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专题 25 二次函数压轴综合
考点 01 线段周长问题
1．（2025·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 过 ， ，与 轴交于点
，顶点为 ．
(1)求 ， 的值．
(2)设抛物线 过点 ， ，且与 轴交于点 ，顶点为 ．
①求 的值；
②当四边形 是直角梯形时，求该直角梯形中最小内角的正弦值．
【答案】(1)
(2)①3；② 或 ．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①先把抛物线 的解析式化为顶点式求出点P坐标，再求出点C坐标；把点A和点B坐标
代入 中可得抛物线 的解析式为 ，据
此可求出点P和点D的坐标，再表示出 即可得到答案；
②可证明 轴，即 ，则当四边形 是直角梯形时，只有 或 ，据此画
出对应的示意图，讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 过 ， ，
∴ ，
1∴ ；
（2）解：①由（1）得抛物线 得解析式为 ，
∴点P的坐标为 ，
在 中，当 时， ，
∴点C的坐标为 ；
∵抛物线 过点 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线 的解析式为 ，
∴抛物线 的对称轴为直线 ，
在 中，当 时， ，
当 时， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ；
②∵ ， ，
∴ 轴，即 ，
∴当四边形 是直角梯形时，只有 或 ，
如图2-1所示，当 时，
2∵点C的坐标为 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ；
如图2-2所示，当 时，
3∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
如图所示，过点Q作 轴于H，则 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ．
综上所述，当四边形 是直角梯形时，该直角梯形中最小内角的正弦值为 或 ．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，求角的正弦值，二次函数的性质，二次函数与几何综合等等，
利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
2．（2025·四川德阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数 的图象与x轴
交于点 ，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图2，连接 ，过点C作 与抛物线相交于另一点D．
①求点D的坐标；
②如图3，点E，F为线段 上两个动点（点E在点F的右侧），且 ，连接 ， ．求
的最小值．
4【答案】(1)
(2)① ，②5
【分析】（1）利用两点式求解抛物线解析式；
（2）①延长 与x轴相交于点G，证明 是等腰直角三角形，从而得到 点坐标，求出直线 的
解析式，联立抛物线解析式求解即可；②过点O作 ，且 ，连接 ， ，设
交 轴为点 ，然后证明四边形 是平行四边形，根据 ，得出 时，
最小，进一步求出 即可．
【详解】（1）解： 在二次函数 的图象上，设该二次函数为
，
，
．
（2）解：①把 代入 ，
得 ，
如图，延长 与x轴相交于点G．
，
．
，
．
，
．
，
，
．
5设直线 的解析式为： ，把 代入，
得 解得 ，
直线 的解析式为： ，
点D是直线 与二次函数的交点，
联立解析式 ，
解得 或 ，
．
②如图，过点O作 ，且 ，连接 ， ，设 交 轴为点 ．
，且 ，
四边形 是平行四边形，
．
，
．
为等腰直角三角形，
，
， ，
，
．
，
当 时， 最小．
，
．
此时D、E、H三点共线且 轴，
6点F的坐标为 与点C重合，满足 在线段 上．
的最小值为5．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数与一次函数交点
问题，二次函数与特殊四边形问题，两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是添加适当的辅助线，通
过数形结合的思想求解；
3．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 关于直线 对称，
与x轴交于 、B两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线对称轴上一点，连接 ，将线段 绕点P逆时针旋转 ，使点B的对应点D恰好落在
抛物线上，求此时点P的坐标；
(3)在线段 上是否存在点Q，使 存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 或
(3)存在， ， 的最小值为
【分析】（1）对称性求出 点坐标，两点式写出函数解析式即可；
（2）设对称轴与 轴交于点 ，设 ， ，分点 在 轴上方和点 在 轴下方两种情况进
行讨论求解即可；
（3）在 轴上取点 ，连接 ，过点 作 于点 ，交 轴于 ，过点 作
7于点 ，易得 为等腰直角三角形，进而得到 ，推出
，得到当点 与点 重合时， 的值最小
为 的长，等积法求出 的长，证明 为等腰直角三角形，求出 点坐标即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 关于直线 对称，与x轴交于 、B两点，
∴ ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）∵点 在对称轴上，设对称轴与 轴交于点
∴设 ， ；
∵旋转，
∴ ，
当点 在 轴上方时，
∵ 关于对称轴对称，
∴ ，
∴当 时，满足题意，此时点 与点 重合， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当点 在 轴下方时，如图，作 对称轴于点 ，则： ，
8∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
把 代入 ，得： ，
解得： 或 （舍去）；
∴ ；
综上： 或 ；
（3）存在；
在 轴上取点 ，连接 ，过点 作 于点 ，交 轴于 ，过点 作 于
点 ，则： ， ，
9∵ ，
∴当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴当点 与点 重合时， 的值最小为 的长，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
在 中， ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
10∴ ；
综上： ， 的最小值为 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性
质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，
是解题的关键．
4．（2024·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于 ，
两点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图①，若点P是线段 上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点
Q，当线段 的长度最大时，求点Q的坐标；
(3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且 ．在y轴上是否存在
点E，使得 为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点 或 或 或 或
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由 ，即可求解；
（3）先求出点 ，再分类求解即可．
11【详解】（1）解：由题意得： ，
则 ，
则抛物线的表达式为： ；
（2）解：由抛物线的表达式知，点 ，
由点B、C的坐标得，直线 的表达式为： ，
设点 ，则点 ，
则 ，
∵ ，故 有最大值，
此时 ，则 ，
即点 ；
（3）解：存在，理由：
设直线 的表达式为 ，
由点 的坐标得， ，解得： ，
∴直线 的表达式为： ，
令 ， ，故 ，
过点 作 轴交 轴于点 ，则 ，
12，
则 ，
即直线 和 关于直线 对称，故 ，
设直线 的表达式为 ，
代入 ， ，得 ，
解得： ，
则直线 的表达式为： ，
联立上式和抛物线的表达式得： ，
解得： (舍去)或5，
即点 ；
设点 ，由 的坐标得， ，
当 时，则 ，
解得： ，即点 或 ；
当 或 时，
同理可得： 或 ，
13解得： 或 ，
即点 或 或 ；
综上，点 或 或 或 或 ．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的
思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
5．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图
像经过原点和点 ．经过点 的直线与该二次函数图象交于点 ，与 轴交于点 ．
(1)求二次函数的解析式及点 的坐标；
(2)点 是二次函数图象上的一个动点，当点 在直线 上方时，过点 作 轴于点 ，与直线
交于点 ，设点 的横坐标为 ．
① 为何值时线段 的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点 ，使得 与 相似．若存在，请求出点 坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)①当 时， 有最大值为 ；②当P的坐标为 或 时， 与 相似
【分析】（1）把 ， ， 代入 求解即可，利用待定系数法求出直线
解析式，然后令 ，求出y，即可求出C的坐标；
（2）①根据P、D的坐标求出 ，然后根据二次函数的性质求解即可；
②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出 ，然后分 ，
两种情况讨论过，利用相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等求解即可．
【详解】（1）解：把 ， ， 代入 ，
得 ，
14解得 ，
∴二次函数的解析式为 ，
设直线 解析式为 ，
则 ，
解得 ，
∴直线 解析式为 ，
当 时， ，
∴ ；
（2）解：①设 ，则 ，
∴
，
∴当 时， 有最大值为 ；
②∵ ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
又 轴，
∴ 轴，
∴ ，
当 时，如图，
15∴ ，
∴ 轴，
∴P的纵坐标为3，
把 代入 ，得 ，
解得 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴P的坐标为 ；
当 时，如图，过B作 于F，
则 ， ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ， （舍去），
16∴ ，
∴P的坐标为
综上，当P的坐标为 或 时， 与 相似．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的性质，相似
三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论
是解题的关键．
6．（2024·甘肃临夏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ，
两点，与 轴交于点 ，作直线 ．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，点 是线段 上方的抛物线上一动点，过点 作 ，垂足为 ，请问线段 是否存在
最大值？若存在，请求出最大值及此时点 的坐标；若不存在请说明理由．
(3)如图2，点 是直线 上一动点，过点 作线段 （点 在直线 下方），已知 ，若
线段 与抛物线有交点，请直接写出点 的横坐标 的取值范围．
【答案】(1)
(2)存在，最大值是 ，
(3) 或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求
解，是解题的关键．
（1）两点式直接求出函数解析式即可；
17（2）过点 作 轴，交 于点 ，设 ，根据三角函数得到 ，
得到当 最大时， 的值最大，转化为二次函数求最值即可；
（3）设 ，得到 ，求出点 恰好在抛物线上且 时的 值，即可得出结果．
【详解】（1）解：∵抛物线 与 轴交于 ， 两点，
∴ ，
∴ ；
（2）存在；
∵ ，
∴当 时， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为： ，把 代入，得： ，
∴ ，
过点 作 轴，交 于点 ，设 ，则： ，
∴ ，
∵ ，
18∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 最大时， 最大，
∵ ，
∴当 时， 的最大值为 ，此时 最大，为 ，
∴ ；
（3）设 ，则： ，
当点 恰好在抛物线上时，则： ，
∴ ，
当 时，则： ，
解得： 或 ，
∵线段 与抛物线有交点，
∴点M的横坐标的取值范围是 或 ．
7．（2023·辽宁·中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点A和点 ，与y轴交于点
，点P为第一象限内抛物线上的动点过点P作 轴于点E，交 于点F．
19(1)求抛物线的解析式；
(2)当 的周长是线段 长度的2倍时，求点P的坐标；
(3)当点P运动到抛物线顶点时，点Q是y轴上的动点，连接 ，过点B作直线 ，连接 并延长
交直线 于点M．当 时，请直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）根据直角三角形三角函数值可得 ， ，进而可得 的周长
，结合已知条件可得 ，设 ，则 ， ，
从而可得方程 ，解方程即可；
（3）先求出 ， ，设 ，过点M作 轴于点N，通过证明 ，
求出 ，再求出直线 的解析式为 ，将点 代入解析式求出n的值即可．
20【详解】（1）解：将 ， 代入 ，
可得 ，
解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）解： ， ，
， ，
，
， ，
的周长 ，
的周长是线段 长度的2倍，
，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入可得 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
设 ，则 ， ，
， ，
，
21解得 ， （舍），
，
；
（3）解： ，
当 时，y取最大值 ，
，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
，
设 ，过点M作 轴于点N，
由题意知 ，
，
，
，
又 ， ，
，
， ，
22，
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
将点 代入，得 ，
解得 或 ，
或 ．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，全等三角形的判定与性质，解直角三
角形等，综合性较强，难度较大，熟练运用数形结合思想，正确作出辅助线是解题的关键．
考点 02 面积问题
1．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 轴相交于 两点（点 在点
的左边），与 轴相交于点 ，且抛物线的顶点坐标为 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2) 是抛物线上位于第四象限的一点，点 ，连接 相交于点 ，连接 ．若 与
的面积相等，求点 的坐标；
(3) 是抛物线上的两个动点，分别过点 作直线 的垂线段，垂足分别为 ．是否存在点
23，使得以 为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，正方形的边长为 或
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）作 轴，垂足为点 ，设 ，则： ， ，根据
与 的面积相等，推出 ，列出方程进行求解即可；
（3）存在点 ， 使四边形 为正方形，如图所示，过 作 轴，过 作 轴，过
作 轴，则有 与 都为等腰直角三角形，设 ，设直线 解析式为
，与二次函数解析式联立，消去 得到关于 的一元二次方程，利用根与系数关系表示出 ，
由 为等腰直角三角形，得到 ，若四边形 为正方形，得到 ，求出 的
值，进而确定出 的长，即为正方形边长．
【详解】（1）解：∵抛物线与 轴相交于点 ，且抛物线的顶点坐标为 ．
∴设抛物线的解析式为： ，
把 代入，得： ，
∴ ，
∴ ；
（2）当 时，解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴设直线 的解析式为： ，把 代入，得： ，
∴ ，
24作 轴，垂足为点 ，设 ，则： ，
∴ ，
∴ 与 的面积相等，
∴ ，即： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： 或 （舍去）；
∴ ；
（3）存在点 ， 使四边形 为正方形，
如图所示，过 作 轴，过 作 轴，过 作 轴，则有 与 都为等腰直角
三角形， ，
由（2）可知，直线 的解析式为 ，
设 ，直线 解析式为 ，
25联立得： ，
消去 得： ，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
∵四边形 为正方形，
∴ ，
，
整理得： ，
解得： 或 ，
正方形边长为 ，
或 ．即正方形的边长为 或 ．
【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，等腰
直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解
本题的关键．
2．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数 的图像与x轴交于 两点（点A在点B
的左侧），与y轴交于点C，作直线 为二次函数 图像上两点．
26(1)求直线 对应函数的表达式；
(2)试判断是否存在实数m使得 ．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
(3)已知P是二次函数 图像上一点（不与点 重合），且点P的横坐标为 ，作
．若直线 与线段 分别交于点 ，且 与 的面积的比为 ，请直接写
出所有满足条件的m的值．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
(3) 或
【分析】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及求直线表达式、函数值计算及三角形相似与面积比应用，
解题关键是利用函数性质、坐标关系及相似三角形性质建立等式求解 ．
（1）先通过二次函数与坐标轴交点的求法，确定 、 坐标，再用待定系数法，将两点坐标代入设好的
一次函数表达式，求解出直线 的函数表达式．
（2）先根据二次函数表达式，分别写出 、 两点的函数值 、 ，进而得出 的表达式，再通
过配方或判别式判断是否存在实数 使等式成立．
（3）通过作辅助线构造平行关系，利用二次函数求出 点坐标，结合坐标关系得出角的度数，推出
，进而得到三角形相似，根据面积比与相似比的关系建立等式，求解出 的值．
【详解】（1）解：∵二次函数 的图像与x轴交于 两点，
∴令 ，则 ，
点C的坐标为 ．
令 ，则 ．
解得 ，或 ，
27∴点B的坐标为 ．
设直线 对应函数的表达式为 ，由题意，得
解得
直线 对应函数的表达式为 ．
（2）不存在实数m使得 ，理由如下：
方法一： 为二次函数 图像上两点，
，
．
．
配方，得 ．
∴当 时， 有最大值为 ．
，
∴不存在实数m使得 ．
方法二：由方法一，得 ．
当 时， ，即 ．
，
∴方程没有实数根．
不存在实数m使得 ．
（3） ，或 ．解答如下：
28如图，作 轴，交x轴于点H，交 于点 ，
作 ，垂足为Q，作 轴，交 于点 ，则 ．
当 时， ．
点P的坐标为 ．
点N的坐标为 ，
点Q的坐标为 ，点H的坐标为 ，
点 的坐标为 ．
，
．
，
．
．
，即 ．
．
，即 ．
点M的坐标为 ，
点 的坐标为 ．
29，即 ．
解得 或 ．
3．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，抛物线 经过点
．点 在此抛物线上，其横坐标为 ，连接 并延长至点 ，使 ．当点 不在坐标轴上
时，过点 作 轴的垂线，过点 作 轴的垂线，这两条垂线交于点 ．
(1)求此抛物线对应的函数解析式．
(2) 被 轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变．如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，
说明理由．
(3)当 的边 经过此抛物线的最低点时，求点 的坐标．
(4)当此抛物线在 内部的点的纵坐标 随 的增大而减小时，直接写出 的取值范围．
【答案】(1)
(2)面积比保持不变为 ，理由见详解
(3) 或
(4) 或 或
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和
性质，利用一元二次方程解决几何问题，抛物线中动点问题，解题的关键是掌握二次函数的性质，并发展
空间想象能力，分情况研究动点问题．
30（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意，利用相似三角形的性质求出面积之比即可；
（3） 经过最低点，即经过顶点，画出示意图，先求出顶点坐标，再利用相似三角形的判定和性质求出
的值，最后分两种情况求出点 的坐标即可；
（4）根据题意，分三种情况进行分析，画出图形找出临界点，利用相似三角形的性质列出一元二次方程，
然后进行求解即可．
【详解】（1）解：将 代入 得，
，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：如图所示，面积比保持不变为 ，理由如下：
根据题意可得， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
则 ；
（3）解：如图所示， 经过最低点，即经过顶点，
31该抛物线的顶点横坐标为 ，纵坐标为 ，
∴该抛物线的顶点坐标为 ，
∵ ，
∴ ，且相似比为 ，
根据顶点纵坐标可得， ，
则 ，
即
解得 ，
①当 时，即为如图所示，
此时 ，
点 在第四象限，故 ；
②如图所示，
32当 时，此时点 在第一象限，点 在第三象限，
此时 ，
故 ；
综上， 或 ；
（4）解：①当 经过顶点 时，过点 作 轴，交 轴于点 ，
由 得， ，
∴ ，
即 ，
解得 （舍去），或 ，
∴当点 向左运动时，满足题意，
∴ ；
②如图所示，当点 在抛物线上时，过点 作 ，交 轴于点 ，
同理， ，相似比仍为 ，
33此时， ，代入抛物线解析式得，
，
解得 （舍去），或 ，
此时，当 点向下一直移动，直至到 轴时，都符合题意，
当 时，解得 ，
∴当 时，符合题意；
③图所示，当点 在抛物线上时，点 在第二象限，点 在第四象限，
思路同②，此时 ，代入抛物线解析式得，
，
解得 （舍去），或 ，
此时，当 点向右一直移动，直至到 轴时，都符合题意，
∴当 时，符合题意；
综上，当 或 或 时，符合题意．
4．（2025·黑龙江·中考真题）如图，抛物线 交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点
B的左侧，顶点坐标为 ．
34(1)求b与c的值．
(2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使 的面积与 的面积相等．若存在，请直接写出点P
的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)存在， 或
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与面积类的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，等腰
三角形的性质等知识点．
（1）将一般式改写为顶点式，再化为一般式即可求解 ；
（2）先确定 为等腰直角三角形，过点 作 轴的垂线，在 轴上方的垂线上截取 ，连
接 与 交于点 ，则 ，通过三线合一得到 ，由三角形面积公式可得过点
作 平行线与抛物线交点即为点 ，然后求出直线 解析式，再与抛物线解析式联立求解．
【详解】（1）解：∵抛物线 的顶点坐标为 ，
∴ ，
∴ ， ；
（2）解：存在，理由如下：
对于抛物线 ，
当 ， ，
解得： ，
当 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
35过点 作 轴的垂线，在 轴上方的垂线上截取 ，连接 与 交于点 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 平行线与抛物线交点即为点 ，
∵ ， ，
∴ ，
设直线 ，
则 ，
∴ ，
∴直线 ，
∵ ∥ ，
∴设直线 ，
代入 得： ，
解得： ，
∴直线 ，
与抛物线解析联立得： ，
整理得：
36解得： 或 ，
∴点P的横坐标为 或 ．
5．（2024·青海西宁·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于点 ，与y轴交于点B，顶点C的
坐标为 ．
(1)求二次函数的解析式．
(2)判断 的形状，并说明理由．
(3)在直线 上方的抛物线上是否存在一点P，使 ？若存在，求出所有符合条件的点P的坐
标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 是直角三角形，理由见解析
(3)存在，点P的坐标是 ，
【分析】本题主要考查了二次函数的综合问题，勾股定理的逆定理等知识．
（1）设二次函数解析式为 ，将顶点 代入解析式得y＝ ，再
将 代入求解即可；
（2）过点C作 轴于点D，过点A作 于点E，，然后根据勾股定理的逆定理即可解决问题；
（3）设点P的坐标为 ，过点P作 ，垂足为H，过点P作 轴交直线 于
点Q，求出直线 的解析式为 ，得点Q的坐标为 ，得
37，得 ， ，进而解决问题．
【详解】（1）解：设二次函数解析式为 ，
将顶点 代入解析式得 ，
∵二次函数的图象与x轴交于点 ，
∴ ，
解得 ，
∴二次函数解析式为 ；
（2）解： 是直角三角形，理由如下：
抛物线 与y轴的交点，
当 时， ，
∴ ，
如图1，过点C作 轴于点D，
∴ ，
过点A作 于点E，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
38∴ ，
∴ 是直角三角形；
（3）解：存在，理由如下：
，
设点P的坐标为 ，
过点P作 ，垂足为H，过点P作 轴交直线 于点Q，
设直线 的解析式为 ，将 代入得，
，
解得：
∴直线 的解析式为 ，
∴点Q的坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
39在 中，
∵
∴
∴ ，
解得 ， ，
当 时 ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∴所有符合条件的点P的坐标是 ， ．
6．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数 的图像与二次函数 的图像
的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数 的图像上的动点，且位于直线 的
下方，连接 、 ．
(1)求b、c的值；
(2)求 的面积的最大值．
【答案】(1)
(2)最大值为8
【分析】本题考查二次函数的综合，一次函数的性质，用割补法得出△PAB的面积是关键．
（1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b，c；
（2）由（1）可得： ，设 ，作 交 于E，则 ，则
40，得出面积，即可解答．
【详解】（1）解：当 时， ；当 时， ，
则 ， ，
则 ，
解得： ；
（2）解：由（1）可得： ，设 ，作 交 于E，
则 ，则 ，
∴ ，
当 时，最大值为8．
7．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与 轴交于
， 两点，与 轴交于点 ，点 是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点 在直线 下方的抛物线上时，过点 作 轴的平行线交 于点 ，设点 的横坐标为t，
的长为 ，请写出 关于 的函数表达式，并写出自变量 的取值范围；
(3)连接 ，交 于点 ，求 的最大值．
41【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出 ，再用待定系数法求出直线 的解析式为： ，可得出 ，
，从而可得 ，再求出自变量取值范围即可；
（3）分四种情形：当 时，作 ，交 于 ，可得出 ，从而 ，进而
得出 ，进一步得出结果；当 ， 和 时，可得出 没有最大
值．
【详解】（1）解： 抛物线 与 轴交于 ， 两点，
，
解得 ，
该抛物线的解析式为： ；
（2）解：二次函数 中，令 ，则 ，
，
设直线 的解析式为： ．将 ， 代入得到：
，解得 ，
直线 的解析式为： ，
过点 作 轴的平行线交 于点 ，设点 的横坐标为t，
， ，
42，
点 在直线 下方的抛物线上，
；
（3）解：如图1，
当 时，
作 ，交 于 ，
，
，
把 代入 得，
，
，
，
当 时， ，
，
，
如图2，
43当 时，
此时 ，
，
时， 随着 的增大而增大，
没有最大值，
没有最大值，
如图3，
当 时，
，
当 时， 随着 的增大而减小，
没有最大值，
没有最大值 ，
如图4，
44当 时，
由上可知，
没有最大值，
综上所述：当 时， ．
【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质等知识，
解决问题的关键是分类讨论．
考点 03 角度问题
1．（2025·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A， 两点，
与 轴交于点 ，抛物线的对称轴是直线 ．
(1)求抛物线的表达式：
(2)点P是射线 下方抛物线上的一动点，连接 与射线 交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动
点（点E在点D的下方），且 ，连接 ， ．当 取得最大值时，求点P的坐标及
的最小值；
(3)在（2）中 取得最大值的条件下，将抛物线 沿射线 方向平移 个单位长度得到抛
45物线 ，点M为点P的对应点，点N为抛物线 上的一动点．若 ，请直接写出所有
符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为 ， 的最小值为
(3)点N的坐标为 或
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）先求出直线 的解析式，然后设点P的坐标为 ，过点P作 轴交 于点F，交
x轴于点H，点F的坐标为 ，求出 长，再证明 ，根据对应边成比例求出 的
最小值，把点P向上平移 个单位长度得到点 ，点 的坐标为 ，连接 ，即可得到
，连接 ，则 ，是最小值，利用勾股定理计算解题；
（3）根据平移得到抛物线 的解析式，然后过点P作 轴于点Q，过点N作 轴于点K，连接
，即可得到 ，设点N的坐标为 ，根据
列等式求出a的值即可解题．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为 ，
把 代入得 ，
解得 ，
∴ ；
（2）解：令 ，则 ，
∴点C的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，把 和 代入得：
46，解得 ，
∴ ，
设点P的坐标为 ，过点P作 轴交 于点F，交x轴于点H，
则点F的坐标为 ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 取得最大值为 ，这时点P的坐标为 ，
把点P向上平移 个单位长度得到点 ，点 的坐标为 ，连接 ，
则四边形 是平行四边形，
∴ ，
即 ，
由A，B关于 对称性可得点A的坐标为 ，
连接 ，则 的最小值为 长，
即 ，
即 的最小值为 ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
47∴将抛物线 沿射线 方向平移 个单位长度即为向左平移两个单位长度，向下平移两个
单位长度得到抛物线 ，即 ，
过点P作 轴于点Q，过点N作 轴于点K，连接 ，
设点N的坐标为 ，
由平移得 ，
∴ ，
如图所示，∵ ，
即 ，解得 （舍去）或 ，
这时点N的坐标为 ；
如图所示，则∵ ，
即 ，解得 或 （舍去），
这时点N的坐标为 ；
综上所述，点N的坐标为 或 ．
48【点睛】本题是二次函数的综合，主要考查待定系数法，二次函数的线段问题，轴对称的最短路径问题，
二次函数的平移，解直角三角形，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．
2．（2025·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，抛物线 经过点 ．
点 、 是该抛物线上的两点，横坐标分别为 、 ，已知点 ，作点 关于点 的对称点 ，
作点 关于点 的对称点 ，构造四边形 ．
(1)求该抛物线所对应的函数表达式；
(2)当 两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点 的坐标；
(3)设抛物线在 、 两点之间的部分（含 、 两点）为图象 ．当 时，若图象 的最高点与最
低点的纵坐标之差为 ．求 的值；
(4)连结 、 ，当 时，直接写出 的取值范围（这里 、 、
均是大于 且小于 的角）．
【答案】(1)
(2)
49(3) 或
(4)
【分析】（1）根据待定系数法，将点 代入 即可求解．
（2）通过抛物线对称轴公式确定对称轴，利用对称点横坐标中点在对称轴上求 m 值，再根据点关于点对
称的中点公式求对称点坐标．
（3）根据抛物线顶点及开口方向，确定区间 与顶点位置关系，分情况讨论最高点坐标，利用纵坐
标差建立方程求解 ．
（4）根据平行线的性质，先分析条件可得点 在 之间，利用中点公式计算求出各点的坐标，再计
算直线 的解析式，根据点 分别在 上时，取得临界值，求得 的值，即可求解．
【详解】（1）将点 代入 中得：
解得： ，
∴ ．
（2）根据抛物线对称轴公式 可知：
抛物线 的对称轴为 ，
∵ 、 关于对称轴对称，且横坐标分别为 、 ，
∴ 、 中点在对称轴上，
∴ ，
，
解得： ，
∵点 是该抛物线上的点，
将 代入抛物线解析式得，
，
即
50设 是A关于 的对称点，则：
解得 ， ，
∴ 点坐标为 ．
（3）∵抛物线顶点为 ，开口向上， ， ，
当 时， 包含 ，最低点为 。
当 时， ，最高点为A，纵坐标差为： ，
解得： ；
当 时， ，最高点为B，纵坐标差为： ，
解得： ．
综上，m的值为 或 ．
（4）∵点 是点 关于点 的对称点，点 是点 关于点 的对称点，结合题意可知：
∴ ， ， ， ，
∴ ， ， ， ，
如图，四边形 是平行四边形，当点 在 之间， 的左侧，过点 作
∴
51∴
∴
当点 在 上时，
∴
∴
解得 ，
当点 在 上时
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ， ．
其中 ， ， 时，如图，经检验符合 ，
综上， ．
【点睛】本题主要考虑二次函数的解析式、二次函数的图象和性质、二次函数的最值、平行四边形的性质
等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
3．（2025·四川南充·中考真题）抛物线 与x轴交于 ，B两点，N是抛物线
顶点．
52(1)求抛物线的解析式及点B的坐标．
(2)如图1，抛物线上两点 ， ，若 ，求m的值．
(3)如图2，点 ，如果不垂直于y轴的直线l与抛物线交于点G，H，满足 ．探究
直线l是否过定点？若直线l过定点，求定点坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)
(3)存在定点
【分析】（1）把 代入 ，求出抛物线的解析式，令 ，即可求解；
（2）设直线 为 ，设点 ， ，可得
且 ，即可求解；
（3）设直线 解析式 ，直线 与抛物线相交于点 ， ，与抛物线解析式联立可得
， ， ．作 ， ， ， ，
， ．根据 ，可得 ，从而得到 ，
进而得到 ，继而得到 ，再由直线 不垂直于 轴，
可得 ，从而得到直线 解析式 ，即可求解．
【详解】（1）解：把 代入 ，
53．
抛物线的解析式为 ，
令 ，则 ，
解得 ， ，
；
（2）解：∵ ，N是抛物线顶点，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
， ，
∴ ，解得： ，
直线 的解析式为 ，
，
可设直线 为 ，
设点 ， ，
且 ．
解得： ．
（3）解：存在定点 满足条件．
设直线 解析式 ，直线 与抛物线相交于点 ， ，
，
．
， ， ．
54作 ， ， ， ， ， ．
，
．
即 ，
，
，
．
．
．
，
直线 不垂直于 轴，
，
，
，
直线 解析式 ，
无论 为何值， ， ，
∴ 过定点 ，故存在定点 ．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、一次函数和二次函数交点问题等知识．利用数形结合思想解
答是解题的关键．
4．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 （ 为常数）的图
像与 轴交于 、 两点，交 轴于点 ，对称轴为直线 ．
55(1)求二次函数关系式．
(2)连接 ，抛物线上是否存在点 ，使 ，若存在，求出点 的坐标，若不存在，
说明理由．
(3)在 轴上方的抛物线上找一点 ，作射线 ，使 ，点 是线段 上的一动点，过点
作 轴，垂足为点 ，连结 ，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)抛物线上存在点 ，使 ， 的坐标为 或
(3) 的最小值为
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，轴对称的性质，
熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）根据抛物线的对称轴为直线 ，得出 则二次函数解析式为 代入 ，
得出 ，即可求解；
（2）设 ，根据点的坐标可得， ，分量种情况讨论，①当 在直线 的下
方时，以 为斜边在 的下方作等腰直角三角形 ，设 关于 的对称点为 ，则 ，验
证 可得点 与点 重合，得出 ，当 在 的上方时，作点 关于 的对称
点 ，即 ，即可求解；
（3）在 上取一点 ，使得 ，得出 ，在 上取一点 ，使得
，垂足为 ，则 ，作 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，根据轴对称的性质可
56得当 在 上时 取得最小值，最小值为 的长，等面积法求得 ，
则 ，进而得出 ，根据 ，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，即
∴二次函数解析式为
将 代入得，
解得： ，
∴二次函数关系式为 ；
（2）解：在 中，当 时，解得 或 ，
∴ ，
当 时， ，则
∴ ， ，
设 ，则
①当 在直线 的下方时，
如图，以 为斜边在 的下方作等腰直角三角形 ，
∴ ， ，
设 关于 的对称点为 ，则 ，
∴
∴
∴
57∴
又∵
∴点 与点 重合，
∴
当 在 的上方时，作点 关于 的对称点
∵ 都是等腰直角三角形，
∴ 在 轴上，
综上所述，抛物线上存在点 ，使 ， 的坐标为 或
（3）解：如图，在 上取一点 ，使得
∴
设 ，则
在 中，
∴ ，即
解得：
∴
∴
58∵ ，
在 上取一点 ，使得 ，垂足为 ，
∴
∴
即 ,
如图，作 关于 的对称点 ，连接 交 于点
∴
∴当 在 上时 取得最小值，最小值为 的长，
在 中，
∴
∵ ，
∴
又∵ ，
∴
∴
∴ 的最小值为 ．
5．（2024·四川资阳·中考真题）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 与x轴
交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且 ， ．
59(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接 ，过点P作 轴于点D，交 于点K．
记 ， 的面积分别为 ， ，求 的最大值；
(3)如图2，连接 ，点E为线段 的中点，过点E作 交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，
使 ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在， 或
【分析】（1）先求 点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出 的解析式，设 ，则： ，将 转化为二次函数
求最值即可；
（3）易得 垂直平分 ，设 ，勾股定理求出 点坐标，三线合一结合同角的余角相等，推出
，分别作点 关于 轴和直线 的对称点 ，直线 ， 与抛物线的交点
即为所求，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
60∴ ，
把 ， ，代入函数解析式得：
∴ ，解得： ；
∴ ；
（2）∵ ， ，
∴设直线 的解析式为： ，把 ，代入，得： ，
∴ ，
设 ，则： ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴
，
∴当 时， 的最大值为 ；
（3）存在：
令 ，
解得： ，
∴ ，
∵ ，点 为 的中点，
∴ ，
61∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则： ，
在 中，由勾股定理，得： ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
①取点 关于 轴的对称点 ，连接 ，交抛物线与点 ，则： ， ，
设 的解析式为： ，
则： ，解得： ，
∴ ，
联立 ，解得： （舍去）或 ，
∴ ；
②取 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，连接 交抛物线于点 ，
则： ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
62∴ ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 轴，则： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为： ，
则： ，解得： ，
∴ ，
联立 ，解得： （舍去）或 ，
∴ ；
63综上： 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，中垂线的判定和性质，等积法求
线段的长，坐标与轴对称，勾股定理，解直角三角形，等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于中
考压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．
6．（2024·四川广安·中考真题）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，
点 坐标为 ，点 坐标为 ．
(1)求此抛物线的函数解析式．
(2)点 是直线 上方抛物线上一个动点，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，过点 作 轴的垂线，
垂足为点 ，请探究 是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时 点的坐标；若没有最大值，
请说明理由．
(3)点 为该抛物线上的点，当 时，请直接写出所有满足条件的点 的坐标．
【答案】(1)
(2) 的最大值为 ， 点的坐标为
(3)点 的坐标为 或
【分析】（1）直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式；
（2）先求解 ，及直线 为 ，设 ，可得 ，再建立二
次函数求解即可；
（3）如图，以 为对角线作正方形 ，可得 ， 与抛物线的另一个交点
即为 ，如图，过 作 轴的平行线交 轴于 ，过 作 于 ，则 ，设 ，
64则 ，求解 ，进一步求解直线 为： ，直线 为 ，再求
解函数的交点坐标即可.
【详解】（1）解：∵抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，点 坐标为
，点 坐标为 ．
∴ ；
（2）解：当 时， ，
∴ ，
设直线 为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 为 ，
设 ，
∴ ，
∴
；
当 时，有最大值 ；
此时 ；
（3）解：如图，以 为对角线作正方形 ，
∴ ，
∴ 与抛物线的另一个交点即为 ，
如图，过 作 轴的平行线交 轴于 ，过 作 于 ，则 ，
65∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
设 ，则 ，
∴ ,
∴ ，
由 可得：
∴ ，
解得： ，
∴ ，
设 为： ，
∴ ，解得： ，
66∴直线 为： ，
∴ ，
解得： 或 ，
∴ ，
∵ ， ， ，正方形 ，
∴ ，
同理可得：直线 为 ，
∴ ，
解得： 或 ，
∴ ，
综上：点 的坐标为 或 .
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的性质，正方形的性质，作出合适的
辅助线是解本题的关键.
7．（2023·辽宁营口·中考真题）如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交
于点 ，抛物线的对称轴交 轴于点 ，过点 作直线 轴，过点 作 ，交直线 于点 ．
67(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点 为第三象限内抛物线上的点，连接 和 交于点 ，当 时．求点 的坐标；
(3)在（2）的条件下，连接 ，在直线 上是否存在点 ，使得 ？若存在，请
直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) 或 ．
【分析】（1）根据抛物线过点 ，对称轴为直线 ，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意求得 ， ，求得 ，则 ，进而求得直线 的解析
式为 ，过点 作 轴，交 于点 ，证明 ，根据已知条件得出 设
，则 ，将点 代入 ，即可求解．
（3）根据题意可得 ，以 为对角线作正方形 ，则 ，进而求得
的坐标，待定系数法求得 的解析式，联立 解析式，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线 与 轴交于点 ，抛物线的对称轴交 轴于点
，则对称轴为直线 ，
∴ ，
68解得：
∴抛物线解析式为 ；
（2）解：由 ，当 时， ，
解得： ，
∴ ，
当 时， ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，则 ，
设直线 的解析式为 ，则 ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
如图所示，过点 作 轴，交 于点 ，
∵ ，
∴
∵
∴ ，则
69设 ，则 即 ，
将点 代入
即
解得： 或 （舍去）
当 时， ，
∴ ；
（3）∵ ， ，
则 ， 是等腰直角三角形，
∴ ，由（2）可得 ，
∵
∴ ，
由（2）可得 ，
设直线 的解析式为 ，则
解得：
∴直线 的解析式为
如图所示，以 为对角线作正方形 ，则 ，
70∵ ，则 ，则 ， ，
设 ，则 ，
解得： ， ，
则 ， ，
设直线 的解析式为 ，直线 的解析式为
则 ， ，
解得： ， ，
设直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ，
∴ 解得： ，则 ，
解得： ,则 ，
综上所述， 或 ．
71【点睛】本题考查了二次函数综合运用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
考点 0 4 三角形问题
1．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B两点，点
B的坐标为 ，点 在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)①求点A的坐标；
②当 时，根据图象直接写出x的取值范围________；
(3)连接 交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使 是以 为直角边的直角三角形，若存在，请
直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)① ，②
(3)存在， ，
【分析】本题考查了二次函数综合题，需要综合运用抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，
勾股定理等．
（1）将 、 代入 得方程组，解方程组即可；
（2）①令 ，则 ，解方程即可求出点A的坐标；
②根据图象可知，当 时，即抛物线在 轴下方的部分，根据A，B两点的坐标即可得出结论；
（3）设点P的坐标为 ，先由两点间的距离公式得 ， ， ，再
分两种情况讨论：当 为斜边时，则 ；
当 为斜边时，则 ；分别解方程即可．
72【详解】（1）解：将 、 代入 得，
，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：①令 ，则 ，
解得 或 ，
∴点A的坐标为 ；
②根据图象可知，当 时，x的取值范围为 ，
故答案为： ；
（3）解：设点P的坐标为 ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∵ 是以 为直角边的直角三角形，
∴分以下两种情况讨论：
当 为斜边时，则 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
当 为斜边时，则 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
综上所述，存在符合条件的P点， ， ．
732．（2025·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究
如图，抛物线 交 轴于A、 两点，交 轴于点 ．直线 经过 、 两点，若点
， ．点 是抛物线上的一个动点（不与点A、 重合）．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)过点 作直线 轴于点 ，交直线 于点 ，当 时，求 点坐标．
(3)若点 是直线 上的一个动点．请判断在点 右侧的抛物线上是否存在点 ，使 是以 为斜边
的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) ，
(3)存在，P点坐标为 ，或 ，或
【分析】（1）把 ， 代入 ，解方程组，求出a，b的值，即得；
（2）求出 ，直线 的解析式 ，设 ，则 ，分 ，
， 和 ，四种情况解答；
（3）过点F，P作 轴于G， 轴于H，得 ，根据等腰直角三角形．得
，得 ，得 ，得 ，设
，分 和 两种情况解答．
【详解】（1）解：∵抛物线 交 轴于 ， 两点，
74∴ ，
解得 ，
∴ ；
（2）解：∵ 中，当 时， ，
∴ ，
∴设直线 的解析式为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
则 ，
当 时，
， ，
∵ ，
∴ ，
解得 （舍去），或 （舍去），
∴点P不存在；
当 时， ，
∴ ，
解得解得 ，或 （舍去），
∴ ，
∴ ；
当 时， ，点P不存在；
75当 时， ， ，
∴ ，
解得 ，或 （舍去），
∴ ，
∴ ，
故 点坐标为 ，
（3）解： 过点F，P作 轴于G， 轴于H，则 ，
∵ 是以 为斜边的等腰直角三角形．
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
76∴ ,
解得 ， ，
∴P坐标为 ，或 ；
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ,
解得 ， （舍去），
∴P坐标为 ；
故P坐标为 ，或 ，或 ．
【点睛】本题考查了函数与三角形综合．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式一次
函数图象和性质，二次函数图象和性质，函数的线段问题，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性
质，分类讨论，是解题的关键．
3．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），
与y轴交于点C， ， ，D是直线 上方抛物线上一动点，作 交 于点E，垂足为
点F，连接 ．
77(1)求抛物线的表达式；
(2)设点D的横坐标为 ，
①用含有 的代数式表示线段 的长度；
②是否存在点D，使 是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明
理由；
(3)连接 ，将线段 绕点 按顺时针方向旋转 得到线段 ，连接 ，请直接写出线段 长度
的最小值．
【答案】(1)
(2)① ；②存在， 或 或
(3)
【分析】（1）运用待定系数法即可求解；
（2）①求出直线 ： ，则 ， ，即可用 的代数式表示 ；
②用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可；
（3）在 轴负半轴取点 ，连接 并延长交 轴于点 ，连接 ，证明 ，
则 ，确定点 在线段 上运动（不包括端点），故当 时， 最小，可证明
，求得 ，而当 时，
，即可由面积法求最小值．
【详解】（1）解：∵抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，
， ，
∴ ，
78∴
解得： ，
∴抛物线表达式为 ；
（2）解：①对于抛物线表达式 ，
当 ，
∴ ，
设直线 表达式为： ，
则 ，
解得： ，
∴直线 ： ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
②存在，
，而
当 时， ，
解得： 或 （舍），
79，
∴ ；
当 时，
整理得： ，
解得： 或 （舍），
，
∴ ；
当 时，
整理得： ，
解得： 或 （舍）或 （舍），
，
∴ ，
综上： 是等腰三角形时， 或 或 ；
（3）解：在 轴负半轴取点 ，连接 并延长交 轴于点 ，连接 ，
由旋转得： ，
∵ ，
∴ ，
80∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 在线段 上运动（不包括端点），
∴当 时， 最小，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时，
∴ ，
∴ ，
∴线段 长度的最小值 ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及得到系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰
三角形的存在性问题，两点间距离公式，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，难度较大，综
合性强．
4．（2024·四川达州·中考真题）如图1，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴
交于点 ．点 是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接 ， ，直线 交抛物线的对称轴于点 ，若点 是直线 上方抛物线上一点，且
81，求点 的坐标；
(3)若点 是抛物线对称轴上位于点 上方的一动点，是否存在以点 ， ， 为顶点的三角形是等腰三
角形，若存在，请直接写出满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 或 ；
(3) 或 或 或
【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）先求得 的坐标，根据勾股定理的逆定理得出 是等腰三角形，进而根据
得出 ，连接 ，设 交 轴于点 ，则 得出 是等腰直角三角形，进而得
出 ，则点 与点 重合时符合题意， ，过点 作 交抛物线于点 ，得出直线
的解析式为 ，联立抛物线解析式，即可求解；
（3）勾股定理求得 ，根据等腰三角形的性质，分类讨论解方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线 与 轴交于点 和点 ，
∴
解得：
∴抛物线的解析式为 ；
（2）由 ，当 时， ，则
∵ ，则 ，对称轴为直线
设直线 的解析式为 ，代入 ，
∴
82解得：
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，则
∴
∴
∴ 是等腰三角形，
∴
连接 ，设 交 轴于点 ，则
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
又
∴
∴
∴点 与点 重合时符合题意，
如图所示，过点 作 交抛物线于点 ，
设直线 的解析式为 ，将 代入得，
解得：
∴直线 的解析式为
83联立
解得： ，
∴
综上所述， 或 ；
（3）解：∵ ， ，
∴
∵点 是抛物线对称轴上位于点 上方的一动点，设 其中
∴ ，
①当 时， ，解得： 或
②当 时， ，解得：
③当 时， ，解得： 或 （舍去）
综上所述， 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，特殊三角形问题，熟练掌握二
次函数的性质是解题的关键．
5．（2023·湖南·中考真题）如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，与 轴交于 点，
其中 ， ．
(1)求这个二次函数的表达式；
84(2)在二次函数图象上是否存在点 ，使得 ？若存在，请求出 点坐标；若不存在，请说明理
由；
(3)点 是对称轴 上一点，且点 的纵坐标为 ，当 是锐角三角形时，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或 或
(3) 或 ．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据 ，可得 到 的距离等于 到 的距离，进而作出两条 的平行线，求得解
析式，联立抛物线即可求解；
（3）根据题意，求得当 是直角三角形时的 的值，进而观察图象，即可求解，分 和 两种
情况讨论，分别计算即可求解．
【详解】（1）解：将点 ， 代入 ，得
解得：
∴抛物线解析式为 ；
（2）∵ ，
顶点坐标为 ，
当 时，
解得：
∴ ，则
∵ ，则
85∴ 是等腰直角三角形，
∵
∴ 到 的距离等于 到 的距离，
∵ ， ，设直线 的解析式为
∴
解得：
∴直线 的解析式为 ，
如图所示，过点 作 的平行线，交抛物线于点 ，
设 的解析式为 ，将点 代入得，
解得：
∴直线 的解析式为 ，
解得： 或
∴ ，
∵
∴
∴ 是等腰直角三角形，且 ，
如图所示，延长 至 ，使得 ，过点 作 的平行线 ，交 轴于点 ，则 ，则符
86合题意的点 在直线 上，
∵ 是等腰直角三角形，
∴
∴ 是等腰直角三角形，
∴
∴
设直线 的解析式为
∴
解得：
∴直线 的解析式为
联立
解得： 或
∴ 或
综上所述， 或 或 ；
（3）①当 时，如图所示，过点 作 交 于点 ，
当点 与点 重合时， 是直角三角形，
当 时， 是直角三角形，
87设 交 于点 ，
∵直线 的解析式为 ，
则 ，
∴ ,
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴
∴ ，
设 ，则
∵
∴
解得： （舍去）或
∴
∵ 是锐角三角形
∴ ；
当 时，如图所示，
88同理可得
即∴
解得： 或 （舍去）
由（2）可得 时，
∴
综上所述，当 是锐角三角形时， 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，面积问题，角度问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
6．（2023·四川资阳·中考真题）如图，直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线
经过A、B两点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线 交于点C，求 的长的最大值；
89(3)点Q是线段 上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结 交y轴于点N．是否存在点P，
使 与 相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)当 时， 的长的最大值为4
(3)点P的坐标为 或
【分析】（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）设 ，则 ，进而表示出CD的长；接下来用含m的
二次函数表示S，根据二次函数的性质，即可解答；
（3）分两种情况：①当△ 时，②当 时，分别求解即可．
【详解】（1） 直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，
， ，
抛物线 经过A、B两点．
，
解得 ，
；
（2）设 ，
作x轴，与直线 交于点C，
，解得 ，
，
90当 时， 的长的最大值为4；
（3）设 ，
， ，
，
分两种情况：
①当 时，
，
， ，
，
，
，
，
， ，
，
，
或3（舍去），
，
91， ，
设直线 的解析式为 ，
解得 ，
直线PQ的解析式为 ，
联立 解得 或 （不合题意，舍去）
点P的坐标为 ；
②当 时，过点Q作 于H，
，
， ，
，
，
，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
，解得 ，
92，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
， ，
同理得直线 的解析式为 ，
联立 解得 或 （不合题意，舍去）
点P的坐标为 ；
综上，点P的坐标为 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全
等三角形的性质与判定等等，解题的关键是利用方程的思想和函数的思想方法解决问题，利用相似三角形
的判定得出关于m的方程是解题关键，解（3）的关键是分和两种情况讨论求解．
7．（2023·湖北随州·中考真题）如图1，平面直角坐标系 中，抛物线 过点 ，
和 ，连接 ，点 为抛物线上一动点，过点 作 轴交直线 于点 ，
交 轴于点 ．
93(1)直接写出抛物线和直线 的解析式；
(2)如图2，连接 ，当 为等腰三角形时，求 的值；
(3)当 点在运动过程中，在 轴上是否存在点 ，使得以 ， ， 为顶点的三角形与以 ， ， 为顶
点的三角形相似（其中点 与点 相对应），若存在，直接写出点 和点 的坐标；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1)抛物线： ；直线 ：
(2) 或 或
(3) ， 或 ， 或 ， 或
，
【分析】（1）由题得抛物线的解析式为 ，将点 代入求 ，进而得抛物线的解析式；
设直线 的解析式为 ，将点 ， 的坐标代入求 ， ，进而得直线 的解析式．
（2）由题得 ，分别求出 ， ， ，对等腰 中相等的边进行分类讨论，进而列
方程求解；
（3）对点 在点 左侧或右侧进行分类讨论，设法表示出各线段的长度，利用相似三角形的相似比求解
，进而可得 ， 的坐标．
【详解】（1）解： 抛物线过点 ， ，
抛物线的表达式为 ，
将点 代入上式，得 ，
．
抛物线的表达式为 ，即 ．
94设直线 的表达式为 ，
将点 ， 代入上式，
得 ，
解得 ．
直线 的表达式为 ．
（2）解： 点 在直线 上，且 ，
点 的坐标为 ．
， ， ．
当 为等腰三角形时，
①若 ，则 ，
即 ，
解得 ．
②若 ，则 ，
即 ，
解得 或 （舍去）．
③若 ，则 ，
即 ，
解得 （舍去）或 ．
综上， 或 或 ．
（3）解： 点 与点 相对应，
或 ．
①若点 在点 左侧，
则 ， ， ．
当 ，即 时，如图所示：
95则：直线 的表达式为 ，
，
解得： 或 （舍去）．
，即 ，
，即 ，
解得 ．
， ；
当 ，即 时，过点P作 轴，如图所示：
则 ，
∴ ， ，
∵ ，
，即 ，
96解得： 或 （舍去），
经检验 是原方程的解，
此时点 ， ，
∴ ；
②若点 在点 右侧，则 ， ，
当 ，即 时，如图所示：
此时直线 的表达式为 ，
，
解得 或 （舍去），
，
∵ ，
，即 ，
解得： ．
， ．
当 ，即 时，如图所示：
97， ，
∵ ，
，即 ，
解得 或 （舍去），
经检验 是原方程的解，
， ,
∴ ．
综上， ， 或 ， 或 ， 或
， ．
【点睛】本题是二次函数的综合应用，考查了待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质与判定，平面
直角坐标系中两点距离的算法，相似三角形的性质与判定等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
考点 0 5 四边形问题
1．（2025·天津·中考真题）已知抛物线 为常数， ．
(1)当 时，求该抛物线顶点 的坐标；
(2)点 和点 为抛物线与 轴的两个交点，点 为抛物线与 轴的交点．
①当 时，若点 在抛物线上， ，求点 的坐标；
②若点 ，以 为边的 的顶点 在抛物线的对称轴 上，当 取得
最小值为 时，求顶点 的坐标．
98【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是
解题的关键；
（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）①根据 ，得出抛物线解析式为 ，点 在第四象限，过点 作 轴于
点 ，证明 ，进而得出点 的坐标为 ，代入解析式，解方程，即可求解；
②在 轴上点 的左侧取点 ，使 ，连接 ．在 中，根据勾股定理， ，
得出 ,根据题意，点 和点 关于直线 对称，点 在直线 上，得 ．根据平行四
边形的性质得出当点 在线段 上时， 取得最小值 ，即 ，勾股定理可得
，进而代入 ，求得点 ，可得直线 的解析式为 ．
求得点 的坐标为 ，根据平移的性质即可得出点 的坐标为 ．
【详解】（1）解： ，
∴该抛物线的解析式为 ，
，
∴该抛物线顶点 的坐标为 ；
（2）①∵点 在抛物线 上，
∴ ，即 ，
又 ，点 ，
，
∴抛物线解析式为 ，
如图，点 在第四象限，过点 作 轴于点 ，
99，
∴ ，
，
∴ ．
∴ ，
又 ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ，
∵点 在抛物线 上，
，
整理得， ，
解得
∵ ，
∴ 不合，舍去，
∴ ，
∴点 的坐标为 ；
②∵ ，
∴ ，
在 轴上点 的左侧取点 ，使 ，连接 ．
，得 ．
，
．
100∴ ，则 ．
在 中，根据勾股定理， ，
．
∴ ．
．
又点 ，得 ．
．即
根据题意，点 和点 关于直线 对称，点 在直线 上，得 ．
又 中， ．得 ．
．
当点 在线段 上时， 取得最小值 ，即 ．
在 中， ，
．
将 代入，得 ．
解得 （舍）．
∴ ．
点 ．
直线 的解析式为 ．
设点 的横坐标为 ，则 ．得 ．
点 的坐标为 ．
线段 可以看作是由线段 经过平移得到的，
点 的坐标为 ．
1012．（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数 （b，c为常数）的图象交x轴于A，B两
点，交y轴于点C，已知点B的坐标为 ，点C的坐标为 ，连接 ．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若点P为抛物线上的一个动点，连接 ，当 时，求点P的坐标．
(3)将抛物线沿射线 的方向平移 个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线
对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为 或
(3)点E的坐标为 或 或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）当点P在 下方时，可证明点P与点C关于抛物线对称轴对称，据此根据对称性可得点P坐标；当
点P在 上方时，设直线 交x轴于H，则可证明 ，设 ，利用两点距离计算公式可得
，解得 ，则 ；求出直线 解析式为 ，联立直线 解
析式和抛物线解析式求出点P的坐标即可；
102（3）先由对称性求出由对称性可得 ，求出 ， ，则 ；则可推出将原抛物线
向左平移2个单位长度，向上平移6个长度得到新抛物线，据此打得到新抛物线解析式为 ；
再分 为对角线， 为对角线， 为对角线，三种情况根据平行四边形对角线中点坐标相同列出方程
求解即可．
【详解】（1）解；把 代入到 中得： ，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）解；如图2-1所示，当点P在 下方时，
∵ ，
∴ ，
∴点P与点C关于抛物线对称轴对称，
∵抛物线对称轴为直线 ，
∴点P的坐标为 ；
如图2-2所示，当点P在 上方时，设直线 交x轴于H，
∵ ，
∴ ，
∴
103设 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
设直线 解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 解析式为 ，
联立 ，解得 或 （舍去），
∴点P的坐标为 ；
综上所述，点P的坐标为 或 ；
（3）解：由（2）可得原抛物线对称轴为直线 ，
∵ ，
∴由对称性可得 ，
∴ ，
104∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵将抛物线沿射线 的方向平移 个单位长度后得到新抛物线，
∴将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个长度得到新抛物线，
∴新抛物线解析式为 ，
当 为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分，
∴ 的中点坐标相同，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴此时点E的坐标为 ；
当 为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分，
∴ 的中点坐标相同，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴此时点E的坐标为 ；
当 为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分，
∴ 的中点坐标相同，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴此时点E的坐标为 ；
105综上所述，点E的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的平移问题，一次函数与几何综合，待定系数法求
函数解析式，平行四边形的性质，两点距离计算公式等等，解（2）的关键在于分两种情况讨论求解，解
（3）的关键在于利用平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解．
3．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ，与
轴交于点 和点 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点 在直线 上，点 在 轴上， 是抛物线上位于第一象限的点，若四边形 是正方
形，求点 的坐标；
(3)设点 在抛物线 上，点 在抛物线 上，当
时， 的最小值为3，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）如图所示，过点D作 轴于M，过点F作 轴于N，设直线 于y轴交于T，先
求出 ，进而求出 ；由正方形的性质可得 ，证明
106，得到 ；设 ，则 ；
导角证明 ，得到 ，解 得到 ，则
，据此可求出 ，再由
在直线 上，得到 ，解方程即可
得到答案；
（3）分别求出 ， ，令 ，可得
，则二次函数 的对称轴为直线 ，且开口向上，再分
， ， ，三种情况根据当 时， 的最小值为3进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，抛物线 经过点 ，与 轴交于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）解：如图所示，过点D作 轴于M，过点F作 轴于N，设直线 于y轴交于
T，
∴ ，
在 中，当 时， ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
107∴ ；
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
设 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 在直线 上，
108∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵点 在抛物线 上，点 在抛物线 上，
∴ ， ，
令
∴
，
∴二次函数 的对称轴为直线 ，且开口向上，
当 时，∵ 时， 的最小值为3，
∴当 时， ，
∴ ，
解得 或 （舍去）；
当 时，∵ 时， 的最小值为3，
∴当 时， ，
∴ ，
解得 或 （舍去）
109当 时，∵ 时， 的最小值为3，
∴当 时， ，
∴ ，
解得 （舍去）；
综上所述， 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，二次函数的最值问题，待定系数法求函数解析式，
全等三角形的性质与判定等等，解（2）的关键在于构造全等三角形，从而用点F的横坐标表示出点D的
坐标；解（3）的关键在于构造新二次函数 ，通过讨论对称轴的位置求解．
4．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 经过点
，与y轴交于点B，且关于直线 对称．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当 时，y的取值范围是 ，求t的值；
(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线 于点D，在y轴上是否存在
点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在点以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为 或2
【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论
的思想进行求解，是解题的关键．
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
110（2）分 和 ，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可．
（3）分 为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 ，与y轴交于点B，且关于直线 对称，
∴ ，解得： ，
∴ ；
（2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线 ，
∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小，
∵ 时， ，
①当 时，则：当 时，函数有最大值，即： ，
解得： 或 ，均不符合题意，舍去；
②当 时，则：当 时，函数有最大值，即： ，
解得： ；
故 ；
（3）存在；
当 时，解得： ，当 时， ，
∴ ， ，
设直线 的解析式为 ，把 代入，得： ，
∴ ，
设 ，则： ，
∴ ， ， ，
当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况：
①当 为边时，则： ，即 ，
解得： （舍去）或 ，
111此时菱形的边长为 ；
②当 为对角线时，则： ，即： ，
解得： 或 （舍去）
此时菱形的边长为： ；
综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为 或2．
5．（2023·辽宁丹东·中考真题）抛物线 与x轴交于点 ， ，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标是 ，过点D作直线 轴，垂足
为点E，交直线 于点F．当D，E，F三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段 的长；
(3)若点P是抛物线上的一个动点（点P不与顶点重合），点M是抛物线对称轴上的一个点，点N在坐标
平面内，当四边形 是矩形邻边之比为 时，请直接写出点P的横坐标．
【答案】(1)
(2) 或
(3) 或
【分析】（1）将点 ， 代入解析式即可求解；
（2）可求直线 的解析式为 ，可得 ， ， ，①当
时，可求 ， ，即可求解；②当 时， ，
112，即可求解；
（3）①当 在对称轴的左侧时，得到 是矩形，邻边之比为 ，即 ，即可求解；
②当 在对称轴的右侧时，同理可求．
【详解】（1）解：由题意得
解得 ，
故抛物线的表达式 ；
（2）解：当 时， ，
，
设直线 的解析式为 ，则有
，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
点D的横坐标是 ，过点D作直线 轴，
， ， ，
①如图，当 时，
，
113，
，
整理得： ，
解得： ， ，
，
不合题意，舍去，
，
；
②如图，当 时，
，
，
，
整理得： ，
解得： ， （舍去），
；
综上所述：线段 的长为 或 ．
（3）解：设点 ， ，
114当四边形 是矩形时，则 为直角，
①当 在对称轴的左侧时，
如图，过 作 轴交 轴于 ，交过 作 轴的平行线于 ，
，
∵ 为直角，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是矩形邻边之比为 ，即 或 ，
即 和 的相似比为 或 ，
即 ，
由题意得： ， ，
∴ ，
则 ，
即 ，
解得： ， （不符合题意，舍去）；
②当 在对称轴的右侧时，
同理可得： ，
115解得： ，
综上， 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数综合体，主要考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，矩形
的性质，三角形相似的性质等知识点，分类求解是解答本题的关键．
6．（2023·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 ， 两点，
与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图甲，在y轴上找一点D，使 为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
(3)如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？
若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2) 或 或 或 ；
(3)存在， ， 或 ， 或 ， 或
或
【分析】（1）将 ， 代入 ，求出 ,即可得出答案；
（2）分别以点 为顶点、以点 为顶点、当以点 为顶点，计算即可；
（3）抛物线 的对称轴为直线 ，设 ， ，求出 ， ，
，分三种情况：以 为对角线或以 为对角线或以 为对角线．
【详解】（1）解：（1）∵ ， 两点在抛物线上，
116∴
解得， ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）令 ，
∴ ，
由 为等腰三角形，如图甲，
当以点 为顶点时， ，点 与原点 重合，
∴ ；
当以点 为顶点时， ， 是等腰 中线，
∴ ，
∴ ；
当以点 为顶点时，
∴点D的纵坐标为 或 ，
∴综上所述，点D的坐标为 或 或 或 ．
（3）存在，理由如下：
抛物线 的对称轴为：直线 ，
117设 ， ，
∵ ，
则 ，
，
，
∵以 为顶点的四边形是菱形，
∴分三种情况：以 为对角线或以 为对角线或以 为对角线，
当以 为对角线时，则 ，如图1，
∴ ，
解得： ，
∴ 或
∵四边形 是菱形，
∴ 与 互相垂直平分，即 与 的中点重合，
当 时，
∴ ，
118解得： ，
∴
当 时，
∴ ，
解得： ，
∴
以 为对角线时，则 ，如图2，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ 与 互相垂直平分，即 与 中点重合，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
当以 为对角线时，则 ，如图3，
119∴ ，
解得： ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ 与 互相垂直平分，即 与 的中点重合，
∴ ，
解得：
∴ ，
综上所述，符合条件的点P、Q的坐标为： ， 或 ， 或
， 或 或
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了解析式的求法、等腰三角形的判定、菱形的性质、坐标与图形的
性质、分类讨论等知识，熟练掌握菱形的性质和坐标与图形的性质是解题的关键．
7．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴的交点分别为
和 （点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，点 是直线 上方抛物线上一动点．
120(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，过点 作 轴平行线交 于点 ，过点 作 轴平行线交 轴于点 ，求 的最大值及
点 的坐标；
(3)如图2，设点 为抛物线对称轴上一动点，当点 ，点 运动时，在坐标轴上确定点 ，使四边形
为矩形，求出所有符合条件的点 的坐标．
【答案】(1)
(2) 的最大值为 ，点 的坐标为
(3)符合条件的 点坐标为： 或
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求得直线 的解析式，设 ，则 ， ，得到
，利用二次函数的性质求解即可；
（3）先求得抛物线的顶点 ，对称轴为 ，分当点 在 轴上和点 在 轴负半轴上时，两种
情况讨论，当点 在 轴负半轴上时，证明 ，求得 ，再证明 ，
求得点 的坐标为 ，由点 在抛物线上，列式计算求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于点
121解得
抛物线的解析式为： ；
（2）解：当 时， ，
解得 ， ，
∴ ，
设直线 的解析式为： ，
把 ， 代入得： ，
解得
∴直线 的解析式为 ，
设 ，
∵ 轴，
∴点 的纵坐标为 ，
又∵点 在直线 上，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 轴，
122∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴当 时， 有最大值，最大值为 ，
当 时， ，
∴点 的坐标为 ；
答： 的最大值为 ，点 的坐标为 ；
（3）解： ，
则抛物线的顶点 ，对称轴为 ，
情况一：当点 在 轴上时， 为抛物线的顶点，
∵四边形 为矩形，
∴ 与 纵坐标相同，
∴ ；
情况二：当点 在 轴负半轴上时，四边形 为矩形，
过 作 轴的垂线，垂足为 ，过 作 轴的垂线，垂足为 ，
123设 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线对称轴为 ，点 在对称轴上， ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ，
∵点 在抛物线上，
∴ ，
解得 ， （舍去），
∴ ，
124综上所述：符合条件的 点坐标为： 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，
解题的关键是方程思想的应用．
考点 0 6 其他问题
1．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点O和点 ．
(1)求c的值，并用含a的式子表示b；
(2)过点 作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线 于点N．
①若 ， ，求 的长；
②已知在点P从点O运动到点 的过程中， 的长随 的长的增大而增大，求a的取值范围．
【答案】(1)0，
(2)①4；② 且
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综
合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题．
（1）分别将 ， 代入抛物线解析式，即可获得答案；
（2）①结合题意，分别确定点 的坐标，即可获得答案；②首先确定 ，再分 和
两种情况分析求解即可．
【详解】（1）解：将点 代入，抛物线 ，
可得 ，
∴该抛物线解析式为 ，
将点 代入，抛物线 ，
可得 ，解得 ；
（2）①若 ，则该抛物线及直线解析分别为 ， ，
当 时，可有点 ，
如下图，
125∵ 轴，
∴ ，
将 代入 ，可得 ，即 ，
将 代入 ，可得 ，即 ，
∴ ；
②当点P从点O运动到点 的过程中，
∵ 轴， ，
∴ ，
将 代入 ，可得 ，即 ，
将 代入 ，可得 ，即 ，
∴ ，
令 ，即 ，解得 或 ，
若 ，可有 ，即点 在 轴右侧，如下图，
当 时，可有 ，其图像开口向下，对称轴为 ，
若 的长随 的长的增大而增大，即 的长随 的增大而增大，
126则 ，解得 ，
当 时，可有 ，其图像开口向上，对称轴为 ，不符合题意；
若 ，可有 ，即点 在 轴左侧，如下图，
当 时，可有 ，其图像开口向上，对称轴为 ，
若 的长随 的长的增大而增大，即 的长随 的减小而增大，
则 ，解得 ，
∴ ．
综上所述，a的取值范围为 且 ．
2．（2025·浙江·中考真题）已知抛物线 （a为常数）经过点 ．
(1)求a的值．
(2)过点 与x轴平行的直线交抛物线于 两点，且点B为线段 的中点，求t的值．
(3)设 ，抛物线的一段 夹在两条均与x轴平行的直线 之间．若直线
之间的距离为16，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)8
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象性质，是解题
的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出对称轴，由题意，可知， 关于对称轴对称， 的纵坐标均为 ，中点得到 ，对
称性得到 ，求出 ，再代入函数解析式求出 的值即可；
（3）根据题意，易得要使 最大，则， 为一条直线与抛物线的交点， 和 关于对称轴对
127称，根据直线 之间的距离为16，为定值，得到当一条直线恰好经过抛物线的顶点 ，即：
时， 最大，此时另一条直线的解析式为 ，令 ，求出 的值，进而确定
的值，进行求解即可．
【详解】（1）解：把 代入 ，得： ，
解得： ；
（2）由（1）知： ，
∴对称轴为直线 ，
∵点 在 轴上，过点 与x轴平行的直线交抛物线于 两点，
∴ 关于对称轴对称， 的纵坐标均为 ，
又∵点B为线段 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 代入 ，得： ，
∴ ；
（3）∵ ，
∴抛物线的顶点坐标 ，
当抛物线的一段 夹在两条均与x轴平行的直线 之间时，
为直线与抛物线的交点，
∴要使 最大，则， 为一条直线与抛物线的交点， 和 关于对称轴对称，
又∵直线 之间的距离为16，为定值，
∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点 ，即： 时， 最大，此时另一条直线的解析式为
，如图：
128∴当 时，解得： ，
即： ，
∴ 的最大值为： ．
3．（2025·湖北·中考真题）抛物线 与 轴相交于点 和点 ，与 轴相交于点 ，
是抛物线的顶点， 是抛物线上一动点，设点 的横坐标为 ．
(1)求 的值；
(2)如图1，若点 在对称轴左侧，过点 作对称轴的垂线，垂足为 ，求 的值；
(3)定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧 （含端点 和 ）．过 ， 分别作 轴的
垂线 ，过抛物线弧 的最高点和最低点分别作 轴的垂线 ，直线 与 围成的矩形叫做抛物
线弧 的特征矩形．若点 在第四象限，记抛物线弧 的特征矩形的周长为 ．
①求 关于 的函数解析式；
129②过点 作 轴，交抛物线于点 ，点 与点 不重合．记抛物线弧 的特征矩形的周长为 ．若
，直接写出 的长．
【答案】(1)
(2)2
(3)① ② 或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求
解，是解题的关键：
（1）待定系数法进行求解即可；
（2）一般式化为顶点式，求出 点坐标，根据 点横坐标，得到 ，进而求出 ，进
行求解即可；
（3）①求出 点， 点坐标，分 ， ， 三种情况，分别求出矩形的两条邻边长，利
用周长公式，列出函数关系式即可；
②根据 轴，得到 关于对称轴对称，进而求出 点坐标，分分 ， ， 三种
情况，求出 的函数关系式，再根据 ，分别求出满足题意的 的值，进而求出 的长即可．
【详解】（1）解：把 代入 ，得： ，
∴ ；
（2）由（1）可知： ，
∴ ，
∵ 是抛物线上一动点，设点 的横坐标为 ，
∴ ，
∵过点 作对称轴的垂线，垂足为 ，
∴ ， ，
130∴ ；
（3）①当 时， ，当 时， ，
∴ ， ，
由（2）可知： ， ，对称轴为直线 ，
∴点 关于对称轴的对称点为
∵ 在第四象限，
∴ ，
当 时，抛物线弧 的最高点为 ，最低点为 ，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：
，
∴ ；
当 时，抛物线弧 的最高点为 ，最低点为 ，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：
，
∴ ；
当 时，抛物线弧 的最高点为 ，最低点为 ，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：
，
∴ ；
综上： ；
②∵ 轴，
∴ 关于对称轴对称，
131∴ ，
当 时，抛物线弧 的最高点为 ，最低点为 ，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：
，
∴ ；
∵ ，
∴ ，解得： （舍去）或 ；
∴ ；
当 时，抛物线弧 的最高点为 ，最低点为 ，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：
，
∴ ；
∵ ，
∴ ，解得： 或 （舍去）；
∴ ；
当 时，抛物线弧 的最高点为 ，最低点为 ，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：
，
∴ ；
∵ ，
132∴ ，解得： （舍去）或 ；
∴
综上： 或 ．
4．（2025·四川宜宾·中考真题）如图， 是坐标原点，已知抛物线 与 轴交于 、 两点，
与 轴交于 点，其中 ．
(1)求b、c的值；
(2)点 为抛物线上第一象限内一点，连结 ，与直线 交于点 ，若 ，求点D的坐标；
(3)若 为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为 ，若 又在原抛物线上，新抛物线与直
线 交于点 ，连结 ．探新抛物线与 轴是否存在两个不同的交点．若存在，
求出这两个交点之间的距离；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 或 ；
(3)存在，这两个交点之间的距离为
【分析】（1）理解题意，分别把 代入 ，进行计算，即可作答．
（2）先得 ，再证明 ，运用 ，得 ，设点 的纵坐标为
，则点D的纵坐标为 ，再分别求出 的解析式为 ， 的解析式为 ，整
理得点 ，因为点 为抛物线上第一象限内一点，得 ，解得
，即可作答．
（3）先求出 ，再整理得平移后的抛物线的解析式为 ，因为点 在
133，则 ，即 ，故 ，所以 是等腰三角形，再结合
解直角三角函数得 ，代入数值计算得 ，再运用换元法进行整理得
，解得 ，平移后的抛物线解析式为 ，求出
，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，分别把 代入 ，
得 ，
解得 ．
（2）解：由（1）得 ，
则 ，
令 ，则 ，
∴ ，
故 ，
分别过点E、D作 如图所示：
∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
134∴ ，
设点 的纵坐标为 ，则点D的纵坐标为 ，
设 的解析式为 ，
∵ ， ，
∴ ，
解得 ，
∴ 的解析式为 ，
把 代入 ，
得 ，
∴ ，
∴ ，
设 的解析式为 ，
把 ， 分别代入 ，
得 ，
解得 ，
∴ 的解析式为 ，
依题意，把 代入 ，
得 ，
则 ，
即点 ，
135∵点 为抛物线上第一象限内一点，且 ，
∴ ，
整理得 ，
∴ ；
此时 的 ，故 是符合题意的；
当 时，则 ，此时 ，
当 时，则 ，此时 ，
综上： 或 ；
（3）解：存在，过程如下：
由（2）得 ，
整理
∵ 为抛物线的顶点，
∴ ，
∵平移抛物线使得新顶点为 ， 又在原抛物线上，新抛物线与直线 交于点 ，连结
．
如图所示：
∴平移后的抛物线的解析式为 ，
把 代入 ，
得 ，
∵点 在 ，
136∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
则 ，
即
∴ 是等腰三角形，
过点 作 ，
∵ ，
∴ ，
则 ，
∴ ，
令 ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
137∴ （舍去）或 ，
∴ ，
∴平移后的抛物线解析式为 ，
令 则 ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
则 ，
∴新抛物线与 轴存在两个不同的交点，这两个交点之间的距离为 ．
【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，平移的性质，
勾股定理，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
5．（2024·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 ，
两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使 有最大值？若
存在，求出 的最大值；若不存在，请说明理由；
(3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接 ，过点M作 交直线l于点N．若
，求点M的坐标．
【答案】(1)
(2) 存在最大值；最大值为
138(3)点M的坐标为 或 或 或
【分析】（1）把 ， 代入抛物线求出a、b的值，即可得出抛物线的解析式；
（2）先求出点C的坐标为 ，连接 、 、 ，根据轴对称的性质得出 ，
，得出当 最大时， 最大，根据当点A、C、P三点在同一直线上时，
最大，即当点P在点 时， 最大，求出最大值即可；
（3）过点M作 轴，过点C作 于点D，过点N作 于点E，设点M的坐标为：
，得出 ， ，证明 ，得出
，从而得出 ，分四种情况：当 时，当 时，当 时，
当 时，分别求出点M的坐标即可．
【详解】（1）解：把 ， 代入 得：
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）解： 存在最大值；
把 代入 得： ，
∴点C的坐标为 ，
∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
连接 、 、 ，如图所示：
139∵点C关于直线l的对称点为点D，点P在直线l上，
∴ ，
∴ ，
∴当 最大时， 最大，
∴当点A、C、P三点在同一直线上时， 最大，即当点P在点 时， 最大，
∴ 最大值为： ．
（3）解：过点M作 轴，过点C作 于点D，过点N作 于点E，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设点M的坐标为： ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
140∴ ，
当 时， ， ，则：
，
解得： ， （舍去），
此时点M坐标为： ；
当 时， ， ，则：
，
解得： （舍去），
此时点M坐标为： ；
当 时， ， ，则：
，
解得： ， （舍去），
此时点M坐标为： ；
当 时， ， ，则：
，
解得： ， （舍去），
此时点M坐标为： ；
综上分析可知：点M坐标为： 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，轴对称的性质，两点间距离公式，解
直角三角形的相关计算，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握
相关的判定和性质，注意进行分类讨论．
1416．（2024·山东德州·中考真题）已知抛物线 ， 为实数．
(1)如果该抛物线经过点 ，求此抛物线的顶点坐标．
(2)如果当 时， 的最大值为4，求 的值．
(3)点 ，点 ，如果该抛物线与线段 （不含端点）恰有一个交点，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2) ，
(3) 或
【分析】（1）利用待定系数法求出函数表达式，然后化成顶点式，从而解得答案；
（2）先求出函数的对称轴为 ，判断函数的开口向上，判断出当 时， 取最大值4，代入
从而求得答案；
（3）当 ， ，当 时， ，当交点在线段 之间时，那么 且
，或者当 时， ，从而解得答案；
【详解】（1）解： 该抛物线经过点
解得
顶点坐标为
（2）解：
对称轴为 ，函数图象开口向上
，
当 时， 取最大值4
解得 ，
（3）解： 当 ，
当 时，
142当交点在线段 之间时，当 时，
解得 ；
当 时，
解得 ；
综上， 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标，二次函数的最值，二次函数与
线段的交点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
7．（2024·湖北·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点 和点B，与
y轴交于点C．
(1)求b的值；
(2)如图，M是第一象限抛物线上的点， ，求点M的横坐标；
(3)将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为L，L与y轴交于点N．设L的顶点横坐标为n，
的长为d．
①求d关于n的函数解析式；
②L与x轴围成的区域记为U，U与 内部重合的区域（不含边界）记为W．当d随n的增大而增大，
且W内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出n的取值范围．
【答案】(1)
(2)点M的横坐标为
(3)① ；② 或
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）设 ，作 轴于点 ，构造直角三角形，利用锐角三角函数或者相似建立关
于 的方程求解即可；
（3）①由二次函数平移可得出图象 的解析式为 ，从而得到
143，再分类讨论去绝对值即可；
②根据题干条件得出整数点 ， ， ，再分别两两进行分类讨论，建立二次函数不等式即可解决．
【详解】（1）解： 二次函数 与 轴交于 ，
，
解得： ；
（2） ，
二次函数表达式为： ，
令 ，解得 或 ，令 得 ，
， ， ，
设 ，
作 轴于点 ，如图，
，
，即 ，
解得 或 （舍去），
的横坐标为 ；
（3）① 将二次函数沿水平方向平移，
纵坐标不变为4，
图象 的解析式为 ，
，
，
144；
②由①得 ，画出大致图象如下，
随着 增加而增加，
或 ，
中含 ， ， 三个整点（不含边界），
当 内恰有2个整数点 ， 时，
当 时， ，当 时， ，
，
， 或 ，
，
或 ，
；
当 内恰有2个整数点 ， 时，
当 时， ，当 时， ，
，
或 ， ，
，
或 ，
；
145当 内恰有2个整数点 ， 时，此种情况不存在，舍去．
综上所述， 的取值范围为 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，包括用待定系数法求二次函数表达式及二次函数与线段交点的问
题，也考查了二次函数与不等式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质以及数形结
合法是解题关键．
8．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线 与x轴交于两点 ，将抛
物线 向右平移两个单位长度，得到抛物线 ，点P是抛物线 在第四象限内一点，连接 并延长，交
抛物线 于点Q．
(1)求抛物线 的表达式；
(2)设点P的横坐标为 ，点Q的横坐标为 ，求 的值；
(3)如图②，若抛物线 与抛物线 交于点C，过点C作直线 ，分别交抛物线
和 于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断
是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) 是定值， ．
【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、函数图象的交点问题、一元二次方程
根与系数关系等知识，准确利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
146（1）利用待定系数法求出 ，再根据平移规律即可求出抛物线 的表达式；
（2）设点P的坐标为 ，待定系数法求出直线 的解析式为 ，联立 与
得到 ，解得 ，即可求出答案；
（3）由（1）可得， ，与 联立得到 ，求出点C的坐标为 ，
又由点M的坐标为 ，利用待定系数法求出直线 的解析式为 ，与
联立得到 ，则 ，得到 ，
即可得到 ，得到定值．
【详解】（1）解：∵抛物线 与x轴交于两点 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∵抛物线 向右平移两个单位长度，得到抛物线 ，
∴
即
（2）解：设点P的坐标为 ，设直线 的解析式为 ，把点A和点P的坐标代入得到，
则
解得 ，
147∴直线 的解析式为 ，
联立 与 得到
，
解得 ，
则
（3）解：由（1）可得， ，与 联立得到， ，
解得 ，
此时
∴点C的坐标为 ，
∵点M的横坐标为m，且在 上，
∴
即点M的坐标为
设直线 的解析式为 ，把点C和点M的坐标代入得到，
则
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
与 联立得到，
，
148整理得到，
则 ，
即 ，
即 ，
即 为定值．
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