专题 09 综合与实践（创新压轴题，41 题）
1．（2025·江西·中考真题）综合与实践
从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的
旋转放缩问题展开探究．
特例研究
在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O．
（1）如图1，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角
的度数为________，k的值为________；
（2）如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF（点O，B的
BF
对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上，求 的值
OE
类比探究
（3）如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，O是AB的垂直平分线与BD的交点，将
△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到△AEF（点O，B的对应点分别为点
BF
E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上．猜想 的值是否与α有关，并说明理由；
OE
（4）若（3）中∠ABC=β，其余条件不变，探究BA，BE，BF之间的数量关系（用含
β的式子表示）．
2．（2024·江西·中考真题）综合与实践
如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB上的动点（点D与点A不重合），连接CD，以CD
CE CB
为直角边在CD的右侧构造Rt△CDE，∠DCE=90°，连接BE， = =m．
CD CA
1特例感知
（1）如图1，当m=1时，BE与AD之间的位置关系是______，数量关系是______；
类比迁移
（2）如图2，当m≠1时，猜想BE与AD之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．
拓展应用
（3）在（1）的条件下，点F与点C关于DE对称，连接DF，EF，BF，如图3．已知
AC=6，设AD=x，四边形CDFE的面积为y．
①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；
②当BF=2时，请直接写出AD的长度．
3．（2023·江西·中考真题）综合与实践
问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，
CD=√2，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运
动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF设点P的运动时间为ts，正方形DPEF
的而积为S，探究S与t的关系
(1)初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，
①当t=1时，S=_______．
②S关于t的函数解析式为_______．
(2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示
的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长．
(3)延伸探究：若存在3个时刻t ,t ,t （t <t <t ）对应的正方形DPEF的面积均相等．
1 2 3 1 2 3
①t +t =_______；
1 2
②当t =4t 时，求正方形DPEF的面积．
3 1
4．（2022·江西·中考真题）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个
问题：将足够大的直角三角板PEF(∠P=90°,∠F=60°)的一个顶点放在正方形中心O
处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况
（已知正方形边长为2）．
2(1)操作发现：如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合
时，重叠部分的面积为__________；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为__________；
一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S 与S的关系为__________；
1
(2)类比探究：若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE,OP分别与正方形的
边相交于点M，N．
①如图2，当BM=CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；
②如图3，当CM=CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）；
(3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH（设
∠GOH=α），将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形
ABCD的边所围成的图形的面积为S ，请直接写出S 的最小值与最大值（分别用含α的式
2 2
子表示），
√6−√2 √6+√2
（参考数据：sin15°= ,cos15°= ,tan15°=2−√3）
4 4
5．（2025·江西九江·一模）【回归教材】
我们曾经利用折纸的办法得到：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
已知：如图①，直线MN⊥AB，垂足为C，且AC=BC，P是MN上的任意一点．
求证：PA=PB．
【定理证明】
（1）请你根据“已知”和“求证”，写出完整的证明过程；
【定理应用】
（2）如图②，△ABC中，AD⊥BC于点D，AC的垂直平分线交AC于点F，交BC于点
E，连接AE，若BD=DE，△ABC的周长为20，AC=9，求DC长；
（3）如图③，矩形ABCD中，AB=12，点E是AD上的一点，AE=6，BE的垂直平分
线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G，若G是CD的中点，求DE的长．
36．（2025·江西吉安·一模）综合与实践
【数学思考】（1）如图1，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC上，连接
CE．请探究CA，CE和CD之间的数量关系，并说明理由；
【模型迁移】（2）如图2，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为点E，
∠BAE=∠ADC，BE=CE=1，CD=3，AD=kAB（k为常数），求BD的长（用含k
的式子表示）；
【拓展运用】（3）如图3，等边三角形ABC中，AB=6，点E在AC上， CE=2√3．点
D是直线BC上的动点，连接DE，以DE为边在DE的右侧作等边三角形DEF，连接CF．
当△CEF为直角三角形时，请直接写出BD的长．
7．（2025·江西·模拟预测）综合与实践
【课本再现】
（1）如图1，△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线BE,CF相交于点G．
①若∠A=50°，则∠BGC=_______；
1
②求证：∠BGC=90°+ ∠A．
2
【数学思考】
（2）如图2，△ABC中∠ABC的平分线与其外角∠ACE的平分线交于点O，猜想∠A与
∠BOC之间的数量关系，并给予证明．
【问题解决】
4⏜
（3）如图3，菱形ABCD的顶点A,D在⊙O上，AB与⊙O相交于点E,F为
AD
的中点，
AE
若∠FEC=90°,∠CAE=∠FEA=2∠ACE，求 的值．
AD
8．（2025·江西景德镇·模拟预测）马超同学在学习完《图形的相似》后结合前面所学习的
矩形，对矩形中的动点问题展开了以下探究：
如图1，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E为边AD上的一个动点，连接AC，BE
并交于点F；
AF 1
（1）若 = ，则AE=_____；若BE⊥AC，则AE=_____；
FC 4
如图2，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P为对角线AC（不与点A，C重合）上一
动点，过点P作MN⊥AC，交边AD，BC于点M，N，过点M作ME⊥AD交AC于点E；
（2）判断点P在移动过程中，线段MN的长度是否会发生变化，若变化，请求出线段MN
长度的变化范围，若不变化，求出线段MN长度的大小；
AM 1
（3）若 = ，求出此时△MPE的面积；
MD 2
如图3，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点Q为矩形内部一动点，连接BQ且满足
BQ=AB，点F在线段BQ上且BF=4，连接CF．
3
（4）请直接写出DQ+ CF的最小值．
4
9．（2025·江西南昌·一模）课本再现：
定理：有三个角是直角的四边形是矩形．
定理证明：
为了证明该定理，小颖同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”“求证”，请你完
成证明过程．
5（1）已知：如图1，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，求证：四边形ABCD
是矩形．
知识应用：
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠A=∠D=90°，BE平分∠ABC，交AD于点E，
AB=AE，F是BC上的一点，且EF=EC，过点C作CP⊥EF，交BE于点P，过点P作
PM⊥BC于点M．
①求证：四边形ABCD是矩形．
BP
②若AE=3DE，求 的值．
BE
10．（2025·江西赣州·一模）（1）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CO为斜边AB
上的中线，那么OC与AB之间存在什么样的的数量关系呢？
为解决这一问题，小明同学想的办法是：如图2，延长CO到D，使DO=CO，连接AD，
BD……请你顺着小明的思路完成解答；
【深入探究】
（2）如图3，已知AC⊥BC,AD⊥DB，E为AB的中点．则∠CED与∠CAD之间的数
量关系为___________；
【应用提升】
（3）如图4，在正方形ABCD中，E为BC上一点，F为AE的中点，以CF，DF为边在
AE的右侧作平行四边形FCGD．
①求证：四边形FCGD为菱形；
②如图5，连接AC，过点E作AC的垂线，垂足为M，若∠DFM=45°,EC=8，求四边
形FCGD的面积．
11．（2025·江西·模拟预测）已知四边形ABCD,AC,BD是对角线，
AB=BC,∠ABC+∠ADC=90°．
【模型建立】
6（1）如图1，若∠ABC=60°，将△ABD绕点B顺时针旋转60°得到△CBE，连接DE．
①求证：△BDE是等边三角形．
②用等式写出线段AD,BD,CD之间的数量关系，并证明．
【模型应用】
（2）在（1）的条件下，当AD=8,CD=6时，求四边形ABCD的面积．
【模型迁移】
（3）如图2，若BD=3AB，求证：AD2+CD2=9AC2．
12．（2025·江西·二模）课本再现
（1）如图1，在正方形ABCD中，E是边AB上的动点，连接CE．过点D作DF⊥CE于
点F，BG∥DF，且交CE于点G，则BG，DF与FG之间的数量关系是___________；
【数学模型】
（2）如图2，在正方形ABCD中，AB=2,E是边AB上的动点，连接CE．过点B作
BF⊥CE于点F，连接DF，当△CFD是以CF为底的等腰三角形时，求CE的长；
【模型迁移】
AB 3
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠BAD=90°， = ，AB=BC，AD=CD，点
AD 4
CF
E，F分别在边AB，AD上，且DE⊥CF，垂足为G，求 的值．
DE
13．（2025·江西新余·二模）如图1，正方形ABCD的顶点D在直线l上，点C′与点C关于
直线l对称，直线AC′与直线l交于点E，连接EC，BE，探究AC′与BE的数量关系．
【特殊感知】（1）①如图2．当∠EDC=30°，EC=2时，EC′=_____，∠C′EC=
_____；
②如图3，当AC′=C′E时，AC′=_____BE，∠AEB=_____；
【猜想论证】（2）猜想AC′与BE的数量关系，并结合图1进行证明；
【拓展应用】（3）若正方形ABCD的边长为2，当AE=2AC′时，直接写出线段BE的长．
714．（2025·江西新余·二模）如图，在等边△ABC中，点D是射线BC上的动点，连接AD，
点E是AD的中点，将DE绕点D顺时针旋转60°，得到DF，连接CF．
【夯实基础】
（1）连接AF，如图1，求证：AF⊥DF；
【特例探究】
（2）如图2，若点E恰好在CF的延长线上，CE的延长线交AB于点G，求证：
CF+EG=EF；
【拓展延伸】
（3）请利用备用图探究：在点D运动的过程中，当△DFC是直角三角形时，求BC与CD
之间的数量关系，并说明理由．
15．（2025·江西萍乡·二模）在矩形ABCD中，BC=kAB，点E是CD边上不与端点C、D
重合的动点，CH⊥BE于H，
【课本再现】（1）如图（1），当k=1时，延长CH交AD于点F，求证：BE=CF；
【类比迁移】（2）如图（2），在（1）的条件下，延长CH交对角线BD于点G，若点E是
CD的中点，EH=a，请分别求出CH，BH与CG的长（结果均用含有a的代数式表示）；
CG
【拓展延伸】（3）如图（3），若DE=kCE，直接写出 的值_____（结果用含有k的
CH
式子表示）．
16．（2025·江西赣州·二模）【课本再现】（1）如图1，把矩形ABCD对折得到折痕EF，
8再一次对折，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到新折痕BM，把纸片展
平．这个折纸的过程实际上就是把∠ABC分成了（ ）
A．二等分 B．三等分 C．四等分
【类比探究】（2）类似的，通过折纸也可以折出矩形一边的三等分点．如图2，把矩形
ABCD对折两次，对角线AC与折痕GH相交于点O，沿直线OB再次折叠，折痕交AD于
点P，此时有AD=3AP．请你补充下列证明过程：
证明：如图2，在矩形ABCD中，AD∥BC，
由折叠可知，GH∥BC，AB=4AG，
AO AG 1 AO
∴ = = ，∴ =（ ）
AC AB 4 OC
∵AP∥BC，∴△APO∽______，
AP () 1
∴ = = ，即AD=BC=3AP．
BC () 3
（3）如图3，先把矩形ABCD沿EF对折，再沿DE折叠，折痕DE交对角线AC于点G，
过点G折叠矩形，使得点A落在AD上，得到折痕PQ．请判断点P是否为AD边的“三等
分点”？并证明你的结论．
【拓展应用】（4）如图4，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P是边AB的三等分点，
把△ADP沿DP翻折得△EDP，直线PE交BC于点F，请求出BF的长．
17．（2025·江西宜春·二模）如图（1），在△ABC中，∠A=30°，点P从点A出发以
2cm/s的速度沿路线A→C→B运动，点Q从点A出发以1cm/s的速度沿AB运动．P，Q
两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．以AQ,PQ为边在AB的上方
作平行四边形ADPQ，设运动时间为ts，平行四边形ADPQ的面积为Scm2（当点A，P，
Q重合或在一条直线上时，不妨设S=0）．探究S与t的关系．
初步感知
（1）当点P由点A运动到点C时，
9①若t=1，S= __________；
②S关于t的函数解析式为__________．
深入探究
（2）当点P由点C运动到点B时，经探究发现S关于t的函数解析式为S=at2+bt
(4≤t≤10)，其图象如图（2）所示．
①m的值为__________；
②求S关于t的函数解析式．
延伸探究
（3）当点P在AC上运动时记为P ，运动时间记为t ，平行四边形ADPQ的面积记为S ；
1 1 1
当点P在BC上运动时记为P ，运动时间记为t ，平行四边形ADPQ的面积记为S ，
2 2 2
P P ∥AB．
1 1
①求t 与t 的数量关系；
1 2
②当t +t =9时，S −S 的值为__________．
1 2 1 2
18．（2025·江西南昌·二模）【特例感知】
在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，EF与AC相交于点G．
（1）①如图1，若点E，F分别是AB，AD的中点，则tan∠EFC=______；
EF
②如图2，若点F是AD的中点，∠EFC=90°，则 = ______．
CF
【类比探究】
在菱形ABCD中，∠BAD=60°，点E，F分别在AB，AD上，对角线AC，BD相交于点
O，CF与BD相交于点M，连接EF交AC于点G．
（2）①如图3，若E，F分别是AB，AD的中点，求tan∠EFC的值；
②如图4，若∠EFC=60°，求证：EF⋅AD=AF⋅CF．
【拓展延伸】
101
（3）如图5，在四边形ABCD中，BC∥AD，且BC= AD，点E为AB的中点．若
2
CD
∠A=∠DCE=45°，请直接写出 的值．
CE
19．（2025·江西南昌·模拟预测）（首选几何压轴）【问题情境】
学完《探索全等三角形的条件》后，老师提出如下问题：如图①，△ABC中，若
AB=10,AC=8，求BC边上中线AD的取值范围．通过分析、思考，小丽同学形成两种解
题思路．
思路1：将△ADC绕着点D旋转180°，使得CD和BD重合，得到△EDB…
思路2：延长AD到E，使得DE=AD，连接BE，根据SAS可证得△ADC≌△EDB…
（1）根据上面任意一种解题思路，再结合三角形三边关系，我们都可以得到AD的取值范
围为 ．
【类比探究】
（2）如图②，DB=DE,DC=DA,∠BDC+∠ADE=180°，DF是△ADE的边AE上的
中线，试探索DF与BC的数量关系，并说明理由．
【迁移应用】
（3）【应用1】如图③，已知⊙O的半径为6，四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形．
AD=8,∠AOD+∠BOC=180°，求BC的长．
（4）【应用2】如图④，DB=DE,DC=DA,∠BDC+∠ADE=180°,BD⊥DE,
AE=a,BC=b,AB,CE相交于点G，连接DG，若∠BDC的度数发生改变，请问DG是
否存在最小值？如果存在，则直接写出其最小值（用含a和b的式子表示），如果不存在，
请说明理由．
20．（2025·江西新余·三模）综合与实践
如图1，四边形ABCD是一个正方形，E是BA延长线上一点，将△BCE沿CE折叠，得到
11△FCE，CE与AD交于点P，延长AD交EF于点G连接CG，AE=mAB，
特例感知
（1）当m=√2时，∠ECG的度数为______．
类比迁移
（2） 当m≠2时，求∠ECG的度数．
拓展提升
（3） 如图2，连接BD并延长，与CG的延长线交于点H，连接EH，若AB=2，△ECH
的面积为S．
① 求S与m的函数表达式；
② 若CP=CG，直接写出S的值．
21．（2025·江西宜春·模拟预测）在综合实践课上，同学们以“图形的旋转与位似”为主
题开展数学活动．
(1)如图，已知点E在矩形ABCD的对角线BD上，AB=2AD，将△AED绕点A顺时针旋
转90°后，以点A为位似中心放大两倍得到△AFB，连接FE．
①证明：△AFE∽△ABD；
②求AE，BE，DE的数量关系．
(2)如图，点E是直角三角形ABC外一点，连接BE，AE=6，BE=15，∠BAC=90°，
∠ACB=∠AEC=60°，求CE的长．
22．（2025·江西九江·三模）在学习“从特殊到一般”的数学思想方法时，数学兴趣小组
了解到“当某些平面图形在从特殊到一般过渡时，特殊图形中的某些结论会在一般图形中
继续存在或发生规律性的变化”，请根据活动提供的条件解决其中的问题；
12(1)如图1，△ABC中若点D是BC的中点，且AD平分∠BAC则AB与AC的数量关系是
___________
(2)如图2，△ABC中，AB> AC，点D是BC的中点，AG平分∠BAC，过点D作
DF∥GA，交BA于点E，交C（的延长线于点F求证：AB−AE=AC+AF；
(3)如图3四边形ABCD中线段AD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点P连接AP，DP，
若∠APD=90°则AB与CP的数量关系是___________
(4)如图4．四边形ABCD中，线段AD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点P，连接AP，
DP，且∠APD<90°作DF⊥AP于点F（异于点P），连接CF，若CF=3，DP=√34，
求BP的长
23．（2025·江西景德镇·一模）马超同学在上一期探究矩形中的动点问题时，意识到“子
母型”相似是一种有效的解题手段，于是，他继续针对相似问题中的“子母型”问题展开
综合探究！
(1)如图①，△ABC中，AB=2，AC=3；P,Q分别为边AB、AC上的点，
①若∠APQ=∠C，且点P是AB的中点，则AQ=______；
②若点P与点B重合，且∠APQ=∠C，则AQ=______；
(2)如图②，点D,E分别为等腰直角三角形ABC的两直角边CA,CB上的动点，直角边
AC=2且始终满足DE=DB，以点D为圆心，DE的长为半径画弧并交线段AB于点F，连
接EF,DF；若四边形AEDF是菱形，则CD的长是多少？
(3)当图②中的点D运动到如图③所示位置时，取BD的中点G，连接EG，若满足
∠EDF=∠EGC，则此时CD的长是多少？
24．（2025·江西南昌·模拟预测）综合与实践：
13【问题提出】如图（1）在△ABC中，∠A=90°，D为AB的中点，点P沿折线D—A—C
运动（运动到点C停止），以DP为边在DP上方作正方形DPEF．设点P运动的路程为
x，正方形DPEF的面积为y．
【初步感悟】（1）当点P在AD上运动时，①若x=√3，则y=_________；②y关于x的
函数关系式为_________；
（2）当点P从点A运动到点C时，经探究发现y是关于x的二次函数，并绘制成如图
（2）所示的函数图象，直线x=2是其图象所在抛物线的对称轴，求y关于x的函数关系式
（写出自变量的取值范围）．
【延伸探究】（3）当y−x=2时，AP的长为________，此时y关于x的函数图象上点的坐
标为_________；
（4）连接正方形DPEF的对角线DE，PF，两对角线的交点为M，求点A在△DFM内部
时x和y的取值范围．
25．（2025·江西抚州·一模）综合与实践
课本再现
如图1，▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,△AOB是等边三角形，且AB=4．
（1）求▱ABCD的面积．
拓展延伸
（2）如图2，M是AD边上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，与直线AB交于点N，
连接MN．
①若OM=3，求ON的长；
②求△OMN面积的最小值．
（3）在（2）的条件下，若BN=3，直接写出MN的长．
26．（2025·江西抚州·二模）综合与实践
问题背景
14如图1，某数学兴趣小组在一次综合与实践活动中，用三张全等的直角三角形纸片探究数
学问题，即△ABC、△ACD、△AEF是全等的直角三角形，其中
∠ABC=∠ADC=∠EAF=90∘．点F与AD的中点重合，AB=2．
（1）①BE的长为_____；
②设AC与EF交于点G，求CG的长．
类比延伸
（2）如图2，将△AEF绕点A顺时针旋转，O是AC的中点，P是EF的中点，连接OP，
求OP的最大值．
拓展探究
（3）如图3．将△AEF绕点A顺时针旋转α°(0<α<90)，延长EF，交AC于点M，若
3
tanα= ，求AM的长．
2
27．（2025·江西南昌·模拟预测）综合与实践
【学习心得】
（1）小贤同学在学习完“等腰三角形”这一节内容后，感觉到一些几何问题可以通过构造
等边三角形，运用等边三角形的知识来解决，从而使问题变得容易．
例如：如图1，已知△ABC为等边三角形，延长BC到点D，延长BA到点E，并且使AE=
BD，连接CE，DE．求证：EC=ED．
小贤同学的证明思路：延长BD至点F，使DF=BC，连接EF，先证明构造的△BEF为等
边三角形，再利用等边三角形的性质推出△BEC≌△FED，证得EC=ED．请你根据小贤
同学的证明思路写出完整的证明过程．
【类比迁移】
（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α(α>60°)，点D在△ABC内部，
α
DA=DB，且∠BAD= −30°，求∠ACD的度数．
2
15【拓展延伸】
（3）如图3，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，点D在△ABC内部，DA=DB，
∠BAD=15°，将线段AD沿着直线AC翻折，点D恰好落在点E处，连接DE．
①试判断四边形ABDE的形状，并说明理由；
②直接写出△ABD边AB上的高的值．
28．（2025·江西·模拟预测）综合与实践
如图1，正方形ABCD的顶点D在直线l上，点C′与点C关于直线l对称，直线AC′与直线
l交于点E，连接EC，BE，探究AC′与BE的数量关系．
【特例感知】
（1）①如图2，当∠EDC=30°，EC=2时，EC′=_____，∠C′EC= _____°；
AC′
②如图3，当AC′=C′E时， =_____，∠AEB= _____°．
BE
【猜想论证】
（2）猜想AC′与BE的数量关系，并结合图1进行证明．
【拓展应用】
（3）若正方形ABCD的边长为2，当AE=2AC′时，求线段BE的长．
29．（2025·江西九江·三模）综合与实践
【问题情境】
如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=8，点E在边BC上，将△ABE沿AE所在的直
线折叠，得到△AFE．
【特例感知】
（1）如图1，当点F在直线AC上时，CF=___________．
（2）如图2，当E,F,D三点共线时，求BE的长．
【深入探究】
16（3）如图3，设BE=x，点F到BC的距离为y．
①求y与x的函数解析式．
②直接写出当△AFD的面积为12时，BE的长．
30．（2025·江西抚州·模拟预测）综合与实践
特例感知
（1）如图1，在等腰直角△ABC中，D为斜边AB的中点，P是斜边AB上一动点，过点P
分别作AC与BC的垂线，垂足分别为E，F，连接DE，DF，则DE，DF的关系是______．
类比迁移
（2）如图2，在等腰直角△ABC中，D为斜边AB的中点，P是斜边AB延长线上一动点，
过点P分别AC与BC的垂线，垂足分别为E，F，连接DE，DF，EF．求证：△≝¿是等
腰直角三角形．
拓展应用
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(−2,0)，(0,2)，C是AB的
中点，P是射线AB上一动点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为F，D，连接
DC，FC，DF，点E与点C关于DF对称，连接DE，EF．
①当点P在线段AB上运动时，请判断点E是否在一条直线上运动．若在，请直接写出这
条直线的解析式；若不在，请说明理由．
②设点F的横坐标为x，四边形CDEF的面积为y，求y与x的函数解析式，并在如图4所
示的平面直角坐标系中画出该函数的图象．
31．（2025·江西萍乡·二模）综合与实践
如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠ACB=∠DAE=90∘，且点D
与AB的中点M重合，AC=4，
观察发现
17（1）①DE的长为___________；
②如图1，设AC与DE的交点为F，则AF的长为___________．
类比迁移
（2）如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD．
①当旋转角为60∘时，求BD的长；
②当DE∥AB时，请直接写出以BD为边的正方形的面积．
拓展应用
（3）如图3，取DE的中点P，连接PM，在△ADE绕点A逆时针旋转的过程中，当PM最
大时，求以BD为边的正方形的面积．
32．（2025·江西·模拟预测）课本再现
想一想
你能猜想出三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系？能证明你的猜想吗？
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
定理证明
（1）已知：如图①，DE是△ABC的中位线．延长DE至点F，使FE=DE，连接CF．
1
求证：DE∥BC且DE= BC．
2
知识运用
（2）如图②，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若
AG=2，DF=3，∠GEF=90°，求GF的长．
（3）如图③，在四边形ABCD中，∠A=105°，∠D=120°，E为AD的中点，G，F分
别为AB，CD边上的点，若AG=3√2，DF=2，∠GEF=90°，求GF的长．
33．（2025·江西·模拟预测）定义：有一个公共顶点的三角形，将其中一个三角形绕公共
点旋转一定角度，能与另一个三角形构成相似图形，我们称这两个三角形互为“旋转相似
图形”．
18(1)知识理解：①如图1，△ABC，△ADE都是等边三角形，则△ABC △ADE的“旋转相
似图形”（填“是”或“不是”）；
②如图2，若△ABC与△ADE互为“旋转相似图形”，∠B=100°，∠E=30°，则
∠DAE= °；
③如图2，若△ABC与△ADE互为“旋转相似图形”，若AB=4，AD=6，AE=15，
BD
则AC= ，若连接BD,CE，则 = ．
CE
(2)知识运用：
如图3，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，AE⊥BD于E，∠DAC=∠DBC，求证：
△ACD和△ABE互为“旋转相似图形”；
(3)拓展提高：
如图4，△ABC为等腰直角三角形，点G为AC的中点，点F是AB上一点，D是GF延长
线上一点，点E在线段GF上，且△ABD与△AGE互为“旋转相似图形”，若
AC=6,AD=2√2，求DE和BD的长．
34．（2025·江西九江·模拟预测）综合与实践
问题提出
如图，在△ABC中，AB=10，过点A作AD⊥BC于点D，AD=8，点E从点B出发沿
BA向点A运动，速度为1个单位长度/秒，点P从点D出发沿DC向点C运动，速度为2个
单位长度/秒，过点E作EF∥BC，过点P作PF∥AB，点P在点E出发2秒后出发，当
一动点到达终点时另一动点也停止运动．设点E的运动时间为t秒，△AEF的面积为S．
初步感知
（1）如图1，当0<t≤2时，解答下列问题：
（1）若t=2，则S的值为________；
（2）S关于t的函数解析式为________．
（2）如图2，当t>2时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图3所示的不完整
的图象．请根据图象信息，解答下列问题：
①求图象最高点的坐标，并直接写出自变量t的取值范围；
②连接EP，若四边形AEPF是平行四边形，求S的值．
19延伸探究
（3）当t>2时，是否存在某一时刻t，使以点A，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若
存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
35．（2025·江西新余·一模）【课本再现】
（1）如图1，△ABD，△AEC都是等边三角形，分别连接BC，BE，CD，BE与CD有什
么数量关系？请证明；
【特殊感知】
（2）数学兴趣小组的同学继续探究发现：若一个三角形的已知条件符合全等的判定定理，
则此三角形可求解；
在图1中，AB=2√3，∠BAE=150°，AE=2，则BE=__________；
【类比应用】
（3）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=75°，∠ADC=60°，AD=DC，AB=2，
BC=√2，求BD的长；小颖同学发现运用旋转可得到图1中类似的图，运用（2）的方法
即可求BD的长，请你帮小颖求BD的长；
（4）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=75°，∠ADC=60°，CD:AD=2:1，
AB=√2，BC=1，直接写出BD的长．
36．（2025·江西九江·模拟预测）综合与实践课上，老师和同学们开展了一场以“最小
值”为主题的探究活动．
【提出问题】老师提出了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，P为AD
边上的一动点，以PC为边向右作菱形PCFE，∠EPC为α，连接BE，求BE的最小值．
【特例感知】如图2所示，当α=60°时，小明连接CE，以BC为边向下构造一个等边
△BCG，连接PG．便可得到△PCG≌△ECB，进而将BE的最小值转化为PG的最小值．
20（1）按照小明的想法，请求出BE的最小值；
【拓展应用】
（2）如图3和图4所示，当α=90°和120°时，请任意选一个图形求出BE的最小值；
α α
（3）若sin =m，cos =n，对于任意α，请你用含m，n的式子直接写出BE的最小值
2 2
______．
37．（2025·江西南昌·三模）定义：一组邻边相等且有一个内角为直角的凸四边形称为等
直四边形．例如，如图 1，在四边形ABCD 中， AB=AD， AB⊥BC， 则四边形
ABCD为等直四边形．
【特例感知】
（1）下列四边形一定是等直四边形的是 ； （填序号）
①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形
（2） 如图2， 在等边△ABC中，点D为内部一点，且AD平分∠BAC， 连接DC， 将
线段DC绕点D 顺时针旋转60°得到线段DE，连接BE，CE．求证：四边形ABEC是等
直四边形．
【深入探究】
（3）如图3， 在等直四边形ABCD中， AB=AD， AB⊥BC， 线段CD的垂直平分
线EF分别交CD与∠BAD的角平分线于E， F， 连接FC，FD．
求证： ∠DFC=∠DAB．
【拓展应用】
（4）如图4，已知线段 AB=4√2，射线BM⊥AB ， 射线BN平分∠ABM， 点C，
D分别在射线BM，BN上，若 AD=2√5，且四边形ABCD是等直四边形，则BC的长为
21． （直接写出结果）
38．（2025·江西抚州·一模）综合与实践
基本图形法：在复杂图形中，找到或构造基本图形，再利用基本图形的概念和性质，寻求
解题的突破口，从而达到解决几何问题的目的，我们把这种解决几何问题的方法叫做基本
图形法．
【基本图形】
（1）①如图1，点O是△ACB的内心，若∠C=90°，则∠AOB=_____；
②如图2，AC=AD，AB平分∠CAD，求证：△ACB≌△ADB．
【方法运用】
（2）运用基本图形法解决下面问题：
如图3，点O是△ACB的内心，以点A为圆心，AB为半径画弧，交AC的延长线于点D，
连接OD,OB，若∠ACB=90°，猜想线段OB,OD的关系，并进行证明．
【拓展延伸】
（3）如图4，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC=BD=AB，E,F两点分
别是△AOB的内心和外心，若AC⊥BD，求证：CD=2EF．
2239．（2025·江西·模拟预测）综合与实践
如图1，在▱ABCD中，点E,F分别在直线AB和AD上，直线CE,BF相交于点
G,∠FGC=∠DAB，某数学兴趣小组在探究CE,BF,AB,AD四条线段的比例关系时，
经历了如下过程：
【特例感知】
（1）①如图2，当∠A=90°,AB=AD时，若EC=√5，则BF= ；
AB 3 BF
②如图3，当∠A=90°时，若 = ，则 = ．
AD 2 CE
【猜想证明】
（2）猜想BF,CE,AB,AD四条线段的比例关系，并结合图1进行证明．（备注：从图1
中的①或②选择一个证明即可）
【拓展应用】
（3）如图4，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点
BD 3
E,∠BAD=90°,∠ABC=∠AED=60°,AB=6，若 = ，试求边BC的长．
AC 2
40．（2025·江西景德镇·一模）综合与实践
在综合实践活动课上，李老师让同桌的两位同学用全等的两块含45°的直角三角尺开展数
学探究活动，两块三角尺分别记作△ADB和△A′D′C，∠ADB=∠A′D′C=90°，
∠ABD=∠A′CD′=45°，AB=4．
操作探究
先将△ADB和△A′D′C的边AD，A′D′重合（点D与点D′重合），再将△A′D′C绕着点
D按顺时针方向旋转，旋转角为α(0°≤α≤300°)，旋转过程中△ADB保持不动，连接BC．
(1)①如图1，当α=45°时，点B到A′C的距离为________；
②当BC=4时，α的度数为________．
23拓展延伸
(2)如图2，当α=300°时，求两块三角尺重叠部分图形的周长．
(3)如图3，取AB的中点E，A′C的中点F，当△≝¿是轴对称图形且有三条对称轴时．
①求点F运动的路径长；
②求两块三角尺重叠部分图形的周长．
41．（2025·江西·模拟预测）综合与实践
已知正方形ABCD，点P在AD边上或上方，连接PB，PC，且PB=PC，PC交对角线
BD于点E，连接AE并延长，分别交PB，DC于点M，F．
特例感知
（1）如图1，当点P在AD边上时，
①△ABP，△DAF，△DCP全等的结论______（填“成立”或“不成立”）．
②AF与BP的位置关系是______．
类比探究
（2）如图2，当点P在AD边的上方时，PB交AD于点I，PC交AD于点G．请写出BI与
AF的数量关系和位置关系，并证明．
拓展应用
（3）如图3，在（2）的条件下，过点P作PH⊥AD，垂足为H，交AF于点N，连接AP，
BN．若∠NBC=60°，则四边形ABNP是何种特殊四边形？试证明．
24
