第二十八章锐角三角函数（压轴题专练）（学生版）-（人教版）_初中数学_九年级数学下册（人教版）_知识点汇总-U105_2024版

第二十八章 锐角三角函数第（压轴题专练） 一、单选题 1．（2023上·陕西西安·九年级校考期中）如图，菱形 中， ， ， ，垂 足分别为B，D，若 ，则 的长是（ ）cm A． B．6 C． D． 2．（2023上·浙江宁波·九年级校考阶段练习）如图，平面直角坐标系中，已知点 ， ， 是线 段 上任意一点（不含端点 、 ），过 、 两点的二次函数 和过 、 两点的二次函数 的图象 开口均向下，它们的顶点分别在线段 ， 上，则这两个二次函数的最大值之积的最大值为（ ） A．5 B． C． D．4 3．（2023上·吉林长春·九年级统考期中）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每 个小正方形的顶点称为格点．点 、 、 、 均在格点上， 与 相交于点 ，则 的余弦值为 （ ）A． B． C． D． 4．（2023上·湖南常德·九年级统考期中）如图，正方形 的边长为2，点 是 的中点， 与 交于点 ， 是 上的一点，连接 分别交 ， 于点 、 ，且 ，连接 ，则以下结 论：① 为 的中点；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中正 确的结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2022·广东深圳·统考模拟预测）如图，已知平行四边形 ，点E为 的中点， 与 交于点 F，连接 ，若 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 6．（2023上·安徽合肥·九年级合肥市第四十二中学校考期中）如图，在矩形 中， ， ，将 沿射线 平移a个单位长度（ ）得到 ，连接 ， ，则当 是直角三角 形时，a的值为（ ） A． 或 B．2或 C． 或 D． 或3 7．（2023上·安徽六安·九年级统考期中）如图， 是 的对角线， ， ，点 E是 的中点，点F、P分别是线段 、 上的动点，若 ，且 是等腰三角形， 则 的长为（ ） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 8．（2023·广东深圳·校考模拟预测）将一张正方形纸片 对折，使 与 重合，得到折痕 后 展开，E为 上一点，将 沿 所在的直线折叠，使得点C落在折痕 上的点F处，连接 ， ， ，则得下列结论：① 是等边三角形；② ；③ ；④ ．其中正确的是（ ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④9．（2019上·浙江·九年级周测）如图（1），点 为矩形 边 上一点，点 ，点 同时从点 出 发，点 沿 运动到点 停止，点 沿 运动到点 停止，它们的运动速度都是 ， 设 出发 秒时， 的面积为 ，已知 与 的函数关系的图象如图（2）（曲线 为抛物线 的一部分），则下列结论：① ；②直线 的解析式为 ；③ 可能与 相 似；④当 秒时， ．其中正确的结论个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2020上·浙江·九年级周测）如图，设锐角 的三条高 相交于 ，若 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2023上·黑龙江绥化·九年级绥化市第八中学校校考阶段练习）在 中， ， ， ，则 ． 12．（2023上·陕西西安·九年级西安市东方中学校联考期中）如图，在正方形 中， ， 与 交于点 ， 是 的中点，点 在边 上，且 ， 为对角线 上一点，当对角线 平分 时， 的值为 .13．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校联考期中）如图，正方形 ， ， ， ，求 的长 ． 14．（2023·广东河源·统考三模）如图，在正方形 中，点E、F分别在边 上，且 ， 交 于M点， 交 于N点．下列结论：① ； ②若F是 的中点，则 ；③连接 ，则 为等腰直角三角形．其中正确结论的序号是 （把你 认为所有正确的都填上）． 15．（2023上·陕西西安·九年级校考期中）如图，在平行四边形 中， ，E是 边上的点， ， ，F是 边上的一点，且 ，若M、N分别是线段 、 上的动点，则 的最小值为 ．16．（2023·广东东莞·统考一模）如图，正方形 的对角线相交于点O，点E在边 上，点F在 的延长线上， ， 交 于点G， ， ，则 ． 17．（2023·辽宁·模拟预测）如图，在 中， ，以 为边作正方形 （点A，C，D，E按逆时针方向排列）， 和 的延长线相交于点F，点P从点B出发沿 向 点F运动，到达点F时停止，点Q在线段 上运动，且始终满足 ，连接 ， ， ，当 的面积为5时， 的长是 ． 18．（2023·浙江·模拟预测）如图，在菱形 中， 、 分别为线段 、 上一点，将菱形 沿着 翻折，翻折后 、 的对应点分别为 ， 与 交于点 ．已知 ，若 若 ．19．（2023上·福建福州·九年级校考期中）如图， 和 都是等边三角形，其中边 ．直线 相交于点 ，连接 ，当 的长度最大时， 的长是 ． 20．（2023上·湖北武汉·九年级统考期中）如图，已知 是 的内接三角形， 的半径为2，将劣 弧 沿 折叠后刚好经过弦 的中点 ．若 ，则弦 的长为 ． 三、解答题 21．（2023上·江苏泰州·九年级统考期中）如图， ，点 是射线 上的一点，连接 ，作 ，且 ，动点 是 延长线上一点， ，连接 ．(1)当 时，求 的长； (2)当点 在射线 上运动的距离为 时，求点 运动的距离（用含有 的代数式表示）； (3)连接 ，当 ，且 时，求 的长． 22．（2023上·吉林·九年级校考期中）如图，已知等边三角形 中， ，动点P从点A出发，沿 以 的速度向终点C运动，过点P做 于点D，以 为边向右做矩形 ，且 ．设矩形 与 重叠部分的面积为 ，点P的运动时间为 ． (1) (用含x的式子表示)； (2)当点F落在 边上时，求x的值； (3)求S与x之间的函数解析式． （1）如图①，在 中，点 是边 的中点，连接 并延长至点 ，连接 ，若 ， 的面积为 ， 的面积为 ，则 ________ 的大小（填“ ”“ ”“ ”）图① 【问题探究】 （2）如图②，在 中， ， ， ，点 为 边的中点， ．问： 在 边上是否存在一点 ，使得线段 恰好平分 的面积？若存在，求出线段 的长度，若不存 在，请说明理由． 【问题解决】 （3）我校有着丰富多彩的校园生活，为了让同学们进一步接触到更多的校园社团活动，提高空间利用率， 现计划对校园部分区域进行改造，某区域是如图③的四边形 ， ， 米， ， 点 、 分别在边 、 上，四边形 为矩形，边 、 将这块区域分成了三部分，其中，矩 形 的面积为108平方米．为了方便通行，学校准备在这块区域中修一条笔直的小路 （小路的两 端 、 分别在 和 上，且小路的宽度忽略不计），使得 将四边形 分成两部分，同时平 分矩形 的面积，且使得区域 的面积最小．试问学校的想法能否实现？若能，请求出这条小路 的长及 面积的最小值；若不能，请说明理由．24．（2023上·陕西咸阳·九年级统考期中）【问题提出】 （1）如图①，在 中， ，点D为 上一点，且 ，过点D作 于点 E，若 ，则 的长为 ； 【问题探究】 （2）如图②，在 中， ，点D是 边上一点，连接 ，过点D作 交 于点E，过点B作 于点F，交 于点G，试判断 与 是否相似，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图③， 是一块菜园平面示意图， ， ， 是 边上的中线， 于点F，交 于点G， 交 于点E，经测量， 米，现欲沿 修一条灌溉水 渠，请你求出灌溉水渠的长度 ． 25．（2023上·河北邢台·九年级统考期中）如图1所示，已知点O到直线l的距离 为4， ，点B 在直线l上， ，让 绕点O从 开始顺时针旋转角 （ ）到某一位置时， 将会跟随出现 到相应的位置． (1)当点B与点P重合时，判断 与 是否垂直，并说明理由；(2)点A到直线l距离最大时，求 的大小； (3)设 的中点M，连接 ，求 的最大值； (4)如图2，当点A在 的上方时，若 ，直接写出 的正切值； 26．（2023上·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，在ABC中，BAC90，AB3，BC5．点P 从点B出发，沿线段BC以每秒3个单位长度的速度向点C方向运动．当点P不与点B重合时，作 PQBC AB Q Q A P PQ Rt△PQH 交边 于点 ，当点 和点 重合时，点 停止运动．以 为直角边向右作等腰 ， 使PQH 90，设点P的运动时间为t秒． (1)线段PQ的长为__________；（用含t的式子表示） (2)当点H 落在边AC上时，求线段PQ的长； CH PQH VPHC t (3)连结 ，当 与 相似时，求 的值； (4)作点H 关于直线AC的对称点H，连结AH．当AH与ABC的一边平行或垂直时，直接写出t的值． 27．（2023上·河南周口·九年级校联考阶段练习）综合与实践 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计纸盒 素 利用一边长为40cm的正方形纸板可设计成如图1和图 材 2所示的两种纸盒，图1是无盖的纸盒，图2是一个有 1 盖的纸盒． 素 如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小 材 的小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒 2 子． 问题解决 任 初步探究：折一个底面积为484cm2的无盖长方体盒 务 问剪掉的小正方形的边长为多少？ 子． 1任 如果能，求出此时剪掉的小正方形的边长； 务 探究折成的无盖长方体盒子的侧面积能否为800cm2？ 如果不能，说明理由． 2 图3是一个高为4cm的无盖的五棱柱盒子（直棱 柱），图4是其底面，在五边形ABCDE中，AEDE ，BC 12cm，ABDC 6cm， 图3中的五棱柱盒子可按图5所示的示意 ABC BCD120，EABEDC 90． 图，将矩形纸板剪切折合而成，那么这个矩 任 形纸板的长和宽至少各为多少厘米？请直接 务 写出结果．（图中实线表示剪切线，虚线表 3 示折痕，纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不 计） 图3图4图5 28．（2023下·江西南昌·九年级校考阶段练习）图1是屏幕投影仪投屏情景图，图2是其侧面示意图，投 影光线AE、投影仪DA在同一直线上，且与三角支架中的AFC在同一平面上，点E位于屏幕BG的正 中心，FC 50cm，AF 12cm，AF 垂直于水平地面HC，支架点F 与水平地面HC的距离为30cm，若 投影仪的尾端D与支架点F 所在直线恰好平行于水平地面HC，测得DF 15cm，CH 240cm． (1)求三角支架中的FC与地面的夹角． (2)求投影点E与水平地面的距离． (3)若投影仪后移1m，要正常投影，（投影光线射向点E）则投影仪的仰角须减小了多度？ （参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75，tan390.8，tan280.53） 29．（2023·江西上饶·校联考二模）火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一， 消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点D，B，O在同一直线 上，DO可绕着点O旋转，AB为云梯的液压杆，点O，A，C在同一水平线上，其中BD可伸缩，套管 OB的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆AB3m，BAC 53，DOC 37．(1)求BO的长． (2)消防人员在云梯末端点D高空作业时，将BD伸长到最大长度6m，云梯DO绕着点O顺时针旋转一定的 3 角度，消防人员发现铅直高度升高了 ，求云梯 旋转了多少度．（参考数据：sin37 ， 3m OD 5 3 4 4 tan37 ，sin53 ，tan53 ， ， ） 4 5 3 sin640.90 cos640.44 30．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即 CEF AEF ）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后， 在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离CD1.7m， BE20m，DE2m，求建筑物AB的高度． 【活动探究】 观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子 E DE 2m E 移动至 1处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出 1 ；再将镜子移动至 2处，恰好通过镜 DE 3.4m CD1.7m BD10m 子看到广告牌的底端A，测出 2 ．经测得，小军的眼睛离地面距离 ， ，求这 个广告牌AG的高度．【应用拓展】 小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如 图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离CD1.7m），小明通过移动镜子（镜子 平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出DE2.8m；③测出坡长AD17m；④测 8 出坡比为 （即tanADG ）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）． 8:15 15 31．（2023·河南周口·校考三模）如图1是一个倾斜角为的斜坡的截面示意图．已知斜坡顶端A到地面的 1 距离 为2m,tan ．为了对这个斜坡上的绿植进行喷灌，在斜坡底端 处安装了一个喷头 ，喷头 AB 3 C D D到地面的距离DC为0.5m，水珠在距喷头D水平距离4m处达到最高，喷出的水珠可以看作抛物线的一 yax2bxc 部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为 ，其中喷出水珠的竖直高 度为 y （单位：m）（水珠的竖直高度是指水珠到水平地面的距离），水珠与AB的水平距离为x（单位： m）．(1)求抛物线的表达式． (2)斜坡正中间有一棵高1m的树苗，通过计算判断从喷头D喷出的水珠能否越过这棵树苗． 4 (3)若有一个身高为 m的小朋友经过此斜坡，想要不被淋湿衣服，他到喷头 的水平距离sm应在什么 3 D 范围内？ 32．（2023·河南周口·校考三模）郑州博物馆（新馆）位于郑州奥体中心附近，周边有郑州大剧院，郑州 植物园等，其主展馆以郑州出土的商代青铜方鼎为造型基础，整体建筑风格取鼎器粗犷与精美相统一的神 韵，让人叹为观止．某校数学小组的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量郑州博物馆（新馆）的高度AB， 如图，他们在C处测得顶端A的仰角为38，沿CB方向前进17m到达D处，又测得顶端A的仰角为45． 已知测角仪的高度为1.5m，测量点C，D与郑州博物馆（新馆）的底部B在同一水平线上，求郑州博物馆 （新馆）的高度AB．（结果精确到1m．参考数据：sin380.62，cos380.79，tan380.78） 33．（2023·福建·统考中考真题）阅读下列材料，回答问题 任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度AB远大于南北走向的最大宽 度，如图1． 工具：一把皮尺（测量长度略小于AB）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点 间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）； 测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P，Q两点，可测得POQ的大小，如 图3． 小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度AB，其测量及求解过程如下：测量过程：（ⅰ）在小水池外选点C，如图4，测得AC am，BC bm； a b （ⅱ）分别在 ， ，上测得CM  m，CN  m；测得 ．求解过程： AC BC 3 3 MN cm a b 由测量知， ， ，CM  ，CN  ， AC a BC b 3 3 CM CN 1 ∴   ，又∵①___________， CA CB 3 MN 1 ∴ ，∴  ． △CMN∽△CAB AB 3 又∵MN c，∴AB②___________ m ． 故小水池的最大宽度为___________m． (1)补全小明求解过程中①②所缺的内容； (2)小明求得AB用到的几何知识是___________； (3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得AB．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何 量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的 a b cL   L AB 长度用字母 ， ， 表示，角度用 ， ， 表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出 ， 且测量的次数最少，才能得满分）． 34．（2023·江西九江·统考三模）如图1是某品牌的纸张打孔机的实物图，图2是从中抽象出的该打孔机 处于打孔前状态的侧面示意图，其中打孔机把柄OA5cm，BE是底座，OA与BE所成的夹角为36.8°，O 点是把柄转轴所在的位咒，且O点到底座BE的距离OC 2cm．OD与一根套管相连，OD可绕O点转动， 此时，OD∥BE，套管内含打孔针MN，打孔针的顶端M 触及到OA，但与OA不相连，MN始终与BE垂 直，且OM 1cm，MN 2cm． (1)打孔针MN的针尖N 离底座BE的距离是多少厘米? (2)压下把柄OA，直到A点与B点重合，如图3，此时，M ．D两点重合，把柄OA将压下打孔针MN并将 它锲入放在底座BE上的纸张与底座之内，从而完成纸张打孔，问：打孔针MN锲入底座BE有多少厘米？3 4 3 （参考数据：sin36.8 ，cos36.8 ，tan36.8 ） 5 5 4 35．（2023·浙江温州·统考中考真题）根据背景素材，探索解决问题． 测算发射塔的高度 某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射 塔的高度MN（如图1）．他们通过自制的测倾仪 （如图2）在A，B，C三个位置观测，测倾仪上 的示数如图3所示． 背 景 素 材 经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度． 问题解决 分析规划 选择两个观测位置：点_________和点_________ 任 务 写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之 1 获取数据 间的图上距离． 任 务 推理计算 计算发射塔的图上高度MN． 2 任 楼房实际宽度DE为12米，请通过测量换算发射 务 换算高度 塔的实际高度． 3 注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1mm． 36．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）根据以下素材，探索完成任务： 素材一：图1是某款遮阳蓬，图2是其侧面示意图，点A，O为墙壁上的固定点，摇臂OB绕点O旋转过程中，遮阳蓬AB可自由伸缩，蓬面始终保持平整.如图2，AOB90，OAOB1.5米． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）的正切值参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 3 角的正切值 4 2 1 4 素材 3：小明身高（头顶到地面的距离）约为 1米，如图2，小明所站的位置离墙角的距离（QN）为 1.2 米. 问题解决 这天12点，小明所站位置刚好不被阳光照射到，请求固定点O到墙角的距离（ 任务1 确定高度 OQ）的长. 如图2，为不被阳光照射到，旋转摇臂OB，B的对应点为B，使得B离墙壁距 判断是否碰到 任务2 离为1.2米，在这天15点时，小明退至刚好不被阳光照射到的地方，请判断他 蓬面 的头顶是否会碰到遮阳蓬面？ 如图3，不改变B的位置，小明打算在这天12-14点之间在遮阳蓬下休息，为使 任务3 探究合理范围 得全程不被阳光照射到，又不会碰到遮阳蓬面，求小明所站位置离墙角距离（ QN）的范围． 37．（2023·四川自贡·统考中考真题）为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：(1)测量坡角 AB，BC，CD BH，CQ，DR 如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡 ，山的高度即为三段坡面的铅直高度 之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小． 如图2，同学们将两根直杆MN，MP的一端放在坡面起始端A处，直杆MP沿坡面AB方向放置，在直杆 MN另一端N用细线系小重物G，当直杆MN与铅垂线NG重合时，测得两杆夹角的度数，由此可得山  ， 坡AB坡角 的度数．请直接写出 之间的数量关系． (2)测量山高 同学们测得山坡AB，BC，CD的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为24，30，45；为求BH ，小 熠同学在作业本上画了一个含24角的Rt△TKS（如图3），量得KT 5cm，TS 2cm．求山高DF．（ 2 1.41 ，结果精确到1米） (3)测量改进 由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法． 如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于MN的顶端，当MN与铅垂线NG重合时，转动直杆NP，使点  N，P，D共线，测得 MNP 的度数，从而得到山顶仰角 1，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得   a b 山顶仰角 2；画一个含 1的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为 1厘米， 1厘米，再画一个含  a b 1.6 2的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为 2厘米， 2厘米．已知杆高MN为 米，求山高 ， DF ．（结果用不含 1 2的字母表示） 38．（2023·浙江嘉兴·统考一模）地球有多大？2000多年前，古希腊数学家埃拉托斯特尼（Eratosthenes）利用太阳光线测量出了地球子午线的周长．下面让我们一起开启“探求地球周长”的数学项目化学习之 旅． 项目任 如图1，某日正午，小红在B地（与太阳直射点A在同一子午线上）测得太阳光与木棍的夹角为 务 ，则AOB______，若测得AB之间弧长为l，则地球子午线周长为______．（用含，l的 （一） 代数式表示） 项目任 如图2，某日正午，小红和小明在同一子午线的B地、C地测得太阳光与木棍的夹角分别为， 务 ，则BOC ______，若测得BC之间弧长为l，则地球子午线周长为______．（用含， （二） ，l的代数式表示） 如图3，日落时，身高为h的小亮趴在地上平视远方，在太阳完全从地平线上消失的一瞬间，按 项目任 下秒表开始计时．同时马上站起来，当太阳再次完全消失在地平线的瞬间，停止计时，小亮利用 务 这个时间差和地球自转的速度计算出了PQH ，请据此计算出地球的半径与周长．（用含 （三） h，的代数式表示） 39．（2023·浙江嘉兴·统考一模）在课题学习《如何设计遮阳棚》中，计划在移门上方安装一个可伸缩的 遮阳棚（如图1），其中AC为移门的高度，B为遮阳棚固定点，BD为遮阳棚的宽度（可变动） AB50cm，AC 210cm，CBD80． 小丁所在小组负责探究“移门在正午完全透光时太阳高度角与遮阳棚宽度的关系”，查阅得到如下信息： 太阳高度角是指太阳光线与地平面的夹角；该地区冬至日正午的太阳高度角a最小（约35）；夏至日正 午的太阳高度角a最大（约80）．请你协助该小组，完成以下任务：【任务1】如图2，在冬至日正午时要使太阳光完全透过移门，BD应该不超过多少长度（结果精确到 0.1cm） 【任务2】如图3，有一小桌子在移门的正前方，桌子最外端E到移门的距离为180cm，桌子高度 MN 80cm．若要求在夏至日正午时太阳光恰好照射不到桌面，则BD应该多长？（结果精确到0.1cm． 参考数据：sin550.82，cos550.57，tan551.43，sin100.17，cos100.98，tan100.18， 2 1.41 ）． 40．（2023上·江苏常州·九年级校考期中）如图1，在Rt△ABC中，ACB90，AC 6，BC8，点 D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，CM BD垂足为M ，EN CD，垂足为N． (1)当ADCD时，求证：DE∥AC； (2)当BME与CNE相似时，求AD的长； (3)当以CD为直径的圆恰好过点E时，设圆I与直角边CA的另一个交点是F，求证：EF∥AB； (4)当四边形MEND与BDE的面积相等时，求AD的长． 41．（2023上·河北石家庄·九年级石家庄市第四十一中学校考期中）如图1和图2，平面上，四边形 ABCD AB8 BC 2 11 CD12 DA6 A90 DM 2 中， ， ， ， ． ，点M在AD边上，且 ．将线段 n0n180 MA AMA ABBC MA绕点M顺时针旋转 到 ， 的平分线MP所在直线交折线 于点P，设点 xx0 AP P在该折线上运动的路径长为 ，连接 ．如图2，连接BD． (1)求CBD的度数， (2)当n=180�时，求x的值；(3)若P点到BD的距离为2，求tanAMP的值； 42．（2023上·山西太原·九年级统考期中）综合与实践 问题情境：数学课上，同学们以特殊四边形为基本图形，添加一些几何元素后探究图形中存在的结论．已 Y ABCD ABBC ABC AD CD DE,DF 知在 中， ， 的平分线交 边于点E，交 边的延长线于点F，以 为邻 边作Y DEGF． 特例探究：（1）如图1，“创思”小组的同学研究了四边形ABCD为矩形时的情形，发现四边形DEGF是 正方形，请你证明这一结论； BG,AC BG AC （2）“敏学”小组的同学在图1基础上连接 ，得到图2，发现图2中线段 与 之间存在特定 的数量关系，请你帮他们写出结论并说明理由； 拓展延伸：（3）“善问”小组的同学计划对Y ABCD展开类似研究．如图3，在Y ABCD中，ABC60． 请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择________题． A：当AB4，BC 6时，请补全图形，并直接写出A，G两点之间的距离． B：当BC 6时，请补全图形，并直接写出以A，C，G为顶点的三角形面积的最小值． 2 3 y x2bxc B3,0，C  0,3 3  43．（2023·广东河源·统考三模）如图1，抛物线 3 过 两点，动点M从 点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC方向运动，设运动的时间为t秒．2 3 y x2bxc (1)求抛物线 3 的表达式； (2)如图1，过点M作DEx轴于点D，交抛物线于点E，当t 1时，求四边形OBEC的面积； (3)如图2，动点N同时从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OB方向运动，将BMN绕点M逆时针 旋转180得到△GMF． ①当点N运动到多少秒时，四边形NBFG是菱形； ②当四边形NBFG是矩形时，将矩形NBFG沿x轴方向平移使得点F落在抛物线上时，直接写出此时点F 的坐标． 45．（2023·广东河源·统考三模）如图1，把ACD绕点C逆时针旋转90得BCE，点A，D分别对应点 B，E，且满足A，D，E三点在同一条直线上．连接DE交BC于点F ，CDE的外接圆O与AB交于 G，H 两点． (1)求证：BE是O切线； 5 sinCAE (2)如图2，连接OB，OC，若 5 ，判断四边形BECO的形状，并说明理由；CF  5 GH (3)在（2）的条件下，若 ，求 的长． 46．（2023上·吉林长春·九年级校考期中）【问题探究】如图①，在正方形ABCD中，AB6，点E为 DC上的点，DE2CE，连接BE，点O为BE上的点，过点O作MN BE交AD于点M ，交BC于点N ， 求MN的长度． 此问题可以过点M 作MGBC于点G，根据正方形的性质及矩形的判定与性质，易证 MGN≌BCE．根据全等三角形的性质得出MN BE， 再由勾股定理可以求得MN BE ； 【类比迁移】如图②，在矩形ABCD中，AB3， BC 4， 连接BD，过BD的中点O作MN BD交 AD于点M ，交BC于点N ， 求MN的长度． Y ABCD AB7 2 BC 17 【拓展应用】如图③，李大爷家有一块平行四边形的菜地．记为 ． 测得 米， 米， ABC=45．为了管理方便，李大爷沿着对角线BD开一条小路，过这小路的正中间，开了另一条 垂直于它的小路MN（小路面积忽略不计）．直接写出新开出的小路MN的长度． 47．（2023上· 江苏无锡·九年级校联考期中）【问题情境】 在一次数学兴趣小组活动中，小明同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放．其中 ACBDEB90 B30 BE AC  3 ， ， ． 【问题探究】 小明同学将三角板DEB绕点B按顺时针方向旋转．(1)如图2，当点E落在边AB上时，延长DE交BC于点F ，求BF的长； (2)若点C、E、D在同一条直线上，求点D到直线BC的距离； (3)连接DC，取DC的中点G，三角板DEB由初始位置（图1），旋转到点C、B、D首次在同一条直线 上（如图3），求点G所经过的路径长； (4)如图4，G为DC的中点，则在旋转过程中，点G到直线AB的距离的最大值是 ． 48．（2023上·江苏盐城·九年级统考期中）（1）【学习心得】 小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可 以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”． ①已知：如图1，OAOBOC，若AOB50，求ACB的度数． 解：若以点O为圆心、OA为半径作辅助圆，AOB是⊙O的圆心角，而ACB是圆周角，从而可容易得 到∠ACB ． ②如图2，点P为正方形ABCD内一点，且BPC90，若AB4，求AP的最小值． 解：∵BC 4，BPC90，∴点P在以BC为直径的圆上 设圆心为点O，则O、P、A三点共线时AP最小，最小值为______． （2）【问题解决】 ①如图3，在平行四边形ABCD中，已知AB=4，BC 6，ABC60，点P是BC边上一动点（点P不 QC AP AP 与B，C重合），连接 ，作点B关于直线 的对称点Q，则线段 的最小值为______． ②如图4，ABC中，BAC90，AB4，AC3，D为AC上一动点，以AD为直径的O交BD于 E，求线段CE的最小值．（3）【问题拓展】 A2，3 B6，7 APB 如图5，在平面直角坐标系中，已知两点 ， ，x轴上有一动点P，当 最大时，直接写 出点P的坐标______． 49．（2023上·广东深圳·九年级期中）（1）[探究发现]如图①，已知四边形ABCD是正方形，点E为CD 边上一点（不与端点重合），连接BE，将ADBE沿BE折叠，点D落在D�处，DD、BC的延长线交于点 F ． 小明探究发现：当点E在CD上移动时，△BCE≌△DCF ．并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完 整． 证明：延长BE交DF于点G． （2）[类比迁移]如图②，四边形ABCD为矩形，点E为CD边上一点，连接BE，将DBE沿BE折叠，点 D落在D�处，DD的延长线与BC的延长线交于点F ，连接CD，当CDDF，AB2，BC 3时，求 CD的长； ABCD AD 3 AC 2 F BD （3）[拓展应用]如图③，已知四边形 为菱形， ， ，点 为线段 上一动点，将线 段AD绕点A按顺时针旋转，当点D旋转后的对应点E落在菱形的边上（顶点除外）时，如果DF EF ， 请直接写出此时OF 的长．50．（2023上·广东深圳·九年级统考期中）【探究发现】如图1，正方形ABCD的对角线交于点O，E是 AD边上一点，作OF OE交AB于点F；学习小队发现，不论点E在AD边上运动过程中，△AOE与 BOF恒全等.请你证明这个结论； 【类比迁移】如图2，矩形ABCD的对角线交于点O，ABD30，E是BA延长线上一点，将OE绕点O AE 逆时针旋转 得到 ，点F恰好落在 的延长线上，求 的值； 60 OF DA AF ABC AB AC,BAC 120,BC 12 BC BE 【拓展提升】如图3，等腰 中， ，点E是 边上一点，以 为边在 BC △BEF CF CF AM AM  7 BE 的上方作等边 ，连接 ，取 的中点M，连接 ，当 时，直接写出 的长.