专题23矩形的性质与判定（解析版）_中考数学一轮复习word_解析版

专题 23 矩形的性质与判定 目录 模块一：基础知识....................................................................................................................................................2 考点一：矩形的性质与判定............................................................................................................................2 考点二：矩形的折叠问题解题思路................................................................................................................2 模块二：题型分类....................................................................................................................................................4 考点一：矩形的性质与判定............................................................................................................................4 题型一：利用矩形的性质求角度......................................................4 题型二：利用矩形的性质求线段长...................................................12 题型三：利用矩形的性质求面积.....................................................22 题型四：求矩形在坐标系中的坐标...................................................29 题型五：根据矩形的性质证明.......................................................41 题型六：矩形的判定定理的理解.....................................................54 题型七：添加一个条件使四边形是矩形...............................................58 题型八：证明四边形是矩形.........................................................62 题型九：根据矩形的性质与判定求角度...............................................72 题型十：根据矩形的性质与判定求线段长.............................................85 题型十一：根据矩形的性质与判定求面积.............................................91 题型十二：根据矩形的性质与判定解决多结论问题....................................100 题型十三：与矩形有关的新定义问题................................................117 题型十四：与矩形有关的规律探究问题..............................................126 题型十五：与矩形有关的动点问题..................................................133 题型十六：矩形与一次函数综合....................................................144 题型十七：矩形与反比例函数综合..................................................153 题型十八：矩形与二次函数综合....................................................165 考点二：矩形的折叠问题............................................................................................................................179 题型一：沿对角线翻折（模型一）..................................................179 题型二：将矩形短边顶点翻折到对角线上（模型二）..................................182 题型三：将矩形短边顶点翻折到长边上（模型三）....................................186 题型四：矩形短边沿折痕翻折（模型四）............................................191 题型五：通过翻折将矩形两个顶点重合（模型五）....................................194 题型六：将矩形短边顶点翻折到对称轴上（模型六）..................................199 题型七：将矩形翻折使其一个顶点落在一边上（模型七）..............................206 题型八：其它....................................................................213专题 23 矩形的性质与判定 模块一：基础知识 考点一： 矩形的性质与判定 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.矩形的性质： （1）矩形具有平行四边形的所有性质； （2）矩形的四个角都是直角； （3）对角线互相平分且相等； （4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形.矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有两条对 称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心. 3.推论 （1）在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半. （2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半. 4.矩形的判定： （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 5.解题思路 要证明一个四边形是矩形，首先要判断四边形是否为平行四边形，若是，则需要再证明对角线相等或有 一个角是直角；若不易判断，则可通过证明有三个角是直角来直接证明． 考点二： 矩形的折叠问题 解题思路 矩形的折叠问题的常用解题思路： （1）对折叠前后的图形进行细致分析，折叠后的图形与原图形全等，对应边、对应角分别相等，找出各 相等的边或角； （2）折痕可看作角平分线（对称线段所在的直线与折痕的夹角相等）． （3）折痕可看作垂直平分线（互相重合的两点之间的连线被折痕垂直平分）. （4）选择一个直角三角形(不找以折痕为边长的直角三角形)，利用未知数表示其它直角三角形三边，通 过勾股定理/相似三角形知识求解. 模型一： 思路： 模型二： 思路：模型三： 思路： 尝试借助一线三垂直知识利用相似的方法求解 模型四： 思路： 模型五： 思路： 模型六：点M,点N分别为DC，AB中点 思 路：模型七：点A’为BC中点 思路： 过点F作FH⊥AE，垂足为点 H 设AE=A’E=x，则BE=8-x 17 由 勾 股 定 理 解 得 x= 4 15 ∴BE= 4 由于△EBA’∽△A’CG∽△FD’G 34 16 26 ∴A’G= CG= GD’= 15 15 15 13 DF=D’F=AH= HE=1 EF=√17 4 模块二：题型分类 考点一 ： 矩形的性质与判定 题型一：利用矩形的性质求角度 1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知∠ACB=25°，则∠AOB的大小是 （ ） A．130° B．65° C．50° D．25° 【答案】C 【分析】根据矩形的性质，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，即可求解． 【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， 1 1 ∴OA=OC= AC，OB=OD= BD，AC=BD， 2 2 ∴OB=OC， ∴∠OBC=∠ACB=25°， ∴∠AOB=∠OBC+∠ACB=25°+25°=50°，故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握矩形的性质 是解题的关键． 2．两个矩形的位置如图所示，若∠1=α，则∠2=（ ） A．α−90° B．α−45° C．180°−α D．270°−α 【答案】C 【分析】用三角形外角性质得到∠3=∠1-90°=α-90°，用余角的定义得到∠2=90°-∠3=180°-α． 【详解】解：如图，∠3=∠1-90°=α-90°， ∠2=90°-∠3=180°-α． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了矩形，三角形外角，余角，解决问题的关键是熟练掌握矩形的角的性质，三角 形的外角性质，互为余角的定义． 3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知∠BAC=35°，则∠BOC的度数是 （ ）A．65° B．70° C．75° D．80° 【答案】B 【分析】根据矩形的性质，证出OA=OB，得出∠OAB=∠ABO，再由三角形的外角的性质即可得出 答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OC，OB=OD，AC=BD， ∴OA=OB， ∴∠OAB=∠ABO=35°， ∴∠BOC=2×35°=70°； 故选：B 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理；证出OA=OB是解题关键． 4.如图，O是矩形ABCD的对角线交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，∠AEO的度数为（ ） A．10° B．15° C．25° D．30° 【答案】D 【分析】先根据矩形的性质和∠AOD=120°证明△BAO是等边三角形，△BAE是等腰直角三角形， 推出OB=BE，再根据等腰对等角求出∠BEO，则∠AEO=∠BEO−∠BEA． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴ OA=OB，∠ABC=∠BAD=90°， ∴ ∠BAO=∠ABO， ∵ ∠AOD=∠BAO+∠ABO=120°， 1 ∴ ∠BAO=∠ABO= ×120°=60°， 2 ∴ △BAO是等边三角形．∴ AB=OB， ∵ AE平分∠BAD， 1 ∴ ∠BAE= ×90°=45°， 2 ∴ ∠BAE=∠BEA=45°， ∴ AB=BE， ∴ OB=BE， ∴ ∠BOE=∠BEO， 又∵ ∠OBE=∠ABC−∠ABO=30°， 1 ∴ ∠BEO= ×(180°−30°)=75°， 2 ∴ ∠AEO=∠BEO−∠BEA=75°−45°=30°． 故选D． 【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等， 解题的关键是证明△BAO是等边三角形． 5.翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、 解股等等，如图1是翻花绳的一种图案，可以抽象成如右图，在矩形ABCD中，IJ∥KL,EF∥GH， ∠1=∠2=30°，∠3的度数为（ ）． A．30° B．45° C．50° D．60° 【答案】D 【分析】由矩形的性质可得∠D=∠C=90°，进而可得∠HGC=∠IJD=60°；再根据三角形内角和 定理可得∠GMJ=60°；然后再证四边形NUMV是平行四边形，由平行四边形的性质可得 ∠VNU=∠GMJ=60°，最后由对顶角相等即可解答． 【详解】解：如图：∵矩形ABCD中， ∴∠D=∠C=90°, ∵∠1=∠2=30°， ∴∠HGC=∠IJD=60°, ∴∠GMJ=60°,∵IJ∥KL,EF∥GH， ∴四边形NUMV是平行四边形， ∴∠VNU=∠GMJ=60°, ∴∠3=∠VNU=60°． 故选D． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定、性质定 理是解答本题的关键． 6.如图，矩形ABCD中，点E为CD边的中点，连接AE，过E作EF⊥AE交BC于点F，连接AF，若 ∠BAF=α，则∠EFC的度数为（ ） α α A．α B．45°+ C．45°− D．90°−α 2 2 【答案】B 【分析】延长AE，交BC的延长线于点G，根据矩形的性质可得，∠BAD=∠ADC=∠DCB=90°， AD∥BC，可证△ADE≌△GCE(ASA)，根据全等三角形的性质可得AE=≥¿，可知EF垂直平分 AG，根据线段垂直平分线的性质可得AF=GF，进一步可得∠G=∠FAE，根据AD∥BC，可得 ∠DAE=∠G，可表示出∠DAE的度数，进一步可得∠FEC的度数，再根据∠FEC+∠EFC=90°， 可得∠EFC的度数． 【详解】解：延长AE，交BC的延长线于点G，如图所示：在矩形ABCD中，∠BAD=∠ADC=∠DCB=90°，AD∥BC， ∴∠ECG=90°， ∵E为CD边中点， ∴DE=CE， 在△ADE和△GCE中， ¿， ∴△ADE≌△GCE(ASA)， ∴AE=≥¿， ∵EF⊥AE， ∴EF垂直平分AG， ∴AF=GF， ∴∠FAE=∠G， ∵AD∥BC， ∴∠DAE=∠G， ∴∠DAE=∠FAE， ∵∠BAF=α， 90°−α ∴∠DAE= ， 2 ∵∠DAE+∠AED=90°，∠AED+∠FEC=90°， 90°−α ∴∠FEC=∠DAE= ， 2 ∵∠FEC+∠EFC=90°， 90°−α α ∴∠EFC=90°− =45°+ ， 2 2 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，添加合适的辅助 线构造全等三角形是解题的关键． 7.如图，a∥b，矩形ABCD的顶点B在直线a上，若∠1=34°，则∠2的度数为（ ） A．34° B．46° C．56° D．66° 【答案】C【分析】过点A作AE∥a，利用矩形的性质和平行线的判定与性质解答即可． 【详解】解：过点A作AE∥a，如图， ∴∠EAB=∠1=34°． ∵a∥b，AE∥a， ∴AE∥b， ∴∠2=∠DAE， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠DAB=90°， ∴∠DAE=90°−∠EAB=56°， ∴∠2=56°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行线的性质，过点A作AE∥a是解题的关键． 8.如图，在矩形ABCD中，E、F为AC上一点，AE=AD，AF=CE，连接DE、BF，若∠CAD=α， 则∠BFE的度数为（ ） 3 1 A．90°− α B．90°− α C．α D．90°−α 2 2 【答案】B 【分析】先证明AE=CF，即可得出AD=AE=CF=BC，再根据矩形的性质得出∠ACB=∠CAD=α， 最后根据等边对等角即可求解． 【详解】解：∵AF=CE， ∴EF+AF=EF+CE，即AE=CF， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD=BC，AD∥BC，∴∠ACB=∠CAD=α， ∵AE=AD， ∴AD=AE=CF=BC， ∴AD=AE=CF， 1 1 ∴∠BFE= (180°−α)=90°− α， 2 2 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，和等腰三角形的性质，解题的关键是掌握矩形对边平行且相等， 等腰三角形“等边对等角”． 9.如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，以AB为边在矩形内作等边△ABE，延长BE交AD于点F，连接 CF，则∠DFC的度数为（ ） A．60° B．70° C．75° D．80° 【答案】C 【分析】根据矩形的性质得到AD=BC，∠BAD=∠ABC=90°，根据等边三角形的性质推出 ∠AFB=30°，∠CBF=30°，再根据含30度角的直角三角形的性质得到BF=BC，即可求出 ∠BFC=∠BCF=75°，再由平角的定义即可得到答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，∠BAD=∠ABC=90°， ∵△ABE是等边三角形， ∴∠ABF=60°， ∴∠AFB=30°，∠CBF=30°， ∴BF=2AB， ∵AD=2AB，AD=BC， ∴BF=BC， 180°−∠CBF ∴∠BFC=∠BCF= =75°， 2 ∴∠DFC=180°−∠AFB−∠BFC=75°， 故选C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角 三角形的性质，三角形内角和定理，证明BF=BC是解题的关键．题型二：利用矩形的性质求线段长 1.如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交AD，BC于点M，N．若AM＝1，BN＝2， 则BD的长为（ ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意，连接BM，记BD与MN交于点O． ∵线段MN垂直平分BD， ∴BO＝DO，BM＝DM． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC． ∴∠MDO＝∠NBO． 又∠DOM＝∠BON， ∴△DMO≌△BNO（ASA）． ∴DM＝BN＝BM＝2． 在Rt△BAM中， ∴AB＝ ＝ ． ∴在Rt△BAD中可得，BD＝ ＝2 ． 故选：A． 2.如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC、BC于点E、O、F，若AB=12，BC=16， 则EF的长为（ ）A．8 B．15 C．16 D．24 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得到AO=CO，∠AOE=∠COF,根据平行线的性质得出∠EAO=∠FCO,根据ASA推出 △AEO≌△CFO，由全等得到OE=OF，推出四边形是平行四边形，再根据EF⊥AC即可推出四边形是菱形，根 据垂直平分线的性质得出AF=CF，根据勾股定理即可得出结论． 【详解】连接AF，CE， ∵EF是AC的垂直平分线， ∴AO=CO，∠AOE=∠COF=90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠EAO=∠FCO， 在△AEO和△CFO中， ¿, ∴△AEO≌△CFO（ASA）， ∴OE=OF， 又∵OA=OC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵EF⊥AC， ∴平行四边形AECF是菱形， ∴AE=CE， 设AE=CE=x， ∵EF是AC的垂直平分线， ∴AE=CE=x，DE=16-x， 在Rt△CDE中，CD2+DE2=AE2,122+(16−x) 2=x2， 25 解得x= ， 2 25 ∴AE= , 2 ∵AC=√AB2+BC2=√122+162=20, 1 ∴AO= AC=10, 2 15 ∴OE=√AE2−AO2= , 2 ∴EF=2OE=15, 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，证得四边 形AECF是菱形是解题的关键． 3.如图，矩形ABCD中，点E，点F分别在边AB,BC上，线段AF与线段DE相交于点G，若 AB=4,BC=6,AE=BF=3，则FG的长度为 ． 25 【答案】 11 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识；由勾股定理可求AF的长， 通过证明△ABF∽△HCF，可求FH，CH的长，通过证明△AEG∽△HDG，可求AG的长，即 可求解． 【详解】解：如图，延长AF，DC交于点H， ∵AB=4，BC=6，AE=BF=3，∴CF=3，AF=√AB2+BF2=√16+9=5， ∵ AB∥CD， ∴△ABF∽△HCF， AB BF AF ∴ = = ， CH CF FH 4 3 5 ∴ = = CH 3 FH ∴CH=4，FH=5， ∴AH=10，DH=8， ∵ AB∥CD， ∴△AEG∽△HDG， AG AE ∴ = ， GH DH AG 3 ∴ = ， GH 8 3 3 30 ∴AG= AH= ×10= ， 11 11 11 25 ∴GF= ， 11 25 故答案为： ． 11 4.如图，矩形ABCD的对角线交于点O，EF经过点O且EF⊥BD，EF分别与AD，BC交于点E，F， 若AB=2，BC=4，则AE等于（ ） 3 5 A． B．2 C． D．3 2 2 【答案】A 【分析】连接BE，由矩形的性质可得OB=OD，AD=BC=4，∠BAD=90°，由线段垂直平分线的性 质可得BE=DE=AD−AE，由勾股定理可得(4−AE) 2=22+AE2，求解即可．【详解】解：如图，连接BE， ， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OB=OD，AD=BC=4，∠BAD=90°， ∵EF⊥BD，OB=OD， ∴ EF是BD的垂直平分线， ∴BE=DE=AD−AE=4−AE， 在Rt△ABE中，BE2=AB2+AE2， 则(4−AE) 2=22+AE2， 3 解得：AE= ， 2 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质、线段垂直 平分线的性质，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 5.在矩形ABCD中，AB=3，将AB绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到BE，连接DE，若DE的 最小值为2，则BC的长为 ． 【答案】4 【分析】根据三角形不等式得到BE+DE＞BD，当点B，点E，点D三点共线时，BE+DE取得最小值， 得到BD=5，根据勾股定理计算BC即可． 【详解】∵BE+DE＞BD， ∴当点B，点E，点D三点共线时，BE+DE取得最小值， ∵BE=AB=3, ∴DE的最小值为2， ∴BD=5，∵矩形ABCD，AB=3， ∴AB=CD=3,∠BCD=90° ∴BC=√BD2−CD2=4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握两点之间线段最短，勾股定理是解题的关 键． 6.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点E为对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE 交BC于点F．连接AF交BE于点O，若AB=AE，则线段AF与BD的位置关系为 ；BF的长为 ． 9 【答案】 AF⊥BD 4 【分析】先证Rt△ABF≌Rt△AEF可得∠BAF=∠EAF，再根据等腰三角形三线合一的性质可得 12 9 BC BO 4 AF⊥BD，再由面积法可求AO= 的长，进而求得BO= ，再求得cos∠CBD= = = 即可 5 5 BD BF 5 解答． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ABC=∠BAD=90°． ∵AB=3，AD=4， ∴BD=√AB2+AD2=√16+9=5．BC=AD=4， ∵EF⊥AE， ∴∠AEF=90°． 在Rt△ABF和Rt△AEF中， ¿ ∴△ABF≌△AEF(HL)． ∴∠BAF=∠EAF． 又∵AB=AE，∴AF⊥BD． 1 1 ∴ AB⋅AD= AO⋅BD， 2 2 AB⋅AD 12 ∴AO= = ． BD 5 √ 144 9 ∴BO=√AB2−AO2= 9− = ， 25 5 BC BO 4 ∴cos∠CBD= = = ， BD BF 5 5 5 9 9 ∴BF= BO= × = ． 4 4 5 4 9 故答案为AF⊥BD， ． 4 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形性质、勾股定理、解直角三角形等知识 点，灵活运用相关判定、性质是解答本题的关键． 7.如图，矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，F是OC的中点，连接 OP EF交OB于点P，那么 = ． PB 1 【答案】 3 【分析】取OB的中点H，连接EH，根据矩形性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得 1 EH=OH=BH，AE=BE，根据EH∥AC可证得△OFP∽△HEP，可求得OP=PH= OH，即 2 可求解． 【详解】如图，取OB的中点H，连接EH，∵ABCD是矩形， ∴OA=OB=OC=OD， ∵OE⊥AB，点H为OB中点， ∴EH=OH=BH，AE=BE， ∴EH∥AC ∴△OFP∽△HEP EH OP ∴ = OF PH ∵F是OC的中点， 1 1 ∴OF= OC= OB=EH， 2 2 1 ∴OP=PH= OH 2 ∴PB=3OP OP 1 ∴ = ， PB 3 1 故答案为： ． 3 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些 性质解决问题是解题的关键． 8.如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，E、F分别是AD、BC的中点，点P、Q在EF上．且满足 PQ=2，则四边形APQB周长的最小值为 ． 【答案】12【分析】因为PQ和AB是定长，所以要使四边形APQB的周长最小，只要AP+BQ最小即可，在AB上截 取AM=PQ，F是BC的中点，所以点B关于EF的对称点是C点，连接CM与EF交于点Q，则CM即为 AP+BQ的最小值； 【详解】解：∵四边形APQB周长=AP+PQ+QB+AB， ∵AB=5，BC=4，PQ=2， ∴四边形APQB周长=AP+PQ+QB+AB=7+AP+BQ， 要使四边形APQB的周长最小，只要AP+BQ最小即可， 在AB上截取AM=PQ，F是BC的中点，所以点B关于EF的对称点是C点，连接CM与EF交于点Q，则 CM即为AP+BQ的最小值， ∴BQ=CQ， ∴MB=3，BC=4， 在Rt△BCM中，由勾股定理得： MC=√32+42=5， ∴四边形APQB周长=AP+PQ+QB+AB=7+AP+BQ=7+5=12． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称---最短路线问题、矩形的性质，能够将所求四边形的周长转化为求AP+BQ 的最小值是解题的关键． 9.如图，两点E，F分别在矩形ABCD的AD和CD边上，AB=6，AD=8，∠BEF=90°，且BE=EF， 点M为BF的中点，则ME的长为（ ） 9 3 A． B．2√5 C．3√2 D． √10 2 2 【答案】B【分析】证明△ABE≌△≝¿，得出CF=4，勾股定理得出FB=4√5，根据直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠D=90°，AB=CD=6,BC=AD=8 又∠BEF=90°， ∴∠ABE=90°−∠BEA=∠FED, 又BE=EF， ∴△ABE≌△≝(AAS)， ∴ED=AB=6 ∵AD=8， ∴DF=AE=2， ∴CF=4 在Rt△BCF中，FB=4√5， ∵点M为BF的中点，∠BEF=90°， 1 ∴ME = BF=2√5 2 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半，得出FB=4√5是解题的关键． 10.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE//AC，CE//BD．若AC=10，则四边形 OCED的周长是 ． 【答案】20 【分析】首先由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD=5，由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边 形CODE是平行四边形，又可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD=10，OA=OC，OB=OD， 1 ∴OC=OD= BD=5， 2∵DE//AC，CE//BD．， ∴四边形CODE是平行四边形， ∵OC=OD =5， ∴四边形CODE是菱形， ∴四边形CODE的周长为：4OC=4×5=20． 故答案为20． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形CODE是菱形是解 题关键． 11.如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 ． 【答案】10 【分析】延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，证明四边形EFGC是平行四边形，得出CE＝FG，得出当点 A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小，根据勾股定理求出AG即可． 【详解】解：延长BC到G，使CG＝EF，连接FG， ∵EF∥CG，EF＝CG， ∴四边形EFGC是平行四边形， ∴CE＝FG， ∴AF+CE＝AF+FG， ∴当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG， 由勾股定理得，AG＝√AB2+BG2＝√62+(4+4) 2＝10，∴AF+CE的最小值为10， 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，根据题意作出辅助线，得出当A、F、G 三点共线时，AF+CE的值最小，是解题的关键． 题型三：利用矩形的性质求面积 1.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD，BC于点E，F，若AB=3，BC=4，则 图中阴影部分的面积为 ． 【答案】6 【分析】结合矩形的性质证明△AOE≌△COF，可得△AOE与△COF的面积相等，从而将阴影部 分的面积转化为△BDC的面积进行求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=3， ∴OA=OC，AB=CD=3，AD∥BC， ∴∠AEO=∠CFO， 又∵∠AOE=∠COF， 在△AOE和△COF中， ¿， ∴△AOE≌△COF(ASA)， ∴S =S ， △AOE △COF ∴S =S +S +S =S +S +S =S ， 阴影 △AOE △BOF △COD △COF △BOF △COD △BCD 1 1 ∴S = BC⋅CD= ×4×3=6， △BCD 2 2 故答案为：6． 【点睛】本题考查矩形的性质、全等三家形的判定与性质，根据证明三角形全等，将阴影部分的面积转 化为矩形面积的一半是解题的关键． 1 1 2.如图，矩形ABCD中，E，F，G，H分别在AB，BC，CD，DA上，且AE= AB，BF= BC， 3 3 1 1 CG= CD，DH= DA，若矩形ABCD面积为9，则四边形EFGH的面积为( ) 3 3A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 1 1 1 1 【分析】设AE=a，BF=b，根据AE= AB，BF= BC，CG= CD，DH= DA可知 3 3 3 3 AB=CD=3a，AD=BC=3b，AE=CG=a，BF=DH=b，BE=DG=2a，AH=CF=2b，从而 得到△AEH的面积=△BEF的面积=△CGF的面积=△DGH的面积=ab，再根据“矩形的面积是9” 求出ab，从而得到四边形EFGH的面积为9−4ab=5． 【详解】解：设AE=a，BF=b， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，AD=BC， 1 1 ∵AE= AB，BF= BC， 3 3 ∴AB=CD=3a，AD=BC=3b， 1 1 又∵CG= CD，DH= DA， 3 3 ∴AE=CG=a，BF=DH=b， ∴BE=DG=2a，AH=CF=2b， ∴△AEH的面积=△BEF的面积=△CGF的面积=△DGH的面积=ab， ∴AB=3a，AD=3b， ∵矩形ABCD面积为9， ∴AB·AD=3a·3b=9ab=9， ∴ab=1， ∵△AEH的面积=△BEF的面积=△CGF的面积=△DGH的面积=ab， ∴四边形EFGH的面积=9−4ab=9−4=5． 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质和直角三角形的面积公式，掌握矩形的面积公式及合理设未知数列方程是 解题的关键． AB 5 3.如图，AC是矩形ABCD的对角线，延长AB至E，使得 = ，连接CE，若矩形ABCD的面积为 BE 620，则△BCE的面积为（ ） A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】C 1 S AB 【分析】先由矩形的性质求出S = S =10，再根据 △ABC = 求解即可． △ABC 2 矩形ABCD S BE △BEC 【详解】解：∵矩形ABCD的面积为20， 1 ∴S = S =10 △ABC 2 矩形ABCD ∵矩形ABCD， ∴BC⊥AB S AB 10 5 ∴ △ABC = ，即 = ， S BE S 6 △BEC △BEC ∴S =12， △BEC 故选：C． S AB 【点睛】本题考查矩形的性质，三角形的面积，得出 △ABC = 是解题的关键． S BE △BEC 4.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A和C分别落在y轴与x轴的正半轴上，OA=6， OC=8．若直线y=2x+b把矩形面积两等分，则b的值等于（ ） A．5 B．2 C．−2 D．−5 【答案】D 【分析】直线y=2x+b把矩形面积两等分,一定经过对角线中点，求出点的坐标，用待定系数法求解析式 即可．【详解】解：∵OA=6，OC=8， 所以A点坐标为(0，6)，C点坐标为(8，0)， 则AC中点坐标为(4，3)， 因为矩形是中心对称图形，对称中心是对角线中点， 所以直线y=2x+b把矩形面积两等分,一定经过对角线中点， 代入解析式得，3=2×4+b，解得，b=−5； 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质和求一次函数解析式，解题关键是明确平分矩形面积一定经过对角线中 点，再用待定系数法求解． 5.如图是一个由5张纸片拼成的▱ABCD，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形 纸片的面积都为S ，另两张直角三角形纸片的面积都为S ，中间一张矩形纸片EFGH的面积为S ，FH 1 2 3 与GE相交于点O．当△AEO,△BFO,△CGO,△DHO的面积相等时，下列结论一定成立的是（ ） A．S =S B．S =S C．AB=AD D．EH=GH 1 2 1 3 【答案】A 【分析】根据△AED和△BCG是等腰直角三角形，四边形ABCD是平行四边形，四边形HEFG是矩形可得 出AE=DE=BG=CG=a， HE=GF，GH=EF，点O是矩形HEFG的中心，设AE=DE=BG=CG=a， HE=GF= b ， GH=EF= c，过点O作OP⊥EF于点P，OQ⊥GF于点Q，可得出OP，OQ分别是 FHE和 EGF的中位线，从 而可表示OP，OQ的长，再分别计算出S ，S ，S 进行判断即可 △ △ 1 2 3 【详解】解：由题意得，△AED和△BCG是等腰直角三角形， ∴∠ADE=∠DAE=∠BCG=∠GBC=45° ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，CD=AB，∠ADC=∠ABC，∠BAD=∠DCB ∴∠HDC=∠FBA，∠DCH=∠BAF， ∴△AED≌△CGB，△CDH≌ABF ∴AE=DE=BG=CG ∵四边形HEFG是矩形 ∴GH=EF，HE=GF 设AE=DE=BG=CG=a， HE=GF= b ，GH=EF= c过点O作OP⊥EF于点P，OQ⊥GF于点Q， ∴OP//HE，OQ//EF ∵点O是矩形HEFG的对角线交点，即HF和EG的中点， ∴OP，OQ分别是 FHE和 EGF的中位线， 1 1△ △1 1 ∴OP= HE= b，OQ= EF= c 2 2 2 2 1 1 1 1 ∵S = BF·OQ= (a−b)× c= (a−b)c ΔBOF 2 2 2 4 1 1 1 1 S = AE·OP= a× b= ab ΔAOE 2 2 2 4 ∵S =S ΔBOF ΔAOE 1 1 ∴ (a−b)c= ab，即ac−bc=ab 4 4 1 1 而S =S = AE·DE= a2 ， 1 ΔAED 2 2 1 1 1 1 1 S =S = AF·BF= (a+c)(a−b)= (a2−ab+ac−bc)= (a2−ab+ab)= a2 2 ΔAFB 2 2 2 2 2 所以，S =S ，故选项A符合题意， 1 2 S =HE·EF=(a−b)(a+c)=a2−bc−ab+ac=a2+ab−ab=a2 3 ∴S ≠S ，故选项B不符合题意， 1 3 而AB=AD于EH=GH都不一定成立，故C,D都不符合题意， 故选：A 【点睛】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的面积等知识，解题的关键是求出S ，S ，S 之间的关 1 2 3 系． 6.如图1，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，在边AB，BC上沿A→B→C的方向，以1cm/s的速度匀速运 动到点C，△APC的面积S（cm2）随运动时间t（s）变化的函数图象如图2所示，则AB的长是（ ）3 A． cm B．3cm C．4cm D．6cm 2 【答案】B 【分析】由图象2可知，点P从B到C的运动时间为4s，则由动点P的运动速度可求出BC的长，再根据 图象可知△ABC的面积为6cm2，即可利用面积公式求解此题． 【详解】解：∵动点P从A点出发到B的过程中，S随t的增大而增大，动点P从B点出发到C的过程中， S随t的增大而减小． ∴观察图象2可知，点P从B到C的运动时间为4s， ∵点P的运动速度为1cm/s， ∴BC=1×4=4（cm）， ∵当点P在直线AB上运动至点B时，△APC的面积最大， ∴由图象2得：△APC的面积6cm2， 1 ∴S = AB⋅BC=6， △ABC 2 ∴AB=3cm． 故选：B． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量．要求能根据函数 图象的性质和图象上的数据分析得出所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 7.如图，现将四根木条钉成的矩形框ABCD变形为平行四边形木框A'B'C'D'，且A'D'与CD相交于CD 边的中点E，若AB=4，BC=5，则原矩形ABCD和平行四边形A'B'C'D'重叠部分的面积是 ． 【答案】10−2√3 【分析】根据矩形和平行四边形的性质可得：AD∥BC∥A'D'，CD⊥BC，AB=CD=CD'=4， AD=BC=A'D'=5，从而得出CD⊥A'D'，根据中点的定义即可求出CE，然后根据勾股定理即可求出ED'，进而求出AE，最后根据梯形面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵矩形木框ABCD变形为平行四边形木框A'B'C'D' ∴AD∥BC∥A'D'，CD⊥BC，AB=CD=CD'=4，AD=BC=A'D'=5， ∴CD⊥A'D' ∵点E为CD的中点， 1 ∴CE= CD=2， 2 在Rt△CED'中，根据勾股定理可得：ED'=√CD'2−CE2=2√3， ∴AE=AD'−ED'=5−2√3， CE(A'E+BC) 5+5−2√3 ∴S =S = = ×2=10−2√3 阴影 梯形BCEA' 2 2 故答案为：10−2√3． 【点睛】此题考查的是矩形的性质、平行四边形的性质、勾股定理，掌握矩形的性质定理、平行四边形 的性质定理、用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键． 8.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是对角线AC上一点，AP=2，连接BD，则图中阴影部 分的面积为 ． 21 【答案】 5 【分析】作DE⊥AC于点E，作BF⊥AC于点F，对角线AC与BD交于点O，根据勾股定理求出AC=5， 5 1 1 1 12 则OA=OC= ，进而得出OP= ，PC=3，根据S = AC⋅DE= AD⋅CD，得出DE= ，同 2 2 △ADC 2 2 5 12 理可得：BF= ，最后根据S =S +S 即可求解． 5 阴影部分 △BOP △DPC 【详解】解：如图，作DE⊥AC于点E，作BF⊥AC于点F，对角线AC与BD交于点O，∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°， ∴AB=DC=3，BC=AD=4， ∴AC=√AB2+BC2=5， 1 5 ∴OA=OC= AC= ， 2 2 ∵AP=2， 1 ∴OP=OA−AP= ， 2 ∴PC=OP+OC=3， 1 1 ∵S = AC⋅DE= AD⋅CD， △ADC 2 2 ∴5DE=12， 12 ∴DE= ， 5 12 同理可得：BF= 5 1 1 12 1 12 21 ∴S =S +S = × × + ×3× = ． 阴影部分 △BOP △DPC 2 2 5 2 5 5 21 所以图中阴影部分的面积为 ． 5 21 故答案为： ． 5 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握矩形四个角都是直角，矩形对角线 互相平分且相等，以及勾股定理内容． 题型四：求矩形在坐标系中的坐标 1.在平面直角坐标系中，长方形ABCD如图所示，A(−6,2),B(2,2),C(2,−3)，则点D的坐标为 （ ） A．(−6,3) B．(3,−6) C．(−6,−3) D．(−3,−6) 【答案】C【分析】根据长方形的性质求出点D的横、纵坐标即可获得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD为长方形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∵A(−6,2),B(2,2),C(2,−3)， ∴点D的横坐标与点A相同，为−6， 点D的纵坐标与点C相同，为−3， ∴点D的坐标为(−6,−3)． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，解题关键是利用矩形“对边平行且相等”的性质解决问题． 2.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，O是BD的中点. 若AB=OB=2√3，则点C的坐标是（ ） A．（3，√3） B．(−3,−√3) C．(√3，3） D．(−√3,−3) 【答案】B 【分析】过点A作AF⊥x轴，垂足为F，由四边形ABCD是矩形易证得△AOB是等边三角形,进而 ∠AOF=30°，解直角三角形得AF=OA⋅sin∠AOF=√3，OF=OA⋅cos30°=3，所以A(3,√3)， 由矩形是中心对称图形知点A，点C关于原点对称，得点C(−3,−√3)． 【详解】∵四边形ABCD是矩形 ∴OA=OB ∵AB=OB=2√3 ∴OA=AB=OB=2√3，∠AOB=60° 过点A作AF⊥x轴，垂足为F，1 则AF=OA⋅sin∠AOF=OA⋅sin(90°−60°)=2√3× =√3 2 √3 OF=OA⋅cos30°=2√3× =3 2 ∴点A(3,√3) ∵点A，点C关于原点对称， ∴点C(−3,−√3)， 故选：B 【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质、解直角三角形，点坐标的含义；结合已知条 件构建直角三角形求解相关线段是解题的关键． 3.如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，OB=4，OA=3，AD=10，将矩形ABCD绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点D的坐标为（ ） A．(6,5) B．(5,6) C．(−6,−5) D．(−5,−6) 【答案】C 【分析】过点D作DT⊥x轴于点T．首先证明△ATD∽△BOA，利用相似三角形的性质求出点D的 坐标，再探究规律，利用规律解决问题即可． 【详解】解：如图，过点D作DT⊥x轴于点T．∵OA=3，OB=4，∠AOB=90°， ∴AB=√OA2+OB2=√32+42=5， ∵∠ATD=∠AOB=∠BAD=90°， ∴∠DAT+∠BAO=90°，∠BAO+∠ABO=90°， ∴∠DAT=∠ABO， ∴△ATD∽△BOA， AD AT DT ∴ = = ， AB OB OA 10 AT DT ∴ = = ， 5 4 3 ∴AT=8，DT=6， ∴OT=AT−OA=8−3=5， ∴D(−5,6)， ∵矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°， 则第1次旋转结束时，点D的坐标为(6,5)； 则第2次旋转结束时，点D的坐标为(5,−6)； 则第3次旋转结束时，点D的坐标为(−6,−5)； 则第4次旋转结束时，点D的坐标为(−5,6)； … 发现规律：旋转4次一个循环， ∴2023÷4=505…3， 则第2021次旋转结束时，点D的坐标为(−6,−5)． 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化−旋转、规律型−点的坐标，解决本题的关键是根据旋转的性质发现 规律，总结规律． 4.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，O是BD的中点.若 AB=OB=2√3，则点C的坐标是（ ）A．（3，√3） B．(−3,−√3) C．(√3，3） D．(−√3,−3) 【答案】B 【分析】过点A作AF⊥x轴，垂足为F，由四边形ABCD是矩形易证得△AOB是等边三角形,进而 ∠AOF=30°，解直角三角形得AF=OA⋅sin∠AOF=√3，OF=OA⋅cos30°=3，所以A(3,√3)， 由矩形是中心对称图形知点A，点C关于原点对称，得点C(−3,−√3)． 【详解】∵四边形ABCD是矩形 ∴OA=OB ∵AB=OB=2√3 ∴OA=AB=OB=2√3，∠AOB=60° 过点A作AF⊥x轴，垂足为F， 1 则AF=OA⋅sin∠AOF=OA⋅sin(90°−60°)=2√3× =√3 2 √3 OF=OA⋅cos30°=2√3× =3 2 ∴点A(3,√3) ∵点A，点C关于原点对称， ∴点C(−3,−√3)， 故选：B【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质、解直角三角形，点坐标的含义；结合已知条 件构建直角三角形求解相关线段是解题的关键． 5.如图，已知矩形AOBC的顶点O在坐标原点，点A的坐标是（－2，1），点B的纵坐标是3，则点C的 坐标是（ ） ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) A． − ,4 B． − ,4 C． − ,2√5 D． − ,2√5 2 3 2 3 【答案】A 【分析】作BD⊥x轴于点D， 过点A作FE⊥x轴于点E，过点C作FG⊥y轴于点G，先通过角度等量 3 代换证明ΔEAO∼ΔDOB，求出OD= ，再证明ΔDBO≅ΔFAC，求出FC，AF，则CG=OE−CF， 2 EF=AE+FA，由此可解． 【详解】解：如图， 作BD⊥x轴于点D， 过点A作FE⊥x轴于点E，过点C作FG⊥y轴于点G， ∵点A的坐标是（－2，1），点B的纵坐标是3， ∴AE=1，OE=2，BD=3， ∵BD⊥x轴，FE⊥x轴，FG⊥y轴， ∴∠AFC=∠OEA=∠BDO=90°， ∵ 四边形AOBC是矩形，∴∠CAO=∠AOB=90°， ∴∠EAO+∠EOA=∠DOB+∠EOA=90°， ∴∠EAO=∠DOB， ∴ΔEAO∼ΔDOB， OD BD OD 3 ∴ = ，即 = ， AE OE 1 2 3 ∴OD= ． 2 ∵ 四边形AOBC是矩形， ∴AC=OB， ∵∠EAO+∠EOA=∠FAC+∠EAO=90°， ∴∠EOA=∠FAC， 又∵ΔEAO∼ΔDOB， ∴∠EOA=∠DBO， ∴∠DBO=∠FAC， 在ΔDBO和ΔFAC中， ¿， ∴ΔDBO≅ΔFAC， 3 ∴FC=OD= ，AF=BD=3， 2 3 1 ∴CG=OE−CF=2− = ，EF=AE+FA=1+3=4， 2 2 ∵点C在第二象限， ( 1 ) ∴点C的坐标是 − ,4 ． 2 故选A． 【点睛】本题考查矩形的性质、平面直角坐标系内点的坐标，全等三角形的判定与性质，相似三角形的 判定与性质等知识点，通过作辅助线构造全等及相似三角形是解题的关键． 6.如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处． 若点D的坐标为(10,8)，则点E的坐标为（ ）A．(10,3) B．(10,5) C．(6,3) D．(4,3) 【答案】A 【分析】根据折叠的性质得到AF=AD，所以在直角△AOF中，利用勾股定理求得OF=6，然后设EC=x，则 EF=DE=8-x，CF=10-6=4，根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标． 【详解】解：∵四边形AOCD为矩形，D的坐标为(10,8)， ∴AD=OC=10，DC=AO=8， ∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处， ∴AD=AF=10，DE=EF， 在Rt△AOF中,OF=√AF2−AO2 =6， ∴FC=10−6=4， 设EC=x，则DE=EF=8−x， 在Rt△CEF中,EF2=EC2+FC2， 即(8−x)2=x2+42， 解得x=3，即EC的长为3， ∴点E的坐标为(10,3)． 故选择A． 【点睛】本题考查矩形的性质，折叠性质，勾股定理，掌握矩形的性质，折叠性质，勾股定理，利用勾 股定理构造方程是解题关键． 1 7.如图，在平面直角坐标系中，直线y=− x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，点M在坐标轴上，点N 2 在坐标平面内，若以A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，则点N的坐标为 ．【答案】(4,2)或(3,−2)或(−4,−6) 【分析】分类讨论：①点M在x轴上；②点M在原点；③点M在y轴上，利用相似及平移规律即可求解． 1 【详解】解：直线y=− x+2分别与x轴、y轴交于点A、B， 2 当x=0时，y=2，y=0时，x=4， ∴A点坐标(4,0)，B点坐标B(0,2)， 分三种情况： ①点M在原点，矩形BMAN中，如图， BO=AN=2,BN=AO=4， ∴点N坐标为（4，2）； ②如图1，点M在x轴上，如图， 矩形BMNA中，OB⊥AM， ∴∠OBM+∠OMB=∠OBM+∠OBA=90°， ∴∠OMB=∠OBA， ∴△BOM ∽△AOB， BO MO ∴ = ， AO BO BO2 ∴MO= =1， AO ∴M点坐标为（−1，0）， 将点M向右平移4个单位，向下平移2个单位得到点N， ∴N的坐标为（3，−2）； ②如图2，点M在y轴上，如图，矩形BAMN中，OA⊥MB， 由②同理可得：△MOA∽△AOB ， BO AO ∴ = AO MO AO2 ∴MO= =8， BO ∴M点坐标为(0,−8)， 将点M向左平移4个单位，向上平移2个单位得到点N， ∴N的坐标为（−4，−6）， ∴点N坐标为（4，2）或（3，−2）或(−4,−6)， 故答案为：（4，2）或（3，−2）或(−4,−6)． 【点睛】本题考查了一次函数与矩形的综合题型，解题关键是分类讨论和利用相似三角形的性质得到对 应线段之间的关系． 8.如图，矩形ABCD的顶点A(1,0)，D(0,2)，B(5,2)，将矩形以原点为旋转中心，顺时针旋转75°之后点 C的坐标为（ ） A．(4,−2) B．(4√2,−2√2) C．(4√2,−2) D．(2√6,−2√2) 【答案】D 【分析】过点B作BG⊥x轴于G，过点C作CH⊥y轴于H，根据矩形的性质得到点C的坐标，求出 ∠COE=45°，OC=4√2，过点C作CE⊥x轴于E，过点C 作C F⊥x轴于F，由旋转得∠COC =75°，求出 1 1 1 ∠C OF=30°，利用勾股定理求出OF，即可得到答案． 1【详解】解：过点B作BG⊥x轴于G，过点C作CH⊥y轴于H， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，∠CDA=∠DAB=90°， ∴∠HCD=∠ADO=∠BAG， ∵∠CHD=∠BGA=90°， ∴△CHD≌△AGB（AAS）， ∵A(1,0)，D(0,2)，B(5,2)， ∴CH=AG=5-1=4，DH=BG=2， ∴OH=2+2=4， ∴C（4，4）， ∴OE=CE=4， ∴∠COE=45°，OC=4√2， 如图，过点C作CE⊥x轴于E，过点C 作C F⊥x轴于F， 1 1 由旋转得∠COC =75°， 1 ∴∠C OF=30°， 1 1 1 ∴C F= OC = OC=2√2， 1 2 1 2 ∴OF=√OC 2−C F2=2√6， 1 1 ∴点C 的坐标为(2√6,−2√2)， 1 故选：D．【点睛】此题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质，熟记各知识点并 综合应用是解题的关键． 9.如图，矩形OABC的顶点A在x轴上，点B的坐标为（1，2）．固定边OA，向左“推”矩形OABC，使 点B落在y轴的点B'的位置，则点C的对应点C'的坐标为（ ） A．（﹣1，√3） B．（√3，﹣1） C．（﹣1，2） D．（2，﹣1） 【答案】A 【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出OB'的长，得到点C'的坐标． 【详解】解：∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为（1，2）， ∴OA＝1，AB＝2， 由题意得：AB'＝AB＝2，四边形OAB'C'是平行四边形， ∴OB'=√AB'2−OA2=√22−12=√3，B'C'=OA=1， ∴点C的对应点C'的坐标为(−1,√3)． 故选：A． 【点睛】本题考查点坐标的求解和矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质求出线段长从而得到点坐 标． 10.如图，点D是矩形ABCO的对称中心，点A(6,0)，C(0,4)，经过点D的反比例函数的图象交AB于点 P，则点P的坐标为 ．【答案】(6,1) 【分析】先求得D点的坐标，然后根据待定系数法求得反比例函数的解析式，把x=6代入解析式即可求 得点P的坐标． 【详解】解：∵点D是矩形ABCO的对称中心， ∴点D是矩形OABC的对角线AC的中点， 又∵A(6,0)，C(0,4)， ∴点D的坐标为(3,2)． k ∵反比例函数y= 的图象经过点D， x ∴k=3×2=6， 6 ∴y= ， x 6 把x=6代入得，y= =1， 6 ∴点P的坐标为(6,1)． 故答案为：(6,1)． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式， 求得点D的坐标是解题的关键． 题型五：根据矩形的性质证明 1.如图，在矩形ABCD中，AC是对角线． (1)实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求： 尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母），(2)猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)作图见解析 (2)AE=CF，证明见解析 1 【分析】（1）根据垂直平分线的尺规作图的画法，分别以A、C为圆心，以大于 AC的长为半径画弧， 2 交于两点，过两点作直线即可得到线段AC的垂直平分线． （2）利用矩形及垂直平分线的性质，可以证得△AEO≌△CFO，根据全等三角形的性质即可得出结 论． 【详解】（1）解：如图， （2）解：AE=CF．证明如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC． ∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO． ∵EF为AC的垂直平分线， ∴OA=OC． ∴△AEO≌△CFO． ∴AE=CF． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图的画法、矩形的性质、全等三角形的判定和性质． 2.如图，已知四边形ABCD是矩形，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，连接DE，BF． (1)求证：四边形BEDF是平行四边形； (2)若AB=3，BC=4，求BE的长； (3)求证：BE2=AE⋅EC．【答案】(1)证明见解析 12 (2) 5 (3)证明见解析 【分析】（1）证明△ABE≌△CDF(AAS)，则BE=DF，由BE⊥AC，DF⊥AC，可得BE∥DF， 进而结论得证； 1 1 （2）由勾股定理得，AC=√AB2+BC2=5，根据S = AB×BC= AC×BE，计算求解即可； △ABC 2 2 BE AE （3）证明△AEB∽△BEC，则 = ，进而可得BE2=AE⋅EC． EC BE 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，AB∥CD，∠ABC=90°， ∴∠BAE=∠DCF， ∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴∠BEA=∠DFC=90°，BE∥DF， ∵∠BEA=∠DFC=90°，∠BAE=∠DCF，AB=CD， ∴△ABE≌△CDF(AAS)， ∴BE=DF， 又∵BE∥DF， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）解：由勾股定理得，AC=√AB2+BC2=5， 1 1 ∵S = AB×BC= AC×BE， △ABC 2 2 1 1 ∴ ×3×4= ×5×BE， 2 2 12 解得，BE= ， 5 12 ∴BE的长为 ； 5 （3）证明：由题意知，∠ABE+∠CBE=90°=∠ABE+∠BAE， ∴∠BAE=∠CBE， 又∵∠AEB=∠BEC=90°， ∴△AEB∽△BEC， BE AE ∴ = ， EC BE∴BE2=AE⋅EC． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，相似三角形的判定与 性质，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，平行四边形的判定，相似三角形的判定与性质是解题的 关键． 3.如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点A作AE∥BD，交CB的延长线于点E． (1)求证：AE=AC； 3 (2)若cos∠E= ，CE=12，求矩形ABCD的面积． 5 【答案】(1)见解析 (2)矩形ABCD的面积为48 【分析】（1）由矩形的性质，可得AC=BD，AD∥BC，故可证四边形AEBD是平行四边形，从而得出 AC=AE的结论； （2）首先根据等腰三角形的性质得到EB的长，然后利用锐角三角函数求得AE的长，从而利用勾股定理 求得AB的长,最后求得面积即可． 【详解】（1）证明：在矩形ABCD中，AC=BD，AD∥BC， 又∵AE∥BD， ∴四边形AEBD是平行四边形， ∴BD=AE， ∴ AC=AE； （2）解：在矩形ABCD中，∠ABC=90° ∴AB⊥EC， ∵AE=AC， ∴EB=BC， ∵CE=12， ∴EB=6， EB 3 ∵cos∠E= = ， AE 5 ∴AE=10，由勾股定理得：AB=√102−62=8． ∴矩形ABCD的面积为8×6=48． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识．解此题 的关键是能灵活运用矩形的性质，以及能利用锐角三角函数求线段． 4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E是OA上一点，连接BE并延长至点F，使得 ∠ADF=∠ADB． (1)求证：DF∥AC； (2)若OE=1，求DF的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）根据矩形的性质得出OA=OD，再由等边对等角及等量代换得出∠ADF=∠DAO，利 用平行线的判定即可证明； BE BO OE 1 （2）根据相似三角形的判定和性质得出 = = = ，即可求解． BF BD DF 2 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD中是矩形， 1 1 ∴OA= AC，OD= BD，AC=BD， 2 2 ∴OA=OD， ∴∠ADB=∠DAO， ∵∠ADF=∠ADB， ∴∠ADF=∠DAO， ∴DF∥AC； （2）解：∵DF∥AC， ∴△BEO∽△BFD， ∵点O为线段BD的中点，BE BO OE 1 ∴ = = = ， BF BD DF 2 ∵OE=1 ∴DF=2OE=2． 【点睛】题目主要考查矩形的性质及相似三角形的判定和性质，平行线的判定，理解题意，综合运用这 些知识点是解题关键． 5.已知，矩形ABCD中，E、F为对角线AC上两点，连接BE、DF，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F． (1)如图1，求证：AE=CF； (2)如图2，连接DE、BF，当∠ACD=2∠ABE时，请直接写出图中面积为△ABE面积3倍的所有三 角形． 【答案】(1)见解析 (2)△ABF，△CBE，△ADF，△CDE 【分析】（1）由矩形可证得∠BAE=∠DCF，求证△ABE≌△CDF，结论得证； （2）由△ABE≌△CDF得∠ABE=∠CDF，可求得∠CDF=30°，CD=2CF，AC=2CD.连接 1 BD，交AC于点O，由矩形知，OA=OC= AC=OB=OD，得OD=CD，于是OF=CF，可求证 2 AE=OE=OF=CF，得AF=CE=3AE，于是S =S =S =S =3S ． △ABF △CBE △CDE △ADF △ABE 【详解】（1）证明：∵ABCD为矩形 ∴AB=CD，AB∥CD． ∵AB∥CD， ∴∠BAE=∠DCF． ∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F ∴∠AEB=∠CFD=90°． ∴△ABE≌△CDF． ∴AE=CF．（2）解：∵△ABE≌△CDF, ∴∠ABE=∠CDF. ∵∠ACD=2∠ABE,∠DFC=90°, ∴∠DCF+∠CDF=3∠CDF=90°． ∴∠CDF=30°． ∴CD=2CF． Rt△CAD中,∠CAD=30°，AC=2CD. 连接BD，交AC于点O， 1 由矩形知，OA=OC= AC=OB=OD， 2 ∴OD=CD． ∵DF⊥AC， ∴OF=CF． 同理，OE=AE， 于是AE=OE=OF=CF． ∴AF=CE=3AE， ∵BE=DF ∴S =S =S =S =3S ． △ABF △CBE △CDE △ADF △ABE 故△ABE面积3倍的所有三角形：为△ABF，△CBE，△ADF，△CDE. 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形；熟练运用矩形性质寻求线段 之间的关系是解题的关键． 6.如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连接EC，EB，过点B作EC的垂线交CD，CE于点F， AD G．设 =m． DC(1)求证：△BGC∽△BAE； (2)如图1，连接AG，若∠GAB=30°，求m的值； (3)如图2，若AG平分∠DAB，过点D作AG的垂线交EC，EB及CB的延长线分别于点P，H，M．若 DH⋅CB=3√2，求EH的长． 【答案】(1)见解析 (2)4−2√3 (3)√3 【分析】（1）证出∠GBC=∠ABE，由相似三角形的判定可得出结论； ED （2）设BG=k，则EB=2k，EG=√3k，得出EC=EB=2k，证出tan∠ECD= =2−√3，则可得 DC 出答案； DF CP （3）连接CH，证明△DPC∽△EPH，由相似三角形的性质得出 = ，证明 EF HF △DPE∽△CPH，得出∠ECH=∠EDP=45°，证出△CEH为等腰直角三角形．过点C作EC垂 线交EB延长线于点N，则△CEN为等腰直角三角形，∠N=45°，证明△CBN∽△HED，由相似 CB CM 三角形的性质得出 = EH，则可得出答案． EH DH 【详解】（1）证明：由题意得，∠BGC=∠DCB=90°， ∴∠GBC+∠GCB=∠GCB+∠DCE=90°， ∴∠GBC=∠ECD， ∵点E为AD的中点， ∴DE=AE， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB=CD，∠EDC=∠BAE=90°， ∴△ECD≌△EBA， ∴∠ECD=∠EBA， ∴∠GBC=∠ABE，∵∠BGC=∠A=90°， ∴△BGC∽△BAE； （2）解：∵△BGC∽△BAE， BG BA ∴ = ， BC BE ∵∠ABE+∠EBG=∠GBC+∠EBG， ∴∠ABG=∠EBC， ∴△ABG∽△EBC， ∴∠CEB=∠GAB=30°， 在Rt△EBG中，设BG=k，则EB=2k，EG=√3k， ∴EC=EB=2k， ∴GC=(2−√3)k， GC ∴tan∠GBC= =2−√3， BG ED ∴tan∠ECD= =2−√3， DC AD 2ED ∴m= = =4−2√3； DC DC （3）解：∵AG平分∠DAB， ∴∠GAB=∠DAG=45°， 又DH⊥AG， ∴∠ADH=∠CDH=45°， 由（2）知△ABG∽△EBC， ∴∠CEH=∠GAB=45°， ∴∠PEH=∠CDP， 连接CH， 又∵∠CPD=∠EPH， ∴△DPC∽△EPH，DP CP ∴ = ， EP PH ∵∠DPE=∠CPH， ∴△DPE∽△CPH， ∴∠ECH=∠EDP=45°， ∴∠CEH=∠ECH=45°， ∴∠EHC=180°−45°−45°=90°， ∴△CEH为等腰直角三角形， ∴CE=√2EH， 过点C作EC垂线交EB延长线于点N， ∴∠ECN=90°， ∴△CEN为等腰直角三角形， ∴CN=CE=√2EH，∠N=45°， ∴∠N=∠EDH， 又∵DE∥BC， ∴∠DEH=∠CBN， ∴△CBN∽△HED， CB CN ∴ = ， EH DH ∴DH⋅CB=EH⋅CN=EH·√2EH=3√2， 解得：EH=√3． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，矩形的性质，等腰直 角三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 7.如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE=BE，AC与BD相交于点O．BE与AC相交于点F． (1)若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC； (2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由; (3)若OF=3，EF=2，求DE的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)△ECF，△BAF与△OBF相似，理由见解析(3)3+√19 【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义即可得出结论； （2）根据判定两个三角形相似的判定定理，找到相应的角度相等即可得出； （3）根据△OBF∽△ECF得出3OA=2BF+9，根据△OBF∽△BAF得出BF2=3(OA+3)，联 立方程组求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示： ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠2=∠3=∠4， ∵DE=BE， ∴∠1=∠2， ∴∠1=∠3， 又∵BE平分∠DBC， ∴∠1=∠6， ∴∠3=∠6， 又∵∠3与∠5互余， ∴∠6与∠5互余， ∴BF⊥AC； （2）解：△ECF，△BAF与△OBF相似． 理由如下： ∵∠1=∠2，∠2=∠4， ∴∠1=∠4， 又∵∠OFB=∠BFO， ∴△OBF∽△BAF， ∵∠1=∠3，∠OFB=∠EFC， ∴△OBF∽△ECF； （3）解：∵△OBF∽△ECF，EF CF ∴ = ， OF BF 2 CF ∴ = ， 3 BF ∴3CF=2BF， ∵在矩形ABCD中对角线相互平分，图中OA=OC =OF+FC=3+FC， ∴3OA=2BF+9①， ∵△OBF∽△BAF， OF BF ∴ = ， BF AF ∴BF2=OF⋅AF， ∵在矩形ABCD中AF=OA+OF=OA+3， ∴BF2=3(OA+3)②， 由①②，得BF=1±√19（负值舍去）， ∴DE=BE=2+1+√19=3+√19． 【点睛】本题考查矩形综合问题，涉及到矩形的性质、角平分线的性质、角度的互余关系、两个三角形 相似的判定与性质等知识点，熟练掌握两个三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． 8.如图，四边形ABCD为矩形，AC为矩形的一条对角线． (1)用尺规完成以下基本作图：在AB的左侧作∠EAB=∠ACD，射线AE与CB的延长线交于点E．连接 DE与AB交于点F；（保留作图痕迹，不写做法，不下结论） (2)小亮判断点F为线段DE的中点．他的证明思路是：利用矩形的性质，先证明△AEC为等腰三角形， 从而得到点B为EC的中点，再利用三角形全等，得到点F为DE的中点．请根据小亮的思路完成下面的 填空： 证明：∵四边形ABCD为矩形 ∴AD=BC，∠ABC=∠BAD=90°，AB∥DC， ∵AB∥DC， ∴①___________， ∵∠EAB=∠ACD，∴∠EAB=∠BAC， ∵∠ABC=90°， ∴∠ABE=90°， ∴∠BAC+∠ACB=90°，∠EAB+∠AEB=90°， ∴②___________， ∴AE=AC， ∵∠ABC=90°， ∴AB⊥BC， ∴③___________， ∵AD=BC， ∴AD=BE， ∵∠BAD=∠ABE=90°，∠AFD=∠BFE， ∴④___________(AAS)， ∴EF=FD， ∴点F为ED的中点． 【答案】(1)见解析 (2)①∠BAC=∠ACD，②∠AEC=∠ACE，③BE=BC，④△ADF≌△BEF 【分析】（1）过点A作∠EAB=∠ACD，交CB的延长线交于点E．连接DE与AB交于点F； （2）利用矩形的性质，先证明△AEC为等腰三角形，从而得到点B为EC的中点，再利用 △ADF≌△BEF(AAS)，得到点F为DE的中点． 【详解】（1）解：如图所示，点E和点F即为所求， （2）证明：∵四边形ABCD为矩形 ∴AD=BC，∠ABC=∠BAD=90°，AB∥DC， ∵AB∥DC， ∴∠BAC=∠ACD， ∵∠EAB=∠ACD， ∴∠EAB=∠BAC，∵∠ABC=90°， ∴∠ABE=90°， ∴∠BAC+∠ACB=90°，∠EAB+∠AEB=90°， ∴∠AEC=∠ACE， ∴AE=AC， ∵∠ABC=90°， ∴AB⊥BC， ∴③BE=BC， ∵AD=BC， ∴AD=BE， ∵∠BAD=∠ABE=90°，∠AFD=∠BFE， ∴④△ADF≌△BEF(AAS)， ∴EF=FD， ∴点F为ED的中点． 故答案为：∠BAC=∠ACD，∠AEC=∠ACE，BE=BC，△ADF≌△BEF． 【点睛】本题主要考查了尺规作图，矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题 的关键是按照题目要求作图，熟练掌握相关知识点并灵活运用． 题型六：矩形的判定定理的理解 1.在四边形ABCD中，AD∥BC,AB=CD．下列说法能使四边形ABCD为矩形的是（ ） A．AB∥CD B．AD=BC C．∠A=∠B D．∠A=∠D 【答案】C 【分析】结合平行四边形的判定和性质及矩形的判定逐一分析即可． 【详解】A：∵ AB∥CD，AD∥BC,AB=CD ∴ ABCD为平行四边形而非矩形 故A不符合题意 B：∵ AD=BC，AD∥BC,AB=CD ∴ ABCD为平行四边形而非矩形 故B不符合题意 C：∵ AD∥BC ∴∠A+∠B=180° ∵ ∠A=∠B ∴ ∠A=∠B=90° ∵AB=CD∴AB∥CD ∴四边形ABCD为矩形 故C符合题意 D：∵ AD∥BC ∴∠A+∠B=180° ∵ ∠A=∠D ∴∠D+∠B=180° ∴ ABCD不是平行四边形也不是矩形 故D不符合题意 故选：C ． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，平行四边形的判定和性质及矩形的判定等知识，熟练掌握以上知 识并灵活运用是解题的关键． 2.如图为小亮在家找到的一块木板，他想检验这块木板的表面是不是矩形，但仅有一根足够长的细绳，现 提供了如下两种检验方法： 下列说法正确的是（ ） A．方法一可行，方法二不可行 B．方法一不可行，方法二可行 C．方法一、二都可行 D．方法一、二都不可行 【答案】A 【分析】根据矩形的判定进行判断即可． 【详解】解：方法一中：第一步得出四边形为平行四边形， 结合第二步得出：四边形为矩形； 方法二中不能直接得出是矩形，可能是等腰梯形， 故方法一可行，方法二不可行， 故选：A． 【点睛】题目主要考查矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题关键． 3.要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（ ） A．测量两条对角线是否相等 B．度量两个角是否是90° C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等D．测量两组对边是否分别相等 【答案】C 【分析】由对角线的相等不能判定平行四边形，可判断A，两个角为90°不能判定矩形，可判断B，对角 线的交点到四个顶点的距离相等，可判断矩形，从而可判断C，由两组对边分别相等判断的是平行四边形， 可判断D，从而可得答案． 【详解】解：A、测量两条对角线是否相等，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项A不符 合题意； B、度量两个角是否是90°，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项B不符合题意； C、测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等，可以判定为矩形，故选项C符合题意； D、测量两组对边是否相等，可以判定为平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是矩形的判定，掌握“矩形的判定方法”是解本题的关键． 4.下列图形一定为矩形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的判定定理逐一判定即可． 【详解】解：A、只有两个角是直角，无法证明该四边形是矩形，不符合题意； B、只有两个角是直角，进而证明有一组对边平行，无法证明该四边形是矩形，不符合题意； C．有两个角是直角，可以证明边长为3的两边平行，则该四边形是平行四边形，再由有两个角是直角， 可证明该四边形是矩形，符合题意； D、只有两个角是直角，无法证明该四边形是矩形，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，熟知矩形的判定定理是解题的关键． 5.要判断一个四边形的窗框是否为矩形，可行的测量方案是（ ） A．测量两组对边是否相等 B．测量对角线是否相等 C．测量对角线是否互相平分D．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等 【答案】D 【分析】根据矩形的判定定理判定即可． 【详解】A.测量两组对边是否相等，能判定平行四边形，故A错误； B.对角线相等的四边形不一定是矩形，不能判定四边形的形状，故B错误； C.测量对角线是否互相平分，能判定平行四边形，故C错误； D.根据对角线相等且互相平分四边形是矩形，可知量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等，可 判断是否是矩形．故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定定理，矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩 形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形． 6.如图，在四边形ABCD中，给出部分数据，若添加一个数据后，四边形ABCD是矩形，则添加的数据 是（ ） A．CD=4 B．CD=2 C．OD=2 D．OD=4 【答案】D 【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形即可得到答案． 【详解】解：当OD=4时，由题意可知， AO=CO=4，BO=DO=4， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC=BD=8, ∴四边形ABCD是矩形， 故选：D 【点睛】此题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键． 7.如图所示，△ABC中，D是BC中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接 BF．请从以下三个条件：①AB=AC；②FB=AD；③E是AD的中点，选择一个合适作为已知条件， 使四边形AFBD为矩形．(1)你添加的条件是 ；（填序号） (2)添加条件后，请证明四边形AFBD为矩形． 【答案】(1)① (2)见解析 【分析】（1）根据已知可得四边形AFBD是平行四边形，添加条件能证明四边形是矩形即可求解； （2）先证明四边形AFBD是平行四边形，①根据三线合一得出AD⊥BD，能证明四边形是矩形；②只 能证明四边形为平行四边形；③证明△AFE≌△DCE，可得AF=DC，进而根据已知得出BD=AF， 不能证明四边形是矩形． 【详解】（1）解：添加的条件是① 故答案为：①． （2）证明：∵AF∥BC，AF=BD， ∴四边形AFBD是平行四边形， ①AB=AC； ∵△ABC中，D是BC中点， ∴AD⊥BD ∴四边形AFBD是矩形； ②添加FB=AD；四边形AFBD是平行四边形，不能证明四边形AFBD是矩形； ③E是AD的中点 ∴AE=DE， ∵AF∥BC， ∴∠FAE=∠DCE， 又∠AEF=∠DEC， ∴△AFE≌△DCE(AAS)， ∴DC=AF， 又BD=CD， ∴BD=AF，∴③不能证明四边形AFBD是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 题型七：添加一个条件使四边形是矩形 1.在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是（ ） A．AB=AC B．AC⊥BD C．AB=AD D．AC=BD 【答案】D 【分析】根据矩形的判定定理逐项判断即可． 【详解】当AB=AC时，不能说明▱ABCD是矩形，所以A不符合题意； 当AC⊥BD时，▱ABCD是菱形，所以B不符合题意； 当AB=AD时，▱ABCD是菱形，所以C不符合题意； 当AC=BD时，▱ABCD是矩形，所以D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，掌握判定定理是解题的关键．有一个角是直角的平行四边形是矩 形；对角线相等的平行四边形是矩形． 2.如图，在▱ABCD中，M、N是BD上的两点，BM=DN，连接AM、MC、CN、NA．请你添加一 个条件 ，使得四边形AMCN是矩形． 1 【答案】OM= AC（答案不唯一） 2 【分析】由平行四边形的性质可知，OA=OC，OB=OD，再证OM=ON，则四边形AMCN是平行四 边形，然后证MN=AC，即可得出结论． 1 【详解】解：添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是OM= AC，理由如下： 2 ∵四边形ABCD是平行四边形， 1 ∴OA=OC= AC，OB=OD， 2 ∵BM=DN， ∴OB−BM=OD−DN， 即OM=ON，∴四边形AMCN是平行四边形， 1 ∴ OM= AC， 2 ∴MN=AC， ∴平行四边形AMCN是矩形． 1 故答案为：OM= AC（答案不唯一）． 2 【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定 与性质是解题的关键． 3.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个条件使▱ABCD成为矩形，这个条件 可以是 ． 【答案】AC=BD（答案不唯一） 【分析】依据矩形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴当AC=BD时，四边形ABCD为矩形． 故答案为AC=BD(答案不唯一)． 【点睛】本题主要考查矩形的判定，熟悉掌握矩形判定条件是关键． 4.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE=CF，连接BE，ED， DF，FB．若添加一个条件使四边形BEDF是矩形，则该条件可以是 ．（填写一个即可） 【答案】BD=EF（答案不唯一） 【分析】根据平行四边形的判定和性质定理以及矩形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：BD=EF， 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO，BO=DO， ∵AE=CF， ∴AO−AE=CO−CE．即EO=FO． ∴四边形BEDF为平行四边形， ∵BD=EF， ∴四边形BEDF是矩形． 故答案为：BD=EF（答案不唯一）． 【点睛】此题主要考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和 性质定理是解题的关键． 5.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DG=EF．只需添加一个条件即 可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是 ．（写出一个即可） 【答案】DE=FG或DF∥EG 【分析】由DE是中位线得出DE∥BC，又DG=EF表示的是对角线相等，根据：对角线相等的平行四边 形是矩形；增加条件使四边形DFGE是平行四边形即可． 【详解】解：∵D,E分别是AB,AC的中点， ∴DE∥BC， 当DE=FG时，四边形DFGE是平行四边形， ∵DG=EF， ∴四边形DFGE是矩形； 当DF∥EG时，四边形DFGE是平行四边形， ∵DG=EF， ∴四边形DFGE是矩形； 故答案为：DE=FG或DF∥EG． 【点睛】本题考查矩形的判定、平行四边形的判定，根据：对角线相等的平行四边形是矩形；准确分析 出平行四边形的判定是解题关键． 6.如图，在平行四边形ABCD中，过对角线AC中点O作直线分别交BC，AD于点E，F，只需添加一个条件 即可证明四边形AECF是矩形，这个条件可以是 （写出一个即可）．【答案】AC=FE或AE⊥BC等（答案不唯一，只要满足题意即可）． 【分析】由ABCD为平行四边形，根据平行四边形的性质得到对边AD与BC平行，然后利用两直线平行得 到两对内错角相等，再根据O为AC的中点及AAS可得三角形AOF与三角形COE全等，从而可得OF=OE， 并得到AFCE为平行四边形，若再添加AC=FE，根据对角线相等的平行四边形为矩形可得AFCE为矩形；若 添加AE垂直于BC，由垂直定义可得∠AEC=90°，根据有一个角为直角的平行四边形为矩形可得AFCE为矩 形，所添的条件不唯一，只要满足题意即可． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形（已知）， ∴AD//BC（平行四边形的对边平行）， ∴∠CAF=∠ACE，∠EFA=∠CEF（两直线平行，内错角相等）， 由已知可得OA=OC， ∴在△AOF和△COE中， ∠CAF=∠ACE，∠EFA=∠CEF ，OA=OC， ∴△AOF≌△COE(AAS)； ∴OF=OE（全等三角形的对应边相等），又OA=OC， ∴四边形AFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形）； （1）若添加AC=FE，由对角线相等的平行四边形为矩形可得四边形AFCE为矩形； （2）若添加AE⊥BC，可得∠AEC=90°，由有一个角为直角的平行四边形为矩形可得四边形AFCE为矩形， 故答案为：AC=FE或AE⊥BC等（答案不唯一，只要满足题意即可）． 【点睛】本题考查平行四边形的综合应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性 质，以及矩形的判定是解题关键． 题型八：证明四边形是矩形 1.如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形． （1）求证：四边形ACED是平行四边形； （2）如果AB=AE，求证：四边形ACED是矩形．【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质以及点C是BE的中点，得到AD∥CE，AD=CE，从而证明四边形ACED 是平行四边形； （2）由平行四边形的性质证得DC=AE，从而证明平行四边形ACED是矩形． 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，且AD=BC． ∵点C是BE的中点， ∴BC=CE， ∴AD=CE， ∵AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC， ∵AB=AE， ∴DC=AE， ∵四边形ACED是平行四边形， ∴四边形ACED是矩形． 【点睛】本题考查了平行四边形和矩形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 2.如图，在平行四边形 ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接 DF，∠ACF＝90°． （1）求证：四边形ACFD是矩形； （2）若CD＝13，CF＝5，求四边形ABCE的面积．【答案】（1）证明过程见解答； （2）45． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADE＝∠FCE，∠DAE＝∠CFE， ∵E为线段CD的中点， ∴DE＝CE， ∴△ADE≌△FCE（AAS）， ∴AE＝FE， ∴四边形ACFD是平行四边形， ∵∠ACF＝90°， ∴四边形ACFD是矩形； （2）解：∵四边形ACFD是矩形， ∴∠CFD＝90°，AC＝DF， ∵CD＝13，CF＝5， ∴DF＝ ＝ ＝12， ∵△ADE≌△FCE， ∵△CEF的面积＝ △ACF的面积＝ 5×12＝15， 平行四边形ABCD的面积＝BC•AC＝5×12＝60， ∴四边形ABCE的面积＝平行四边形ABCD的面积﹣△CEF的面积＝60﹣15＝45．3.如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO=OC，BO=OD，且∠AOB=2∠OAD． (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若∠AOB:∠ODC=6:7，求∠ADO的度数． 【答案】(1)见解析 (2)27° 【分析】（1）先判断四边形ABCD是平行四边形，继而根据已知条件推导出AC=BD，然后根据对角线 相等的平行四边形是矩形即可得证； （2）由矩形的性质得到AB∥CD，再由平行线的性质得到∠ABO=∠CDO，然后由三角形的内角和 求出∠ABO=63°，再根据直角三角形的两锐角互余，即可求解． 【详解】（1）证明：∵AO=OC，BO=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠AOB=∠DAO+∠ADO=2∠OAD， ∴∠DAO=∠ADO， ∴AO=DO， ∴AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，∠BAD=90°， ∴∠ABO=∠CDO， ∵∠AOB:∠ODC=6:7， ∴∠AOB:∠ABO=6:7， ∴∠BAO:∠AOB:∠ABO=7:6:7， 7 ∴∠ABO=180°× =63°， 7+6+7 ∵∠BAD=90°， ∴∠ADO=90°−63°=27°． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定与性质，证明AC=BD是解题的关键． 4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交 OE的延长线于点F，连接AF． (1)求证：△AOE≌△DFE； (2)判定四边形AODF的形状并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形AODF为矩形，理由见解析 【分析】（1）利用全等三角形的判定定理即可； （2）先证明四边形AODF为平行四边形，再结合∠AOD=90°，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵E是AD的中点， ∴AE=DE， ∵DF∥AC， ∴∠OAD=∠ADF， ∵∠AEO=∠DEF， ∴△AOE≌△DFE（ASA）； （2）解：四边形AODF为矩形． 理由：∵△AOE≌△DFE， ∴AO=DF， ∵DF∥AC， ∴四边形AODF为平行四边形， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD， 即∠AOD=90°， ∴平行四边形AODF为矩形． 【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与 性质以及矩形的判定是解题的关键． 5.如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．(1)求证：BE=DF； AC (2)设 =k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由． BD 【答案】(1)证明见解析 (2)当k=2时，四边形DEBF是矩形，理由见解析 【分析】（1）连接DE,BF，先根据平行四边形的性质可得OA=OC,OB=OD，再根据线段中点的定 1 1 义可得OE= OA= OC=OF，然后根据平行四边形的判定可得四边形DEBF是平行四边形，最后根据 2 2 平行四边形的性质即可得证； （2）先根据矩形的判定可得当BD=EF时，四边形DEBF是矩形，再根据线段中点的定义、平行四边形 的性质可得AC=2EF，由此即可得出k的值． 【详解】（1）证明：如图，连接DE,BF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC,OB=OD， ∵E,F分别是OA，OC的中点， 1 1 ∴OE= OA= OC=OF， 2 2 ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴BE=DF． （2）解：由（1）已证：四边形DEBF是平行四边形， 要使平行四边形DEBF是矩形，则BD=EF， 1 1 ∵OE= OA= OC=OF， 2 21 1 1 ∴EF=OE+OF= OA+ OC=OA= AC，即AC=2EF， 2 2 2 AC 2EF ∴k= = =2， BD EF 故当k=2时，四边形DEBF是矩形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性 质是解题关键． 6.如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC交BC于D点，E点是AB的中点，分别过D，E两点作线段 AC的垂线，垂足分别为G，F两点． (1)求证：四边形DEFG为矩形； (2)若AB=10，EF=4，求CG的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）欲证明四边形DEFG为矩形，只需推知该四边形为平行四边形，且有一内角为直角即可； （2）首先根据直角三角形斜边上中线的性质求得AE＝DE＝5；然后在直角 AEF中利用勾股定理得到AF 的长度；最后结合AB＝AC＝AF+FG+CG＝10求解即可． △ 【详解】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴点D是BC的中点． ∵E点是AB的中点， ∴DE是 ABC的中位线． ∴DE∥△AC. ∵DG⊥AC，EF⊥AC， ∴EF∥DG ∴四边形DEFG是平行四边形． 又∵∠EFG＝90°， ∴四边形DEFG为矩形； （2）解：∵AD⊥BC交BC于D点，∴ ∠ADB=∠ADC=90° ∴△ADB是直角三角形 ∵E点是AB的中点，AB＝10， 1 ∴DE＝AE＝ BC＝5． 2 由（1）知，四边形DEFG为矩形， ∴GF＝DE＝5 在直角 AEF中，EF＝4，AE＝5， 由勾股△定理得： AF＝√AE2−EF2=√52−42=3 ． ∵AB＝AC＝10，FG＝ED＝5， ∴GC＝AC﹣FG﹣AF＝10﹣5﹣3＝2． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线，勾股定 理，根据题意找到长度相等的线段是解题的关键． 7.如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG=CE， 连接DG、DE、FG． (1)求证： ABE≌ FCE； (2)若AD=2△AB，求△证：四边形DEFG是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质推出∠EAB=∠CFE，利用AAS即可判定 ABE≌ FCE； （2）先证明四边形DEFG是平行四边形， △ △ 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，再证明DF=EG，即可证明四边形DEFG是矩形． ∴AB∥CD， ∴∠EAB=∠CFE， 又∵E为BC的中点，∴EC=EB， ∴在 ABE和 FCE中， ¿， △ △ ∴ ABE≌ FCE(AAS)； （△2）证明△：∵ ABE≌ FCE， ∴AB=CF， △ △ ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC， ∴DC=CF， 又∵CE=CG， ∴四边形DEFG是平行四边形， ∵E为BC的中点，CE=CG， ∴BC=EG， 又∵AD=BC=EG=2AB，DF=CD+CF=2CD=2AB， ∴DF=EG， ∴平行四边形DEFG是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行 四边形的判定与性质，证明 ABE≌ FCE是解题的关键． 8.如图，在▱ABCD中，E△为CD边△的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G， 使DG=DE，分别连接AE，AG，FG． （1）求证：△BCE≅△FDE； （2）当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）矩形，见解析 【分析】（1）利用平行四边形的性质证明∠DFE=∠CBE，利用中点的性质证明DE=CE，结合对顶 角相等，从而可得结论；（2）先证明AD=DF, 结合GD=DE, 证明四边形AEFG是平行四边形，再利用等腰三角形的性质证明 AE⊥BF, 从而可得结论. 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD//BC，∴∠DFE=∠CBE 又∵E为CD边的中点， ∴DE=CE ∵∠FED=∠BEC，∠DFE=∠CBE，DE=CE， ∴△BCE≅△FDE （2）答：四边形AEFG是矩形，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC， ∵△FDE≅△BCE， ∴BC=FD，FE=EB， ∴FD=AD， ∵GD=DE， ∴四边形AEFG是平行四边形. ∵BF平分∠ABC， ∴∠CBF=∠ABF. 又∵∠AFB=∠FBC， ∴∠ABF=∠AFB， ∴AB=AF 又∵FE=EB， ∴AE⊥FE， ∴∠AEF=90°， ∴▱AEFG是矩形 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，平行四边形的性质与判定，矩形的判定，等腰三角形 的判定与性质，掌握“有一个角是直角的平行四边形是矩形”是证题的关键. 题型九：根据矩形的性质与判定求角度 1.如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OD,∠OAD=55°，则∠OAB的度数 为（ ）A．35° B．40° C．45° D．50° 【答案】A 【分析】根据矩形的判定得到四边形ABCD是矩形，由矩形的性质求出∠DAB，代入 ∠OAB=∠DAB−∠OAD求出即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC,OB=OD， ∵OA=OD， ∴AC=BD， ∴四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=90°， ∵∠OAD=55°， ∴∠OAB=∠DAB−∠OAD=35° 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，能根据矩形的性质求出∠DAB的度数是解此题的关键． 2.将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°)，得到矩形AEFG．当GC=GB时，下列针对α值的 说法正确的是（ ） A．60°或300° B．60°或330° C．30° D．60° 【答案】A 【分析】当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG=60°，即可得到旋转角 α的度数．【详解】如图，当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上， 分两种情况讨论： ①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M， ∵GC=GB， ∴GH⊥BC， ∴四边形ABHM是矩形， 1 ∴AM=BH= AD， 2 ∴GM垂直平分AD， ∴GD=GA=DA， ∴△ADG是等边三角形， ∴∠DAG=60°， ∴旋转角α=60°； ②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形， ∴∠DAG=60°， ∴旋转角α=360°-60°=300°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：对应点与旋转中 心所连线段的夹角等于旋转角． 3.如图，以AB为边，在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和矩形ABFG，则∠EAG＝ ．【答案】18° 【分析】根据四边形ABFG是矩形，得到∠GAB=90°，根据五边形ABCDE是正五边形，得到∠EAB=108°， 利用∠EAG＝∠EAB-∠GAB计算即可． 【详解】∵四边形ABFG是矩形， ∴∠GAB=90°， ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠EAB=108°， ∴∠EAG＝∠EAB-∠GAB =108°-90° =18°, 故答案为:18°． 【点睛】本题考查了矩形的性质,正五边形的内角和定理，熟练掌握正五边形和矩形的内角和是解题的关 键． 4.如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED． （1）求证：BE=BC． （2）若BE=DC+DE，求∠BEC的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）∠BEC=67.5°. 【分析】（1）根据角平分线的性质和平行线的性质证得∠DEC＝∠ECB＝∠BEC，继而即可求证结论；（2）根据矩形的性质和等量代换可得：AE=CD=AB，由等腰直角三角形的判定和性质可得：∠ABE＝45°， 进而由涉及到内角和与等腰三角形两底角相等即可求解． 【详解】（1）证明：∴四边形ABCD是矩形， ∴AD//BC， ∴∠DEC=∠BCE． ∵EC平分∠DEB ∴∠DEC=∠BEC， ∴∠BEC=∠ECB， ∴BE=BC． （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD,AD=BC． ∵BC=BE,BE=DC+DE， ∴AD=DE+DC， ∴AE=DC， ∴AB=AE， ∴∠ABE=45°， ∴∠EBC=45°， ∴∠BEC=(180°−45° )÷2=67.5°． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形内角和 定理，解题的关键是综合运用所学知识． 5.如图，∠MON＝90°，动点A、B分别位于射线OM、ON上，矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，则线段OC 长的最大值是（ ） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】B 【分析】取AB中点E，连接OE、CE，求出OE和CE值，利用三角形三边关系分析出当O、E、C三点共线 时，OC最大为OE＋CE．【详解】解：取AB中点E，连接OE、CE，如图所示： 1 则BE＝ AB＝3， 2 ∵∠MON＝90°， 1 ∴OE＝ AB＝3． 2 在Rt△BCE中，利用勾股定理可得CE＝√32+42＝5． 在△OCE中，根据三角形三边关系可知CE+OE＞OC， ∴当O、E、C三点共线时，OC最大为OE+CE＝3+5＝8． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理以及三角形三边关系，解 决动态问题的最值问题一般转化为两点间线段最短或三角形三边关系问题． 6.如图，四边形ABCD为矩形，依据尺规作图的痕迹，∠α与∠β的度数之间的关系为( ) 1 1 A．β= 180-α B．β=180°- α C．β=90°-α D．β=90°- α 2 2 【答案】D 1 【分析】如图，根据题意得∠DAC=∠α，∠EAO= ∠α，∠AEO=∠β,∠EOA=90°，再根据三角形内角和定理 2 1 可得β=90°- α . 2 【详解】如图，∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC=∠α 由作图痕迹可得AE平分∠DAC，EO⊥AC 1 ∴∠EAO= ∠α， ∠EOA=90° 2 又∠AEO=∠β， ∠EAO+∠AOE+∠AEO=180°， 1 ∴ ∠α+∠β+90°=180°， 2 1 ∴β=90°- α 2 故选D. 【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握和运用相关的知识是 解题的关键. 7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，∠B=30°，点D、E分别在边BC、AB上，BD=2， DE∥AC，将△BDE绕点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别是D'、E'，当A、D'、E'三点共线时， ∠EBE'的度数为 ． 【答案】30°或90° 【分析】分两种情况讨论，由矩形的性质和全等三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，当点D'在线段AE'上时，∵∠ACD=90°，∠ABC=30°，AC=2， ∴AB=4，BC=√AB2−AC2=√42−22=2√3， ∵将△BDE绕点B旋转至△BD'E'， ∴D'B=DB=2，∠BD'E'=90°， ∴AD'=√AB2−D'B2=√42−22=2√3， ∴AD'=BC， 又∵AC=BD'=2， ∴四边形ACBD'是平行四边形， ∵∠ACB=90°， ∴四边形ACBD'是矩形， ∴∠D'BD=90°， ∵∠ABC=30°， ∴∠EBD'=∠D'BD−∠ABC=90°−30°=60°， ∵∠E'BD'=∠EBD=30°， ∴∠EBE'=∠E'BD'+∠D'BE=30°+60°=90°； 如图：当点D'在线段AE'的延长线上时， ∵∠ACD=90°，∠ABC=30°， ∴∠BAC=90°−30°=60°， ∵将△BDE绕点B旋转至△BD'E'， ∴D'B=DB=2，∠BD'E'=90°，∠E'BD'=∠EBD=30° ∵AC=2，∴AC=BD'， 在Rt△ABC与Rt△BAD'中， ¿ ∴Rt△ABC≌Rt△BAD' (HL)， ∴∠BAC=∠ABD'=60°， ∴∠EBE'=∠ABD'−∠E'BD'=60°−30°=30°，点E'在BC上， 综上，∠EBE'的度数为30°或90°， 故答案为：30°或90°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质， 勾股定理等知识，利用分类讨论解决问题是本题的关键． 8.概念提出 若四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫做这个四边形的“巧分线”，这 个四边形叫“巧妙四边形”，若一个四边形有两条巧分线，则称为“绝妙四边形”． (1)下列四边形一定是巧妙四边形的是 ；（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． (2)初步应用 在绝妙四边形ABCD中，AC垂直平分BD，若∠BAD＝80°，求∠BCD的度数． (3)深入研究 在巧妙四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠A＝90°，AC是四边形ABCD的巧分线，请直接写出∠BCD的 度数． 【答案】(1)③④ (2)80°或140° (3)45°或90°或135° 【分析】（1）由平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质可求解； （2）由线段垂直平分线的性质可得AB=AD，BC=CD，AC⊥BD，由等腰三角形的性质可得 ∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，即可求∠BCD的度数； （3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和“绝妙四边形的定义可求解． 【详解】（1）解：∵菱形的四条边相等， ∴连接对角线能得到两个等腰三角形， ∴菱形是巧妙四边形； 正方形是特殊的菱形，所以正方形也是巧妙四边形； 故答案是：③④；（2）解：∵AC垂直平分BD， ∴AB=AD，BC=CD，AC⊥BD， ∴∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA， ∵∠BAD=80°， ∴∠BAC=∠DAC=40， ∵AC=AD， ∴∠ACD=70°=∠BCA， ∴∠BCD=140°， 如图，∵四边形ABCD是绝妙四边形， ， ∴AD=CD，AB=BC， ∵AC垂直平分BD， ∵AB=AD，BC=CD， ∴AB=AD=BC=CD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴∠BCD=∠BAD=80°， 综上所述，∠BCD=140°或80°； （3）解：∵AC是四边形ABCD的巧分线， ∴△ACD和△ABC是等腰三角形， ①当AC=BC时，如图，过C作CH⊥AB于H，过C作CG⊥AD，交AD的延长线于G， ∵∠HAD=∠AHC=∠G=90°， ∴四边形AHCG是矩形，1 1 AH=CG= AB= CD， 2 2 ∴∠CDG=30°， ∴∠ADC=150°， ∴∠DAC=∠DCA=15°， ∵∠DAB=90°， ∴∠CAB=∠B=75°，且∠ACB=30°， ∴∠BCD=30°+15°=45°； ②当AC=AB时，如图 ∵AC=AB=AD=CD， ∴△ACD是等边三角形， ∠CAD=∠ACD=60°， ∴∠BAD=90°， ∴∠BAC=30°， ∵•AB=AC， ∴∠ACB=75°， ∴∠BCD=75°+60°=135°； ③当AB=BC时，如图 ∵AB=AD=CD=BC， ∴四边形ABCD是菱形，且∠BAD=90°， ∴四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD=90°， 综上所述：∠BCD的度数是45°或135°或90°．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质， 等边三角形的性质，理解新定义并运用是本题的关键． 9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，∠B=30°，点D、E分别在边BC、AB上，BD=2， DE∥AC，将△BDE绕点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别是D'、E'，当A、D'、E'三点共线时， ∠EBE'的度数为 ． 【答案】30°或90° 【分析】分两种情况讨论，由矩形的性质和全等三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，当点D'在线段AE'上时， ∵∠ACD=90°，∠ABC=30°，AC=2， ∴AB=4，BC=√AB2−AC2=√42−22=2√3， ∵将△BDE绕点B旋转至△BD'E'， ∴D'B=DB=2，∠BD'E'=90°， ∴AD'=√AB2−D'B2=√42−22=2√3， ∴AD'=BC， 又∵AC=BD'=2， ∴四边形ACBD'是平行四边形， ∵∠ACB=90°， ∴四边形ACBD'是矩形， ∴∠D'BD=90°， ∵∠ABC=30°， ∴∠EBD'=∠D'BD−∠ABC=90°−30°=60°， ∵∠E'BD'=∠EBD=30°， ∴∠EBE'=∠E'BD'+∠D'BE=30°+60°=90°；如图：当点D'在线段AE'的延长线上时， ∵∠ACD=90°，∠ABC=30°， ∴∠BAC=90°−30°=60°， ∵将△BDE绕点B旋转至△BD'E'， ∴D'B=DB=2，∠BD'E'=90°，∠E'BD'=∠EBD=30° ∵AC=2， ∴AC=BD'， 在Rt△ABC与Rt△BAD'中， ¿ ∴Rt△ABC≌Rt△BAD' (HL)， ∴∠BAC=∠ABD'=60°， ∴∠EBE'=∠ABD'−∠E'BD'=60°−30°=30°，点E'在BC上， 综上，∠EBE'的度数为30°或90°， 故答案为：30°或90°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质， 勾股定理等知识，利用分类讨论解决问题是本题的关键． 10.如图，AC是⊙O的直径，点B，D在⊙O上，AD=BC． (1)在C´D上求作一点E，使得∠AED=∠CDE；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接DE，CE，AE，若∠ECA=2∠CAB，求∠CAB的大小． 【答案】(1)见解析 (2)∠CAB=30°【分析】（1）由∠AED=∠ACD，∠AED=∠CDE，可知只需利用尺规作图作∠CDE=∠ACD 即可； （2）由题意可证△CDA≌△ABC(HL)，进而证得四边形ABCD是矩形，利用矩形的性质，圆周角定 理及平行线的性质可证∠ACD=∠DCE=∠CAB，∠AED=∠ACD=∠CDE，∠AED=∠CAE， ∠DCE=∠DAE，即可证得∠DAE=∠CAE=∠CAB，再根据∠DAB=90°即可求解． 【详解】（1）解： 以点C为圆心，适当长为半径画弧交CA，CD于X，Y，以同样长为半径画弧交DC 于M，再以M为圆心，XY为半径画弧交M´Z于N，连接DN所在直线，交⊙O于E，可知 ∠CDE=∠ACD， 又∵A´D=A´D， ∴∠AED=∠ACD， ∴∠AED=∠CDE， 如图所示，即为所求； （2）如图，连接DE，CE，AE， ∵AC是直径， ∴∠ADC=∠ABC=90°， 又∵AD=BC， ∴△CDA≌△ABC(HL)， ∴CD=AB， ∴四边形ABCD是矩形，则AB∥CD，∠DAB=90° ∴∠CAB=∠ACD， ∵∠ECA=2∠CAB=∠ACD+∠DCE ∴∠ACD=∠DCE=∠CAB， 由（1）知∠AED=∠ACD=∠CDE， ∴AC∥DE，则∠AED=∠CAE， 又∵D´E=D´E， ∴∠DCE=∠DAE，∴∠DAE=∠CAE=∠CAB， ∵∠DAB=90°， ∴∠DAE+∠CAE+∠CAB=90°， 则∠CAB=30°． 【点睛】本题属于几何综合，考查了尺规作图，全等三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，平行线 的判定及性质，圆周角定理，熟练掌握相关性质及定理是解决问题的关键． 题型十：根据矩形的性质与判定求线段长 1 1.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE= AC，连接CE、OE，连接 2 AE，交OD于点F．若AB=2，∠ABC=60°，则AE的长为（ ） A．√3 B．√5 C．√7 D．2√2 【答案】C 【分析】先证明出四边形OCED是矩形，再证明出△ABC为等边三角形，从而得到AC=AB=2， 1 OA= AC=1，由勾股定理计算出CE=OD=√3，最后再利用勾股定理计算即可． 2 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AB=2， 1 ∴OC= AC，AC⊥BD，AD=AB=BC=2， 2 1 ∵DE= AC， 2 ∴DE=OC， ∵DE∥AC， ∴四边形OCED是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形OCED是矩形， ∵∠ABC=60°， ∴△ABC为等边三角形， 1 ∴AC=AB=2，OA= AC=1， 2∴CE=OD=√AD2−AO2=√22−12=√3， ∴AE=√CE2+AC2=√(√3) 2+22=√7， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质，熟练掌握 以上知识点并灵活应用是解此题的关键． 2.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°,P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从 点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是（ ） A．一直增大 B．一直减小 C．先减小后增大 D．先增大后减少 【答案】C 【分析】连接AP，先判断出四边形AFPE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=AP，再根据垂线段 最短可得AP⊥BC时，线段EF的值最小，即可判断出动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动， 线段EF的值大小变化情况． 【详解】如图，连接AP． ∵∠A=90°，PE⊥AB，PF⊥AC ∴四边形AFPE是矩形， ∴EF=AP， 由垂线段最短可得AP⊥BC时，AP最短，则线段EF的值最小， ∴动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是先减小后增大． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出AP⊥BC时，线段EF 的值最小是解题的关键． 3.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动；若EF=1，则¿+CF的最小值为 ． 【答案】3√2 【分析】如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取 EF=1，此时GE+CF的值最小，可得四边形EFCH是平行四边形，从而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定 理求出HG'的长，即可求解． 【详解】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取 EF=1，此时GE+CF的值最小， ∴G'E=GE，AG=AG'， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AD=BC=2 ∴CH∥EF， ∵CH=EF=1， ∴四边形EFCH是平行四边形， ∴EH=CF， ∴G'H=EG'+EH=EG+CF， ∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点， ∴AG=AG'=1 ∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3， ∴HG'=√DH2+DG'2=√32+32=3√2， 即¿+CF的最小值为3√2． 故答案为：3√2 【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定GE+CF最小时E，F位置是解题关键． 4.九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘 （如图）、测量、计算发现点E是AD的黄金分割点，即DE≈0.618AD．延长HF与AD相交于点G，则 EG≈ DE.（精确到0.001） 【答案】0.618 【分析】设每个矩形的长为x，宽为y，则DE＝AD－AE＝x－y，四边形EFGM是矩形，则EG＝MF＝y，由 EG DE≈0.618AD得x－y≈0.618x，求得y≈0.382x，进一步求得 ，即可得到答案． DE 【详解】解：如图，设每个矩形的长为x，宽为y，则DE＝AD－AE＝x－y， 由题意易得∠GEM＝∠EMF＝∠MFG＝90°， ∴四边形EFGM是矩形， ∴EG＝MF＝y， ∵DE≈0.618AD， ∴x－y≈0.618x， 解得y≈0.382x， EG y 0.382x ∴ = ≈ ≈0.618， DE x−y x−0.382x ∴EG≈0.618DE． 故答案为：0.618． 【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、分式的化简、等式的基本性质、二元一次方程等知识，求得y≈0.382x是解题的关键． 5.如图，在矩形ABCD中，AB = 6，AD = 8，点E是CD边上的一个动点（点E不与点C重合），延长DC 到点F，使EC = 2CF，且AF与BE交于点G. (1)当EC = 4时，求线段BG的长: (2)设CF = x，△GEF的面积为y，求y与x的关系式，并求出y的最大值: (3)连接DG，求线段DG的最小值. 【答案】(1)2√5 12x2 108 (2)y= ； x+2 5 12 (3) √5 5 【分析】（1）先利用矩形的性质证明ΔAGB≌ΔFGE(AAS)，证得BG=≥¿，在Rt ΔBCE利用勾股定 理求得BE的长，进而可求解； （2）设AF与BC交于点P，过点G作GM⊥BC于M，利用相似三角形的判定和性质分别求得GM，PC， PM，最后求得CM，在△GEF中利用三角形的面积公式即可求解； （3）过点G作GN⊥CD，连接DG，则四边形CNGM是矩形，在Rt ΔDGN中，利用勾股定理求得 DG2的最小值，进而得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，AB = 6，AD = 8， ∴AB=CD=6，AD=BC=8，AB∥CD，AD∥BC，∠BCD=90°， ∴∠BAG=∠F， ∵EC = 2CF，EC = 4， ∴CF=2， ∴EF=CE+CF=6， ∴EF=AB， 又∵∠AGB=∠FGE， ∴ΔAGB≌ΔFGE(AAS)， ∴BG=≥¿， 在Rt ΔBCE中，BE=√BC2+CE2=√82+42=4√5，1 ∴BG= BE=2√5； 2 （2）解：设AF与BC交于点P，过点G作GM⊥BC于M，如图所示， ∵CD∥AB， ∴ΔGEF∽ΔGBA， GE EF ∴ = ， BG AB ∵AB = 6，EF=CE+CF=2x+x=3x， GE 3x x ∴ = = ． BG 6 2 ∵GM⊥BC，∠BCD=90°， ∴GM∥CE， CE BE ∴ = =BG+≥ ¿ ¿， GM BG BG 2x x 即 =BG+≥ ¿ =1+ ¿， GM BG 2 4x ∴GM= ， x+2 ∵AD∥BC， ∴ΔFCP∽ΔFDA， PC CF PC x 8x ∴ = ，即 = ，解得PC= ， AD DF 8 x+6 x+6 又∵GM∥CE， ∴ΔFCP∽ΔGMP， 4x GM PM x+2 PM ∴ = ，即 = ， CF PC x 8x x+6 32x 解得PM= ， (x+2)(x+6) 32x 8x 8x ∴CM=PM+PC= + = ， (x+2)(x+6) x+6 x+21 1 8x 12x2 ∴y=S = EF·CM= ·3x· = ， ΔGEF 2 2 x+2 x+2 12x2 ∴y与x的关系式为:y= ， x+2 ∵点E是CD边上的一个动点（点E不与点C重合），CE=2x， ∴0＜2x≤6，即0＜x≤3， 12×32 108 ∴当x=3时，y的最大值= = ． 3+2 5 （3）解：过点G作GN⊥CD，连接DG，则四边形CNGM是矩形， 8x 4x ∴GN=CM= ， CN=GM= ， x+2 x+2 4x ∴DN=CD−CN=6− ， x+2 ( 4x ) 2 ( 8x ) 2 在Rt ΔDGN中，DG2=DN2+GN2 = 6− + ， x+2 x+2 令m= 4x ，则DG2=(6−m) 2+(2m) 2=5 ( m− 6) 2 + 144 ， x+2 5 5 4x 6 144 ∴当m= = 时，DG2有最小值为 ， x+2 5 5 12 ∴DG的最小值为 √5． 5 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，解题的关键是根据题意作出 适当的辅助线． 题型十一：根据矩形的性质与判定求面积 1.在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为（ ）A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据矩形的性质得到OA=OB=OC=OD，推出S =S =S =S =2，即可求出矩形 △ADO △BCO △CDO △ABO ABCD的面积. 【详解】∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O ∴AC=BD，且OA=OB=OC=OD ∴S =S =S =S =2 △ADO △BCO △CDO △ABO ∴矩形ABCD的面积为4S =8 △ABO 故选：C 【点睛】此题考查矩形的性质：矩形的对角线相等，且互相平分，由此可以将矩形的面积四等分，由此 可以解决问题，熟记矩形的性质定理是解题的关键. 2.如图，在Rt△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，AC＝8，BC＝6，则四边形CEDF的面积 是（ ） A．6 B．12 C．24 D．48 【答案】B 【分析】利用三角形的中位线定理，先证明四边形DECF是矩形，再利用矩形的面积公式进行计算即可. 【详解】解：∵ 点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，AC＝8，BC＝6， 1 1 ∴DE//BC,DE= BC=3,DF//AC,DF= AC=4, 2 2 ∴ 四边形DECF是平行四边形， ∵∠C=90°, ∴ 四边形DECF是矩形， ∴S =3×4=12. 矩 形DECF 故选：B. 【点睛】本题考查的是三角形的中位线的性质，矩形的判定与性质，掌握利用三角形的中位线证明四边 形是平行四边形是解题的关键. 3.如图， ABC的边BC长为4cm．将 ABC平移2cm得到 A′B′C′，且BB′⊥BC，则阴影部分的面积为 cm2． △ △ △【答案】8 【分析】根据平移的性质即可求解． 【详解】解：由平移的性质S ABC=S ABC，BC=B′C′，BC∥B′C′， ′ ′ ′ △ △ ∴四边形B′C′CB为平行四边形， ∵BB′⊥BC， ∴四边形B′C′CB为矩形， ∵阴影部分的面积=S ABC+S BCCB-S ABC ′ ′ ′ 矩形 ′ ′ △ △ =S BCCB 矩形 ′ ′ =4×2 =8(cm2)． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了矩形的判定和平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点 所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 4.如图，在平行四边形ABCD中，AD=3，CD=2．连接AC，过点B作BE//AC，交DC的延长线于 点E，连接AE，交BC于点F．若∠AFC=2∠D，则四边形ABEC的面积为（ ） A．√5 B．2√5 C．6 D．2√13 【答案】B 【分析】先证明四边形ABEC为矩形，再求出AC，即可求出四边形ABEC的面积．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD=2，BC=AD=3，∠D=∠ABC， ∵BE//AC， ∴四边形ABEC为平行四边形， ∵∠AFC=2∠D， ∴∠AFC=2∠ABC， ∵∠AFC=∠ABF+∠BAF， ∴∠ABF=∠BAF， ∴AF=BF， ∴2AF=2BF， 即BC=AE， ∴平行四边形ABEC是矩形， ∴∠BAC=90°， ∴AC=√BC2−AB2=√32−22=√5, ∴矩形ABEC的面积为AB·AC=2√5． 故选：B 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，熟知相关定理，证明四 边形ABEC为矩形是解题关键． 5.如图，在Rt△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，AC＝8，BC＝6，则四边形CEDF 的面积是（ ） A．6 B．12 C．24 D．48 【答案】B 【分析】利用三角形的中位线定理，先证明四边形DECF是矩形，再利用矩形的面积公式进行计算即可. 【详解】解：∵ 点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，AC＝8，BC＝6， 1 1 ∴DE//BC,DE= BC=3,DF//AC,DF= AC=4, 2 2 ∴ 四边形DECF是平行四边形，∵∠C=90°, ∴ 四边形DECF是矩形， ∴S =3×4=12. 矩 形DECF 故选：B. 【点睛】本题考查的是三角形的中位线的性质，矩形的判定与性质，掌握利用三角形的中位线证明四边 形是平行四边形是解题的关键. 6.如图，点O是正六边形ABCDEF对角线DF上的一点，且S =8，则正六边形ABCDEF的面积为 △AOC （ ） A．18 B．24 C．30 D．随着点O的变化而变化 【答案】B 【分析】根据正六边形ABCDEF性质，得到如下的结论：各边相等，各个角相等，从而得到 △ABC≅△≝¿、∠BAC=30°、∠CAF=90°，即四边形ACDF是矩形，且面积为16，过点B作 1 1 1 BG⊥AC于点G，计算S = AC·BG= AC·AF= ×8=2，最后根据图形确定正六边形 △ABC 2 4 4 ABCDEF的面积即可． 【详解】解：如图∵正六边形ABCDEF， ∴AB=BC=CD=DE=EF， ∴∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠≝=∠EFA=∠FAB=120°， ∵¿， ∴△ABC≅△≝¿， ∴S =S ， △ABC △≝¿¿ ∴∠BAC=∠BCA=∠EDF=∠EFD=30°， ∴∠CAF=∠AFD=∠FDC=∠DCA=90°， ∴四边形ACDF是矩形， ∴AC∥DF， 1 ∴S = S ， △AOC 2 矩形ACDF ∵S =8， △AOC ∴S =AC·AF=16， 矩形ACDF过点B作BG⊥AC于点G， 1 1 ∴BG= AB= AF， 2 2 1 1 1 ∴S = AC·BG= AC·AF= ×16=4， △ABC 2 4 4 ∴S =S ， △ABC △≝¿=4¿ ∴S =S +S +S ． 正六边形ABCDEF 矩形ACDF △ABC △≝¿=16+4+4=24¿ 故选B． 【点睛】本题考查了正六边形的性质、矩形的判定和性质、三角形全等的判定和性质、平行线的性质等 知识点，熟练掌握正六边形的性质、矩形的判定和性质、三角形全等的判定和性质是解题的关键． 4 7.如图，有一块四边形的铁板余料ABCD．经测量，AB＝50cm，BC=108cm，CD＝60cm，tanB＝tanC＝ ， 3 M、N边BC上，顶点P在CD上，顶点Q在AB上，且面积最大的矩形PQMN面积为 cm2． 【答案】1944 【分析】设QM=PN=4k，BM=CN=3k，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可． 【详解】解：如图， 4 ∵四边形MNPQ是矩形，tanB=tanC= ， 3 ∴设QM=PN=4k，BM=CN=3k， ∴MN=108-6x，∴S MNPQ=4k(108-6k)=-24(k-9)2+1944， 矩形 ∵-24＜0， ∴k=9时，矩形MNPQ的面积最大，最大值为1944 cm2， 此时BQ=PC=5k=45，符合题意， ∴矩形MNPQ的面积的最大值为1944cm2． 故答案为：1944． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的知识，矩形的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌 握二次函数的图象与性质，属于中考常考题型． 8.矩形ABCD中，AB=m，AD=n，连接BD，点P在线段BD上，连接AP过点P作PE⊥AP，交直线BC于点 E，连接AE、PC． (1)若m=6，n=6√3； ①当点E与点B重合时，求线段DP的长； ②当EB=EP时，求线段BP的长； (2)若m=6，n=8，△PEC面积的最大值为 (直接写出答案)． 【答案】(1)①9；②6； 75 (2) 8 【分析】（1）①当点E与点B重合时，AP⊥BD，证得△ADP∽△BDA，即可求解；②设AE交BP于点O，由 EB=EP，可得到AE垂直平分BP，即可求解； （2）过点P作PF⊥BC于点F，PG⊥AB于点G，延长GP交CD于点H，则PH⊥CD，可得四边形BFPG，四边 1 1 1 4 形CFPH是矩形，然后设PF=x，PH=y，则BG=x，根据 ×6×8= ×8x+ ×6 y，可得y=8− x，再 2 2 2 3 3 25 25 证得△APG∽△EPF，可得EF= (6−x)，从而得到CE= − x，继而得到△PEC面积为 4 2 12 1 PF×CE= 1 x (25 − 25 x ) =− 25 (x−3) 2+ 75 ，即可求解． 2 2 2 12 24 8【详解】（1）解：①如图，当点E与点B重合时，AP⊥BD， 在矩形ABCD中，∠BAD=90°， ∴∠BAP+∠DAP=90°，BD=√AB2+AD2=12， ∵AP⊥BD， ∴∠APD=∠BAD=90°， ∴∠BAP+∠ABP=90°， ∴∠ABP=∠DAP， ∴△ADP∽△BDA， DP AD ∴ = ， AD BD DP 6√3 ∴ = ，解得：DP=9； 6√3 12 ②如图，设AE交BP于点O， ∵EB=EP， ∴∠PBE=∠BPE， ∵∠APE=∠ABE=90°， ∴∠ABP=∠APB， ∴AB=AP， ∴AE垂直平分BP， 由（1）得：OD=9，BD=12， ∴OB=3， ∴BP=6， （2）如图，过点P作PF⊥BC于点F，PG⊥AB于点G，延长GP交CD于点H，则PH⊥CD，∴∠GBE=∠BFP=∠BGP=90°， ∴四边形BFPG是矩形， 同理四边形CFPH是矩形， ∴BG=PF=CH，PG=BF，PH=CF， ∴GH=BC， 设PF=x，PH=y，则BG=x， ∴AG=6-x，PG=8-y， ∵S =S +S ， △BCD △BCP △PCD 1 1 1 ∴ ×6×8= ×8x+ ×6 y， 2 2 2 4 ∴y=8− x， 3 4 4 ∴PG= x，CF=8− x， 3 3 ∵∠APE=∠GPF=90°， ∴∠APG=∠EPF， ∴△APG∽△EPF， EF PF ∴ = ， AG PG EF x = 3 ∴6−x 4 ，解得：EF= (6−x)， x 4 3 25 25 ∴CE= − x， 2 12 ∴△PEC面积为 1 PF×CE= 1 x (25 − 25 x ) =− 25 (x−3) 2+ 75 ， 2 2 2 12 24 8 75 ∴当x=3时，△PEC面积的最大，最大值为 ． 8 75 故答案为： . 8【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，熟练 掌握矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质是解题的关键． 题型十二：根据矩形的性质与判定解决多结论问题 1.如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则下面的结论：①ΔODC是等边 三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S =S ，其中正确结论有（ ） ΔAOE ΔCOE A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据矩形性质求出OD=OC,根据角求出 ∠DOC = 60°即可得出三角形DOC是等边三角形,求出AC= 2AB, 即可判断②,求出∠BOE= 75°，∠AOB = 60相加即可求出,∠AOE根据等底等高的三角形面积相等得出 S =S . △AOE △COE 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°，OA=OC，OD=OB，AC=BD ∴OA=OD=OC=OB ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE=45°. ∵∠CAE=15°， ∴∠DAC=30°. ∵OA=OD， ∴∠ODA=∠DAC=30°. ∴∠DOC=60°. ∵OD=OC， ∴△ODC是等边三角形. ∴①正确； ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠ABC=90°. ∴∠DAC=∠ACB=30°. ∴AC=2AB. ∵AC＞BC，∴2AB＞BC. ∴②错误； ∵AD∥BC， ∴∠DBC=∠ADB=30°. ∵AE平分∠DAB，∠DAB=90°， ∴∠DAE=∠BAE=45°. ∵AD∥BC， ∴∠DAE=∠AEB， ∴∠AEB=∠BAE， ∴AB=BE. ∵△DOC是等边三角形， ∴DC=OD. ∴BE=BO. ∴∠BOE=75°， ∵∠AOB=∠DOC=60°， ∴∠AOE=135°. ∴③正确； ∵OA=OC， ∴根据等底等高的三角形面积相等可知S =S ， ΔAOE ΔCOE ∴④正确； 故正确答案是C. 【点睛】本题考查了矩形性质，平行线性质，角平分线定义，等边三角形的性质和判定，三角形的内角 和定理等知识点的综合运用. 2.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=8cm，BC=6cm，点P从点D出发，以1cm/s的 速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动 点同时停止运动.设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（ ） A．当t=3s时，四边形ABMP为矩形 B．当t=4s时，四边形CDPM为平行四边形 C．当CD=PM时，t=3s D．当CD=PM时，t=3s或5s【答案】D 【分析】对于选项A、B，分别计算当t=3s与t=4s时相应线段的长度结合平行四边形的判定方法判断即 可；对于C、D选项，作CE⊥AD,MF⊥AD，垂足分别为E、F，如图，证明 Rt△DCE≅Rt△PMF(HL)，得出PF=DE=2cm，进而得出关于t的方程，解方程判定即可. 【详解】解：当t=3s时，PD=3cm，PA=8−3=5cm，BM=3cm， ∴AP≠BM， ∴四边形ABMP不为矩形，故选项A结论错误； 当t=4s时，PD=4cm，BM=4cm，CM=6−4=2cm， ∴DP≠CM， ∴四边形CDPM不为平行四边形，故选项B结论错误； 当CD=PM时，作CE⊥AD,MF⊥AD，垂足分别为E、F，如图， ∵∠A=∠B=90°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCE,ABMF都是矩形， ∴CE=FM=AB,BC=AE=6cm， ∴当CD=PM时，Rt△DCE≅Rt△PMF(HL)，DE=8−6=2cm， ∴PF=DE=2cm， ∵PF=|BM−AP|=|t−(8−t)|=|2t−8|， ∴|2t−8|=2， 解得：t=5或t=3，故选项C错误、选项D正确； 故选：D. 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、全等三角形 的判定和性质等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、善于动中取静是解题的关键. 3.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，AB交x轴于点 E，AF⊥x轴，垂足为F．若OE=3，EF=1．以下结论正确的个数是（ ） ①OA=3AF；②AE平分∠OAF；③点C的坐标为(−4,−√2)；④BD=6√3；⑤矩形ABCD的面积为 24√2．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定得出△EOB∽△EFA，利用相似三角形的性质及已知OE，EF的值即 可判断结论①；由①分析得出的条件，结合相似三角形、矩形的性质（对角线）即可判断结论②；根据 直角坐标系上点的表示及结论①OA=3AF，利用勾股定理建立等式求解可得点A坐标，再根据关于原点 对称的点的坐标得出点D坐标，即可判断结论③；由③可知AF=√2，进而得出OA的值，根据矩形的性 质即可判断结论④；根据矩形的性质及④可知BD=6√2，利用三角形的面积公式求解即可判断结论⑤． 【详解】解：∵矩形ABCD的顶点A在第一象限，AF⊥x轴，垂足为F， ∴∠EOB=∠EFA=90°,AC=BD，OD=OA=OB=OC． ∵∠AEF=∠BEO， ∴△EOB∽△EFA． ∵OE=3，EF=1， EF AF AF 1 ∴ = = = ，即OA=3AF．（①符合题意） EO OB OA 3 ∵OA=OB，△EOB∽△EFA， ∴∠OAB=∠OBA，∠EAF=EBO． ∴∠OAB=∠EAF． ∴AE平分∠OAF．（②符合题意） ∵OF=OE+EF=3+1=4， ∴点A的横坐标为4． ∵OA=3AF， ∴9AF2−AF2=OF2，即8AF2=16． ∴AF=√2，点A的纵坐标为√2． ∴A(4,√2)． ∵点A与点C关于原点对称， ∴C(−4,−√2)．（③符合题意） ∵OA=3AF=3√2，∴BD=OD+OB=2OA=6√2．（④不符合题意） ∵S =S +S =2S ， 矩形ABCD △BCD △BAD △BAD 1 ∴S =2× ×6√2×4=24√2．（⑤符合题意） 矩形ABCD 2 ∴结论正确的共有4个符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查矩形与坐标的综合应用．涉及矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直 角坐标系上点的表示，关于原点对称的点的坐标，三角形的面积公式等知识点．矩形的对角线相等且互 相平分；两角分别相等的两个三角形相似；相似三角形对应角相等，对应边成比例；两个点关于原点对 称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点的对称点位P' (−x,−y)．灵活运用相关知识点，通 过已知条件建立等式关系是解本题的关键． 4.如图1，将一张菱形纸片ABCD(∠ADC>90°)沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD，再将 △BCD以D为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α=2∠ADB，得到如图2所示的△DB'C，连接 AC，BB'，∠DAB=45°，有下列结论：①AC=BB'；②AC⊥AB；③∠CDA=90°；④ BB'=√3AB．其中正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上） 【答案】①②③ 【分析】证明四边形ABB'C是矩形可判断①和②；求出∠DCA=∠DAC=45°可判断③；根据勾股定 理可判断④． 【详解】解：如图2中，过点D作DE⊥B'B于点E， 由旋转的性质，得DB'=DB，1 ∴∠BDE=∠B'DE= a=∠ADB，∠DEB=90°， 2 ∵BA=AD， ∴∠ABD=∠ADB， ∴∠BDE=∠ABD， ∴DE∥AB． 同理，DE∥CB'， ∴AB∥CB'， 又∵AB=CB'， ∴四边形ABB'C是平行四边形， 又∵DE∥AB,∠DEB=90°， ∴∠ABB'=180°−90°=90°， ∴四边形ABB'C是矩形， ∴AC=BB'；AC⊥AB；故①②正确； ∵∠DAB=45°， ∴∠DAC=45°， ∵AD=CD， ∴∠DCA=∠DAC=45°， ∴∠CDA=90°；故③正确， ∵△ADC是等腰直角三角形， ∴AC=√2AD=√2AB， ∵BB'=AC， ∴BB'=√2AB，故④错误， ∴正确的有①②③， 故答案为①②③． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的性 质，股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 5.如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，点F是CD边上一点（不与点D重合）．点P为 DE上一动点，PE0)的图象上，过P A的中点B 作矩形B A A P ，使顶点P 落在反比例函数的图象上，再 x 1 1 1 1 2 2过P A 的中点B 作矩形B A A P ，使顶点P 落在反比例函数的图象上，…，依此规律可得： 2 1 2 2 1 2 3 3 （1）点P 的坐标为 2 （2）作出矩形B A A P 时，落在反比例函数图象上的顶点P 的坐标为 ． 18 17 18 19 19 【答案】 ( 2， 1) ( 218 ， 1 ) 2 218 【分析】（1）先根据题意得出P 点的坐标，进而可得出反比例函数的解析式，再依次求出点P ，P ，P 1 2 3 4 的坐标，找出规律可得出P 的坐标； n （2）根据（1）中的规律可得答案． k 【详解】解：（1）∵正方形OAP B的边长为1，点P 在反比例函数y= （x＞0）的图象上， 1 1 x ∴P （1，1）， 1 ∴k=1， 1 ∴反比例函数的解析式为：y= ， x ∵B 是P A的中点， 1 1 1 ∴P A =AB = ， 2 1 1 2 ∴OA =2， 1 ( 1) ∴P 2， ． 2 2 ( 1) 故答案为： 2， ． 2 （2）由（1）的解同理，得P ( 22 ， 1 ) ，P ( 23 ， 1 ) … 3 22 4 23 ∴P ( 2n−1 ， 1 ) ， n 2n−1当n=19时，P ( 218 ， 1 ) ． 19 218 故答案为： ( 218 ， 1 ) ． 218 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，解题的关键是找出规律． 3.如图，△ABC中，∠B=90°，BC=3，BC边上的高AB=1，点P 、Q 、H 分别在边AB、AC、 1 1 1 BC上，且四边形P Q H B为矩形，P Q :P B=2:3，点P 、Q 、H 分别在边Q H 、CQ 、CH 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 上，且四边形P Q H H 为矩形，P Q :P H =2:3，……按此规律操作下去，则线段CQ 的长度为 2 2 2 1 2 2 2 1 2023 ． ( 9 ) 2023 【答案】 √10 11 1 2 【分析】设P Q =2a，则可得P B=3a，由相似可得AP = P Q = a，由条件AP +P B=AB=1 1 1 1 1 3 1 1 3 1 1 CQ 可求得a的值，再由勾股定理可求得AC的长，再由△CQ H ∽△CAB可求得 1，类似地可求得 1 1 AC CQ CQ CQ 2 ,进而求得 2，继续这一过程可得 2023，最后求得结果． CQ AC AC 1 【详解】解：∵P Q :P B=2:3， 1 1 1 ∴设P Q =2a，则可得P B=3a， 1 1 1 ∵四边形P Q H B为矩形， 1 1 1 ∴P Q ∥BC，H Q ∥AC， 1 1 1 1 ∴△AP Q ∽△ABC， 1 1 P Q AP P Q AP ∴ 1 1= 1，即 1 1= 1， BC AB 3 1 1 2 ∴AP = P Q = a， 1 3 1 1 3∵AP +P B=AB=1 1 1 2 ∴ a+3a=1， 3 3 ∴a= ； 11 由勾股定理得AC=√AB2+BC2=√12+32=√10， ∵H Q ∥AC， 1 1 ∴△CQ H ∽△CAB 1 1 CQ Q H BP 3a 9 ∴ 1= 1 1= 1= =3a= ； AC AB AB 1 11 Q H AB 1 由于 1 1= = ，且四边形P Q H H 为矩形，P Q :P H =2:3， CH BC 3 2 2 2 1 2 2 2 1 1 CQ 9 类似地得： 2= , CQ 11 1 ∴ CQ 2= CQ 2× CQ 1= ( 9 ) 2 ， AC CQ AC 11 1 CQ 3= CQ 3× CQ 2× CQ 1= ( 9 ) 3 ， AC CQ CQ AC 11 2 1 …， CQ 2023= ( 9 ) 2023 ， AC 11 ( 9 ) 2023 ( 9 ) 2023 ∴CQ = ⋅AC= √10． 2023 11 11 ( 9 ) 2023 故答案为： √10． 11 【点睛】本题是图形规律的探索问题，考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质等知识， 由特殊入手，得到一般规律是关键． 4.如图，在矩形ABCD中，AB=2,CB=4，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形 ACC B ，使矩形ACC B 相似于矩形；再连接AC ，以对角线AC 为边，按逆时针方向作矩形 1 1 1 1 1 1 AC C B ，使矩形AC C B 相似于矩形ACC B ；……按照此规律作下去．若矩形ABCD的面积记作 1 2 2 1 2 2 1 1S ，矩形ACC B 的面积记S ，矩形AC C B 的面积记作S ，……，则S 的值为 ． 1 1 1 2 1 2 2 3 2024 (5) 2023 【答案】8× 4 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质.解题的关键是根据已知和矩形的性质可 (5) n−1 分别求得AC，再利用相似多边形的性质可发现规律S =8× . n 4 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴AB⊥BC， ∴AC=√AB2+CB2=√22+42 =2√5， ∵按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB C C， 1 1 ∴矩形AB C C的边长和矩形ABCD的边长的比为√5:2， 1 1 ∴矩形AB C C的面积和矩形ABCD的面积的比5:4, 1 1 ∵S =2×4=8, 1 5 S =8× , 2 4 (5) 2 S =8× , 3 4 ⋯ (5) 2023 ∴S =8× , 2024 4 (5) 2023 故答案为：8× . 4 5.如图：顺次连接矩形A B C D 四边的中点得到四边形A B C D ，再顺次连接四边形A B C D 四边的中点得 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 四边形A B C D ，…，按此规律得到四边形A B C D ．若矩形A B C D 的面积为24，那么四边形A B C D 3 3 3 3 n n n n 1 1 1 1 n n n n的面积为 ． 24 【答案】 ． 2n−1 【详解】解：∵四边形A B C D 是矩形， 1 1 1 1 ∴∠A =∠B1=∠C =∠D =90°，A B =C D ，B C =A D ， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 又∵各边中点是A ，B ，C ，D ， 2 2 2 2 ∴四边形A B C D 的面积=S +S +S +S 2 2 2 2 A1A2D2 C2D1D2 C1B2C2 B1B2A △ △ △ △ 1 1 1 = × A D • A B ×4 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 = 矩形A B C D 的面积，即四边形A B C D 的面积= 矩形A B C D 的面积， 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 同理，得：四边形A B C D = 四边形A B C D 的面积= 矩形A B C D 的面积， 3 3 3 3 2 2 2 2 2 4 1 1 1 1 1 24 以此类推，四边形A B C D 的面积= 矩形A B C D 的面积= ， n n n n 2n−1 1 1 1 1 2n−1 24 故答案为： ． 2n−1 6.在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B(3,4)，A在x轴上，C在y轴上，对角线AC、OB交于C ， 1 以OA、OC 为邻边作▱OAB C ，对角线AC 、OB 交于C ，以OA、OC 为邻边作▱OAB C ， 1 1 1 1 1 2 2 2 2 对角线AC 、OB 交于C ，以OA、OC 为邻边作▱OAB C ，对角线AC 、OB 交于C ，…，按上 2 2 3 3 3 3 3 3 4 述规律作下去，B 的坐标为 . n(3(2n+1−1) 1 ) 【答案】 , 2n 2n−2 【分析】根据图形的特点先求出B 、B 、B ，从而得到B 坐标的变化规律，故可求解. 1 2 3 n 【详解】∵B(3,4)， ∴OA=3，OC=4， 如解图，作C D ⊥x轴于D ，B A ⊥x轴于A ， 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) ∴C D =B A ，C D = OC= ×4，OD =AD = 1− OA= 1− ×3， 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 ∵ΔOC D ≅ΔAB A ， 1 1 1 1 ( 1) ∴A A =OD = 1− ×3， 1 1 2 ( 1) ∴OA =OA+A A = 2− ×3， 1 1 2 (( 1) 1 ) ∴B 2− ×3, ×4 ； 1 2 2 作C D ⊥x轴于D ，B A ⊥x轴于A ， 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ∴C D =B A ，C D = C D = OC= ×4，AD = AD = OA， 2 2 2 2 2 2 2 1 1 22 22 2 2 1 22 1 ( 1 ) OD =OA−AD =OA− OA = 1− ×3， 2 2 4 22 ( 1 ) ∵ΔOC D ≅ΔAB A ，∴A A =OD = 1− ×3， 2 2 2 2 2 2 22 ( 1 ) ∴OA =OA+A A = 2− ×3， 2 2 22 (( 1 ) 1 ) ∴B 2− ×3, ×4 ； 2 22 22 1 1 作C D ⊥x轴于D ，B A ⊥x轴于A ，AD = AD = OA， 3 3 3 3 3 3 3 2 2 231 1 1 ( 1 ) ∴C D =B A ，C D = C D = OC= ×4，OD =OA−AD = 1− ×3， 3 3 3 3 3 3 2 2 2 23 23 3 3 23 ( 1 ) ∴OA = 2− ×3， 3 23 (( 1 ) 1 ) ∴B 2− ×3, ×4 ； 3 23 23 依规律B 的横坐标为 ( 2− 1 ) ×3= 3(2n+1−1) ，纵坐标为 1 ×4= 1 ， n 2n 2n 2n 2n−2 (3(2n+1−1) 1 ) ∴B , . n 2n 2n−2 (3(2n+1−1) 1 ) 故答案为：B , . n 2n 2n−2 【点睛】此题主要考查坐标的变化规律，解题的关键是熟知矩形的性质、平行四边形的性质、全等三角 形的判定与性质及找到坐标的变化规律. 题型十五：与矩形有关的动点问题 1.如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E、F分别AD、DC边上的点，且EF=2，点G为EF的 中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为 ． 【答案】4 【分析】此题考查矩形的性质，勾股定理，轴对称最短路径问题，先利用直角三角形斜边中线的性质得到DG=1，作A关于BC的对称点A'，连接A'D，交BC于P，当点A'，P，G，D共线时，PA+PG的值 最小，最小值为A'G的长；勾股定理求出A'D，减去DG即可得到答案，熟练掌握各知识点是解题的关 键． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAC=∠D=90° ∵EF=2，点G为EF的中点， ∴DG=1， 作A关于BC的对称点A'，连接A'D，交BC于P，当点A'，P，G，D共线时，PA+PG的值最小，最小 值为A'G的长； ， ∵AB=2，AD=3， ∴A A'=4， ∴A'D=√42+32=5， ∴A'G=A'D−DG=5−1=4； ∴PA+PG的最小值为4； 故答案为：4． 2.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B,C都不重合），现将 △PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E．设BP=x， BE= y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是矩形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象，熟练的建立二次函数 的解析式是解本题的关键，先证明△BPE∽△CDP，再利用相似三角形的性质建立二次函数，从而可 得答案． 【详解】解：∵矩形ABCD，AB=3，BC=5， ∴∠B=∠C=90°，AB=CD=3， ∵将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E， ∴∠CPD=∠FPD，∠BPE=∠FPE， 又∵∠CPD+∠FPD+∠BPE+∠FPE=180°， ∴∠CPD+∠BPE=90°， 又∵∠BPE+∠BEP=90°， ∴∠BEP=∠CPD， 又∵∠B=∠C=90°， ∴△BPE∽△CDP， BP BE x y ∴ = ，即 = ， CD CP 3 5−x 1 5 则y=− x2+ x(0CE时，根据矩形的性质得到∠B=∠DCE=90°，CD=AB=6，根据 相似三角形的性质得到BE=12，CE=3，过P作PQ⊥BC于Q，根据全等三角形的判定和性质定理，勾 股定理即可得到结论． 【详解】解：如图1，当BECE时， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=∠DCE=90°，CD=AB=6， ∵∠AED=90°， ∴∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠CED=90°， ∴∠BAE=∠CED， ∴△ABE∽△ECD，AB BE ∴ = ， CE CD 6 15−BE ∴ = ， BE 6 ∴BE=12， ∴CE=3， 过P作PQ⊥BC于Q， ∴∠PQE=∠B=90°， 在△ABE与△EQP中， ¿， ∴△ABE≌△EQP(AAS)， ∴EQ=AB=6，PQ=BE=12， ∴CQ=12+6−15=3， ∴CP=√CQ2+PQ2=3√17； 综上所述，CP的长为3√5或3√17， 故答案为：3√5或3√17． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角 形的性质，勾股定理，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键． 5.如图，已知四边形ABCD为矩形，AB=8,AD=6,F是BC边上一动点，O是AC的中点，OE⊥OF交 AB于E，连接EF、OB．若OB将△OEF的面积分成1:2的两部分，则BF的长为 ． 75 75 【答案】 或 41 17 【分析】先作辅助线，构造出来直角三角形，先根据矩形的性质以及勾股定理求出来边长，根据相似三 角形的判定与性质可得到边长之间的比例，即可得到结果． 【详解】解：过点E作EQ⊥OB于点Q，过点F作FP⊥OB于点P，过点O作OH⊥BC，OG⊥AB， 如图所示：， ∵AB=8,AD=6， ∴BD=√AB2+AD2=√82+62=10， ∵OB将△OEF的面积分成1:2的两部分， ∴当EQ=2PF时， 设PF=x，则EQ=2x， ∵∠EBQ=∠DBA，∠DAB=∠EQB=90°， ∴Rt△BEQ∽Rt△BDA， EQ BE ∴ = ， AD BD 2x BE ∴ = ， 6 10 10 ∴BE= x， 3 ∵∠PBF=∠DBC,∠DCB=∠FPB=90°， ∴Rt△BFP∽Rt△BDC， PF BF ∴ = ， CD BD x BF ∴ = ， 8 10 5 ∴BF= x， 4 ∵∠EOF=∠GOH=90°， ∴∠EOG=∠HOF， ∵∠OGE=∠OHF=90°， ∴Rt△EOG∽Rt△FOH， EG FH ∴ = ， OG OH 10 x−4 3 3 ∴ = ， 4 5 3− x 460 解得x= ， 41 75 即BF= ， 41 75 同理当PF=2x，EQ=x时，可求得BF= ， 17 75 75 故答案为： 或 ． 41 17 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、根据 三角形的面积得到高的比，分两种情况是解题的关键． 6.如图，在矩形ABCD中，已知AB=12√2，BC=16√2，点P是边BC上一动点（点P不与点B，C重 合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，连接MP，作∠MPC的角平分线交边CD于点N，则 线段MN的最小值为 ． 16√2 16 【答案】 / √2 3 3 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，轴对称的性质等等，根据轴对称的性质得到 AM=AB=12√2，BP=PM，则当A、M、N三点共线时，此时AN取最小， M N =AN−AM=AN−12√2，有轴对称的性质得到PM=PB，∠AMP=∠B=∠D=90°，则 最小 可证明△PMN≌△PCN(AAS)，得到，Rt△ADN中，由勾股定理得： (12√2) 2+(12√2−MN) 2=(12√2+MN) 2 ，解方程即可得到答案． 【详解】解：连接AM、AN，如图所示： ∵点B关于直线AP的对称点M， ∴AM=AB=12√2，BP=PM， ∵MN≥AN−AM， 当A、M、N三点共线时，此时AN取最小，M N =AN−AM=AN−12√2， 最小 ∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，CD=AB=12√2，AD=BC=16√2， 由轴对称的性质得：PM=PB，∠AMP=∠B=∠D=90°， ∴∠PMN=180°−90°=90°=∠C， ∵PN平分∠MPC， ∴∠MPN=∠CPN， 又∵PN=PN， ∴△PMN≌△PCN(AAS)， ∴MN=CN，PM=PC， 在Rt△ADN中，由勾股定理得：(12√2) 2+(12√2−MN) 2=(12√2+MN) 2 ， 16√2 解得：MN= ， 3 16√2 故线段MN的最小值为 ， 3 16√2 故答案为： ． 3 7.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，E是边BC延长线上一点，过点B作BM⊥DE，垂足为点 M，联结CM，设CE=a(00)的图象经过DC的中点M，请判断这个反比例函数的图象是否经过点B，并 x 说明理由． 1 【答案】(1)y= x+4； 2 (2)点B不在反比例函数图象上，理由见解析． 【分析】本题主要考查的是矩形的性质、反比例函数的性质、全等三角形的性质和判定： （1）过点D作DE⊥AC，垂足为E．先证明△DAO∽△DCE，依据相似三角形的性质可求得 EC=1，从而可求得EC的长，故此可得到点C的坐标，设直线DC的解析式为y=kx+b，将点C，D的 坐标代入求解即可； （2）过点D作DE⊥AC，过点B作BF⊥AC．先证明△DEC≌△BAF，从而可求得点B的坐标， 然后再求得反比例反函数比例系数k的值，然后根据点B的坐标是否符合函数解析式进行判断即可． 【详解】（1）如图所示：过点D作DE⊥AC，垂足为E． ∵DE⊥AC，AC∥y轴， ∴∠EDO=90°． ∴∠EDA+∠ODA=90°． 又∵ABCD为矩形，∴∠CDE+∠ADE=90°． ∴∠CDE=∠ODA． 又∵∠DOA=∠DEC=90°， ∴△DAO∽△DCE． DE CE 2 EC ∴ = ，即 = ， OD AO 4 2 解得EC=1． 又 EA=OD=4 ∴AC=AE+EC=4+1=5, ∴C(2,5)． 设直线DC的解析式为y=kx+b， 将点C(2,5)，D(0,4)的坐标代入得：¿ 解得¿． 1 ∴直线CD的解析式为y= x+4． 2 （2）解：过点D作DE⊥AC，过点B作BF⊥AC． ∵DE⊥AC，BF⊥AC． ∴∠DEC=∠BFA=90°． ∵DC∥AB， ∴∠DCE=∠FAB． 在△DEC和△BAF中 ¿， ∴△DEC≌△BAF(AAS)． ∴DE=BF=2，EC=AF=1． ∴B(4,1)． ∵C(2,5)，D(0,4)， ( 9) ∴CD中点M的坐标为 1, ． 49 9 ∴k=1× = ． 4 4 9 ∵4×1=4≠ ， 4 ∴点B不在反比例函数图象上． 1 5.如图，在平面直角坐标系中，直线y=− x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，点M在坐标轴上，点N 2 在坐标平面内，若以A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，则点N的坐标为 ． 【答案】(4,2)或(3,−2)或(−4,−6) 【分析】分类讨论：①点M在x轴上；②点M在原点；③点M在y轴上，利用相似及平移规律即可求解． 1 【详解】解：直线y=− x+2分别与x轴、y轴交于点A、B， 2 当x=0时，y=2，y=0时，x=4， ∴A点坐标(4,0)，B点坐标B(0,2)， 分三种情况： ①点M在原点，矩形BMAN中，如图， BO=AN=2,BN=AO=4， ∴点N坐标为（4，2）； ②如图1，点M在x轴上，如图，矩形BMNA中，OB⊥AM， ∴∠OBM+∠OMB=∠OBM+∠OBA=90°， ∴∠OMB=∠OBA， ∴△BOM ∽△AOB， BO MO ∴ = ， AO BO BO2 ∴MO= =1， AO ∴M点坐标为（−1，0）， 将点M向右平移4个单位，向下平移2个单位得到点N， ∴N的坐标为（3，−2）； ②如图2，点M在y轴上，如图， 矩形BAMN中，OA⊥MB， 由②同理可得：△MOA∽△AOB ， BO AO ∴ = AO MO AO2 ∴MO= =8， BO ∴M点坐标为(0,−8)， 将点M向左平移4个单位，向上平移2个单位得到点N， ∴N的坐标为（−4，−6），∴点N坐标为（4，2）或（3，−2）或(−4,−6)， 故答案为：（4，2）或（3，−2）或(−4,−6)． 【点睛】本题考查了一次函数与矩形的综合题型，解题关键是分类讨论和利用相似三角形的性质得到对 应线段之间的关系． 6.如图，ABCD是一矩形纸片，E是AB上的一点，且BE:EA=5:3，EC=15√5，把ΔBCE沿折痕EC 向上翻折，若点B恰好落在AD边上，设这个点是F，以点A为原点，以直线AD为x轴，以直线BA为y轴， 则过点F、点C的一次函数解析式为： ． 4 【答案】y=− x+16 3 【分析】设BE=5x，AE=3x，根据矩形性质利用勾股定理得到AF=4x，根据翻折判定 ΔAFE∽ΔDCF，利用相似比得到DF=6x，BC=10x，结合勾股定理列出方程，求解后得到 F(12,0)，C(30,−24)，最后利用待定系数法确定函数关系式即可． 【详解】解：设BE=5x，AE=3x， ∵矩形ABCD， ∴∠DAB=∠B=∠CDA=90°，CD=8x， ∵ΔBCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD边F上， ∴EF=BE=5x，∠ABC=∠EFC=90°， 由勾股定理得：AF=√EF2−AE2=4x， ∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠DCF=90°， ∴∠AFE=∠DCF， ∴ΔAFE∽ΔDCF， AF AE ∴ = ， DC DF 4x 3x ∴ = ， 8x DF∴DF=6x， BC=AD=6x+4x=10x， 由勾股定理得：EC2=BE2+BC2， (5x) 2+(10x) 2=(15√5) 2 ， x=3，8x=24，4x=12，10x=30， ∴F(12,0)，C(30,−24)， 设直线CF的解析式是y=kx+b，代入得：¿， ∴ ¿， 4 ∴y=− x+16． 3 4 故答案为：y=− x+16． 3 【点睛】本题主要考查一次函数综合，涉及到翻折变换、矩形的性质、三角形相似的判定与性质、勾股 定理、解二元一次方程组、解一元一次方程、用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握， 综合运用性质进行推理是解此题的关键． 题型十七：矩形与反比例函数综合 k DF 1.如图，已知矩形ABCD的对角线BD中点E与点B、F都在反比例函数y= 的图象上，则 的值为 x FC （ ） 1 1 1 2 A． B． C． D． 4 3 2 3 【答案】C (1 ) (1 ) 【分析】由题意设B(a,b)，则E a,2b ，k=ab，即可得出OD=3b，从而求得F a,3b ，得出 2 3 2 DF 1 FC=CD−DF= a，求得 = ． 3 FC 2k 【详解】解：∵矩形ABCD的对角线BD中点E与点B都在反比例函数y= 的图象上， x (1 ) ∴设B(a,b)，则E a,2b ，k=ab， 2 ∴OD=3b， ab 1 把y=3b代入y= ，解得x= a， x 3 (1 ) ∴F a,3b ， 3 1 ∵CD=AB=a，DF= a， 3 2 ∴FC=CD−DF= a 3 DF 1 ∴ = FC 2 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，求得F点的坐标是解题的关键． k 1 2.如图，过y= (x>0)的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交y=− 的图象于B，D两点，以AB， x x 5 AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S ，S ，S ，S ，若S +S +S = ， 1 2 3 4 2 3 4 2 则k的值为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C ( 1 ) ( 1) ( 1 1) 【分析】设A(a,b)，则B − ,b ，D a,− ，C − ,− ，根据坐标求得S =ab=k，S =S =1， b a b a 1 2 4( 1) ( 1) 1 推得S = − × − = ，即可求得． 3 b a 2 ( 1 ) ( 1) ( 1 1) 【详解】设A(a,b)，则B − ,b ，D a,− ，C − ,− b a b a k ∵点A在y= (x>0)的图象上 x 则S =ab=k， 1 1 同理∵B，D两点在y=− 的图象上， x 则S =S =1 2 4 5 1 故S = −1−1= ， 3 2 2 ( 1) ( 1) 1 又∵S = − × − = ， 3 b a 2 1 1 即 = ， ab 2 故ab=2， ∴k=2， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，矩形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 3.如图，矩形OABC的两边OA，OC在坐标轴上，且OC=2OA，M，N分别为OA，OC的中点，AN与 BM交于点E，且四边形EMON的面积为2，则经过点B的反比例函数的解析式为 ． 10 【答案】y= x 【分析】根据M，N分别为OA，OC的中点，推出S =S =2，连接点M和AN中点F，得 四边形OMEN △ABEME MF 1 S ME 1 1 1 出△ABE∽△FME，则 = = ，得出 △AME= = ，进而得出S = S = ，求 BE AB 4 S BE 4 △AME 4 △ABE 2 △ABE 出S =AB⋅OA=10，根据反比例函数的k值的几何意义进行解答． 矩形AOCB 【详解】解：∵OABC为矩形， ∴AB⋅AO=OC⋅AO， ∵M，N分别为OA，OC的中点， 1 1 ∴AM= OA，ON= OC，则AM=ON， 2 2 1 1 ∴ AB⋅AM= ON⋅AO，即S =S ， 2 2 △ABM △AON ∴S −S =S −S ，即S =S =2， △ABM △AME △AON △AME 四边形OMEN △ABE 连接点M和AN中点F， 1 ∴MF∥OC，MF= ON， 2 1 ∴MF= OC，MF∥AB， 4 ∵OC=AB， 1 MF 1 ∴MF= AB，则 = ， 4 AB 4 ∵MF∥AB， ∴∠ABE=∠FME，∠BAE=∠MFE， ∴△ABE∽△FME， ME MF 1 ∴ = = ， BE AB 4 S ME 1 ∴ △AME= = ， S BE 4 △ABE ∵S =2， △ABE 1 1 ∴S = S = ， △AME 4 △ABE 2 1 5 1 1 5 ∴S =S +S =2+ = ，即 AB⋅AM= AB⋅OA= ， △ABM △ABE △AME 2 2 2 4 2 ∴S =AB⋅OA=10， 矩形AOCB ∵反比例函数图象在第一象限， ∴k=10，10 ∴反比例函数解析式为：y= ． x 10 故答案为：y= ． x 【点睛】本题主要考查了反比例函数k值的几何意义，解题的关键是掌握过反比例函数图象上的点作x轴 和y轴的垂直，两垂线与坐标轴的围成的矩形面积等于|k|． 4.如图，在矩形OABC和正方形CDEF中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边 BC上，BC=2CD，AB=3．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 ． 18 【答案】y= x 【分析】设正方形CDEF的边长为m，根据BC=2CD，AB=3，得到B(3,2m)，根据矩形对边相等得到 OC=3，推出E(3+m,m)，根据点B，E在同一个反比例函数的图象上，得到3×2m=(3+m)m，得到 18 m=3，推出y= ． x 【详解】解：∵四边形OABC是矩形， ∴OC=AB=3， 设正方形CDEF的边长为m， ∴CD=CF=EF=m， ∵BC=2CD， ∴BC=2m， ∴B(3,2m)，E(3+m,m)，k 设反比例函数的表达式为y= ， x ∴3×2m=(3+m)m， 解得m=3或m=0（不合题意，舍去）， ∴B(3,6)， ∴k=3×6=18， 18 ∴这个反比例函数的表达式是y= ， x 18 故答案为：y= ． x 【点睛】本题主要考查了反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握矩形性质，正方形性质，反比例函数 性质，k的几何意义． 5.如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点B在第一象限，反比例函数 k y= (x>0)的图象交矩形的对角线OB于点D，分别交BC，AB于点E，F，连接DE，DF．若 x OD=2BD，S =2，则k= ． 四边形EDFB 24 【答案】 5 OH DH OD 2 【分析】作DH⊥OA于H，连接OE、OF，证明△OHD∽△OAB，得到 = = = ，设 OA BA OB 3 OH=2m,DH=2n，推出S =3S =6，再利用S =S −S −S ， 四边形OEBF 四边形DEBF 四边形OEBF 矩形ABCO △OCE △OAF 列式求解即可．【详解】解：作DH⊥OA于H，连接OE、OF， ∵BA⊥OA， ∴DH∥BA， ∴△OHD∽△OAB， OH DH OD ∴ = = ， OA BA OB ∵OD=2BD， OH DH OD 2 ∴ = = = ， OA BA OB 3 设OH=2m,DH=2n，则：OA=3m,AB=3n， 1 ∴S =OA⋅AB=9mn，S = OH⋅DH=2mn， 矩形ABCO △OHD 2 k ∵点D，E，F，在反比例函数y= (x>0)的图象上， x k ∴S =S =S =2mn= ， △OCE △OAF △ODH 2 ∵OD=2BD， ∴S =2S ,S =2S ， △ODF △BDF △ODE △BDE ∴S =S +S +S +S =3(S +S )， 四边形OEBF △ODF △BDF △ODE △BDE △BDF △BDE 即：S =3S =6， 四边形OEBF 四边形DEBF ∵S =S −S −S =5mn， 四边形OEBF 矩形ABCO △OCE △OAF ∴5mn=6， 6 ∴mn= ， 5 k 12 ∴ =2mm= ， 2 5 24 ∴k= ； 524 故答案为： ． 5 【点睛】本题考查已知特殊图形的面积求k值，解题的关键是掌握反比例函数k值的几何意义． 6.如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作 矩形OABC，且S =8√2，将矩形OABC翻折，使点B与原点重合，折痕为MN，点C的对应点C' 矩形OABC k 落在第四象限，过M点的反比例函数y= (k≠0)，其图象恰好过MN的中点，则点M的坐标为 x ． 【答案】(1,2√2) 【分析】利用△BQM≌△OQN(AAS)，得到点Q是MN的中点，利用Rt△OHQ∽Rt△OCB，得 到 S △OHQ= (QH) 2 = 1 ，求出k=2√2，设AM=a，则BM=3a=OM，求得OA=2√2a，根据反比例函 S BC 4 △OBC 数系数k的几何意义求得a，从而求得M的坐标． 【详解】解：连接OB，交MN于点Q， ∵矩形OABC翻折，使点B与原点重合，折痕为MN， ∴QB=QO，MB=MO， ∵AB∥CO， ∴∠ABQ=∠NOQ， ∵∠MQB=∠NQO，OQ=BQ，∴△BQM≌△OQN(AAS)， ∴QM=QN，即点Q是MN的中点， 过点Q作QH⊥BC于点H，则QH是△OBC的中位线， ∴Rt△OHQ∽Rt△OCB， ∴ S △OHQ= (QH) 2 = 1 ， S BC 4 △OBC 1 ∵S = S =4√2， △OBC 2 矩形AOCB 1 1 ∴S =4√2× =√2= k， △OHQ 4 2 解得k=2√2， ∵点M是反比例函数上的点， 1 ∴S = k=√2， △AOM 2 1 ∵S = S =4√2=4S ， △ABO 2 矩形AOCB △AOM 1 ∴AM= AB， 4 设AM=a，则BM=3a=OM， ∴OA=√OM2−AM2=2√2a， 1 1 ∴S =√2= AM·AO= a·2√2a， △AOM 2 2 解得a=1（负值已舍去）， ∴AM=1， 2√2 把x=1代入y= 得，y=2√2， x ∴M为(1,2√2)， 故答案为：(1,2√2)． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质、反比例函数系数k的几何意义，三角 形相似的判断和性质、面积的计算以及勾股定理等，综合性强，难度较大． k 7.如图，矩形AOBC中，OB=3，点D，E分别在AC，BC上，且CD=CE=2，反比例函数y= (x>0) x 的图象经过D，E两点(1)请用含k的式子表示点D，C，E的坐标：点D________，点C________，点E________； (2)利用（1）的结论，求反比例函数的解析式； (3)连接OD，OE，DE，求△ODE的面积 【答案】(1)(1,k)，(3,k)，(3,k−2) 3 (2)y= x (3)4 【分析】（1）由四边形AOBC是矩形，OB=3，可得AC=OB=3，由CD=CE=2，得AD=1，即可求 得点D的坐标，由四边形AOBC是矩形，得AC∥OB，即可求得点C的坐标，再由CD=CE=2，即可 求得点E的坐标； k （2）把E(3,k−2)代入y= ，就可得出关于k的方程，即可解出答案； x （3）由S =S −S −S −S 求出即可． △ODE 矩形AOBC △OAD △OBE △CDE 【详解】（1）解：∵四边形AOBC是矩形，OB=3， ∴AC=OB=3， ∵CD=CE=2， ∴AD=3−2=1， k ∵反比例函数y= (x>0)的图象经过点D， x ∴当x=1时，y=k， ∴D(1，k)， ∵四边形AOBC是矩形， ∴AC∥OB， ∵AC=OB=3， ∴C(3,k)， ∴CB=k， ∵CD=CE=2， ∴BE=k−2， ∴E(3,k−2)；故答案为：D(1,k)，C(3,k)，E(3,k−2)． k k （2）解：把E(3,k−2)代入y= ，得k−2= ，解得k=3． x 3 3 ∴反比例函数的解析式为：y= ； x （3）解：由（1），（2）得点D的坐标为(1,3)，点E的坐标为(3,1)， ∴ OA=3，AD=1，BE=1． 1 1 1 ∴ S =S −S −S −S =3×3− ×1×3− ×1×3− ×2×2=4． △ODE 矩形AOBC △OAD △OBE △CDE 2 2 2 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数性质与应用，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． 1 k 8.如图，一次函数y= x+a的图象与反比例函数y= (x>0)的图象交于点A(4，3)，与y轴交于点B． 2 x (1)求a，k的值； (2)点C在反比例函数图象上，直线CA与x轴交于点D，AC=AD，连接CB，求△ABC的面积； (3)点E在x轴上，点F是坐标系内一点，当四边形AEBF为矩形时，求点E的坐标． 【答案】(1)a=1，k=12 (2)8 (3)E(1,0)或(3,0) 【分析】（1）把A(4,3)代入含参数解析式中，解方程，求得参数值； （2）过点A作AM⊥x轴,过点C作CN⊥x轴，则AM=3,∠DMA=∠DNC=90°，证 AM DA 1 △MDA∼△NDC，于是 = = ，得CN=6，根据解析式得C(2,6)；待定系数法确定直线AC CN DC 2 3 的解析式为y=− x+9，得直线AC与y轴交于点G(0,9)，于是 2 1 1 S =S −S = ⋅BG⋅x − ⋅BG⋅x =8； △ABC △ABG △BCG 2 A 2 C（3）由四边形AEBF是矩形,得△AEB是以AB为斜边的直角三角形，设E(m,0),由勾股定理得, m2+1+m2−8m+25=20,得E(1,0)或(3,0)． 1 1 【详解】（1）解：把A(4,3)代入y= x+a中得,3= ×4+a 2 2 ∴a=1 k k 把A(4,3)代入y= 中得,3= x 4 ∴k=12． （2）过点A作AM⊥x轴,过点C作CN⊥x轴，则AM=3,∠DMA=∠DNC=90° 又∵∠MDA=∠NDC ∴△MDA∼△NDC AM DA 1 ∴ = = CN DC 2 ∴CN=2AM=6 12 把y=6代入y= 得，x=2 x ∴C(2,6) 设直线AC的解析式为：y=nx+b 把A(4,3),C(2,6)代入得,¿,解得：¿ 3 ∴y=− x+9 2 设直线AC与y轴交于点G,则G(0,9) 1 1 1 1 ∴S =S −S = ⋅BG⋅x − ⋅BG⋅x = ×8×4− ×8×2=8． △ABC △ABG △BCG 2 A 2 C 2 2 （3）∵四边形AEBF是矩形, ∴△AEB是以AB为斜边的直角三角形 设E(m,0),则BE2=m2+1AE2=(4−m) 2+32=m2−8m+25 AB2=42+22=20 由勾股定理得,m2+1+m2−8m+25=20,解得：m=1,m=3 ∴E(1,0)或(3,0)． 【点睛】本题考查一次函数、反比例函数解析式，待定系数法确定一次函数解析式，勾股定理，相似三 角形判定和性质；添加辅助线构造相似三角形，得到线段间的数量关系是解题的关键． 9.如图，平面直角坐标系中，某图形W由线段AB，BC，DE，EF，AF和反比例函数图象的一段CD构 成，其中，A(−4,0)，B(4,0)，∠FAB=∠CBA=90°，DE=3，AF=BC=1，DE∥x轴且点E的纵 k 坐标为4，设直线EF的解析式为y=ax+b，双曲线CD的解析式为y= ．点P为双曲线CD上一个动点， x 过点P作PG⊥y，垂足为G，交EF于点Q，以PQ为边在图形W内部作矩形PQNM，MN在x轴上． (1)求直线EF和双曲线CD的解析式； (2)若GO分矩形PQNM的面积比为2：1，求出点P的坐标． 3 4 【答案】(1)y= x+7，y= 2 x (4 ) (2) ,3 或(1,4) 3 【分析】（1）分别求出点F(−4,1)，C(4,1)，E(−2,4)的坐标，利用待定系数法即可求解； (4 ) (2 14 ) （2）设P ,m ，则Q m− ,m ，由GO分矩形PQNM的面积比为2：1，得出GQ=2GP，列出 m 3 3 方程，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）∵A(−4,0)，B(4,0)，AF=BC=1， ∴F(−4,1)，C(4,1)， k ∵C点在函数y= 图象上， x ∴k=4，4 ∴反比例函数的解析式为y= ， x ∵点E的纵坐标为4，DE∥x轴， ∴D(1,4)， ∵DE=3， ∴E(−2,4)， 设直线EF的解析式为y=ax+b， 将F(−4,1)，E(−2,4)代入y=ax+b， ∴¿，解得¿， 3 ∴y= x+7； 2 (4 ) (2 14 ) （2）设P ,m ，则Q m− ,m ， m 3 3 若GO分矩形PQNM的面积比为2：1， 由题意得，GQ=2GP， 2 14 4 ∴ m− =−2× ， 3 3 m 解得m =3，m =4， 1 2 (4 ) ∴点P的坐标为 ,3 或(1,4)． 3 【点睛】本题考查求一次函数和反比例函数的关系式，根据面积比求点的坐标；解题的关键是能够正确 求出函数关系式． 题型十八：矩形与二次函数综合 2√3 1.如图1，抛物线y= x2+bx+c过B(3,0)，C(0,−3√3)两点，动点M从点B出发，以每秒2个单 3 位长度的速度沿BC方向运动，设运动的时间为t秒．2√3 (1)求抛物线y= x2+bx+c的表达式； 3 (2)如图1，过点M作DE⊥x轴于点D，交抛物线于点E，当t=1时，求四边形OBEC的面积； (3)如图2，动点N同时从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OB方向运动，将△BMN绕点M逆时 针旋转180°得到△GMF． ①当点N运动到多少秒时，四边形NBFG是菱形； ②当四边形NBFG是矩形时，将矩形NBFG沿x轴方向平移使得点F落在抛物线上时，直接写出此时点F 的坐标． 2√3 【答案】(1)y= x2−√3x−3√3 3 13√3 (2) 2 3 (3+√33 ) (3)①当点N运动到 秒时，四边形NBFG是菱形；②点F的坐标为 ,−2√3 或 5 4 (3−√33 ) ,−2√3 ． 4 2√3 【分析】（1）利用待定系数法将B、C两点坐标代入抛物线y= x2+bx+c求解即可； 3 （2）当t=1时求得BC长度，并且利用平行线分线段成比例求得E点横坐标，代入抛物线解析式即可求得 E点纵坐标，再根据S =S +S 求解即可； 四边形OBEC 梯形ODEC △BDE （3）①根据题意可求出ON=t，BN=3−t，BM=2t．再根据旋转的性质易证四边形NBFG是平行四 BM 2t 边形，则四边形NBFG是菱形，只需BG⊥NF即可，又可求出cos∠MBN= = ， BN 3−tOB 1 2t 1 cos∠CBO= = ，则 = ，解出t的值即可；②当四边形NBFG是矩形时，只需∠BNG=90°． BC 2 3−t 2 由∠BNG=∠BOC=90°，得出NG∥OC，利用平行线分线段成比例，求得t=1；将矩形NBFM沿x 轴方向平移时，点F落在抛物线的图象上，即 ，再代入解析式即可求得点F的坐标． y =−2√3 F 2√3 【详解】（1）解：∵抛物线y= x2+bx+c的图象过B(3,0)，C(0,−3√3)两点， 3 ∴¿，解得：¿， 2√3 ∴抛物线的表达式为y= x2−√3x−3√3； 3 （2）解：如图： ∵B(3,0)，C(0,−3√3)， ∴OB=3，OC=3√3， ∴BC=√OB2+OC2=6． 当t=1时，BM=2t=2． ∵DM⊥AB，OC⊥AB， ∴DM∥OC， BD BM BD 2 ∴ = ，即 = ， OB BC 3 6 ∴BD=1， ∴OD=OB−OD=3−1=2． 2√3 2√3 7√3 在y= x2−√3x−3√3中，令x=2，得：y= ×22−√3×2−3√3=− ， 3 3 3( 7√3) ∴E 2,− ； 3 1 (7√3 ) 1 7√3 13√3 ∴S =S +S = × +3√3 ×2+ × ×1= ； 四边形OBEC 梯形ODEC △BDE 2 3 2 3 2 （3）解：①如图： 根据题意得：ON=t，BN=3−t，BM=2t． ∵将△BMN绕点M逆时针旋转180°得到△GMF， ∴BM=GM，NM=FM， ∴四边形NBFG是平行四边形， 若四边形NBFG是菱形，只需BG⊥NF，即∠BMN=90°， BM 2t 此时cos∠MBN= = ． BN 3−t OB 3 1 在Rt△BOC中，cos∠CBO= = = ， BC 6 2 2t 1 ∴ = ， 3−t 2 3 解得：t= ， 5 3 答：当点N运动到 秒时，四边形NBFG是菱形； 5 ②如图：由①得四边形NBFG是平行四边形． 当四边形NBFG是矩形时，只需∠BNG=90°． ∴∠BNG=∠BOC=90°， ∴NG∥OC， BN BG 3−t 4t ∴ = ，即 = ， OB BC 3 6 解得：t=1． ∴当点N运动1秒时，四边形NBFM是矩形． ∴NB=3−1=2，BG=4， ∴NG=√BG2−NB2=2√3． 将矩形NBFM沿x轴方向平移时，点F落在抛物线的图象上，即y =−2√3． F 2√3 当y =−2√3时，即 x2−√3x−3√3=−2√3， F 3 3+√33 3−√33 解得：x = ，x = ， 1 4 2 4 (3+√33 ) (3−√33 ) ∴点F的坐标为 ,−2√3 或 ,−2√3 ． 4 4 【点睛】本题为二次函数综合题，考查求函数解析式，勾股定理，平行线分线段成比例，特殊四边形的 判定和性质，解直角三角形等知识，属于中考压轴题．利用数形结合的思想是解题关键． 2.如图，已知二次函数y=x2+mx+8的图像交y轴于点A，作AB平行于x轴，交函数图像于另一点B（点1 B在第一象限）．作BC垂直于x轴，垂足为C，点D在BC上，且CD= BD．点E是线段AB上的动点（ 3 B点除外），将△DBE沿DE翻折得到△DB'E． (1)当∠BED=60°时，若点B'到y轴的距离为√3，求此时二次函数的表达式； (2)若点E在AB上有且只有一个位置，使得点B'到x轴的距离为3，求m的取值范围． 【答案】(1)y=x2−4√3x+8或y=x2−2√3x+8 6√35 (2)−6√110 Q QH⊥y H K KG⊥x G △CHQ≌△BGK(AAS)，得到m=−m2+3m+4−4，则HQ=2，所以K(6，2)；当m<0时，设KC与 x轴的交点为F，BQ与y轴的交点为H，过点Q作QG⊥y轴交G点，过K作KE⊥x轴交E点，证明，则有 ，求得 ，则 ，可求 △QHG≌△KFE(AAS) −m=−4−(−m2+3m+4) m=−2 GQ=2 K(−6，−2)，综合即可得出K点的坐标． 【详解】（1）解：把A(−1，0)、B(4，0)代入y=ax2+bx+4， 可得：¿， 解得：¿， ∴该二次函数的表达式为y=−x2+3x+4． （2）解：存在，理由如下： 设Q(m，−m2+3m+4)， 当m>0时，如图1， ∵矩形是以BC为边， ∴QK∥BC，CQ⊥BC，KB⊥BC， 过点Q作QH⊥y轴交H点，过K作KG⊥x轴交G点， ∵CQ=BK，OC=OB， ∴∠OCB=∠OBC=45°， ∴∠HCQ=∠GBK=45°， ∴△CHQ≌△BGK(AAS)， ∴HC=HQ=BG=GK， ∴m=−m2+3m+4−4， ∴m=2或m=0（舍去）， ∴HQ=2， ∴K(6，2)； 当m<0时，如图2， ∵矩形是以BC为边， ∴QK∥BC，KC⊥BC，BQ⊥BC， 设KC与x轴的交点为F，BQ与y轴的交点为H， 过点Q作QG⊥y轴交G点，过K作KE⊥x轴交E点， ∵∠OCB=∠OBC=45°， ∴∠OBH=∠OHB=45°，∠FCO=∠CFO=45°， ∴OF=OC=OB=OH=4，∠HQG=∠EFK=45°， ∵KC=BQ，CF=HB， ∴FK=QH， ∴△QHG≌△KFE(AAS)，∴QG=HG=EF=EK， ∴−m=−4−(−m2+3m+4)， ∴m=−2或m=4（舍去）， ∴GQ=2， ∴K(−6，−2)； 综上所述，K点的坐标为K(−6，−2)或K(6，2)． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用矩形和等腰直角三 角形的性质是解本题的关键． 4.如图，二次函数y=-x2 +2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3，0)，另一个交点为B．且与y轴交于点C． （1）求m的值； （2）求点B的坐标； （3）该二次函数图象上有一点D(x，y)(其中x>0，y>0)，且S =S ，求点D的坐标； △ABD △ABC （4）若点P在直线AC上，点Q是平面内一点，是否存在点Q，使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是矩 形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）m=3；（2）B（-1，0）；（3）点D的坐标为（2，3）；（4）点Q的坐标为（3，4）或 （1，-2）． 【分析】（1）直接将点A的坐标代入到二次函数的解析式即可求出m的值，写出二次函数的解析式；（2）分别计算当x=0和y=0时的值，写出B、C两点的坐标； （3）因为S ABD=S ABC，则根据同底等高的两个三角形的面积相等，所以只要高与OC的长相等即可， △ △ 因此要计算y=3时对应的点即可； （4）分AB是矩形的边、AB是矩形的对角线两种情况，通过画图，利用数形结合即可求解． 【详解】解：（1）把A（3，0）代入二次函数y=-x2+2x+m得： -9+6+m=0， ∴m=3； （2）由（1）可知，二次函数的解析式为：y=-x2+2x+3； 当x=0时，y=3， ∴C（0，3）， 当y=0时，-x2+2x+3=0， x2-2x-3=0， （x+1）（x-3）=0， ∴x=-1或3， ∴B（-1，0）； （3）∵S ABD=S ABC， △ △ 当y=3时，-x2+2x+3=3， -x2+2x=0， x2-2x=0， x（x-2）=0， x=0或2， ∴只有（2，3）符合题意． 综上所述，点D的坐标为（2，3）； （4）存在，理由： ①当AB是矩形的边时，此时，对应的矩形为ABP′Q′，∵AO=OC=3，故∠PAB=45°， ∴矩形ABP′Q′为正方形， 故点Q′的坐标为（3，4）； ②当AB是矩形的对角线时，此时，对应的矩形为APBQ， 同理可得，矩形APBQ为正方形， 故点Q的坐标为（1，-2）， 故点Q的坐标为（3，4）或（1，-2）． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查的是一次函数的性质、矩形的性质、正方形的性质，面积的 计算等，其中（4），要注意分类求解，避免遗漏． 5.对于二次函数y=x2−3x+2和一次函数y=−2x+4，把y=t(x2−3x+2)+(1−t)(−2x+4)称为这两 个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图像记作抛物线E，现有点A(2,0)和抛物线E上 的点B(−1,n)，请完成下列任务； 【尝试】判断点A是否在抛物线E上． 【发现】对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，坐标为_______． 【应用】以AB为边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上：若抛物线E经过A，B，C，D其中的 三点，求出所有符合条件的t的值．5 5 1 5 【答案】（1）在抛物线上，（2）（2，0）和（﹣1，6）．（3）﹣ 或 或﹣ 或 ． 4 8 2 2 【分析】【尝试】把点A坐标代入即可判断； 【发现】把点B(−1,n)代入y=t(x2−3x+2)+(1−t)(−2x+4)，求出n是定值，可判断抛物线所过定 点； 【发现】如图，作矩形ABC D 和矩形ABC D ，过点B作BK⊥y轴于K，过点D 作D G⊥x轴于G，过点C 1 1 2 2 1 1 2 作C H⊥y轴于H，过点B作BM⊥x轴于M，C H与BM交于点T． 2 2 分两种情形求出C、D两点坐标，再利用待定系数法求出t的值即可． 【详解】【尝试】在抛物线上， ∵x＝2时，y＝t（4﹣6+2）+（1﹣t）（﹣4+4）＝0， ∴点A（2，0）在抛物线E上． 【发现】由y=t(x2−3x+2)+(1−t)(−2x+4)得，y=t(x−1)(x−2)−2(1−t)(x−2)，即 y=t(x+1)(x−2)−2x+4， ∵对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点， ∴(x+1)(x−2)=0，即x =−1，x =2， 1 2 将（﹣1，n）代入y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）， 得n＝t（1+3+2）+（1﹣t）（2+4）＝6， ∴n的值为6． 结合【尝试】，抛物线E总过定点A（2，0）和B（﹣1，6）． 故答案为：A（2，0）和B（﹣1，6）． 【应用】如图，作矩形ABC D 和矩形ABC D ，过点B作BN⊥y轴于N，过点D 作D G⊥x轴于G，过点C 1 1 2 2 1 1 2 作C H⊥y轴于H，过点B作BM⊥x轴于M，C H与BM交于点T． 2 2 ∵AM＝3，BM＝6，BN＝1，∵∠NBC +∠NBA=90°，∠MBA+∠NBA=90°， 1 ∴∠NBC =∠MBA， 1 ∵∠BNC =∠BMA=90°， 1 ∴△NBC ∽△MBA， 1 AM BM 3 6 1 = = ∴ ，即 ，解得C N＝ ， C N BN C N 1 1 2 1 1 13 ∴C （0， ）， 1 2 1 由平移可得D （3， ）， 1 2 AM BM 同理，由△OAD ∽△MBA，得到 = ，可得OD ＝1， 2 OD OA 2 2 ∴D （0，﹣1）， 2 由平移可得C （﹣3，5）， 2 ∵抛物线总是经过A、B， ∴符合条件的三点只可能是A、B、C或A、B、D． 13 5 ①当抛物线经过A、B、C 时，将C （0， ）代入y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得到t＝﹣ 1 1 2 4 ， 1 5 ②当抛物线经过A、B、D 时，将D （3， ）代入y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得到t＝ ， 1 1 2 8 1 ③当抛物线经过A、B、C 时，将C （﹣3，5）代入y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得到t＝﹣ 2 2 2 5 ④当抛物线经过A、B、D 时，将D （0，﹣1）代入y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得到t＝ ， 2 2 2 5 5 1 5 综上所述，满足条件的t的值为﹣ 或 或﹣ 或 ． 4 8 2 2 【点睛】本题考查二次函数综合题、待定系数法、一次函数的应用、矩形的判定和性质、相似三角形的 判定与性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，灵活应用待定系数法确 定函数解析式，属于中考压轴题． 考点二 ： 矩形的折叠问题 题型一：沿对角线翻折（模型一） 1.如图，四边形ABCD是矩形，分别以点B，D为圆心，线段BC，DC长为半径画弧，两弧相交于点E， 连接BE，DE，BD．若AB＝4，BC＝8，则∠ABE的正切值为（ ）A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵BE＝BC，DE＝CD，BD＝BD， ∴△CBD≌△EBD（SSS）， ∴∠CBD＝∠EBD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC＝8，∠A＝90°， ∴∠ADB＝∠CBD， ∴∠ADB＝∠EBD， ∴OB＝OD， 设AO＝x，则OD＝8﹣x， ∴OB＝8﹣x， 由勾股定理得：AB2+AO2＝OB2， ∴42+x2＝（8﹣x）2， ∴x＝3， ∴tan∠ABE＝ ＝ ． 故选：C． 2.如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，FC交AD于F． （1）求证：△AFE≌△CDF； （2）若AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）10． 【详解】试题分析：（1）根据矩形的性质得到AB=CD，∠B=∠D=90°，根据折叠的性质得到∠E=∠B， AB=AE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到AF=CF，EF=DF，根据勾股定理得到DF=3，根据三角形的面积公式即可 得到结论． 试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠B=∠D=90°，∵将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点 B落在点E处，∴∠E=∠B，AB=AE，∴AE=CD，∠E=∠D，在△AEF与△CDF中，∵∠E=∠D， ∠AFE=∠CFD，AE=CD，∴△AEF≌△CDF； （2）∵AB=4，BC=8，∴CE=AD=8，AE=CD=AB=4，∵△AEF≌△CDF，∴AF=CF，EF=DF，∴DF2+CD2=CF2，即 1 1 DF2+42=（8﹣DF）2，∴DF=3，∴EF=3，∴图中阴影部分的面积=S ACE﹣S AEF= ×4×8﹣ ×4×3=10． 2 2 △ △ 点睛：本题考查了翻折变换﹣折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 3.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F， 则cos∠ADF的值为（ ） 8 7 15 8 A． B． C． D． 17 15 17 15 【答案】C 【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质，利用“AAS”证明ΔAFD≌ΔEFB，得出AF=EF， DF=BF，设AF=EF=x，则BF=5−x，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出x的值，最后根 据余弦函数的定义求出结果即可． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴CD=AB=5，AB=BC=3，∠A=∠C=90°，根据折叠可知，BE=BC=3，DE=DE=5，∠E=∠C=90°， ∴在△AFD和△EFB中¿， ∴ΔAFD≌ΔEFB（AAS）， ∴AF=EF，DF=BF， 设AF=EF=x，则BF=5−x， 在RtΔBEF中，BF2=EF2+BE2， 即(5−x) 2=x2+32， 8 8 17 解得：x= ，则DF=BF=5− = ， 5 5 5 AD 3 15 cos∠ADF= = = ∴ DF 17 17，故C正确． 5 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，根 据题意证明ΔAFD≌ΔEFB，是解题的关键． 4.如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为E，AE与CD交于点F． (1)求证：△DAF≌△ECF； (2)若∠FCE=40°，求∠CAB的度数． 【答案】(1)见解析 (2)∠CAB=25° 【分析】（1）由矩形与折叠的性质可得AD=BC=EC，∠D=∠B=∠E=90°，从而可得结论； （2）先证明∠DAF=∠ECF=40°，再求解∠EAB=∠DAB−∠DAF=90°−40°=50°， 结合对 折的性质可得答案． 【详解】（1）证明：将矩形ABCD沿对角线AC折叠， 则AD=BC=EC，∠D=∠B=∠E=90°． 在△DAF和△ECF中， ¿ ∴△DAF≌△ECF．（2）解：∵△DAF≌△ECF， ∴∠DAF=∠ECF=40°． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=90°． ∴∠EAB=∠DAB−∠DAF=90°−40°=50°， ∵∠FAC=∠CAB， ∴∠CAB=25°． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，矩形的性质，熟练的运用轴对称的性 质证明边与角的相等是解本题的关键． 题型二：将矩形短边顶点翻折到对角线上（模型二） 1.如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF．将 △ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结 GF．则下列结论不正确的是（ ） A．BD＝10 B．HG＝2 C．EG∥FH D．GF⊥BC 【答案】D 【分析】根据矩形的性质以及勾股定理即可判断A，根据折叠的性质即可求得HD,BG，进而判断B，根 据折叠的性质可得∠EGB=∠FHD=90°，进而判断C选项，根据勾股定理求得CF的长，根据平行线 线段成比例，可判断D选项 【详解】∵BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8， ∴BC=AD=8,AB=CD=6 ∴BD=√BC2+CD2=10 故A选项正确， ∵将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折， ∴BG=AB=6，DH=CD=6 ∴DG=4,BH=BD−HD=4∴HG=10−BH−DG=10−4−4=2 故B选项正确， ∵EG⊥BD,HF⊥DB, ∴EG∥HF， 故C正确 设AE=a，则EG=a， ∴ED=AD−AE=8−a， ∵∠EDG=∠ADB ∴tan∠EDG=tan∠ADB EG AB 6 3 即 = = = DG AD 8 4 a 3 ∴ = 4 4 ∴AE=3，同理可得CF=3 若FG∥CD CF GD 则 = BF BG CF 3 GD 4 2 ∵ = , = = ， BF 5 BG 6 3 CF GD ∴ ≠ ， BF BG ∴FG不平行CD， 即GF不垂直BC， 故D不正确． 故选D 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题 的关键． 2.如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处， 连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2，则DF＝ ，BE＝ ．【答案】 2 √5﹣1 【分析】先根据矩形的性质得到AD=BC，∠ADC=∠B=∠DAE=90°，再根据折叠的性质得到 CF=BC，∠CFE=∠B=90°，EF=BE，然后根据全等三角形的性质得到DF=AE=2；最后根据相 似三角形的性质即可得BE的值． 【详解】∵四边形ABCD是矩形 ∴AD=BC，∠ADC=∠B=∠DAE=90° ∵把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处 ∴CF=BC，∠CFE=∠B=90°，EF=BE ∴CF=AD，∠CFD=90° ∴∠ADE+∠CDF=∠FCD+∠CDF=90° ∴∠ADE=∠FCD 在△ADE和△FCD中，¿ ∴△ADE≅△FCD(ASA) ∴DF=AE=2 ∵∠AFE=∠CFD=90° ∴∠AFE=∠DAE=90° ∵∠AEF=∠DEA ∴△AEF∼△DEA AE EF AE EF ∴ = ，即 = DE AE DF+EF AE 2 EF ∴ = 2+EF 2 解得EF=√5−1或EF=−√5−1<0（不符题意，舍去） 则BE=EF=√5−1 故答案为：2，√5−1． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定与性 质等知识点，根据矩形与折叠的性质，正确找出两个相似三角形是解题关键． 3.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD 上的点A'处，则AE的长为 ．10 【答案】 3 【详解】∵AB=12，BC=5， ∴AD=5， ∴BD=√122+52=13， 根据折叠可得：AD=A′D=5， ∴A′B=13－5=8， 设AE=x，则A′E=x，BE=12－x， 在Rt△A′EB中：(12−x) 2=x2+82， 10 解得：x= ． 3 10 故答案为： 3 4.如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为 AE，且EF=3，则AB的长为 ． 【答案】6 【分析】先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理 即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8， ∴BC=8， ∵△AEF是△AEB翻折而成， ∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形， ∴CE=8-3=5， 在Rt△CEF中，CF=√CE2−EF2=√52−32=4 设AB=x， 在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+4）2=x2+82， 解得x=6，则AB=6．故答案为：6． 【点睛】本题考查了翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的 形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键． 题型三：将矩形短边顶点翻折到长边上（模型三） 1.如图，在矩形ABCD中，点M在AB边上，把△BCM沿直线CM折叠，使点B落在AD边上的点E处， 连接EC，过点B作BF⊥EC，垂足为F，若CD=1,CF=2，则线段AE的长为（ ） 1 1 A．√5−2 B．√3−1 C． D． 3 2 【答案】A 【分析】先证明 BFC≌△CDE，可得DE=CF=2，再用勾股定理求得CE=√5，从而可得AD=BC=√5，最后求得 AE的长． △ 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴BC=AD，∠ABC=∠D=90°，AD∥BC， ∴∠DEC=∠FCB， ∵BF⊥EC， ∴∠BFC=∠CDE， ∵把△BCM沿直线CM折叠，使点B落在AD边上的点E处， ∴BC=EC， 在 BFC与 CDE中， ¿ △ △ ∴△BFC≌△CDE（AAS）， ∴DE=CF=2， ∴CE=√CD2+DE2=√12+22=√5， ∴AD=BC=CE=√5， ∴AE=AD-DE=√5−2， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、折叠的性质，勾股定理的应用，解决本题 的关键是熟练掌握矩形中的折叠问题．2.如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC ＝5，则tan∠DAE的值为（ ） 1 9 2 1 A． B． C． D． 2 20 5 3 【答案】D 【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质得AF＝AD＝BC=5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理可求 出BF的长，则CF可得，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理可得关于x的方程， 解方程即可得到x，进一步可得DE的长，再根据正切的定义即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3， ∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处， ∴AF＝AD＝5，EF＝DE， 在Rt△ABF中，BF＝√AF2−AB2=√25−9=4， ∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1， 设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x 在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2， 4 ∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝ ， 3 5 ∴DE＝EF＝3﹣x＝ ， 3 5 ∴tan∠DAE＝DE 3 1， = = AD 5 3 故选：D． 【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、锐角三角函数和勾股定理等知识，属于常考题型，灵活运用这些性质进行推理与计算是解题的关键． 3.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C 恰好落在AB边 上的F处，则CE的长是（ ） 4 3 5 A．1 B． C． D． 3 2 3 【答案】D 【分析】设CE=x，则BE=3-x由折叠性质可知，EF=CE=x，DF=CD=AB=5，所以AF=4，BF=AB-AF=5-4=1，在 Rt△BEF中，由勾股定理得(3-x)2+12=x2，解得x的值即可． 【详解】解：设CE=x，则BE=3-x， 由折叠性质可知， EF=CE=x，DF=CD=AB=5 在Rt△DAF中，AD=3，DF=5， ∴AF=√52−32=4， ∴BF=AB-AF=5-4=1， 在Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2， 即(3-x)2+12=x2， 5 解得x= ， 3 故选：D． 【点睛】本题考查了与矩形有关的折叠问题，熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键． 4.在矩形ABCD的CD边上取一点E，将ΔBCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处． （1）如图1，若BC=2BA，求∠CBE的度数；（2）如图2，当AB=5，且AF⋅FD=10时，求BC的长； （3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AN+FD时，求 AB 出的值． BC 3 【答案】（1）15°；（2）3√5；（3） 5 【分析】（1）根据矩形的性质和直角三角形的性质，先得到∠AFB=30°，再由折叠的性质可得到 ∠CBE=15°； （2）由三等角证得ΔFAB∽ΔEDF，从而得DE=2，EF=CE=3，再由勾股定理求出DE，则 BC=AD=3√5； （3）过点N作NG⊥BF于点G，可证得ΔNFG∽ΔBFA．再根据相似三角形的性质得出对应边成比例 及角平分线的性质即可得解． 【详解】（1）∵矩形ABCD， ∴∠A=90°，AD//BC 1 由折叠的性质可知BF=BC=2AB，∠CBE= ∠CBF， 2 ∴∠AFB=30°， ∴∠FBC=∠AFB=30°，∴∠CBE=15° （2）由题意可得∠A=∠D=90°， ∠AFB+∠DFE=90°， ∠FED+∠DFE=90° ∴∠AFB=∠≝¿ ∴ΔFAB∽ΔEDF AF AB ∴ = ， DE DF AF·DF 10 ∴DE= = =2 AB 5 ∴EF=CE=3， 由勾股定理得DF=√32−22=√5， 10 ∴AF= =2√5， √5 ∴BC=AD=AF+FD=3√5； （3）过点N作NG⊥BF于点G． ∴∠NGF=∠A=90° 又∵∠BFA=∠NFG ∴ΔNFG∽ΔBFA． NG FG NF ∴ = = ． AB FA BF 1 1 1 ∵NF=AN+FD，即NF= AD= BC= BF 2 2 2 NG FG NF 1 ∴ = = = ， AB FA BF 2 又∵BM平分∠ABF，NG⊥BF，∠A=90°， ∴NG=AN， 1 ∴NG=AN= AB， 2 FG BF−BG BC−AB 1 = = = ∴ FA AN+NF 1 1 2 AB+ BC 2 2 AB 3 整理得： = ． BC 5【点睛】本题是一道矩形的折叠和相似三角形的综合题，解题时要灵活运用折叠的性质和相似三角形的 判定与性质的综合应用，是中考真题． 题型四：矩形短边沿折痕翻折（模型四） 1.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且AM＝BN，AD＝3AM，E为BC 边上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线折叠得到△DC′E，当C′点恰好落在线段MN上时，CE的长 为（ ） 5 5 3 3 A． 或2 B． C． 或2 D． 2 2 2 2 【答案】B 【分析】由矩形的性质得到CD＝AB＝5，AD＝BC＝6，∠A=90°，根据已知条件推出四边形MNCD的矩形， 得到∠DMN＝∠MNC＝90°，MN＝CD＝5，根据折叠的性质得到C′D＝CD＝5，C′E=CE，根据勾股定理得到 MC′＝√C'D2−M D2＝√52−42＝3，再由勾股定理即可得到结论． 【详解】解：设CE＝x，则C′E＝x， ∵矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6， ∴CD＝AB＝5，AD＝BC＝6，AD∥BC， ∵点M，N分别在AD，BC上，且3AM＝AD，BN＝AM， ∴DM＝CN＝4， ∴四边形CDMN为平行四边形， ∵∠NCD＝90°，∴四边形MNCD是矩形， ∴∠DMN＝∠MNC＝90°，MN＝CD＝5 由折叠知，C′D＝CD＝5， ∴MC′＝√C'D2−M D2＝√52−42＝3， ∴C′N＝5﹣3＝2， ∵EN＝CN﹣CE＝4﹣x， ∴C′E2﹣NE2＝C′N2， ∴x2﹣（4﹣x）2＝22， 5 5 解得，x＝ ，即CE＝ ． 2 2 故选：B． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 2.如图，在矩形纸片ABCD中，点E在BC边上，将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落在AE上．若 CE=3cm，AF=2EF，则AB= cm． 【答案】3√5 【分析】由将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落在AE上，可得EF=CE=3cm，CD=DF，∠DEC=∠DEF，由 矩形的性质得∠DFE=∠C=90°=∠DFA，从而得AF=6cm，AD=AE=9cm，进而由勾股定理既可以求解. 【详解】解：∵将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落在AE上，CE=3cm，四边形ABCD是矩形， ∴EF=CE=3cm，CD=DF，∠DEC=∠DEF，∠DFE=∠C=90°=∠DFA， ∵AF=2EF， ∴AF=6cm， ∴AE=AF+EF=6+3=9(cm)， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=DF，AD∥BC， ∴∠ADE=∠DEC=∠DEF， ∴AD=AE=9cm， ∵在Rt△ADF中，AF2+DF2=AD2∴62+DF2=92， ∴DF=3√5 (cm)， AB=DF=3√5 (cm)， 故答案为∶3√5． 【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理及轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 3.如图，在矩形ABCD中， AB=3，BC=2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿 CE折叠，使点B落在矩 形内点F处，则AF的最小值为 ． 【答案】√13−2 【分析】通过观察可以发现，当∠AFE=90°时 ，AF最小；然后设BE=x，则：EF=x，AE=3-x，然后多次使 用勾股定理即可解答； 【详解】解：设BE=x，则：EF=x，AE=3-x 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=√13 在Rt△EBC中，由勾股定理得:EC=√x2+4 由折叠可知CF=CB=2 所以：AF=AC-CF=√13-2 故答案为√13-2. 【点睛】本题考查几何图形中的最值问题，其中找到出现最值的位置和运用勾股定理解题是关键. 4.矩形纸片ABCD，长AD=8cm，宽AB=4cm，折叠纸片，使折痕经过点B，交AD边于点E，点A落 在点A'处，展平后得到折痕BE，同时得到线段BA'，EA'，不再添加其它线段，当图中存在30∘角时， AE的长为 厘米． 4√3 【答案】 或4√3或 8−4√3 3 【分析】分∠ABE=30°或∠AEB=30°或∠ABA′=30°时三种情况，利用锐角三角函数进行求解即可．【详解】解：当∠ABE=30°时， ∵AB=4cm，∠A=90°， 4√3 ∴AE=AB·tan30°= cm； 3 当∠AEB=30°时，则∠ABE=60°， ∵AB=4cm，∠A=90°， ∴AE=AB·tan60°=4√3cm； 当∠ABE=15°时，∠ABA′=30°，延长BA′交AD于F，如下图所示， x 2√3x 设AE=x，则EA′=x，EF= = ， sin60° 3 4√3 ∵AF=AE+EF=ABtan30°= ， 3 2√3x 4√3 ∴x+ = ， 3 3 ∴x=8−4√3， ∴AE=8−4√3 cm． 4√3 故答案为： 或4√3或8−4√3． 3 【点睛】本题考查了矩形与折叠，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键． 题型五：通过翻折将矩形两个顶点重合（模型五） 1.如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作 矩形OABC，且S OABC＝2√2，将矩形OABC翻折，使点B与原点O重合，折痕为MN，点C的对应点 矩形 k C'落在第四象限，过M点的反比例函数y＝ （k≠0）的图象恰好过MN的中点，则k的值为 ，点 x C'的坐标为 ．√2 1 4 √2 【答案】 / √2 （ ，− ） 2 2 3 3 【分析】连接OB交MN于Q，由折叠的性质可得MO=MB，OQ=OB，先证明△BMQ≌△ONQ得到QM=QN， 即点Q为OB的中点，过点Q作QH⊥x轴于H，证明△OHQ∽△OCB，求出 1 1 √2 √2 S = S = S = ，则k=2S = ；过点C'作C'G⊥x轴于G，可以推出 △OHQ 4 △OCB 8 矩形OABC 4 △OHQ 2 1 1 AM= AB，设AM=a，则BM=OM=3a，则OA=√OM2−AM2=2√2a，解得a= ，得到AB=OC=2， 4 2 3 1 MB= ，从而求出C'N=CN= ，OC'=√ON2−C'N2=√2，利用三角形面积法求出 2 2 C'G= OC' ⋅C'N = √2 ，则OG=√OC'2−C'G2= 4 ，即点C的坐标为（ 4 ，− √2 ）． ON 3 3 3 3 【详解】解：如图所示，连接OB交MN于Q， 由折叠的性质可得MO=MB，OQ=OB， ∵四边形OABC是矩形， ∴AB∥CO， ∴∠MOQ=∠NOQ，∠BMQ=∠ONQ， 又∵BQ=OQ， ∴△BMQ≌△ONQ（AAS）， ∴QM=QN，即点Q为OB的中点， 过点Q作QH⊥x轴于H， ∴OH∥BC， ∴△OHQ∽△OCB， S OQ 1 ∴ △OHQ= = ， S OB 4 △OCB ∵四边形OABC是矩形， 1 1 √2 ∴S = S = S = ， △OHQ 4 △OCB 8 矩形OABC 4 ∵Q在反比例函数图象上， √2 ∴k=2S = ； △OHQ 2 过点C'作C'G⊥x轴于G， ∵点M在反比例函数图象上，1 1 √2 ∴ AM⋅OA= k= ， 2 2 4 又∵S =OA⋅AB=2√2， 矩形ABCD 1 ∴AM= AB， 4 设AM=a，则BM=OM=3a， ∴OA=√OM2−AM2=2√2a， 1 √2 ∴ a⋅2√2a= ， 2 4 1 解得a= （负值已经舍去）， 2 3 ∴AB=OC=2，MB= ， 2 ∵QM=QG，OQ=BQ， ∴四边形OMBN是平行四边形， 3 ∴ON=BM= ， 2 1 ∴C'N=CN= ， 2 ∴OC'=√ON2−C'N2=√2， 1 1 ∵S = ON⋅C'G= OC' ⋅C'N， △OC'N 2 2 OC' ⋅C'N √2 ∴C'G= = ， ON 3 4 ∴OG=√OC'2−C'G2= ， 3 4 √2 ∴点C的坐标为（ ，− ） 3 3 √2 4 √2 故答案为： ，（ ，− ）． 2 3 3【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，相 似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形面积公式，正确作出辅助线是解 题的关键． 2.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为EF． (1)求证：△PDE≌△CDF； (2)若CD=4cm,EF=5cm，求BC的长． 【答案】(1)证明见解析 16 (2) cm 3 【分析】（1）利用ASA证明即可； （2）过点E作EG⊥BC交于点G，求出FG的长，设AE=xcm，用x表示出DE的长，在Rt△PED中，由勾股 定理求得答案． 【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，∠A=∠B=∠ADC=∠C=90°， 由折叠知，AB=PD，∠A=∠P，∠B=∠PDF=90°， ∴PD=CD，∠P=∠C，∠PDF =∠ADC， ∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF, ∴∠PDE=∠CDF， 在△PDE和△CDF中， ¿, ∴△PDE≌△CDF（ASA）；（2）如图，过点E作EG⊥BC交于点G， ∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=CD=EG=4cm， 又∵EF=5cm，∴GF=√EF2−EG2=3cm, 设AE=xcm， ∴EP=xcm， 由△PDE≌△CDF知，EP=CF=xcm， ∴DE=GC=GF+FC=3+x， 在Rt△PED中，PE2+PD2=DE2, 即x2+42=(3+x) 2， 7 解得，x= ， 6 7 7 16 ∴BC=BG+GC= +3+ = (cm）． 6 6 3 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据翻折变换的性 质将问题转化到直角三角形中利用勾股定理是解题的关键． 3.如图，将一张长方形纸片ABCD沿E折叠，使C,A两点重合．点D落在点G处．已知AB=4，BC=8． （1）求证：ΔAEF是等腰三角形； （2）求线段FD的长． 【答案】（1）见解析；（2）3【分析】（1）根据矩形的性质可得AD//BC,则∠FEC=∠AFE,因为折叠，∠FEC=∠AEF，即 可得证； （2）设FD=x用含x的代数式表示AF，由折叠，AG=DC，再用勾股定理求解即可 【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形 ∴ AD//BC ∴ ∠FEC=∠AFE 因为折叠，则∠FEC=∠AEF ∴∠AEF=∠AFE ∴ ΔAEF是等腰三角形 （2）∵四边形ABCD是矩形 ∴AD=BC=8,CD=AB=4,∠D=90° 设FD=x，则AF=AD−x=8−x 因为折叠，则FG=x，AG=CD=4,∠G=∠D=90° 在Rt△AGF中 FG2=AF2−AG2 即x2=(8−x) 2−42 解得：x=3 ∴ FD=3 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定定理，图像的折叠，勾股定理，熟悉以上知识点是 解题的关键． 题型六：将矩形短边顶点翻折到对称轴上（模型六） 1.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，将矩形翻折，使边AD与边BC重合，展开后得到折痕MN， E是AD的中点，动点F从点D出发，沿D→C→B的方向在DC和CB上运动，将矩形沿EF翻折，点D的 对应点为G，点C的对应点为C'，当点G恰好落在MN上时，点F运动的距离为 ． 5 【答案】 或9 3 【分析】分类讨论点F再线段DC上运动，点F再线段BC上运动，画出图形，根据折叠性质及勾股定理即可求解． 【详解】解 ：①当点F再线段DC上运动时： 由题意得：△≝≌△GEF 1 ∴EG=ED= AD=5 2 ∵∠D=∠EQN=∠DNQ=90° ∴四边形EMND为矩形 1 ∴EQ=DN= CD=3,QN=ED=5 2 ∴QG=√EG2−EQ2=4，GN=QN−QG=1 设DF=GF=x，则NF=3−x 在Rt△FGN中：GF2=FN2+GN2 ∴x2=(3−x) 2+12 5 解得：x= 3 5 点F运动的距离为： 3 ②当点F再线段BC上运动时： 由题意得：△≝≌△GEF1 ∴EG=ED= AD=5 2 ∵QG=GP=AM=3 ∴EQ=√EG2−QG2=4，BP=MG=AQ=AE−QE=1 ∴CP=BC−BP=9 设DF=GF=a，CF=b，则PF=9−b 在Rt△GPF中：GF2=PF2+GP2 ∴a2=(9−b) 2+32 在Rt△DFC中：DF2=CF2+DC2 ∴a2=b2+62 解得：b=3 点F运动的距离为：3+6=9， 5 故答案为： 或9 3 【点睛】本题综合考查了折叠的性质、勾股定理解三角形．综合性较强，需要学生具备将强的逻辑推理 能力． 2.如图，在矩形ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，将△ADM沿AM所在直线折叠，使点D落到EF上 点G处，已知BC＝4，则线段EG的长度为 ． 【答案】2√3 【分析】根据矩形的性质和判定可得四边形AEFB是矩形，然后利用勾股定理即可解决问题； 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC=4，AD∥BC，∠B=90°， 又∵E、F分别是AD、BC的中点， ∴AE=BF=2， ∴AE∥BF， ∴四边形AEFB是平行四边形， 又∵∠B=90°，∴四边形AEFB是矩形， ∴∠AEG=90°， 由折叠可知，AG=AD=4， ∴EG=√AG2−AE2=√42−22=2√3， 故答案为：2√3． 【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 3.【初步探究】 （1）把矩形纸片ABCD如图①折叠，当点B的对应点B'在MN的中点时，填空： △EB'M △B' AN （“≌”或“∽”）． 【类比探究】 （2）如图②，当点B的对应点B'为MN上的任意一点时，请判断（1）中结论是否成立？如果成立，请写 出证明过程；如果不成立，请说明理由． 【问题解决】 （3）在矩形ABCD中，AB=4,BC=6，点E为BC中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将 △BPE沿PE折叠得到△B'PE，连接DE,DB'，当△EB'D为直角三角形时，BP的长为 ． 9 【答案】（1）∽；（2）结论成立，理由见解析；（3） 或1 4 【分析】（1）根据矩形的性质以及折叠的性质，得出∠EB'M=∠B' AN，即可证明； （2）根据（1）的方法证明即可得出结论； （3）分∠DB'E=90°，∠B'ED=90°，两种情况分别讨论，根据勾股定理以及全等三角形的性质， 相似三角形的性质与判定，分别求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=90°， ∵矩形纸片ABCD如图①折叠， ∴∠EB' A=∠B=90°， ∴∠EB'M=90°−∠AB'N=∠B' AN， ∵∠EMB'=90°=∠B'NA， ∴△EB'M∽△B' AN，故答案为：∽； （2）（1）中结论成立，理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=90°， ∵矩形纸片ABCD如图①折叠， ∴∠EB' A=∠B=90°， ∴∠EB'M=90°−∠AB'N=∠B' AN， ∵∠EMB'=90°=∠B'NA， ∴△EB'M∽△B' AN； （3）如图所示，当∠DB'E=90°时，△EB'D是直角三角形， 由折叠可得，∠PB'E=∠B=90°,BE=B'E=CE， ∴∠DB'P=180°，即点P，B'，D在一条直线上， 在Rt△CDE和Rt△B'DE中， ¿， ∴Rt△CDE≌Rt△B'DE(HL)， ∴B'D=CD=AB=4， 设BP=x=B'P，则AP=4−x,PD=x+4， 在Rt△APD中，AP2+AD2=PD2， 9 ∴(4−x) 2+62=(x+4) 2，解得：x= ， 4 9 ∴BP= ； 4 如图所示，当∠B'ED=90°时，△EB'D是直角三角形，过B'作B'H⊥AB于H，作B'Q⊥BC于Q， 则∠B'QE=∠C=90°， 又∵∠B'ED=90°，∴∠B'EQ+∠CED=90°=∠EDC+∠CED， ∴∠B'EQ=∠EDC， ∴△B'EQ∽△EDC， B'Q EQ B'E ∴ = = ， CE CD DE 1 ∵CE=BE= BC=3,CD=4， 2 ∴DE=√CE2+CD2=5， ∵△BPE沿PE折叠得到△B'PE， ∴B'E=BE=3， B'Q EQ 3 ∴ = = ， 3 4 5 9 12 解得B'Q= ,EQ= ， 5 5 3 9 ∴BQ=BE−EQ= =B'H,BH=B'Q= ， 5 5 9 设BP= y=B'P，则HP=BH−BP= −y， 5 在Rt△B'PH中，H P2+B'H2=B'P2， ∴ (9 −y ) 2 + (3) 2 = y2 ，解得：y=1， 5 5 ∴BP=1． 9 综上所述，BP的长为 或1． 4 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，折叠问题，掌握以上知识是解 题的关键． 4.[问题解决] （1）如图①，在矩形纸片ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，点B的对应点F 恰好落在AD边上，请你判断四边形ABEF的形状，并说明理由； [问题探索] （2）如图②，在矩形纸片ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，点B的对应点F 在矩形纸片ABCD的内部，延长AF交CD于点G，求证：FG＝CG； [拓展应用] （3）如图③，在正方形纸片ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，点B的对应点F落在正方形纸片ABCD内，延长AF交CD于点G，若AB＝4，求线段FG的长． 【答案】（1）正方形，理由见详解；（2）见详解；（3）1 【分析】（1）由矩形的性质得∠BAD＝∠B＝∠C＝90°，再由折叠的性质得∠AFE＝∠B＝90°，AB＝AF， 则四边形ABEF是矩形，即可得出结论； （2）连接EG，由折叠的性质可知，BE＝FE，∠AFE＝∠B＝90°，再证Rt△EFG≌Rt△ECG（HL），即可得出 结论； （3）由（2）得FG＝CG，设FG＝CG＝x，则AG＝4+x，DG＝4﹣x，再在Rt△ADG中，由勾股定理得出方 程，解方程即可． 【详解】（1）解：四边形ABEF是正方形，理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠B＝∠C＝90°， 由折叠的性质得：∠AFE＝∠B＝90°，AB＝AF， ∴四边形ABEF是矩形， 又∵AB＝AF， ∴矩形ABEF是正方形； （2）证明：如图，连接EG， 由折叠的性质可知，BE＝FE，∠AFE＝∠B＝90°， ∴∠EFG＝90°＝∠C， ∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE， ∴FE＝CE，又∵EG＝EG， ∴Rt△EFG≌Rt△ECG（HL）， ∴FG＝CG； （3）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD＝AB＝4，∠D＝90°， 由（2）得：FG＝CG， 设FG＝CG＝x，则AG＝AF+FG＝4+x，DG＝CD﹣CG＝4﹣x， 在Rt△ADG中，由勾股定理得：AG2＝DG2+AD2， 即（4+x）2＝（4﹣x）2+42， 解得：x＝1， ∴FG＝1． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质和勾股 定理，由正方形和折叠的性质利用勾股定理建立方程是解答（3）问的关键． 题型七：将矩形翻折使其一个顶点落在一边上（模型七） 1.如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点B，C分别落在点B ,C 的位置．若∠1=α，则∠2=（ 1 1 ） A．α B．α−30° C．30°−2α D．2α−90° 【答案】D 【分析】如图，折叠得到∠1=∠3，∠B=∠EB C =90°，矩形的性质，得到∠A=∠D=90°， 1 1 同角的余角相等，得到∠2=∠5，平角的定义和三角形的内角和定理，求出∠5，即可． 【详解】解：∵折叠， ∴∠1=∠3，∠B=∠EB C =90°， 1 1 ∴∠4=180°−2∠1=180°−2α， ∵矩形纸片ABCD， ∴∠A=∠D=90°， ∴∠2=∠5=90°−∠DB C ， 1 1 ∵∠5=180°−∠A−∠4=180°−90°−180°+2α=2α−90°，∴∠2=2α−90°； 故选D． 【点睛】本题考查矩形中的折叠问题．熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，是解题的关键． 2.如图是一张矩形纸片ABCD,AB=4cm，点E为边BC上一点，且EC=2，连接AE，若将其沿AE对折， 使得点B落在边AD上的点B 处，则AD的长为（ ） 1 A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 【答案】B 【分析】根据对称性得到AB =AB=4，再由矩形的判定与性质得到四边形B ECD是矩形，从而可得 1 1 B D=EC=2，进而得到答案． 1 【详解】解：在矩形ABCD中，由对称性质可得AB =AB=4，∠AB E=∠B=90°， 1 1 ∵∠C=∠D=90°， ∴四边形B ECD是矩形， 1 ∴B D=EC=2， 1 ∴AD=AB +B D=4+2=6， 1 1 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，熟记对称的性质是解决问题的关键． 3.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，点E是AB上一点，点F是BC上一点，将矩形沿EF折 叠，使点B的对应点G正好落在AD的中点处，则AE的长为（ ）5 5 A． B． C．2 D．3 6 3 【答案】B 【分析】设AE=x，先根据矩形的性质和折叠的性质分别表示出AD,EG的长度，再根据勾股定理求解 即可． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，BC=8， ∴AD=BC=8，∠A=90°， ∵矩形沿EF折叠，点B的对应点G正好落在AD的中点处， 1 ∴AG= AD=4，BE=EG， 2 设AE=x， ∵AB=6， ∴BE=AB−AE=6−x=EG， 在Rt△AEG中，由勾股定理得AE2+AG2=EG2， 即x2+42=(6−x) 2， 5 解得x= ， 3 5 ∴AE= ， 3 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 4.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=7，BC=9，M是BC上的点，且CM=2．将矩形纸片ABCD沿过点 M的直线折叠，使点D落在AB上的点P处，点C落在点C'处，折痕为MN，则线段PA的长是（ ）A．4 B．5 C．6 D．2√5 【答案】B 【分析】连接PM，证明△PBM≅△PC'M即可得到CM=C'M=PB=2，PA=5． 【详解】连接PM ∵矩形纸片ABCD中，AB=7，BC=9， ∴CD=7 ∵CM=2 ∴BM=7 ∵折叠 ∴CD=PC'=7,∠C'=90°=∠B ∴BM=PC'=7 ∵PM=PM ∴Rt△PBM≅Rt△PC'M(HL) ∴CM=C'M=PB=2 ∴PA=AB−PB=5 故选B． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，解题的关键是看到隐藏条件BM=PC'=7，学会利用翻折不变性解 决问题． AB 2 5.如图，在矩形ABCD中 = ．动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿 BC 3 边BC向点C匀速运动，连接MN．动点M，N同时出发，点M运动的速度为v ，点N运动的速度为v ， 1 2 且v AD)，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A 落在边DC上，点A的对应点为A'，折痕为DE，点E在AB上．求证：四边形AE A'D是正方形．【规律探索】（2）由【问题解决】可知，图①中的ΔA'DE为等腰三角形．现将图①中的点A'沿DC向 右平移至点Q处（点Q在点C的左侧），如图②，折痕为PF，点F在DC上，点P在AB上，那么ΔPQF 还是等腰三角形吗？请说明理由． 【结论应用】（3）在图②中，当QC=QP时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P重合，折痕为 AD QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则 = ___________． AB √3 【答案】（1）见解析；（2）是等腰三角形，见解析；（3） 5 【分析】（1）由题意根据邻边相等的矩形是正方形进行分析证明即可． （2）根据题意证明∠QFP=∠FPQ即可解决问题． （3）由题意证明△PFQ，△PGA都是等边三角形，设QF=m，求出AB，AD（用m表示）即可解决问题． 【详解】解：（1）证明：如图①中， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠ADA′=90°， 由翻折可知，∠DA′E=∠A=90°， ∴∠A=∠ADA′=∠DA′E=90°， ∴四边形AEA′D是矩形， ∵DA=DA′， ∴四边形AEA′D是正方形． （2）结论：△PQF是等腰三角形． 理由：如图②中， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠QFP=∠APF，由翻折可知，∠APF=∠FPQ， ∴∠QFP=∠FPQ， ∴QF=QP， ∴△PFQ是等腰三角形． （3）如图③中， ∵四边形PGQF是菱形， ∴PG=GQ=FQ=PF， ∵QF=QP， ∴△PFQ，△PGQ都是等边三角形，设QF=m， ∵∠FQP=60°，∠PQD′=90°， ∴∠DQD′=30°， ∵∠D′=90°， 1 1 √3 ∴FD'=DF= FQ= m，QD'=√3D'F= m， 2 2 2 √3 由翻折可知，AD=QD'= m，PQ=CQ=FQ=m， 2 5 ∴AB=CD=DF+FQ+CQ= m， 2 √3 m AD 2 √3 ∴ = = ． AB 5 5 m 2 √3 故答案为： ． 5 【点睛】本题属于四边形综合题，考查矩形的性质，正方形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形， 等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 6.如图1，将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(−4，0)，点C的坐标为(0，m)(m>0)， 点D(−1，m)在边BC上，将△ABD沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．(1)如图2，当m=3时，抛物线过点A、E、C，求抛物线解析式； (2)如图3，随着m的变化，点E正好落在y轴上，求∠BAD的余切值； (3)若点E横坐标坐标为1，抛物线y=ax2+2ax+10(a≠0且a为常数)的顶点落在△ADE的内部，求a的 取值范围． 3 15 【答案】(1)y= x2+ x+3 4 4 (2)cot∠BAD=√2 6√5 (3)10−3√50)，点D(−1,3)， ∵点A的坐标为(−4,0)，四边形OABC是矩形， ∴OA=BC=4，AB=OC=3， ∴BD=3， ∴将△ABD沿AD折叠压平，点B的对应点E在x轴上， ∴AE=3， ∴OE=1， ∴E(−1,0)， 设过点A、E、C的抛物线解析式为y=a x2+bx+c(a ≠0)， 1 1 ∴ ¿，解得¿， 3 15 ∴抛物线解析式为y= x2+ x+3； 4 4 （2）当点E正好落在y轴上，如图： 由折叠得DE=DB=3，∠AED=∠B=90°， ∴∠DEC+∠AEO=90°，CE=√DE2−CD2=√32−12=2√2， ∵∠EAO+∠AEO=90°， ∴∠DEC=∠EAO， ∵∠AOE=∠ECD=90°， ∴△AOE∽△ECD，OE OA ∴ = ， DC CE OE 4 ∴ = ， 1 2√2 ∴OE=√2， ∴AB=OC=3√2， AB 3√2 ∴cot∠BAD= = =√2； BD 3 （3）如图，过点E作EN⊥x轴于N，延长NE交BC延长线于M，则∠M=90°， ∵点E横坐标坐标为1， ∴ON=CM=1， ∴DM=DC+CM=2，AN=OA+ON=5， 由折叠得∠AED=∠B=90°， ∴∠AEN+∠DEM=90°， ∵∠AEN+∠EAN=90°， ∴∠DEM=∠EAN， ∵∠M=∠AEN=90°， ∴△DEM∽△EAN， EN AN ∴ = ， DM ME 在Rt△DEM中，ME=√DE2−DM2=√32−22=√5， EN 5 ∴ = ， 2 √5 ∴EN=2√5， ∴MN=EN+ME=3√5， ∴D(−1，3√5)，E(1，2√5)， 设直线AE的解析式为y=kx+b，∴ ¿，解得¿， 2√5 8√5 ∴直线AE的解析式为y= x+ ， 5 5 ∵抛物线y=ax2+2ax+10=a(x+1) 2−a+10， ∴顶点为(−1,−a+10)， 2√5 8√5 6√5 当x=−1时，y= x+ = ， 5 5 5 ∵抛物线y=ax2+2ax+10(a≠0且a为常数）的顶点落在△ADE的内部， 6√5 ∴ <−a+10<3√5， 5 6√5 ∴10−3√5