≤3.
2 3
其整数解是0,1,2,3,所以最小整数解为0.故选B.
7.B 因为圆内接正三角形的边心距为1,所以其外接圆的半径为2,所以正三角形的边长为
1
2×√22-12=2√3,所以正三角形的面积为 ×2√3×3=3√3,故选B.
2
8.B 对角线互相垂直平分的四边形是菱形,对角线相等的菱形是正方形,故B是必然事件.故
选B.
9.A S =S +S -S ,
阴影 △AED 扇形ADB △ABC
由旋转的性质可知S =S ,
△ADE △ABC
30×π×52 25
所以S =S = = π.故选A.
阴影 扇形ADB
360 12
10.C 由这列数的特点可知,第n(n>1,且n为正整数)个数的分母是第(n-1)个数分母的2倍加
52 25 62 36 4
1,分子为n2,所以第5个数为 = ,第6个数为 = = .故选C.
15×2+1 31 31×2+1 63 7
11.A 由|-x|=-x,可知-x≥0,所以x≤0,所以命题④错误.命题①②③及其逆命题均正确,故选A.
b
12.B 由已知条件可知 a<0,- =1,抛物线与 x 轴另一交点坐标为(3,0),2≤c≤3,∴当 x>3
2a
时,y<0;2a+b=0,∴2a+b+a<0,即 3a+b<0;∵当 x=-1 时,a-b+c=0,∴3a+c=0,∴c=-3a,即 2≤-3a≤3,亦
2 4ac-b2
即-1≤a≤- ;由题意知抛物线顶点的纵坐标 y= >2,∴4ac-b2<8a.故④错,①②③正确.故
3 4a
选B.
二、填空题
13.答案 8
解析 原式=√81-√1=9-1=8.a-1
14.答案
a+1
a2-2a+1 a
解析 原式= ·
a a2-1
(a-1)2 a
= ·
a (a+1)(a-1)
a-1
= .
a+1
15.答案 k≥1
解析 由题意知Δ=(√k-1)2-4×1×(-1)=k-1+4=k+3>0,∴k>-3.又∵k-1≥0,即k≥1,∴k≥1.
16.答案 1
4 2
解析 由题意知 = ,解得n=1,当n=1时,3(n+5)≠0,所以n=1.
n+5 3
17.答案 y<y<y
2 1 3
3
解析 因为y= 的图象在第一、三象限,在每个象限内,y随x的增大而减小,所以y<y<0<y,
2 1 3
x
即y<y<y.
2 1 3
18.答案 2
解析 连结CD,在☉O中,因为AD为直径,所以∠ACD=90°,因为∠B=∠D,所以AC=AD·sin
1
D=8× =2.
4
19.答案 √3
解析 在菱形ABCD中,EG⊥BD.易证△BME≌△BMG.所以EM=GM.由折叠的性质得EG=AE,
设 EM=x, 则 EG=EA=2x,BE=√3+1-2x,∵∠A=60°,AD=AB,∴△ABD 是 等 边 三 角 形 ,
√3 √3
∴∠ABD=60°,所以EM=EB·sin 60°,即x= (√3+1-2x),解得x= ,所以EG=2x=√3.
2 2
20.答案 ①③④
解 析 因 为 ∠ BAD=∠ADF=90°,AE 平 分 ∠ BAD, 所 以 ∠ BAE=∠DAF=∠F=45°, 所 以
AD=DF=BC,AB=BE=CD.在△DGF中,∠F=45°,所以∠DGF≠135°.在等腰Rt△EFC中,因为G为
EF 的中点,所以 GF=GC,∠F=∠BCG=45°,又因为 DF=BC,所以△BGC≌△DGF(SAS),所以
∠ GBC=∠GDF. 又 因 为 ∠ DBC+∠BDC=90°, 所 以
∠GBD+∠GDB=∠GBC+∠CBD+∠GDB=∠CBD+∠GDB+∠CDG=90°,所以∠BGD=90°,在四边
AB 2
形ABGD中,∠BAD=∠BGD=90°,所以∠ABG+∠ADG=180°.因为 = ,所以可设AB=2k,则
AD 3
1 13 1
AD=3k,所以BD=√AB2+AD2=√13k.所以S
△BDG
=
4
BD2=
4
k2.作GM⊥CF于M,则GM=
2
1 1 3
CF= k.所以S = DF·GM= k2.所以3S =13S .故①③④正确.
2
△DGF
2 4
△BDG △DGF
评析 本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质与判定、三角形全等的性质与判定、三
角形的面积等知识.考查内容较多、较复杂.属难题.
三、解答题21.解析 (1)40;162°.(4分)
(2)如图:
(6分)
18
(3)估计全年级男生体质健康状况达到“良好”的人数: ×480=216(人).(8分)
40
22.解析 如图.
(1)在Rt△ADC中,∵∠ADC=60°,CD=3米,
AC
tan∠ADC= ,∴AC=3·tan 60°=3√3 米,
DC
在Rt△BDC中,∵∠BDC=45°,∴BC=CD=3米,
∴AB=AC-BC=(3√3-3)米.(4分)
CD
(2)在Rt△ADC中,∵cos∠ADC= ,
AD
3
3
∴AD= =1=6米,(6分)
cos60°
2
CD
在Rt△BDC中,∵cos∠BDC= ,
BD
3
3
∴BD= =√2=3√2米.(8分)
cos45°
2
{ x+ y=700,
23.解析 (1)设购买甲种鱼苗x尾,乙种鱼苗y尾,根据题意可得 解得
3x+5 y=2 500.
{x=500,
y=200.
答:购买甲种鱼苗500尾,乙种鱼苗200尾.(3分)
(2)设购买甲种鱼苗z尾,乙种鱼苗(700-z)尾,则列不等式:
85%z+90%(700-z)≥700×88%,
解得z≤280.
答:甲种鱼苗至多购买280尾.(6分)
(3)设甲种鱼苗购买m尾,购买鱼苗的费用为ω元,则可得
ω=3m+5(700-m)=-2m+3 500,
∵-2<0,∴ω随m的增大而减小,∵0<m≤280,
∴当m=280时,ω有最小值,ω =3 500-2×280=2 940,
最小值
∴700-m=420.
答:当选购甲种鱼苗280尾,乙种鱼苗420尾时,总费用最低,最低费用为2 940元.(10分)
24.解析 (1)证明:∵AB是☉O的直径,∴∠AEB=90°,
∴∠EAB+∠EBA=90°.
∵∠EDB=∠EAB,∠BDE=∠CBE,∴∠EAB=∠CBE,
∴∠ABE+∠CBE=90°,∴CB⊥AB.
∵AB是☉O的直径,
∴CB是☉O的切线.(3分)
(2)证明:∵BD平分∠ABE,∴∠ABD=∠DBE,∴ ⏜ = ⏜ ,
AD DE
∴∠DEA=∠DBE.∵∠EDB=∠BDE,
DE DF
∴△DEF∽△DBE,∴ = ,
DB DE
∴DE2=DF·DB.(6分)
(3)连结DA,DO.
∵OD=OB,
∴∠ODB=∠OBD.
又∵∠EBD=∠OBD,
∴∠EBD=∠ODB,∴OD∥BE,
PD PO
∴ = .
PE PB
PO 2
∵PA=AO,∴PA=AO=OB,∴ = ,
PB 3
PD 2
∴ = ,
PE 3
PD 2
∴ = ,
PD+DE 3
∵DE=2,∴PD=4.
∵∠PDA+∠ADE=180°,∠ABE+∠ADE=180°,
∴∠PDA=∠ABE,
∵OD∥BE,
∴∠AOD=∠ABE,∴∠PDA=∠AOD,
∵∠P=∠P,∴△PDA∽△POD,
PD PA
∴ = .
PO PD4 x
设OA=x(x>0),则PA=x,PO=2x,∴ = ,∴2x2=16,x=2√2,
2x 4
∴OA=2√2.(10分)
25.解析 (1)作DE⊥BC于点E.∵AD∥BC,∠A=90°,
∴四边形ABED为矩形,∴BE=AD=1厘米,DE=AB=3厘米,
∴EC=BC-BE=4厘米.
在Rt△DEC中,DE2+EC2=DC2,
∴DC= =5厘米.(2分)
√32+42
(2)∵点P的速度为1厘米/秒,点Q的速度为2厘米/秒,运动时间为t秒,
∴BP=t厘米,PC=(5-t)厘米,CQ=2t厘米,QD=(5-2t)厘米,且0<t≤2.5.
作QH⊥BC于点H,∴DE∥QH,∴∠DEC=∠QHC,
又∵∠C=∠C,
∴△DEC∽△QHC,
DE DC 3 5 6
∴ = ,∴ = ,∴QH= t厘米.
QH QC QH 2t 5
1 1 6
∴S = ·PC·QH= ·(5-t)· t
△PQC
2 2 5
=(
-
3
t2+3t
)平方厘米,
5
1 1
S = ·(AD+BC)·AB= ×(1+5)×3=9平方厘米.
四边形ABCD
2 2
分两种情况讨论:
①当S ∶S =1∶3时,
△PQC 四边形ABCD
3 1
- t2+3t= ×9,t2-5t+5=0,
5 3
5-√5 5+√5
解得t= ,t= (舍).
1 2
2 2
②当S ∶S =2∶3时,
△PQC 四边形ABCD
3 2
- t2+3t= ×9,t2-5t+10=0,
5 3
∵Δ<0,∴方程无解.
5-√5
∴当t= 时,线段PQ将四边形ABCD的面积分为1∶2两部分.(6分)
2
5
(3)①如图.当PQ的垂直平分线l经过点C时,可知PC=QC,∴5-t=2t,∴3t=5,∴t= .
35
∴当t= 时,直线l经过点C.(8分)
3
②如图.连结DP.
当PQ的垂直平分线l经过点D时,
可知DQ=DP.
则在Rt△DEP中,DP2=DE2+EP2,
∴DQ2=DE2+EP2,
∴(5-2t)2=32+(t-1)2,
∴t=1,t =5(舍),
1 2
∴BP=1厘米.
∴当t=1时,直线l经过点D,此时点P与点E重合.(10分)
如图.连结FQ,∵直线l是△DPQ的对称轴.
∴△DEF≌△DQF,∠DQF=90°,EF=QF.
设EF=x厘米,则QF=x厘米,FC=(4-x)厘米,
在Rt△FQC中,FQ2+QC2=FC2,
3 3
即x2+22=(4-x)2,∴x= ,∴EF= 厘米.
2 2
在Rt△DEF中,DE2+EF2=DF2,
∴32+(3) 2=DF2,
2
3√5
∴DF= 厘米.
2
在Rt△DEF中,EG⊥DF,
1 1
∴S = DF·EG= DE·EF,
△DEF
2 2
DE·EF
∴EG= ,
DF
3√5
∴EG= 厘米,
56√5
∴PQ=2EG= 厘米.(12分)
5
评析 本题是四边形中的动点问题,考查勾股定理,三角形的相似,四边形与三角形的面积表
示,线段的垂直平分线等知识,解题关键是用含t的代数式表示线段长和面积,题目计算量较大,
对学生的计算能力有较高要求.属难题.
26.解析 (1)∵抛物线y=x2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0)两点,
{1-b+c=0, {b=-2,
∴ 解得
9+3b+c=0. c=-3.
∴该抛物线的解析式为y=x2-2x-3.(2分)
b 4ac-b2
∵- =1, =-4,∴点D的坐标为(1,-4).(3分)
2a 4a
(2)S ,S ,S 的数量关系为S=S +S .
1 2 3 2 1 3
过点D作DE⊥x轴于点E,作DF⊥y轴于点F,
则在Rt△CFD中,CD2=2,CD=√2.在Rt△EDB中,BD2=20.
在Rt△BOC中,BC2=18,BC=3√2.
∵CD2+BC2=BD2,
∴△BCD为直角三角形.
1 1 3
∵S = ·AO·OC= ×1×3= ,
1
2 2 2
1 1 9
S= ·OB·OC= ×3×3= ,
2
2 2 2
1 1
S= ·BC·CD= ×3√2×√2=3,
3
2 2
3 9
S+S = +3= ,
1 3
2 2
∴S=S +S .(7分)
2 1 3
(3)存在点M,使得∠AMN=∠ACM.
设点M的坐标为(m,0),-1<m<3,
则MA=m-(-1)=m+1.
在Rt△AOC中,AC=√10.
∵MN∥BC,AM AB m+1 4 √10
∴ = ,∴ = ,∴AN= (m+1).
AN AC AN √10 4
∵∠AMN=∠ACM,∠MAN=∠CAM,∴△AMN∽△ACM,
AM AN √10
∴ = ,∴(m+1)2=√10· (m+1),
AC AM 4
3
∴m= ,m=-1(舍),
1 2
2
∴点M的坐标为(3 ).(10分)
,0
2
设直线BC的解析式为y=kx+n
1
(k≠0),把B(3,0),C(0,-3)代入,得:{3k+n
1
=0, 解得{ k=1,
n =-3. n =-3.
1 1
∴直线BC的解析式为y=x-3.
∵MN∥BC,
∴设直线MN的解析式为y=x+n
2
,把M(3
,0
)代入,得
2
3 3
+n=0,∴n =- .
2 2
2 2
3
∴直线MN的解析式为y=x- .
2
∴存在点M(3 ),使得∠AMN=∠ACM,此时直线MN的解析式为y=x-3.(12分)
,0
2 2
注:各题的其他解法或证法可参照该评分标准给分.
