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七年级数学下学期期中精选 50 题（压轴版）（北师大版）
一．选择题（共7小题）
1．（2021春•任城区期末）小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：40先出发去
学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华
离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程S（米）和所用时间t
（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（ ）
A．小明家和学校距离1200米
B．小华乘公共汽车的速度是240米/分
C．小华乘坐公共汽车后7：50与小明相遇
D．小明从家到学校的平均速度为80米/分
【分析】根据已知信息和函数图象的数据，一次解答每个选项
【解答】解：由图象可知，小华和小明的家离学校1200米，故A正确；
根据图象，小华乘公共汽车，从出发到到达学校共用了13﹣8＝5（分钟），所以公共汽车的
速度为1200÷5＝240（米/分），故B正确；
小明先出发8分钟然后停下来吃早餐，由图象可知在小明吃早餐的过程中，小华出发并与小
明相遇然后超过小明，所以二人相遇所用的时间是8+480÷240＝10（分钟），即7：50相遇，
故C正确；
小明从家到学校的时间为20分钟，所以小明的平均速度为1200÷20＝60（米/分），故D错误．
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数图象的综合应用，利用已知信息和图象所给的数据分析题意，
依次解答．
2．（2020秋•鞍山期末）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，动
点P从点B出发，沿着B→A→D在菱形ABCD的边AB，AD上运动，运动到点D停止．点
P′是点P关于BD的对称点，连接PP'交BD于点M，若BM＝x（0＜x＜8），△DPP′的面
积为y，下列图象能正确反映y与x的函数关系的是（ ）A． B．
C． D．
【分析】由菱形的性质得出AB＝BC＝CD＝DA，OA＝ AC＝3，OB＝ BD＝4，AC⊥BD，
分两种情况：
①当BM≤4时，先证明△P′BP∽△CBA，得出比例式 ，求出PP′，得出
△DPP′的面积y是关于x的二次函数，即可得出图象的情形；
②当BM≥4时，y与x之间的函数图象的形状与①中的相同；即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，OA＝ AC＝3，OB＝ BD＝4，AC⊥BD，
①当BM≤4时，
∵点P′与点P关于BD对称，
∴P′P⊥BD，
∴P′P∥AC，
∴△P′BP∽△CBA，
∴ ，即 ，
∴PP′＝ ，
∵DM＝8﹣x，∴△DPP′的面积y＝ PP′•DM＝ × （8﹣x）＝﹣ x2+6x（0＜x≤4）；
∴y与x之间的函数图象是抛物线，开口向下，过（0，0）和（4，12）；
②当BM≥4时，∵0＜x＜8，
∴4≤x≤8，
∴PP′＝ （8﹣x），
∴△DPP′的面积y＝ PP′•DM＝ ，
综上所述：y与x之间的函数图象大致为：
故选：D．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形
面积的计算以及二次函数的运用；熟练掌握菱形的性质，根据题意得出二次函数解析式是解
决问题的关键．
3．（2021春•奉化区校级期末）如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE
交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG
交BH于点G，若∠DEH＝100°，则∠BEG的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】AD∥BC，∠D＝∠ABC，则AB∥CD，则∠AEF＝180°﹣∠AED﹣∠BEG＝180°﹣2 ，
在△AEF中，100°+2 +180°﹣2 ＝180°，故 ﹣ ＝40°，即可求解．
β
【解答】解：设FBE＝∠FEB＝ ，则∠AFE＝2 ，
α β β α
α α∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH＝∠GEF＝ ，
∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，
β
而∠D＝∠ABC，∴∠D+∠BAD＝180°，∴AB∥CD，
∠DEH＝100°，则∠CEH＝∠FAE＝80°，
∠AEF＝180°﹣∠FEG﹣∠HEG＝180°﹣2 ，
在△AEF中，80°+2 +180﹣2 ＝180°
β
故 ﹣ ＝40°，
α β
而∠BEG＝∠FEG﹣∠FEB＝ ﹣ ＝40°，
β α
故选：B．
β α
【点评】本题考查的是平行线的性质，涉及到角平行线、外角定理，本题关键是落脚于△AEF
内角和为180°，即100°+2 +180°﹣2 ＝180°，题目难度较大．
4．（2021春•青山区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平
α β
分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①；根据三角形内角和定理求出∠ABC
＝∠CAD，根据三角形的外角性质即可推出②；根据三角形内角和定理求出∠FAG＝∠ACD，
根据角平分线定义即可判断③；根据等腰三角形的判定判断④即可．
【解答】解：∵BE是中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；
∵CF是角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
∵AD为高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，
∴∠AFG＝∠AGF，故②正确；
∵AD为高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，
∴∠ACB＝∠BAD，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠ACF，
∴∠BAD＝2∠ACF，
即∠FAG＝2∠ACF，故③正确；
根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误；
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，
等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，属于
中考题型．
5．（2021春•西城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点P（x，y），规定：f
（x，y）＝ ；比如f（﹣4， ）＝4，f（﹣2，﹣3）＝3．当f（x，y）
＝2时，所有满足该条件的点P组成的图形为（ ）
A． B．
C． D．【分析】根据f（x，y）的定义和f（x，y）＝2可知|x|＝2，|y|≤2或|y|＝2，|x|＜2，然后分两
种情况分别进行讨论即可得到点P组成的图形．
【解答】解：∵f（x，y）＝2，
∴|x|＝2，|y|≤2或|y|＝2，|x|＜2．
①当|x|＝2，|y|≤2时，点P满足x＝2，﹣2≤y≤2或x＝﹣2，﹣2≤y≤2，
在图象上，线段x＝2，﹣2≤y≤2即为D选项中正方形的右边，线段x＝﹣2，﹣2≤y≤2即为
D选项中正方形的左边；
②当|y|＝2，|x|＜2时，点P满足y＝2，﹣2＜x＜2，或y＝﹣2，﹣2＜x＜2，
在图象上，线段y＝2，﹣2＜x＜2即为D选项中正方形的上边，线段y＝﹣2，﹣2＜x＜2即为
D选项中正方形的下边．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的图象，解题的关键是牢记在平面直角坐标系中，与坐标轴平
行的线段上的点的坐标特征．
6．（2021秋•南昌县期末）已知a，b，c为自然数，且满足2a×3b×4c＝192，则a+b+c的取值不
可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】将原方程化为2a+2c•3b＝26•3，得到a+2c＝6，b＝1，再根据a，b，c为自然数，求出
a，c的值，进而求出答案．
【解答】解：根据题意得：2a+2c•3b＝26•3，
∴a+2c＝6，b＝1，
∵a，b，c为自然数，
∴当c＝0时，a＝6；
当c＝1时，a＝4；
当c＝2时，a＝2；
当c＝3时，a＝0，
∴a+b+c不可能为8．
故选：D．
【点评】本题考查了幂的运算，难度较大，根据a，b，c为自然数求出a，c的值是解题的关
键．
7．（2020•黄州区校级模拟）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整
数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的
正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．255054 B．255064 C．250554 D．255024
【分析】（方法一）由（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n≤2017，解得n≤252 ，可得在不超过
2017的正整数中，“和谐数”共有252个，依此列式计算即可求解．
（方法二）经过规律发现，第n个“和谐数”为8n，则2017以内最后一个“和谐数”为2016，它是第252个“和谐数”，然后用高斯数学从8+16一直加到2016即可计算求解．
【解答】解：（方法一）由（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n≤2017，解得n≤252 ，
则在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为32﹣12+52﹣32+…+5052﹣5032＝5052
﹣12＝255024．
（方法二）由（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，可知第n个和谐数为8n，则2017以内最后一个和
谐数为2016．
8+16+24+…+2016＝ ＝255024．
故选：D．
【点评】此题考查了平方差公式，弄清题中“和谐数”的定义是解本题的关键．
二．填空题（共6小题）
8．（2021春•瑶海区期中）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），面
积分别为S 、S ．
1 2
（1）请比较S 与S 的大小：S ＞ S ．
1 2 1 2
（2）满足条件4＜n＜|S ﹣S |的整数n有且只有4个，则m＝ 2 ．
1 2
【分析】（1）先分别计算出面积，作差与0比较大小即可；
（2）先计算出|S ﹣S |，根据整数n有且只有4个，列出不等式，根据m为正整数求得m的值．
1 2
【解答】解：（1）∵S ＝（m+7）（2m+2）＝2m2+16m+14，
1
S ＝（2m+5）（m+3）＝2m2+11m+15，
2
∴S ﹣S ＝（2m2+16m+14）﹣（2m2+11m+15）＝5m﹣1，
1 2
∵m为正整数，
∴5m﹣1＞0，
∴S ﹣S ＞0，
1 2
∴S ＞S ，
1 2
故答案为：＞．
（2）|S ﹣S |＝|5m﹣1|＝5m﹣1，
1 2
∵4＜n＜5m﹣1的整数n有且只有4个，
∴这四个整数解为5，6，7，8，
∴8＜5m﹣1≤9，
解得： ＜m≤2，∴m＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式法则，能够作差比较大小是解题的关键．
9．（2021秋•姑苏区期中）如图①，在平面直角坐标系中，点A、C分别在y轴和x轴上，
AB∥x轴，cosB＝ ．点P从B点出发，以1cm/s的速度沿边BA匀速运动，点Q从点A出发，
沿线段AO﹣OC﹣CB匀速运动．点P与点Q同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停
止运动．设点P运动的时间为t（s），△BPQ的面积为S（cm2），已知S与t之间的函数关系
如图②中的曲线段OE、线段EF与曲线段FG．以下说法正确的是 ③ ．（填序号）
①点Q的运动速度为3cm/s；
②点B的坐标为（9，18）；
③线段EF段的函数解析式为S＝ t；
④曲线FG段的函数解析式为S＝﹣ t2+9t；
⑤若△BPQ的面积是四边形OABC的面积的 ，则时间t＝ 或t＝ ．
【分析】结合函数图象得出当3秒时，BP＝3，此时△BPQ的面积为13.5cm2，进而求出AO
为9cm，即可得出Q点的速度，进而求出AB的长即可，进而判断①②；过点Q作QM⊥AB
于点M，根据三角形的面积公式可表达此时的S，进而判断③；画出图形可得出PB＝t，BQ
＝30﹣3t，则QM＝ （30﹣3t）＝18﹣ t，求出即可面积可判断④；首先得出△BPQ的面
积，分两种情形分别列出方程即可解决问题进而判断⑤．
【解答】解：由题意可得出：当3秒时，△BPQ的面积的函数关系式改变，则Q在AO上运
动3秒，
当3秒时，BP＝3，此时△BPQ的面积为13.5cm2，
∴AO为9cm，∴点Q的运动速度为：9÷3＝3（cm/s），故①正确；
当运动到5秒时，函数关系式改变，则CO＝6cm，
∵cosB＝ ，
∴可求出AB＝6+12＝18（cm），
∴B（18，9）；故②错误；
当点Q在OC上时，如图，QM⊥AB于点M，
S＝ t•9＝ t，故③正确；
如图，PB＝t，BQ＝30﹣3t，过点Q作QM⊥AB于点M，
则QM＝ （30﹣3t）＝18﹣ t，
∴S△PBQ ＝ t（18﹣ t）＝﹣ t2+9t（5≤t≤10），
即曲线FG段的函数解析式为：S＝﹣ t2+9t；故④正确；
∵S梯形OABC ＝ （6+18）×9＝108，
∴S＝ ×108＝12，
当0＜t＜3时，S＝ t2，S＝12时，t＝2 或﹣2 （舍弃），
当5＜t＜10时，12＝﹣ t2+9t；
解得t＝ 或 （舍弃），
综上所述：t＝2 或t＝ ，△BPQ的面积是四边形OABC的面积的 ．故⑤错．
故答案为：①③④．【点评】此题主要考查了动点问题的函数图象以及三角形，面积求法和待定系数法求函数解
析式等知识，具体的关键是学会以分类讨论的思想思考问题，学会理由方程的思想解决问题，
属于中考压轴题．
10．（2021春•奉化区校级期末）如图，AB∥CD，CF平分∠DCG，GE平分∠CGB交FC的延
长线于点E，若∠E＝34°，则∠B的度数为 68 ° ．
【分析】如图，延长DC交BG于M．由题意可以假设∠DCF＝∠GCF＝x，∠CGE＝∠MGE
＝y．构建方程组证明∠GMC＝2∠E即可解决问题．
【解答】解：如图，延长DC交BG于M．由题意可以假设∠DCF＝∠GCF＝x，∠CGE＝
∠MGE＝y．
则有 ，
①﹣②×2可得：∠GMC＝2∠E，
∵∠E＝34°，
∴∠GMC＝68°，
∵AB∥CD，
∴∠GMC＝∠B＝68°，
故答案为68°．
【点评】本题考查平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟悉基本图形，学
会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
11．（2021春•高邮市期中）如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CA至点A ，B ，C ，使得A B＝2AB，B C＝2BC，C A＝2CA，顺次连接A ，
1 1 1 1 1 1 1
B ，C ，得到△A B C ，记其面积为S ；第二次操作，分别延长A B ，B C ，C A 至点A ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
B ，C ，使得A B ＝2A B ，B C ＝2B C ，C A ＝2C A ，顺次连接A ，B ，C ，得到
2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2
△A B C ，记其面积为S ；…；按此规律继续下去，可得到△A B C ，则其面积S ＝ 1 9 4
2 2 2 2 4 4 4 4
（或 13032 1 ） ．
【分析】根据等底的三角形高的比等于面积比推出△A B C的面积是△A BC面积的2倍，则
1 1 1
△A B B的面积是△A BC面积的3倍…，以此类推，得出可得到△A B C 的面积．
1 1 1 4 4 4
【解答】解：连接A C，根据A B＝2AB，得到：AB：A A＝1：3，
1 1 1
因而若过点B，A 作△ABC与△AA C的AC边上的高，则高线的比是1：3，
1 1
因而面积的比是1：3，则△A BC的面积是△ABC的面积的2倍，
1
设△ABC的面积是a，则△A BC的面积是2a，
1
同理可以得到△A B C的面积是△A BC面积的2倍，是4a，
1 1 1
则△A B B的面积是6a，
1 1
同理△B C C和△A C A的面积都是6a，
1 1 1 1
△A B C 的面积是19a，
1 1 1
即△A B C 的面积是△ABC的面积的19倍，
1 1 1
同理△A B C 的面积是△A B C 的面积的19倍，
2 2 2 1 1 1
即△A B C 的面积是19，△A B C 的面积192，
1 1 1 2 2 2
依此类推，△A B C 面积S ＝194．
4 4 4 4
故答案为：194 （或130321）．
【点评】考查了三角形的面积，正确判断相邻的两个三角形面积之间的关系是解决本题的关
键，本题的难度较大．
12．（2021春•锦江区校级期中）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正
整数为“智慧数”．例如，16＝52﹣32，16就是一个智慧数．在正整数中，从1开始，第2021个智慧数是 269 7 ．
【分析】从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3
个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数．
【解答】解：设k是正整数，
由于（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1，
所以，除1外，所有奇数都是智慧数；
又因为（k+1）2﹣（k﹣1）2＝（k+1+k﹣1）（k+1﹣k+1）＝4k，
所以，除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；
被4除余2的正整数都不是智慧数．
∴从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧
数，而且每组中第二个不是智慧数．
∵（2021+2）÷3＝674...1，
∴2021是第675组的第一个数，
即：4×674+1＝2697．
故答案为：2697．
【点评】本题考查了平方差公式，利用平方差公式探究出规律是解题的关键．
13．（2021春•姑苏区期中）图1是一张足够长的纸条，其中PN∥QM，点A、B分别在PN、
QM上，记∠ABM＝ （0°＜ ＜90°）．如图2，将纸条折叠，使BM与BA重合，得折痕BR ，
1
如图3，将纸条展开后
α
再折叠
α
，使BM与BR
1
重合，得折痕BR
2
，将纸条展开后继续折叠，使
BM与BR 重合，得折痕BR …依此类推，第n次折叠后，∠AR N＝ 18 0 ﹣ （用含a
2 3 n
和n的代数式表示）
【分析】由折叠的性质折叠n次可得∠R B R ，然后根据四边形内角和及补角性质可得答案．
n n n+1
【解答】解：由折叠的性质折叠n次可得∠R B R ＝ ＝
n n n+1
在四边形内有四边形的内角和为360°知：∠BR N＝360 ＝180
n
∴∠AR N＝∠BR N﹣∠R R B＝180°﹣ ﹣ ＝180﹣ ．
n n n n+1故答案为：180﹣ ．
【点评】此题考查的是折叠，掌握其性质是解决此题关键．
三．解答题（共37小题）
14．（2021春•太原期末）阅读下列材料，解决相应问题：
“友好数对”
已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数
均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的
两个两位数为“友好数对”．例如43×68＝34×86＝2924，所以43和68与34和86都是“友
好数对”．
（1）36和84 是 “友好数对”．（填“是”或“不是”）
（2）为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为
b，且a≠b；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且c≠d，则a，b，c，d之间存在一个
等量关系，其探究和说理过程如下，请你将其补充完整．
解：根据题意，“友好数对”中的两个数分别表示为10a+b和10c+d，将它们各自的十位数字
和个位数字交换位置后两个数依次表示为 1 0 b + a 和 1 0 d + c ．
因为它们是友好数对，所以（10a+b）（10c+d）＝ （ 1 0 b + a ）（ 1 0 d + c ） ．
即a，b，c，d的等量关系为： a c ＝ b d ．
（3）请从下面A、B两题中任选一题作答，我选择 B 题．
A．请再写出一对“友好数对”，与本题已给的“友好数对”不同．
B．若有一个两位数，十位数字为x+2，个位数字为x，另一个两位数，十位数字为x+2，个位
数字为x+8．且这两个数为“友好数对”，直接写出这两个两位数．
【分析】（1）计算36×84和63×48，根据定义判断；
（2）利用“十位数字×10+个位数字×1”表达出交换后的两位数，结合友好数对的的定义列出
等量关系，并化简；
（3）A、结合（2）中的等量关系ac＝bd写出新的“友好数对”；
B、根据“ac＝bd”得（x+2）（x+2）＝x（x+8），解方程得到x，写出两个两位数．
【解答】解：（1）∵36×84＝3024，63×48＝3024，
∴36×84＝63×48，
∴36和84是友好数对．
故答案为：是．
（2）∵一个数的十位数字为a，个位数字为b；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，
∴交换后十位数字为b，个位数字为a，另一个的十位数字为d，个位数字为c，
∴两个数依次表示为10b+a，10d+c，
∵这两个数是友好数对，
∴（10a+b）（10c+d）＝（10b+a）（10d+c），
化简得：ac＝bd．故答案为：10b+a，10d+c，（10b+a）（10d+c），ac＝bd．
（3）选A，根据ac＝bd，可列举31和39，13和93，12和42，21和24，•••
只要满足十位数字之积等于个位数字之积，且同一个数的个位与十位不同即可，答案不唯一．
选B，由（2）得：（x+2）（x+2）＝x（x+8），
解得：x＝1，
∴两个两位数为：31和39．
选A或选B都可以，只要满足“友好数对”的定义即可．
故答案为：A或B．
【点评】本题以新定义为背景，考查了学生对于数的表示、整式的运算——多项式乘以多项
式、解一元一次方程．本题解题的关键是用代数式表达两位数和交换个位和十位后的两位数，
然后根据新定义列出方程．
15．（2021春•中原区校级期中）有两类正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放在A的内
部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为
1和12，求：
（1）正方形A，B的面积之和为 1 3 ．
（2）小明想要拼一个两边长分别为（2a+b）和（a+3b）的长方形（不重不漏），除用去若干
个正方形A，B外，还需要以a，b为边的长方形 7 个．
（3）三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，求阴影部分的面积．
【分析】（1）设正方形A，B的边长分别为a，b（a＞b），根据图1和图2中阴影部分的面
积分别为1和12，列出方程求出a2+b2即可；
（2）以a，b为边的长方形的面积为ab，求出大长方形的面积，看里面有几个ab即可；
（3）阴影部分的面积等于大正方形的面积减去5个小正方形的面积，根据题中条件求出a+b，
a﹣b整体代入求解即可．
【解答】解：（1）设正方形A，B的边长分别为a，b（a＞b），
由图1得（a﹣b）2＝1，由图2得（a+b）2﹣a2﹣b2＝12，
得ab＝6，a2+b2＝13，
故答案为：13；
（2）（2a+b）（a+3b）
＝2a2+6ab+ab+3b2
＝2a2+7ab+3b2，∴需要以a，b为边的长方形7个，
故答案为：7；
（3）∵ab＝6，a2+b2＝13，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝1+24＝25，
∵a+b＞0，
∴a+b＝5，
∵（a﹣b）2＝1，
∴a﹣b＝1，
∴图3的阴影部分面积S＝（2a+b）2﹣3a2﹣2b2
＝a2﹣b2+4ab
＝（a+b）（a﹣b）+4ab
＝5+24
＝29．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式的法则，考查代数式的几何意义，熟练掌握完全平方
公式的变形是解题的关键．
16．（2021秋•杜尔伯特县期末）已知（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，求下列式子的值：
（1）a2+b2；
（2）6ab．
【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式展开，进而求出a2+b2的值；
（2）直接利用（1）中所求，进而得出ab的值，求出答案即可．
【解答】解：（1）∵（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，
∴a2+2ab+b2＝5，a2﹣2ab+b2＝3，
∴2（a2+b2）＝8，
解得：a2+b2＝4；
（2）∵a2+b2＝4，
∴4+2ab＝5，
解得：ab＝ ，
∴6ab＝3．
【点评】此题主要考查了完全平方公式，正确应用完全平方公式是解题关键．
17．（2020秋•安岳县期末）阅读理解：
若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．
解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）
＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80
解决问题：（1）若x满足（2020﹣x）（x﹣2016）＝2．则（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝ 1 2 ；
（2）若x满足（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝2020，求（2021﹣x）（x﹣2018）的值；
（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝20，BC＝12，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF
＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的
面积为160平方单位，则图中阴影部分的面积和为 38 4 平方单位．
【分析】（1）根据题目提供的方法，进行计算即可；
（2）根据题意可得，a2+b2＝2020，a+b＝（2021﹣x）+（x﹣2018）＝3，将ab化成＝
[（a+b）2﹣（a2+b2）]的形式，代入求值即可；
（3）根据题意可得，（20﹣x）（12﹣x）＝160，即（20﹣x）（x﹣12）＝﹣160，根据（1）
中提供的方法，求出（20﹣x）2+（12﹣x）2的结果就是阴影部分的面积．
【解答】解：（1）设2020﹣x＝a，x﹣2016＝b，则（2020﹣x）（x﹣2016）＝ab＝2，a+b＝
（2020﹣x）+（x﹣2016）＝4，
所以（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×2＝12；
故答案为：12；
（2）设2021﹣x＝a，x﹣2018＝b，则（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝a2+b2＝2020，a+b＝
（2021﹣x）+（x﹣2018）＝3，
所以（2021﹣x）（x﹣2018）＝ab＝ [（a+b）2﹣（a2+b2）]＝ ×（32﹣2020）＝﹣ ；
答：（2021﹣x）（x﹣2018）的值为﹣ ；
（3）由题意得，FC＝（20﹣x），EC＝（12﹣x），
∵长方形CEPF的面积为160，
∴（20﹣x）（12﹣x）＝160，
∴（20﹣x）（x﹣12）＝﹣160，
∴阴影部分的面积为（20﹣x）2+（12﹣x）2，
设20﹣x＝a，x﹣12＝b，则（20﹣x）（x﹣12）＝ab＝﹣160，a+b＝（20﹣x）+（x﹣12）＝
8，
所以（20﹣x）2+（x﹣12）2＝（20﹣x）2+（12﹣x）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝82﹣2×（﹣
160）＝384；故答案为：384．
【点评】本题考查完全平方公式的应用，阅读理解题目中提供的方法，是类比、推广的前提
和关键．
18．（2021春•姑苏区期中）学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是
边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形．
（1）选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个为
（a+b）的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式 （ a + b ） 2 ＝
a 2 +2 ab + b 2 ；
（2）请用这3种卡片拼出一个面积为a2+5ab+6b2的长方形（数量不限），在图3的虚线框中
画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽；
（3）选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG框架内，图
中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知GF的长度固定不变，DG的长度可以
变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S ，S ．若S＝S ﹣S ，则当a与b满足
1 2 2 1
a ＝ 2 b 时，S为定值，且定值为 a 2 ．（用含a或b的代数式表示）
【分析】（1）用两种方法表示图2的面积，即可得出公式；
（2）由a2+5ab+6b2可得A型卡片1张，B型卡片6张，C型卡片5张；
（3）设DG长为x，求出S ，S 即可解决问题．
1 2
【解答】解：（1）方法1：大正方形的面积为（a+b）2，
方法2：图2中四部分的面积和为：a2+2ab+b2，
因此有（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（2）如图，（3）设DG长为x．
∵S ＝a[x﹣（a+2b）]＝ax﹣a2﹣2ab，S ＝2b（x﹣a）＝2bx﹣2ab，
1 2
∴S＝S ﹣S ＝（2bx﹣2ab）﹣（ax﹣a2﹣2ab）＝（2b﹣a）x+a2，
2 1
由题意得，若S为定值，则S将不随x的变化而变化，
可知当2b﹣a＝0时，即a＝2b时，S＝a2为定值，
故答案为：a＝2b，a2．
【点评】本题考查完全平方公式，正方形、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数
解决问题，属于中考常考题型．
19．（2021春•鼓楼区期中）有些同学会想当然地认为（x﹣y）3＝x3﹣y3．
（1）举出反例说明该式不一定成立；
（2）计算（x﹣y）3；
（3）直接写出当x、y满足什么条件时，该式成立．
【分析】（1）举反例x＝5，y＝2即可；
（2）运用完全平方公式计算；
（3））由（x﹣y）3＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3，可知当﹣3x2y+3xy2＝0时，（x﹣y）3＝x3﹣y3，所以
x＝0或y＝0或x＝y时，（x﹣y）3＝x3﹣y3成立．
【解答】解：（1）当x＝5，y＝2时，
（x﹣y）3＝（5﹣2）3＝27，x3﹣y3＝53﹣23＝117，
∴（x﹣y）3＝x3﹣y3不成立．
（2）（x﹣y）3
＝（x﹣y）（x﹣y）2
＝（x﹣y）（x2﹣2xy+y2）＝x3﹣2x2y+xy2﹣x2y+2xy2﹣y3
＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3；
（3）∵（x﹣y）3＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3，
∴当﹣3x2y+3xy2＝0时，（x﹣y）3＝x3﹣y3，
∴﹣3xy（x﹣y）＝0，
∴x＝0或y＝0或x＝y时，（x﹣y）3＝x3﹣y3成立．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式，正确运用完全平方公式和乘法公式是解题的关键．20．（2021春•贺兰县期中）在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图
①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同
时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象
的数量关系因几何直观而形象化．
请你利用上述方法解决下列问题：
（1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式
（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2
【拓展应用】
提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个
两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？
几何建模：
用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：
（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一
条，拼接到原矩形的上面．
（2）分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或
（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝
5×4×100+3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘
以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．
请你参照上述几何建模步骤，计算57×53．要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线
段）
归纳提炼：
两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）：
十位数字加 1 的和与十位数字相乘，再乘以 10 0 ，加上两个个位数字的积，构成运算结果 证
明上述速算方法的正确性．
【分析】（1）利用面积法即可解决问题；（2）模仿例题，构建几何模型，利用面积法计算即可；
拓展应用：模仿例题计算57×53即可；
探究规律，利用规律解决问题即可；
【解答】解：（1）图（1）所表示的代数恒等式：（x+y）•2x＝2x2+2xy，
图（2）所表示的代数恒等式：（x+y）（2x+y）＝2x2+3xy+y2
图（3）所表示的代数恒等式：（x+2y）（2x+y）＝2x2+5xy+2y2．
（2）几何图形如图所示：
拓展应用：
（1）①几何模型：
②用文字表述57×53的速算方法是：十位数字5加1的和与5相乘，再乘以100，加上个位数
字3与7的积，构成运算结果；
即57×53＝（50+10）×50+3×7＝6×5×100+3×7＝3021；
十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；
故答案为十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算
结果；
【点评】本题考查了数形结合的数学思想，利用数形结合思想建立了代数（速算、方程与不
等式等）与几何图形之间的内在联系，体现了数学的魅力，是一道好题．试题立意新颖，构
思巧妙，对于学生的学习大有裨益；不足之处在于题干篇幅过长，学生读题并理解题意需要
花费不少的时间，影响答题的信心．
21．（2021秋•沛县期中）将7张相同的小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠
的放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为S 和S ．已
1 2
知小长方形纸片的长为a，宽为b，且a＞b．
（1）当a＝9，b＝3，AD＝30时，长方形ABCD的面积是 63 0 ，S ﹣S 的值为 6 3 ；
1 2（2）当AD＝40时，请用含a、b的式子表示S ﹣S 的值；
1 2
（3）若AB长度保持不变，AD变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方
形ABCD内，当a、b满足什么关系时，S ﹣S 的值与AD的长度无关？
1 2
【分析】（1）根据长方形的面积公式，直接计算即可；求出S 和S 的面积，相减即可；
1 2
（2）用含a、b的式子表示出S 和S 的面积，即可求得结论；
1 2
（3）用含a、b、AD的式子表示出S ﹣S ，根据S ﹣S 的值与AD的值无关，整理后，让AD
1 2 1 2
的系数为0即可．
【解答】解：（1）长方形ABCD的面积为30×（4×3+9）＝630；
S ﹣S ＝（30﹣9）×4×3﹣（30﹣3×3）×9＝63；
1 2
故答案为：630，63；
（2）S ﹣S ＝4b（40﹣a）﹣a（40﹣3b）
1 2
＝160b﹣4ab﹣40a+3ab
＝160b﹣ab﹣40a；
（3）∵S ﹣S ＝4b（AD﹣a）﹣a（AD﹣3b），
1 2
整理，得：S ﹣S ＝（4b﹣a）AD﹣ab，
1 2
∵S ﹣S 的值与AD的值无关，
1 2
∴4b﹣a＝0，
解得：a＝4b．
即a，b满足的关系是a＝4b．
【点评】此题考查了整式的混合运算，列代数式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（2021秋•西城区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝40°，点D是线段BC
上的动点，将线段AD绕点A顺时针旋转50°至AD′，连接BD′．已知AB＝2cm，设BD为
xcm，BD′为ycm．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行
了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数）（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm 0 0.5 0.7 1.0 1.5 2.0 2.3
y/cm 1.7 1.3 1.1 0. 9 0.7 0.9 1.1
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．
（3）结合画出的函数图象，解决问题：线段BD′的长度的最小值约为 0. 7 cm；若
BD′≥BD，则BD的长度x的取值范围是 0 ≤ x ≤ 0. 9 ．
【分析】（1）先构造出全等三角形，判断出DE＝BD'＝y，再利用三角函数求出BC，AC，进
而得出CE，进而利用三角函数求出EF，CF，进而得出DF，最后用勾股定理即可得出结论；
（2）利用画函数图象的方法即可得出结论；
（3）方法1、利用图象和表格即可得出结论；
方法2、利用（1）的方法得出的y＝ ，即可得出y的最小值，再令y＝x
求出x的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，
在AC上取一点E使AE＝AB＝2，
由旋转知，AD＝AD'，∠DAD'＝50°＝∠BAC，
∴∠DAE＝∠D'AB，
在△DAE和△D'AB中，
，
∴△DAE≌△D'AB（SAS），
∴DE＝BD'＝y，
在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝40°，∴∠BAC＝50°，AC＝ ＝ ≈ ＝3.13，BC＝ ＝ ≈ ≈2.
40，
∴CE＝AC﹣AE＝3.13﹣2＝1.13，
过点E作EF⊥BC于F，
在Rt△CEF中，EF＝CE•sinC＝1.13×sin40°≈0.72，CF＝CE•cosC＝1.13×cos40°≈1.13×0.
78≈0.88，
当x＝1时，BD＝1，
∴DF＝BC﹣BD﹣CF＝2.40﹣1﹣0.88＝0.52，
在Rt△DEF中，根据勾股定理得，y＝DE＝ ≈0.9，
故答案为：0.9．
（2）函数图象如图2所示．
（3）方法1、由图象和表格知，线段BD'的长度的最小值约为0.7cm，
∵BD'≥BD，
∴y≥x，
由图象知，0≤x≤0.9，
故答案为：0.7，0≤x≤0.9．
（3）方法2、
由（1）知，BC＝2.4，CF＝0.88，EF＝0.72，
DF＝BC﹣BD﹣CF＝2.40﹣x﹣0.88＝1.52﹣x，
根据勾股定理得，y＝ ＝ ，
∵0≤x≤2.40，
∴x＝1.52时，y最小 ＝0.72≈0.7，
当BD'＝BD时，DE＝y＝x，
在Rt△DEF中，根据勾股定理得，DE2＝DF2+EF2，
∴x2＝（1.52﹣x）2+（0.72）2，
∴x≈0.9∴BD'≥BD，则BD的长度x的取值范围是0≤x≤0.9．
故答案为：0.7，0≤x≤0.9．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，锐角
三角函数，勾股定理，解本题的关键是构造直角三角形利用勾股定理建立函数关系式．
23．（2020秋•渑池县期末）已知点O为直线AB上的一点，∠BOC＝∠DOE＝90°．
（1）如图1，当射线OC、射线OD在直线AB的两侧时，请回答结论并说明理由；
①∠COD和∠BOE相等吗？
②∠BOD和∠COE有什么关系？
（2）如图2，当射线OC、射线OD在直线AB的同侧时，请直接回答；
①∠COD和∠BOE相等吗？
②第（1）题中的∠BOD和∠COE的关系还成立吗？
【分析】（1）①根据等式的性质，在直角的基础上都加∠BOD，因此相等，
②将∠BOD+∠COE转化为两个直角的和，进而得出结论；
（2）①根据同角的余角相等，可得结论，②仍然可以将∠BOD+∠COE转化为两个直角的
和，得出结论．
【解答】解：（1）①∠COD＝∠BOE，
∵∠BOC＝∠DOE＝90°，
∴∠BOC+∠BOD＝∠DOE+∠BOD，
即：∠COD＝∠BOE，
②∠BOD+∠COE＝180°，
∵∠DOE＝90°，∠AOE+∠DOE+∠BOD＝∠AOB＝180°，
∴∠BOD+∠AOE＝180°﹣90°＝90°，
∴∠BOD+∠COE＝∠BOD+∠AOE+∠AOC＝90°+90°＝180°，
（2）①∠COD＝∠BOE，
∵∠COD+∠BOD＝∠BOC＝90°＝∠DOE＝∠BOD+∠BOE，
∴∠COD＝∠BOE，
②∠BOD+∠COE＝180°，
∵∠DOE＝90°＝∠BOC，
∴∠COD+∠BOD＝∠BOE+∠BOD＝90°，
∴∠BOD+∠COE＝∠BOD+∠COD+∠BOE+∠BOD＝∠BOC+∠DOE＝90°+90°＝180°，
因此（1）中的∠BOD和∠COE的关系仍成立．【点评】此题考查互为余角、互为补角的意义，通过图形直观得出各个角之间的互余、互补
的关系是得出结论的前提．
24．（2021秋•市北区期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：DE∥BC．
【分析】由条件可先证明EH∥AB，再利用平行线的性质可得到∠3＝∠ADE＝∠B，可证明
DE∥BC．
【解答】证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）
∵∠1＝∠4（对顶角相等）
∴∠2+∠4＝180°（等量代换）
∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等）
又∵∠3＝∠B（已知）
∴∠B＝∠ADE（等量代换）
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）
【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①
同位角相等 两直线平行，②内错角相等 两直线平行，③同旁内角互补 两直线平行，
④a∥b，b∥c a∥c．
⇔ ⇔ ⇔
25．（2021春•洪山区期中）【学科融合】
⇒
物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做
入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：
在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于
法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律（reflectionlaw）．
【数学推理】如图1，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得
到反射光线CD．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角
也相等，即：∠1＝∠2，∠3＝∠4．在这样的条件下，求证：AB∥CD．
【尝试探究】两块平面镜OM，ON，且∠MON＝ ，入射光线AB经过两次反射，得到反射光
线CD．
α
（1）如图2，光线AB与CD相交于点E，则∠BEC＝ 180 ° ﹣ 2 ；
（2）如图3，光线AB与CD所在的直线相交于点E，∠BED＝ ，则 与 之间满足的等量
α
关系是 ＝ 2 a ．
β α β
β【分析】【数学推理】根据平面镜反射光线的规律得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再利用∠2+∠3＝
90°得出∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，即可得出∠DCB+∠ABC＝180°，即可证得AB∥CD；
（1）根据三角形内角和定理求得∠2+∠3＝125°，根据平面镜反射光线的规律得∠1＝∠2，
∠3＝∠4，再利用∠DCB＝180°﹣2∠3，∠ABC＝180°﹣2∠2，得∠BEC＝180°﹣∠ABC﹣
∠BCD；
（2）利用平角的定义得出∠ABC＝180°﹣2∠2，∠BCD＝180°﹣2∠3，利用外角的性质
∠BED＝∠ABC﹣∠BCD＝（180°﹣2∠2）﹣（180°﹣2∠3）＝2（∠3﹣∠2）＝ ，而∠BOC
＝∠3﹣∠2＝ ，即可证得 ＝2 ．
β
【解答】解：如图1，∵OM⊥ON，
α β α
∴∠CON＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∠DCB+∠ABC＝180°，
AB∥CD；
【尝试探究】
（1）如图2，在△OBC中，∵∠MON＝ ，
∴∠2+∠3＝180°﹣ ，
α
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
α
∴∠DCB＝180°﹣2∠3，∠ABC＝180°﹣2∠2，
∴∠BEC＝180°﹣∠ABC﹣∠BCD
＝180°﹣（180°﹣2∠2）﹣（180°﹣2∠3）
＝2（∠2+∠3）﹣180°
＝2（180°﹣a）﹣180°
＝180°﹣2 ，
故答案为：180°﹣2 ；
α
（2）如图4，B＝2a，
α
理由如下：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠ABC＝180°﹣2∠2，
∠BCD＝180°﹣2∠3，∴∠D＝∠ABC﹣∠BCD
＝（180°﹣2∠2）﹣（180°﹣2∠3）
＝2（∠3﹣∠2）＝∠ ，
∵∠BOC＝∠3﹣∠2＝a，
β
∴ ＝2a．
故答案为： ＝2a．
β
【点评】本题考查了平行线的判定，三角形外角的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握三
β
角形的性质是解题的关键．
26．（2021秋•农安县期末）如图，点P是∠AOB的边OB上的一点，过点P画OB的垂线，交
OA于点C；
（1）过点P画OA的垂线，垂足为H；
（2）线段PH的长度是点P到 OA 的距离， 线段 CP 的长度 是点C到直线OB的距离．
线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是 PH ＜ PC ＜ OC （用“＜”号连接）
【分析】（1）过点P画OA的垂线，即过点P画∠PHO＝90°即可，
（2）利用点到直线的距离可以判断线段PH的长度是点P到OA的距离，PC是点C到直线
OB的距离，线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是PH＜PC＜OC．
【解答】解：（1）如图：
（2）线段PH的长度是点P到直线OA的距离，
线段CP的长度是点C到直线OB的距离，
根据垂线段最短可得：PH＜PC＜OC，
故答案为：OA，线段CP，PH＜PC＜OC．
【点评】本题主要考查了基本作图﹣﹣﹣﹣作已知直线的垂线，另外还需利用点到直线的距
离才可解决问题．
27．（2021秋•南岗区校级期中）已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD．
（1）如图1，求证：∠BCD+∠CDE＝∠ABC；（2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，探究∠ABC和∠F之间的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线交CD于点G，连接GB并延长至点H，若
BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．
【分析】（1）过点C作CM∥AB，可得∠ABC＝∠BCM，再由平行线的性质得∠CDE＝
∠DCM，则可求得∠ABC＝∠BCD+∠CDE；
（2）过点C作CN∥AB，可证得CN∥EF，由∠F＝∠FCN，结合垂线，从而可求得∠ABC﹣
∠F＝90°；
（3）延长HG交EF于点Q，过点G作GP∥EF，不难证得∠FGQ＝∠ABH﹣∠EFG，再由角
平分线的定义得∠ABH＝ ∠ABC，∠EFG＝ ∠CFD，可得∠FGQ＝ （∠ABC﹣∠CFD），
结合（2）即可求解．
【解答】（1）证明：过点C作CM∥AB，如图1，
∴∠ABC＝∠BCM，
∵AB∥ED，
∴∠CDE＝∠DCM，
∵∠BCM＝∠BCD+∠DCM，
∴∠ABC＝∠BCD+∠CDE；
（2）解：∠ABC﹣∠F＝90°，理由：
过点C作CN∥AB，如图2，
∴∠ABC＝∠BCN，
∵AB∥ED，
∴CN∥EF，∴∠F＝∠FCN，
∵∠BCN﹣∠BCF+∠FCN，
∴∠ABC＝∠BCF+∠F，
∵CF⊥BC，
∴∠BCF＝90°，
∴∠ABC＝90°+∠F，
即∠ABC﹣∠F＝90°；
（3）延长HG交EF于点Q，过点G作GP∥EF，如图3，
∴∠BGD＝∠CGQ，
∵AB∥DE，
∴∠ABH＝∠EQG，
∵GP∥EF，
∴∠EQG＝∠PGQ，∠EFG＝∠PGF，
∴∠PGQ＝∠ABH，
∴∠BGD﹣∠CGF＝∠CGQ﹣∠CGF＝∠FGQ，
∵∠FGQ＝∠PGQ﹣∠PGF，
∴∠FGQ＝∠ABH﹣∠EFG，
∵BH平分∠ABC，FG平分∠CFD，
∴∠ABH＝ ∠ABC，∠EFG＝ ∠CFD，
∴∠FGQ＝ ∠ABC﹣ ∠CFD＝ （∠ABC﹣∠CFD），
由（2）可得：∠ABC﹣∠CFD＝90°，
∴∠FGQ＝ ×90°＝45°，
即∠BGD﹣∠CGF＝45°．
【点评】本题主要考查平行线的性质，垂线，解答的关键是结合图形，分析清楚角与角之间
的关系．
28．（2020秋•南关区期末）如图①，直线l ∥l ，直线EF和直线l 、l 分别交于C、D两点，
1 2 1 2
点A、B分别在直线l 、l 上，点P在直线EF上，连接PA、PB．
1 2
猜想：如图①，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，则∠APB的大小为 5 5
度．
探究：如图①，若点P在线段CD上，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．
拓展：如图②，若点P在射线CE上或在射线DF上时，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之
间的数量关系．【分析】猜想：如图①，根据平行线的性质和∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，即可得∠APB的
大小；
探究：如图①，结合猜想即可写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系；
拓展：如图②，分两种情况画出图形，当点P在射线CE上或在射线DF上时，结合探究过程
即可写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．
【解答】解：猜想：如图①，过点P作PG∥l ，
1
∵l ∥l ，
1 2
∴l ∥l ∥PG，
1 2
∴∠APG＝∠PAC＝15°，∠BPG＝∠PBD＝40°，
∴∠APB＝∠APG+∠BPG＝∠PAC+∠PBD＝15°+40°＝55°，
∴∠APB的大小为55度，
故答案为：55；
探究：如图①，∠PAC＝∠APB﹣∠PBD，理由如下：
∵l ∥l ∥PG，
1 2
∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，
∴∠APB＝∠APG+∠BPG＝∠PAC+∠PBD，
∴∠PAC＝∠APB﹣∠PBD；
拓展：∠PAC＝∠PBD﹣∠APB或∠PAC＝∠APB+∠PBD，理由如下：
如图，当点P在射线CE上时，过点P作PG∥l ，
1
∴l ∥l ∥PG，
1 2
∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，
∴∠PAC＝∠APG＝∠BPG﹣∠APB，
∴∠PAC＝∠PBD﹣∠APB；
当点P在射线DF上时，
过点P作PG∥l ，
1
∴l ∥l ∥PG，
1 2
∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，
∴∠PAC＝∠APG＝∠APB+∠BPG，
∴∠PAC＝∠APB+∠PBD，
综上所述：当点P在射线CE上或在射线DF上时，∠PAC＝∠PBD﹣∠APB或∠PAC＝
∠APB+∠PBD．
【点评】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
29．（2021春•红谷滩区校级期中）如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行
线AB，CD之间有一动点P，满足0°＜∠EPF＜180°．
（1）试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？
解：由于点P是平行线AB，CD之间有一动点，因此需要对点P的位置进行分类讨论：如图1，
当P点在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为 ∠ EPF ＝∠ AEP + ∠ PFC ，
如图2，当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为
∠ AEP + ∠ EPF + ∠ PFC ＝ 360 ° ．
（2）如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．
①若∠EPF＝60°，则∠EQF＝ 150 ° ．
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由；③如图4，若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q ，∠BEQ 与∠DFQ 的角平分线交于点Q ，
1 1 1 2
∠BEQ ，与∠DFQ 的角平分线交于点Q ；此次类推，则∠EPF与∠EQ F满足怎样的数量
2 2 3 2018
关系？（直接写出结果）
【分析】（1）过点P作PH∥AB，利用平行线的性质即可求解；
（2）设：∠BEQ＝∠QEP＝ ，∠QFD＝∠PFQ＝ ，则∠P＝180°﹣2 +180°﹣2 ，∠Q＝
α β α β
+ ，∠Q ＝ （ + ），∠Q ＝ （ + ），即可求解．
1 2
【解答】解：（1）如图1，过点P作PH∥AB，
α β α β α β
则∠EPF＝∠EPH+∠FPH＝∠AEP+∠CFP，
故答案为：∠EPF＝∠AEP+∠PFC；
同理可得：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°，
故答案为：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；
（2）①∠EPF＝60°，则∠EQF＝150°，
由（1）知∠PEA+∠PFC＝∠P＝60°，
而∠PFC+2 ＝180°，∠PEA+2 ＝180°，
β α故 + ＝150°＝∠EQF，
故答案为150°；
α β
②如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
设：∠BEQ＝∠QEP＝ ，∠QFD＝∠PFQ＝ ，
则∠P＝180°﹣2 +180°﹣2 ＝360°﹣2（ + ），
α β
∠Q＝ + ，
α β α β
即：∠EPF+2∠EQF＝360°；
α β
③同理可得：∠Q ＝ （ + ），∠Q ＝ （ + ），
1 2
α β α β
∠Q ＝（ ）2018（ + ），
2018
故：∠EPF+22019•∠EαQ
20β18
F＝360°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，平行公理和及推论等知识点，作辅助线后能求出各
个角的度数，是解此题的关键．
30．（2021秋•西湖区校级期末）新定义：在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的
n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，
∠B＝60°，∠C＝40°，可知∠A＝2∠C，所以△ABC为2倍角三角形．
（1）在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝35°，则△DEF为 3 倍角三角形．
（2）如图1，直线MN与直线PQ相交于O，∠POM＝30°，点A、点B分别是射线OP、OM
上的动点；已知∠BAO、∠OBA的角平分线交于点C，在△ABC中，如果有一个角是另一个
角的2倍，请求出∠BAC的度数．
（3）如图2，直线MN⊥直线PQ于点O，点A、点B分别在射线OP、OM上，已知∠BAO、
∠OAG的角平分线分别与∠BOQ的角平分线所在的直线交于点E、F，若△AEF为3倍角三
角形，试求∠ABO的度数．
【分析】（1）由∠E＝40°，∠F＝35°可知∠D＝105°，再根据n倍角三角形的定义可得结论．
（2）根据三角形内角和定理及一个外角等于与它不相邻的两个内角和，利用角的和差计算即
可求得结果．（3）首先证明∠EAF＝90°，分四种情形分别求出即可．
【解答】解：（1）∵∠E＝40°，∠F＝35°，
∴∠D＝180°﹣40°﹣35°＝105°，
∴∠D＝3∠F，
∴△ABC为3倍角三角形，
故答案为：3；
（2）解：∵∠POM＝30°，
∴∠OAB+∠OBA＝150°．
又∵BC平分∠OBA，AC平分∠OAB，
∴∠CBA+∠CAB＝ ∠OAB+ ∠OBA＝75°，
∴∠C＝105°．
①当∠CBA＝2∠CAB时，∵∠CBA+∠CAB＝75°，
∴∠BAC＝25°；
②当∠CAB＝2∠CBA时，∵∠CBA+∠CAB＝75°，
∴∠BAC＝50°；
③当∠C＝2∠CAB时，∵∠C＝105°，
∴∠BAC＝ ∠C＝52.5°；
④当∠C＝2∠CBA时，∵∠C＝105°，
∴∠CBA＝ ∠C＝52.5°，
∴∠BAC＝22.5°．
综上，在△ABC中当一个角是另一个角的2倍时，∠BAC等于50°、52.5°、25°或22.5°；
（3）解：∵AE平分∠BAO，AF平分∠OAG，
∴∠BAE＝∠EAO，∠OAF＝∠GAF，
∴∠EAF＝∠EAO+∠OAF＝90°，
∴∠E+∠F＝90°；
又∵EF平分∠BOQ，
∴∠EOQ＝∠E+∠EAO＝45°①，
∠BOQ＝∠ABO+∠BAO＝90° ②；
①×2﹣②得：∠ABO＝2∠E．
若△AEF为3倍角三角形：
i）若∠F＝3∠E，∵∠E+∠F＝90°，
∴∠E＝22.5°，
∴∠ABO＝45°；
ii）若∠E＝3∠F，∴∠E＝67.5°，
∴∠ABO＝135°（不符合题意，舍去）；
iii）若∠EAF＝3∠E，∴∠E＝30°，
∴∠ABO＝60°；
iv）若∠EAF＝3∠F，∴∠F＝30°，∠E＝60°，
∴∠ABO＝120°（不符合题意，舍去）；
综上所述，∠ABO等于45°或60°时，△AEF为3倍角三角形．
【点评】本题考查三角形的内角和定理，余角的意义，不等式组的解法和应用等知识，读懂
新定义n倍角三角形的意义和分类讨论是解决问题的基础和关键．
31．（2021秋•巢湖市期末）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，
∠EAD＝5°，∠B＝50°，求∠C的度数．
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠AED，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻
的两个内角的和求出∠BAE，然后根据角平分线的定义求出∠BAC，再利用三角形的内角和定
理列式计算即可得解．
【解答】解：∵AD是BC边上的高，∠EAD＝5°，
∴∠AED＝85°，
∵∠B＝50°，
∴∠BAE＝∠AED﹣∠B＝85°﹣50°＝35°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAC＝2∠BAE＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣50°﹣70°＝60°．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，主要利用了直角三角形两锐角互余，三
角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记各性质并准
确识图是解题的关键．
32．（2021秋•正阳县期末）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的
图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交
于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ∠ A + ∠ D ＝∠ C + ∠ B
；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数： 6 个；
（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．
（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个；
（3）先根据“8字形”中的角的规律，可得∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B＝
∠PAB+∠P②，再根据角平分线的定义，得出∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，将①+②，
可得2∠P＝∠D+∠B，进而求出∠P的度数；
（4）同（3），根据“8字形”中的角的规律及角平分线的定义，即可得出2∠P＝∠D+∠B．
【解答】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠D＝∠C+∠B，
故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；
②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；
③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；
④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；
⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；
⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；
故“8字形”共有6个，
故答案为：6；
（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①
∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，
①+②得：
∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
即2∠P＝∠D+∠B，
又∵∠D＝50度，∠B＝40度，
∴2∠P＝50°+40°，
∴∠P＝45°；（4）关系：2∠P＝∠D+∠B．
∠D+∠1＝∠P+∠3①
∠B+∠4＝∠P+∠2②
①+②得：
∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，
∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4
∴2∠P＝∠D+∠B．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义及阅读理解与知识的迁移能力．
（1）中根据三角形内角和定理得出“8字形”中的角的规律；（2）是考查学生的观察理解能
力，需从复杂的图形中辨认出“8字形”；（3）（4）直接运用“8字形”中的角的规律解题．
33．我们把两个能够互相重合的图形称为全等形．
（1）请你用四种方法把长和宽分别为5和3的矩形分成四个均不全等的小矩形或正方形，且
矩形或正方形的各边长均为整数；
（2）是否能将上述3×5的矩形分成五个均不全等的整数边矩形？若能，请画出．
【分析】（1）根据题意画出图形即可，注意所得的图形不应全等．
（2）作长为1，宽分别为1，2，3，4，5的图形即可．【解答】
解：（1）所画图形如上．
（2）能，所画图形如上所示．
【点评】本题考查分割图形的知识，有一定难度，关键是根据题意作答，注意作图的规范性．
34．（2021秋•郾城区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，
AD⊥AB交BE延长线于点D，CF平分∠ACB交BD于点F，连接CD．
求证：（1）AD＝CF；
（2）点F为BD的中点．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，判定△ADE≌△CFE，即可得出AD＝CF；
（2）先判定△ACD≌△CBF，得到CD＝BF，∠ACD＝∠CBF，再依据∠DCF＝∠DFC，可
得DC＝DF，即可得到点F为BD的中点．
【解答】解：（1）∵E为AC边的中点，
∴AE＝CE，
∵△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CF平分∠ACB，
∴∠BAC＝45°＝∠ECF，
∵AD⊥AB，
∴∠DAC＝45°＝∠FCE，
又∵∠AED＝∠CEF，
∴△ADE≌△CFE，
∴AD＝CF；
（2）如图，连接CD，
∵AC＝CB，∠DAC＝∠FCB，AD＝CF，
∴△ACD≌△CBF，∴CD＝BF，∠ACD＝∠CBF，
∵∠DCF＝∠ACD+∠ECF＝∠ACD+45°，∠DFC＝∠CBF+∠BCF＝∠CBF+45°，
∴∠DCF＝∠DFC，
∴DC＝DF，
∴BF＝DF，即点F为BD的中点．
【点评】本题主要考查了三角形全等的判定和性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等
腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解本题的关键．
35．（2021秋•大观区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2cm，CD⊥AB，在AC上
取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F．若EF＝5cm，求AE和CF
的长．
【分析】先求出△ACB≌△FEC，根据全等三角形的性质得出EF＝AC，再求出AE和CF即可．
【解答】解：∵CD⊥AB，EF⊥AC，∠ACB＝90°，
∴∠CEF＝∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，∠F+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠F，
在△ACB和△FEC中
∴△ACB≌△FEC（AAS），
∴AC＝EF，
∵EF＝5cm，
∴AC＝5cm，
∵BC＝CE＝2cm，
∴AE＝AC﹣CE＝5cm﹣2cm＝3cm，
在Rt△FEC中，由勾股定理得：CF＝ ＝ ＝ （cm）．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定和勾股定理，能求出△ACB≌△FEC是解此题的关键．
36．（2021秋•平舆县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB于点E，AD＝AC，AF
平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G，
求证：（1）DF∥BC；
（2）FG＝FE．
【分析】（1）根据已知，利用SAS判定△ACF≌△ADF，从而得到对应角相等，再根据同位
角相等两直线平行，得到DF∥BC；
（2）已知DF∥BC，AC⊥BC，则GF⊥AC，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到
FG＝EF．
【解答】（1）证明：∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠DAF．
在△ACF和△ADF中，
∵ ，
∴△ACF≌△ADF（SAS）．
∴∠ACF＝∠ADF．
∵∠ACB＝90°，CE⊥AB，
∴∠ACE+∠CAE＝90°，∠CAE+∠B＝90°，
∴∠ACF＝∠B，
∴∠ADF＝∠B．
∴DF∥BC．
②证明：∵DF∥BC，BC⊥AC，
∴FG⊥AC．
∵FE⊥AB，
又AF平分∠CAB，
∴FG＝FE．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定、角平分线的定义等知识，解题
的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
37．（2021秋•绥滨县期末）如图1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，过点B作
BC⊥AE于点C，在BC上截取CD＝CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P；（1）求证：AD＝BE；
（2）试说明AD平分∠BAE；
（3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，
说明理由．
【分析】（1）利用SAS证明△BCE≌△ACD，根据全等三角形的对应边相等得到AD＝BE．
（2）根据△BCE≌△ACD，得到∠EBC＝∠DAC，由∠BDP＝∠ADC，得到∠BPD＝∠DCA
＝90°，利用等腰三角形的三线合一，即可得到AD平分∠BAE；
（3）AD⊥BE不发生变化．由△BCE≌△ACD，得到∠EBC＝∠DAC，由对顶角相等得到
∠BFP＝∠AFC，根据三角形内角和为180°，所以∠BPF＝∠ACF＝90°，即AD⊥BE．
【解答】解：（1）∵BC⊥AE，∠BAE＝45°，
∴∠CBA＝∠CAB，
∴BC＝CA，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD＝BE．
（2）∵△BCE≌△ACD，
∴∠EBC＝∠DAC，
∵∠BDP＝∠ADC，
∴∠BPD＝∠DCA＝90°，
∵AB＝AE，
∴AD平分∠BAE．
（3）AD⊥BE不发生变化．
如图2，∵△BCE≌△ACD，
∴∠EBC＝∠DAC，
∵∠BFP＝∠AFC，
∴∠BPF＝∠ACF＝90°，
∴AD⊥BE．
【点评】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明
△BCE≌△ACD．
38．（2021秋•惠山区期中）阅读理解：如图1，在△ABC的边AB上取一点P，连接CP，可以
把△ABC分成两个三角形，如果这两个三角形都是等腰三角形，我们称点P是△ABC的边AB
上的完美点．
解决问题：
（1）如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，试找出边AB上的完美点P，并说明理由．
（2）如图3，已知∠A＝36°，△ABC的顶点B在射线l上，点P是边AB上的完美点，请认真
分析所有符合要求的点B，直接写出相应的∠B的度数．
【分析】（1）取AB的中点P，连接PC即可，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半证
明；
（2）根据点P是边AB上的完美点，结合等腰三角形的性质画出图即可．
【解答】解：（1）取AB的中点P，连接PC即可如图①
∵∠ACB＝90°，P是AB的中点，
∴CP＝ AB，AP＝BP＝ AB，
∴AP＝PB＝CP．
∴△APC，△PBC是等腰三角形．
∴点P是边AB上的完美点.
（2）满足条件的点B如图所示：②③④⑤⑥【点评】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形的性质，掌握性质的熟练应用，理解题意
是解题的关键．
39．（2021秋•法库县期末）如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，
点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP＝x°．
（1）如图1，若DE∥OB．
①∠DEO的度数是 2 0 °，当DP⊥OE时，x＝ 7 0 ；
②若∠EDF＝∠EFD，求x的值；
（2）如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF？若存在，求出x
的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）①运用平行线的性质以及角平分线的定义，可得∠DEO的度数及x的值；②
根据∠ODE、∠FDE的度数，可得x的值；
（2）分两种情况进行讨论：DP在DE左侧，DP在DE右侧，分别根据三角形内角和定理以
及直角的度数，可得x的值．
【解答】解：（1）①∵∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，
∴∠BOE＝20°，
∵DE∥OB，
∴∠DEO＝∠BOE＝20°；
∵∠DOE＝∠DEO＝20°，
∴DO＝DE，∠ODE＝140°，
当DP⊥OE时，∠ODP＝ ∠ODE＝70°，
即x＝70，
故答案为：20，70；
②∵∠DEO＝20°，∠EDF＝∠EFD，
∴∠EDF＝80°，
又∵∠ODE＝140°，
∴∠ODP＝140°﹣80°＝60°，
∴x＝60；
（2）存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF．
分两种情况：
①如图2，若DP在DE左侧，
∵DE⊥OA，
∴∠EDF＝90°﹣x°，
∵∠AOC＝20°，
∴∠EFD＝20°+x°，当∠EFD＝4∠EDF时，20°+x°＝4（90°﹣x°），
解得x＝68；
②如图3，若DP在DE右侧，
∵∠EDF＝x°﹣90°，∠EFD＝180°﹣20°﹣x°＝160°﹣x°，
∴当∠EFD＝4∠EDF时，160°﹣x°＝4（x°﹣90°），
解得x＝104；
综上所述，当x＝68或104时，∠EFD＝4∠EDF．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，三角形的内角和等于
180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．解题时注意分类讨论思想的运用．
40．（2021春•洪山区期中）已知：直线AB∥CD，M，N分别在直线AB，CD上，H为平面内一
点，连HM，HN．
（1）如图1，延长HN至G，∠BMH和∠GND的角平分线相交于点E．
求证：2∠MEN﹣∠MHN＝180°；
（2）如图2，∠BMH和∠HND的角平分线相交于点E．
①请直接写出∠MEN与∠MHN的数量关系： 2 ∠ MEN + ∠ MHN ＝ 360 ° ；
②作MP平分∠AMH，NQ∥MP交ME的延长线于点Q，若∠H＝140°，求∠ENQ的度数．
（可直接运用①中的结论）
【分析】（1）过点E作EP∥AB交MH于点Q，利用平行线的性质、角平分线性质、邻补角
和为180°，角与角之间的基本运算、等量代换等即可得证．
（2）①过点H作GI∥AB，利用（1）中结论2∠MEN﹣∠MHN＝180°，利用平行线的性质、
角平分线性质、邻补角和为180°，角与角之间的基本运算、等量代换等得出∠AMH+∠HNC
＝360°﹣（∠BMH+∠HND），进而用等量代换得出2∠MEN+∠MHN＝360°．
②过点H作HT∥MP，由①的结论得2∠MEN+∠MHN＝360°，∠H＝140°，∠MEN＝110°．利用平行线性质得∠ENQ+∠ENH+∠NHT＝180°，由角平分线性质及邻补角可得
∠ENQ+∠ENH+140°﹣ （180°﹣∠BMH）＝180°．继续使用等量代换可得∠ENQ度数．
【解答】（1）证明：过点E作EP∥AB交MH于点Q．如答图1，
∵EP∥AB且ME平分∠BMH，
∴∠MEQ＝∠BME＝ ∠BMH．
∵EP∥AB，AB∥CD，
∴EP∥CD，
又NE平分∠GND，
∴∠QEN＝∠DNE＝ ∠GND（两直线平行，内错角相等），
∴∠MEN＝∠MEQ+∠QEN＝ ∠BMH+ ∠GND＝ （∠BMH+∠GND）．
∴2∠MEN＝∠BMH+∠GND．
∵∠GND+∠DNH＝180°，∠DNH+∠MHN＝∠MON＝∠BMH．
∴∠MHN＝∠BMH﹣∠MHN．
∴∠GND+∠BMH﹣∠MHN＝180°，
即2∠MEN﹣∠MHN＝180°．
（2）①：过点H作GI∥AB．如答图2．
由（1）可得∠MEN＝ （∠BMH+∠HND），
由图可知∠MHN＝∠MHI+∠NHI，
∵GI∥AB，
∴∠AMH＝∠MHI＝180°﹣∠BMH，
∵GI∥AB，AB∥CD，
∴GI∥CD．
∴∠HNC＝∠NHI＝180°﹣∠HND．
∴∠AMH+∠HNC＝180°﹣∠BMH+180°﹣∠HND＝360°﹣（∠BMH+∠HND）．
又∵∠AMH+∠HNC＝∠MHI+∠NHI＝∠MHN，∴∠BMH+∠HND＝360°﹣∠MHN．
即2∠MEN+∠MHN＝360°．
故答案为：2∠MEN+∠MHN＝360°．
②：由①的结论得2∠MEN+∠MHN＝360°，
∵∠H＝∠MHN＝140°，
∴2∠MEN＝360°﹣140°＝220°．
∴∠MEN＝110°．
过点H作HT∥MP．如答图2．
∵MP∥NQ，
∴HT∥NQ．
∴∠ENQ+∠ENH+∠NHT＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵MP平分∠AMH，
∴∠PMH＝ ∠AMH＝ （180°﹣∠BMH）．
∵∠NHT＝∠MHN﹣∠MHT＝140°﹣∠PMH．
∴∠ENQ+∠ENH+140°﹣ （180°﹣∠BMH）＝180°．
∵∠ENH＝ ∠HND．
∴∠ENQ+ ∠HND+140°﹣90°+ ∠BMH＝180°．
∴∠ENQ+ （HND+∠BMH）＝130°．
∴∠ENQ+ ∠MEN＝130°．
∴∠ENQ＝130°﹣110°＝20°．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，邻补角，等量代换，角之间的数量关
系运算，辅助线的作法，正确作出辅助线是解题的关键，本题综合性较强．
41．（2021春•海淀区校级期末）对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得
∠M+k∠N＝360°，则称∠N为∠M的k系补周角．如若∠M＝90°，∠N＝45°，则∠N为∠M
的6系补周角．（1）若∠H＝120°，则∠H的4系补周角的度数为 60 ° °
（2）在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE，DE．
①如图1，∠D＝60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数．
②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF＝n∠ABE，∠CDF
＝n∠CDE（其中n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动
过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，并直接写出此时的k值
（用含n的式子表示）．
【分析】（1）设∠H的4系补周角的度数为x°，根据新定义列出方程求解便可；
（2）①过E作EF∥AB，得∠B+∠D＝∠BED，再由已知∠D＝60°，∠B是∠E的3系补周
角，列出∠B的方程，求得∠B便可；
②根据k系补周角的定义先确定P点的位置，再结合∠ABF＝n∠ABE，∠CDF＝n∠CDE求
解k与n的关系即可求解．
【解答】解：（1）设∠H的4系补周角的度数为x°，根据新定义得，120+4x＝360，
解得，x＝60，
∠H的4系补周角的度数为60°，
故答案为60；
（2）①过E作EF∥AB，如图1，
∴∠B＝∠BEF，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，∠D＝60°，
∴∠D＝∠DEF＝60°，
∵∠B+60°＝∠BEF+∠DEF，
即∠B+60°＝∠BED，
∵∠B是∠BED的3系补周角，∴∠BED＝360°﹣3∠B，
∴∠B+60°＝360°﹣3∠B，
∴∠B＝75°；
②当BG上的动点P为∠CDE的角平分线与BG的交点时，满足∠BPD是∠F的k系补周角，
此时k＝2n．
【点评】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的定义，理解题意是解题的关键．
42．（2021秋•南安市期中）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在AB边上，四边形EFGB也
是正方形，它的边长为b（a＞b），连接AF、CF、AC．
（1）用含a、b的代数式表示GC＝ a + b ；
（2）若两个正方形的面积之和为60，即a2+b2＝60，又ab＝20，图中线段GC的长；
（3）若a＝8，△AFC的面积为S，则S＝ 3 2 ．
【分析】（1）可有图形直观的得出结论；
（2）利用完全平方公式通过展开推导，再讲数值代入计算可得；
（3）通过面积计算可得，△AFC的面积为 a2即为32．
【解答】解：（1）∵GC＝GB+BC，
∴GC＝a+b
故答案为：a+b
（2）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝60+20×2＝100
∴a+b＝10
∴GC＝10
（3）S△AFC ＝S△AFE +S
FGBE
+S△ABC ﹣S△FGC
▱
＝ b（a﹣b）+b2+ a2﹣ b（b+a）
＝ ab﹣ b2+b2+ a2﹣ b2﹣ ab
＝ a2
＝ ×82
＝32
故答案为：32【点评】本题主要考查了完全平方公式运用，解题的关键是完全平方公式展开与合并．运用
几何直观理解、通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释的知识点．
43．（2021春•高明区校级期末）如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分
成四块小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2的阴影部分的正方形的边长是 a ﹣ b ．
（2）用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．
【方法1】S阴影 ＝ （ a ﹣ b ） 2 ；
【方法2】S阴影 ＝ （ a + b ） 2 ﹣ 4 a b ；
（3）观察如图2，写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的等量关系．
（4）根据（3）题中的等量关系，解决问题：
若x+y＝10，xy＝16，求x﹣y的值．
【分析】（1）观察图意直接得出正方形的边长是a﹣b；
（2）利用大正方形的面积减去4个小长方形的面积，或者直接利用（1）的条件求出小正方
形的面积；
（3）把（2）中的两个代数式联立即可；
（4）类比（3）求出（x﹣y）2，再开方即可．
【解答】解：（1）a﹣b；
（2）方法1：S阴影 ＝（a﹣b）2，
方法2：S阴影 ＝（a+b）2﹣4ab；
（3）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（4）∵x+y＝10，xy＝16，
∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝102﹣4×16＝36，
∴x﹣y＝±6．
【点评】此题利用数形结合的思想，来研究完全平方式之间的联系，以及代数式求值的问题，
属于基础题型．
44．（2020秋•惠安县期中）南山植物园中现有A、B两个园区，已知A园区为长方形，长为
（x+y）米，宽为（x﹣y）米；B园区为正方形，边长为（x+3y）米．（1）请用代数式表示A、B两园区的面积之和并化简；
（2）现根据实际需要对A园区进行整改，长增加（11x﹣y）米，宽减少（x﹣2y）米，整改后
A区的长比宽多350米，且整改后两园区的周长之和为980米．
①求x、y的值；
②若A园区全部种植C种花，B园区全部种植D种花，且C、D两种花投入的费用与吸引游
客的收益如表：
C D
投入（元/平方米） 12 16
收益（元/平方米） 18 26
求整改后A、B两园区旅游的净收益之和．（净收益＝收益﹣投入）
【分析】（1）根据长方形的面积公式和正方形的面积公式分别计算A、B两园区的面积，再
相加即可求解；
（2）①根据等量关系：整改后A区的长比宽多350米；整改后两园区的周长之和为980米；
列出方程组求出x，y的值；
②代入数值得到整改后A、B两园区的面积之和，再根据净收益＝收益﹣投入，列式计算即
可求解．
【解答】解：（1）（x+y）（x﹣y）+（x+3y）（x+3y）
＝x2﹣y2+x2+6xy+9y2
＝2x2+6xy+8y2（平方米）
答：A、B两园区的面积之和为（2x2+6xy+8y2）平方米；
（2）（x+y）+（11x﹣y）
＝x+y+11x﹣y
＝12x（米），
（x﹣y）﹣（x﹣2y）
＝x﹣y﹣x+2y
＝y（米），
依题意有：
，
解得 ．
12xy＝12×30×10＝3600（平方米），
（x+3y）（x+3y）
＝x2+6xy+9y2
＝900+1800+900
＝3600（平方米），（18﹣12）×3600+（26﹣16）×3600
＝6×3600+10×3600
＝57600（元）．
答：整改后A、B两园区旅游的净收益之和为57600元．
【点评】此题考查整式的混合运算，找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系是解
决问题的关键．
45．（2021春•罗湖区校级期末）如图①，在△ABC中，AD是三角形的高，且AD＝6cm，E是
一个动点，由B向C移动，其速度与时间的变化关系如图②
（1）求当E点在运动过程中△ABE的面积y与运动时间x之间的关系式；
（2）当E移动3.5秒后停止，求此时△ABE的面积．
【分析】（1）由图②知，E点的运动速度是3cm/s，BE的长为3x，根据三角形的面积公式即
可得到结果；
（2）把x＝3.5代入（1）的关系式即可得出结果．
【解答】解：（1）由图②知，E点的运动速度没有发生变化，是3cm/s，
∴BE的长为3x，
∴S△ABE ＝ BE•AD＝ ×3x•6＝9x，
即：y＝9x；
（2）当x＝3.5时，y＝9×3.5＝31.5cm2．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，涉及求函数解析式，求函数值问题，能读懂
函数图象是解决问题的关键．
46．（2021春•江汉区期中）问题探究：
如图①，已知AB∥CD，我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？
张山同学：如图②，过点E作EF∥AB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明
∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D．
李思同学：如图③，过点B作BF∥DE，则∠E＝∠EBF，再证明∠ABF＝∠D．
问题解答：
（1）请按张山同学的思路，写出证明过程；
（2）请按李思同学的思路，写出证明过程；
问题迁移：
（3）如图④，已知AB∥CD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F，请直接写出∠F的度数．
【分析】（1）如图②中，过点E作EF∥AB，利用平行线的性质证明即可．
（2）如图③中，过点B作BF∥DE交CD的延长线于G．利用平行线的性质证明即可．
（3）设∠AEF＝∠CEF＝x，∠CDF＝∠EDF＝y，则∠F＝x+y，根据∠AEC+∠CED+∠DEB
＝180°，构建方程求出x+y可得结论．
【解答】解：（1）如图②中，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠CEF，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D．
（2）如图③中，过点B作BF∥DE交CD的延长线于G．
∵DE∥FG，
∴∠EDC＝∠G，∠DEB＝∠EBF，
∵AB∥CG，
∴∠G＝∠ABF，
∴∠EDC＝∠ABF，
∴∠DEB＝∠EBF＝∠ABE+∠ABF＝∠ABE+∠EDC．
（3）如图④中，∵EF平分∠AEC，FD平分∠EDC，
∴∠AEF＝∠CEF，∠CDF＝∠EDF，
设∠AEF＝∠CEF＝x，∠CDF＝∠EDF＝y，则∠F＝x+y，
∵∠CED＝3∠F，
∴∠CED＝3x+3y，
∵AB∥CD，
∴∠BED＝∠CDE＝2y，
∵∠AEC+∠CED+∠DEB＝180°，
∴5x+5y＝180°，
∴x+y＝36°，
∴∠F＝36°．
【点评】本题考查平行线的性质，平角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，
利用平行线的性质解决问题．
47．（2021秋•龙凤区期中）如图1，MN∥PQ，直线AD与MN、PQ分别交于点A、D，点B在
直线PQ上，过点B作BG⊥AD，垂足为点G．
（1）求证：∠MAG+∠PBG＝90°；
（2）若点C在线段AD上（不与A、D、G重合），连接BC，∠MAG和∠PBC的平分线交于
点H，请在图2中补全图形，猜想并证明∠CBG与∠AHB的数量关系；
（3）若直线AD的位置如图3所示，（2）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，
请直接写出∠CBG与∠AHB的数量关系．
【分析】（1）依据平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠MAG+∠PBG＝90°；
（2）分两种情况讨论：当点C在AG上时，依据平行线的性质以及三角形外角性质，2∠AHB
﹣∠CBG＝90°；当点C在DG上时，依据平行线的性质以及三角形外角性质，
2∠AHB+∠CBG＝90°；
（3）分两种情况讨论：当点C在AG上时，依据平行线的性质以及三角形外角性质，2∠AHB+∠CBG＝270°；当C在DG上时，依据平行线的性质以及三角形外角性质，2∠AHB
﹣∠CBG＝270°．
【解答】解：（1）如图1，∵MN∥PQ，
∴∠MAG＝∠BDG，
∵∠AGB是△BDG的外角，BG⊥AD，
∴∠AGB＝∠BDG+∠PBG＝90°，
∴∠MAG+∠PBG＝90°；
（2）2∠AHB﹣∠CBG＝90°或2∠AHB+∠CBG＝90°，证明：
①如图，当点C在AG上时，
∵MN∥PQ，
∴∠MAC＝∠BDC，
∵∠ACB是△BCD的外角，
∴∠ACB＝∠BDC+∠DBC＝∠MAC+∠DBC，
∵AH平分∠MAC，BH平分∠DBC，
∴∠MAC＝2∠MAH，∠DBC＝2∠DBH，
∴∠ACB＝2（∠MAH+∠DBH），
同理可得，∠AHB＝∠MAH+∠DBH，
∴∠ACB＝2（∠MAH+∠DBH）＝2∠AHB，
又∵∠ACB是△BCG的外角，
∴∠ACB＝∠CBG+90°，
∴2∠AHB＝∠CBG+90°，即2∠AHB﹣∠CBG＝90°；
②如图，当点C在DG上时，
同理可得，∠ACB＝2∠AHB，
又∵Rt△BCG中，∠ACB＝90°﹣∠CBG，∴2∠AHB＝90°﹣∠CBG，即2∠AHB+∠CBG＝90°；
（3）（2）中的结论不成立．存在：2∠AHB+∠CBG＝270°；2∠AHB﹣∠CBG＝270°．
①如图，当点C在AG上时，由MN∥PQ，可得：
∠ACB＝360°﹣∠MAC﹣∠PBC＝360°﹣2（∠MAH+∠PBH），
∠AHB＝∠MAH+∠PBH，
∴∠ACB＝360°﹣2∠AHB，
又∵∠ACB是△BCG的外角，
∴∠ACB＝90°+∠CBG，
∴360°﹣2∠AHB＝90°+∠CBG，
即2∠AHB+∠CBG＝270°；
②如图，当C在DG上时，
同理可得，∠ACB＝360°﹣2（∠MAH+∠PBH），
∠AHB＝∠MAH+∠PBH，
∴∠ACB＝360°﹣2∠AHB，
又∵Rt△BCG中，∠ACB＝90°﹣∠CBG，
∴360°﹣2∠AHB＝90°﹣∠CBG，
∴2∠AHB﹣∠CBG＝270°．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义的运用，准确识图并理清图中各角度之
间的关系是解题的关键，难点在于利用三角形外角性质进行计算．
48．（2021春•奉化区校级期末）已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠APC．
（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出
∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有
何数量关系？并说明理由．
【分析】（1）先过P作PE∥AB，根据平行线的性质即可得到∠APE＝∠BAP，∠CPE＝
∠DCP，再根据∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP进行计算即可；
（2）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，进而得
到∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，再根据角
平分线的定义，得出∠BAK+∠DCK＝ ∠BAP+ ∠DCP＝ （∠BAP+∠DCP）＝ ∠APC，
进而得到∠AKC＝ ∠APC；
（3）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，进而得
到∠AKC＝∠AKE﹣∠CKE＝∠BAK﹣∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，再根据
角平分线的定义，得出∠BAK﹣∠DCK＝ ∠BAP﹣ ∠DCP＝ （∠BAP﹣∠DCP）＝
∠APC，进而得到∠AKC＝ ∠APC．
【解答】解：（1）如图1，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP＝60°+20°＝80°；
（2）∠AKC＝ ∠APC．
理由：如图2，过K作KE∥AB，
∵AB∥CD，
∴KE∥AB∥CD，
∴∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，
∴∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，
过P作PF∥AB，
同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，
∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，
∴∠BAK+∠DCK＝ ∠BAP+ ∠DCP＝ （∠BAP+∠DCP）＝ ∠APC，∴∠AKC＝ ∠APC；
（3）∠AKC＝ ∠APC．
理由：如图3，过K作KE∥AB，
∵AB∥CD，
∴KE∥AB∥CD，
∴∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，
∴∠AKC＝∠AKE﹣∠CKE＝∠BAK﹣∠DCK，
过P作PF∥AB，
同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，
∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，
∴∠BAK﹣∠DCK＝ ∠BAP﹣ ∠DCP＝ （∠BAP﹣∠DCP）＝ ∠APC，
∴∠AKC＝ ∠APC．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平
行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算．
49．（2021春•罗湖区校级期末）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一
探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便
立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转
动的速度是a度/秒，灯B转动的速度是b度/秒，且a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．假定
这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°
（1）求a、b的值；
（2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几
秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若A射出的光束与B射出的光束交
于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否
发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．【分析】（1）根据|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0，可得a﹣3b＝0，且a+b﹣4＝0，进而得出a、b
的值；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：①在灯A射线转到AN
之前，②在灯A射线转到AN之后，分别求得t的值即可；
（3）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°，∠BCD＝90°
﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°，可得∠BAC与∠BCD的数量关系．
【解答】解：（1）∵a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0，
∴a﹣3b＝0，且a+b﹣4＝0，
∴a＝3，b＝1；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜60时，
3t＝（20+t）×1，
解得t＝10；
②当60＜t＜120时，
3t﹣3×60+（20+t）×1＝180°，
解得t＝85；
③当120＜t＜160时，
3t﹣360＝t+20，
解得t＝190＞160，（不合题意）
综上所述，当t＝10秒或85秒时，两灯的光束互相平行；
（3）设A灯转动时间为t秒，
∵∠CAN＝180°﹣3t，
∴∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°，
又∵PQ∥MN，
∴∠BCA＝∠CBD+∠CAN＝t+180°﹣3t＝180°﹣2t，
而∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°，
∴∠BAC：∠BCD＝3：2，
即2∠BAC＝3∠BCD．【点评】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解决问题
的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等
于0．
50．（2021春•婺城区校级期末）已知直线AB∥CD．
（1）如图1，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是 ∠ ABE + ∠ CDE ＝∠ BED
．
（2）如图2，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？
请说明理由．
（3）如图3，点E在直线BD的右侧，BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，请直接写出∠BFD和
∠BED的数量关系 2 ∠ BFD + ∠ BED ＝ 360 ° ．
【分析】（1）首先作EF∥AB，根据直线AB∥CD，可得EF∥CD，所以∠ABE＝∠1，
∠CDE＝∠2，据此推得∠ABE+∠CDE＝∠BED即可．
（2）首先根据BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，推得∠ABF+∠CDF＝
（∠ABE+∠CDE）；然后由（1），可得∠BFD＝∠ABF+∠CDF，∠BED＝∠ABE+∠CDE，
据此推得∠BFD＝ ∠BED．
（3）首先过点E作EG∥CD，再根据AB∥CD，EG∥CD，推得AB∥CD∥EG，所以
∠ABE+∠BEG＝180°，∠CDE+∠DEG＝180°，据此推得∠ABE+∠CDE+∠BED＝360°；然后
根据∠BFD＝∠ABF+∠CDF，以及BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，推得2∠BFD+∠BED
＝360°即可．
【解答】解：（1）∠ABE+∠CDE＝∠BED．
理由：如图1，作EF∥AB，
∵直线AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠ABE＝∠1，∠CDE＝∠2，
∴∠ABE+∠CDE＝∠1+∠2＝∠BED，
即∠ABE+∠CDE＝∠BED．
故答案为：∠ABE+∠CDE＝∠BED．
（2）∠BFD＝ ∠BED．理由：如图2，∵BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，
∴∠ABF＝ ∠ABE，∠CDF＝ ∠CDE，
∴∠ABF+∠CDF＝ ∠ABE+ ∠CDE＝ （∠ABE+∠CDE），
由（1），可得∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝ （∠ABE+∠CDE）
∠BED＝∠ABE+∠CDE，
∴∠BFD＝ ∠BED．
（3）2∠BFD+∠BED＝360°．
理由：如图3，过点E作EG∥CD，，
∵AB∥CD，EG∥CD，
∴AB∥CD∥EG，
∴∠ABE+∠BEG＝180°，∠CDE+∠DEG＝180°，
∴∠ABE+∠CDE+∠BED＝360°，
由（1）知，∠BFD＝∠ABF+∠CDF，
又∵BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，
∴∠ABF＝ ∠ABE，∠CDF＝ ∠CDE，
∴∠BFD＝ （∠ABE+∠CDE），
∴2∠BFD+∠BED＝360°．
故答案为：2∠BFD+∠BED＝360°．
【点评】此题主要考查了平行线的性质和应用，解答此题的关键是要明确：①定理1：两条
平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．②定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
