文档内容
七年级数学下学期期中精选 50 题（压轴版）（北师大版）
一．选择题（共7小题）
1．（2021春•任城区期末）小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：40先出发去
学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华
离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程S（米）和所用时间t
（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（ ）
A．小明家和学校距离1200米
B．小华乘公共汽车的速度是240米/分
C．小华乘坐公共汽车后7：50与小明相遇
D．小明从家到学校的平均速度为80米/分
2．（2020秋•鞍山期末）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，动
点P从点B出发，沿着B→A→D在菱形ABCD的边AB，AD上运动，运动到点D停止．点
P′是点P关于BD的对称点，连接PP'交BD于点M，若BM＝x（0＜x＜8），△DPP′的面
积为y，下列图象能正确反映y与x的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021春•奉化区校级期末）如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE
交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG
交BH于点G，若∠DEH＝100°，则∠BEG的度数为（ ）A．30° B．40° C．50° D．60°
4．（2021春•青山区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平
分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
5．（2021春•西城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点P（x，y），规定：f
（x，y）＝ ；比如f（﹣4， ）＝4，f（﹣2，﹣3）＝3．当f（x，y）
＝2时，所有满足该条件的点P组成的图形为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021秋•南昌县期末）已知a，b，c为自然数，且满足2a×3b×4c＝192，则a+b+c的取值不
可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．（2020•黄州区校级模拟）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整
数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的
正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）A．255054 B．255064 C．250554 D．255024
二．填空题（共6小题）
8．（2021春•瑶海区期中）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），面
积分别为S 、S ．
1 2
（1）请比较S 与S 的大小：S S ．
1 2 1 2
（2）满足条件4＜n＜|S ﹣S |的整数n有且只有4个，则m＝ ．
1 2
9．（2021秋•姑苏区期中）如图①，在平面直角坐标系中，点A、C分别在y轴和x轴上，
AB∥x轴，cosB＝ ．点P从B点出发，以1cm/s的速度沿边BA匀速运动，点Q从点A出发，
沿线段AO﹣OC﹣CB匀速运动．点P与点Q同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停
止运动．设点P运动的时间为t（s），△BPQ的面积为S（cm2），已知S与t之间的函数关系
如图②中的曲线段OE、线段EF与曲线段FG．以下说法正确的是 ．（填序号）
①点Q的运动速度为3cm/s；
②点B的坐标为（9，18）；
③线段EF段的函数解析式为S＝ t；
④曲线FG段的函数解析式为S＝﹣ t2+9t；
⑤若△BPQ的面积是四边形OABC的面积的 ，则时间t＝ 或t＝ ．
10．（2021春•奉化区校级期末）如图，AB∥CD，CF平分∠DCG，GE平分∠CGB交FC的延
长线于点E，若∠E＝34°，则∠B的度数为 ．
11．（2021春•高邮市期中）如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别
延长AB，BC，CA至点A ，B ，C ，使得A B＝2AB，B C＝2BC，C A＝2CA，顺次连接A ，
1 1 1 1 1 1 1
B ，C ，得到△A B C ，记其面积为S ；第二次操作，分别延长A B ，B C ，C A 至点A ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2B ，C ，使得A B ＝2A B ，B C ＝2B C ，C A ＝2C A ，顺次连接A ，B ，C ，得到
2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2
△A B C ，记其面积为S ；…；按此规律继续下去，可得到△A B C ，则其面积S ＝ ．
2 2 2 2 4 4 4 4
12．（2021春•锦江区校级期中）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正
整数为“智慧数”．例如，16＝52﹣32，16就是一个智慧数．在正整数中，从1开始，第
2021个智慧数是 ．
13．（2021春•姑苏区期中）图1是一张足够长的纸条，其中PN∥QM，点A、B分别在PN、
QM上，记∠ABM＝ （0°＜ ＜90°）．如图2，将纸条折叠，使BM与BA重合，得折痕BR ，
1
如图3，将纸条展开后
α
再折叠
α
，使BM与BR
1
重合，得折痕BR
2
，将纸条展开后继续折叠，使
BM与BR 重合，得折痕BR …依此类推，第n次折叠后，∠AR N＝ （用含a和n的代
2 3 n
数式表示）
三．解答题（共37小题）
14．（2021春•太原期末）阅读下列材料，解决相应问题：
“友好数对”
已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数
均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的
两个两位数为“友好数对”．例如43×68＝34×86＝2924，所以43和68与34和86都是“友
好数对”．
（1）36和84 “友好数对”．（填“是”或“不是”）
（2）为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为
b，且a≠b；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且c≠d，则a，b，c，d之间存在一个
等量关系，其探究和说理过程如下，请你将其补充完整．
解：根据题意，“友好数对”中的两个数分别表示为10a+b和10c+d，将它们各自的十位数字
和个位数字交换位置后两个数依次表示为 和 ．因为它们是友好数对，所以（10a+b）（10c+d）＝ ．
即a，b，c，d的等量关系为： ．
（3）请从下面A、B两题中任选一题作答，我选择 题．
A．请再写出一对“友好数对”，与本题已给的“友好数对”不同．
B．若有一个两位数，十位数字为x+2，个位数字为x，另一个两位数，十位数字为x+2，个位
数字为x+8．且这两个数为“友好数对”，直接写出这两个两位数．
15．（2021春•中原区校级期中）有两类正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放在A的内
部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为
1和12，求：
（1）正方形A，B的面积之和为 ．
（2）小明想要拼一个两边长分别为（2a+b）和（a+3b）的长方形（不重不漏），除用去若干
个正方形A，B外，还需要以a，b为边的长方形 个．
（3）三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，求阴影部分的面积．16．（2021秋•杜尔伯特县期末）已知（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，求下列式子的值：
（1）a2+b2；
（2）6ab．
17．（2020秋•安岳县期末）阅读理解：
若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．
解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）
＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80
解决问题：
（1）若x满足（2020﹣x）（x﹣2016）＝2．则（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝ ；
（2）若x满足（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝2020，求（2021﹣x）（x﹣2018）的值；
（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝20，BC＝12，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF
＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的
面积为160平方单位，则图中阴影部分的面积和为 平方单位．18．（2021春•姑苏区期中）学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是
边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形．
（1）选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个为
（a+b）的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式 ；
（2）请用这3种卡片拼出一个面积为a2+5ab+6b2的长方形（数量不限），在图3的虚线框中
画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽；
（3）选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG框架内，图
中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知GF的长度固定不变，DG的长度可以
变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S ，S ．若S＝S ﹣S ，则当a与b满足
1 2 2 1
时，S为定值，且定值为 ．（用含a或b的代数式表示）
19．（2021春•鼓楼区期中）有些同学会想当然地认为（x﹣y）3＝x3﹣y3．
（1）举出反例说明该式不一定成立；
（2）计算（x﹣y）3；（3）直接写出当x、y满足什么条件时，该式成立．
20．（2021春•贺兰县期中）在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图
①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同
时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象
的数量关系因几何直观而形象化．
请你利用上述方法解决下列问题：
（1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式
（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2
【拓展应用】
提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个
两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？
几何建模：
用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：
（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一
条，拼接到原矩形的上面．
（2）分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或
（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝
5×4×100+3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘
以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．请你参照上述几何建模步骤，计算57×53．要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线
段）
归纳提炼：
两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）：
证明上述速算方法的正确性．
21．（2021秋•沛县期中）将7张相同的小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠
的放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为S 和S ．已
1 2
知小长方形纸片的长为a，宽为b，且a＞b．
（1）当a＝9，b＝3，AD＝30时，长方形ABCD的面积是 ，S ﹣S 的值为 ；
1 2
（2）当AD＝40时，请用含a、b的式子表示S ﹣S 的值；
1 2
（3）若AB长度保持不变，AD变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方
形ABCD内，当a、b满足什么关系时，S ﹣S 的值与AD的长度无关？
1 2
22．（2021秋•西城区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝40°，点D是线段BC
上的动点，将线段AD绕点A顺时针旋转50°至AD′，连接BD′．已知AB＝2cm，设BD为xcm，BD′为ycm．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行
了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数）
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm 0 0.5 0.7 1.0 1.5 2.0 2.3
y/cm 1.7 1.3 1.1 0.7 0.9 1.1
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．
（3）结合画出的函数图象，解决问题：线段BD′的长度的最小值约为 cm；若
BD′≥BD，则BD的长度x的取值范围是 ．
23．（2020秋•渑池县期末）已知点O为直线AB上的一点，∠BOC＝∠DOE＝90°．
（1）如图1，当射线OC、射线OD在直线AB的两侧时，请回答结论并说明理由；
①∠COD和∠BOE相等吗？
②∠BOD和∠COE有什么关系？
（2）如图2，当射线OC、射线OD在直线AB的同侧时，请直接回答；
①∠COD和∠BOE相等吗？
②第（1）题中的∠BOD和∠COE的关系还成立吗？
24．（2021秋•市北区期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：DE∥BC．25．（2021春•洪山区期中）【学科融合】
物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做
入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：
在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于
法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律（reflectionlaw）．
【数学推理】如图1，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得
到反射光线CD．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角
也相等，即：∠1＝∠2，∠3＝∠4．在这样的条件下，求证：AB∥CD．
【尝试探究】两块平面镜OM，ON，且∠MON＝ ，入射光线AB经过两次反射，得到反射光
线CD．
α
（1）如图2，光线AB与CD相交于点E，则∠BEC＝ ；
（2）如图3，光线AB与CD所在的直线相交于点E，∠BED＝ ，则 与 之间满足的等量
关系是 ．
β α β
26．（2021秋•农安县期末）如图，点P是∠AOB的边OB上的一点，过点P画OB的垂线，交
OA于点C；
（1）过点P画OA的垂线，垂足为H；
（2）线段PH的长度是点P到 的距离， 是点C到直线OB的距离．线段PC、
PH、OC这三条线段大小关系是 （用“＜”号连接）
27．（2021秋•南岗区校级期中）已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD．（1）如图1，求证：∠BCD+∠CDE＝∠ABC；
（2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，探究∠ABC和∠F之间的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线交CD于点G，连接GB并延长至点H，若
BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．
28．（2020秋•南关区期末）如图①，直线l ∥l ，直线EF和直线l 、l 分别交于C、D两点，
1 2 1 2
点A、B分别在直线l 、l 上，点P在直线EF上，连接PA、PB．
1 2
猜想：如图①，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，则∠APB的大小为
度．
探究：如图①，若点P在线段CD上，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．
拓展：如图②，若点P在射线CE上或在射线DF上时，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之
间的数量关系．29．（2021春•红谷滩区校级期中）如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行
线AB，CD之间有一动点P，满足0°＜∠EPF＜180°．
（1）试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？
解：由于点P是平行线AB，CD之间有一动点，因此需要对点P的位置进行分类讨论：如图1，
当P点在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为 ，如图2，当P点在
EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为 ．
（2）如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．
①若∠EPF＝60°，则∠EQF＝ ．
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由；
③如图4，若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q ，∠BEQ 与∠DFQ 的角平分线交于点Q ，
1 1 1 2
∠BEQ ，与∠DFQ 的角平分线交于点Q ；此次类推，则∠EPF与∠EQ F满足怎样的数量
2 2 3 2018
关系？（直接写出结果）30．（2021秋•西湖区校级期末）新定义：在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的
n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，
∠B＝60°，∠C＝40°，可知∠A＝2∠C，所以△ABC为2倍角三角形．
（1）在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝35°，则△DEF为 倍角三角形．
（2）如图1，直线MN与直线PQ相交于O，∠POM＝30°，点A、点B分别是射线OP、OM
上的动点；已知∠BAO、∠OBA的角平分线交于点C，在△ABC中，如果有一个角是另一个
角的2倍，请求出∠BAC的度数．
（3）如图2，直线MN⊥直线PQ于点O，点A、点B分别在射线OP、OM上，已知∠BAO、
∠OAG的角平分线分别与∠BOQ的角平分线所在的直线交于点E、F，若△AEF为3倍角三
角形，试求∠ABO的度数．31．（2021秋•巢湖市期末）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，
∠EAD＝5°，∠B＝50°，求∠C的度数．
32．（2021秋•正阳县期末）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的
图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交
于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数： 个；
（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．
（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的
数量关系．（直接写出结果，不必证明）．33．我们把两个能够互相重合的图形称为全等形．
（1）请你用四种方法把长和宽分别为5和3的矩形分成四个均不全等的小矩形或正方形，且
矩形或正方形的各边长均为整数；
（2）是否能将上述3×5的矩形分成五个均不全等的整数边矩形？若能，请画出．
34．（2021秋•郾城区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，
AD⊥AB交BE延长线于点D，CF平分∠ACB交BD于点F，连接CD．
求证：（1）AD＝CF；
（2）点F为BD的中点．
35．（2021秋•大观区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2cm，CD⊥AB，在AC上
取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F．若EF＝5cm，求AE和CF
的长．36．（2021秋•平舆县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB于点E，AD＝AC，AF
平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G，
求证：（1）DF∥BC；
（2）FG＝FE．
37．（2021秋•绥滨县期末）如图1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，过点B作
BC⊥AE于点C，在BC上截取CD＝CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P；
（1）求证：AD＝BE；
（2）试说明AD平分∠BAE；
（3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，
说明理由．
38．（2021秋•惠山区期中）阅读理解：如图1，在△ABC的边AB上取一点P，连接CP，可以
把△ABC分成两个三角形，如果这两个三角形都是等腰三角形，我们称点P是△ABC的边AB
上的完美点．解决问题：
（1）如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，试找出边AB上的完美点P，并说明理由．
（2）如图3，已知∠A＝36°，△ABC的顶点B在射线l上，点P是边AB上的完美点，请认真
分析所有符合要求的点B，直接写出相应的∠B的度数．
39．（2021秋•法库县期末）如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，
点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP＝x°．
（1）如图1，若DE∥OB．
①∠DEO的度数是 °，当DP⊥OE时，x＝ ；
②若∠EDF＝∠EFD，求x的值；
（2）如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF？若存在，求出x
的值；若不存在，说明理由．
40．（2021春•洪山区期中）已知：直线AB∥CD，M，N分别在直线AB，CD上，H为平面内一
点，连HM，HN．
（1）如图1，延长HN至G，∠BMH和∠GND的角平分线相交于点E．
求证：2∠MEN﹣∠MHN＝180°；
（2）如图2，∠BMH和∠HND的角平分线相交于点E．
①请直接写出∠MEN与∠MHN的数量关系： ；
②作MP平分∠AMH，NQ∥MP交ME的延长线于点Q，若∠H＝140°，求∠ENQ的度数．（可直接运用①中的结论）
41．（2021春•海淀区校级期末）对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得
∠M+k∠N＝360°，则称∠N为∠M的k系补周角．如若∠M＝90°，∠N＝45°，则∠N为∠M
的6系补周角．
（1）若∠H＝120°，则∠H的4系补周角的度数为 °
（2）在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE，DE．
①如图1，∠D＝60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数．
②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF＝n∠ABE，∠CDF
＝n∠CDE（其中n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动
过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，并直接写出此时的k值
（用含n的式子表示）．
42．（2021秋•南安市期中）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在AB边上，四边形EFGB也
是正方形，它的边长为b（a＞b），连接AF、CF、AC．
（1）用含a、b的代数式表示GC＝ ；
（2）若两个正方形的面积之和为60，即a2+b2＝60，又ab＝20，图中线段GC的长；
（3）若a＝8，△AFC的面积为S，则S＝ ．43．（2021春•高明区校级期末）如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分
成四块小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2的阴影部分的正方形的边长是 ．
（2）用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．
【方法1】S阴影 ＝ ；
【方法2】S阴影 ＝ ；
（3）观察如图2，写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的等量关系．
（4）根据（3）题中的等量关系，解决问题：
若x+y＝10，xy＝16，求x﹣y的值．
44．（2020秋•惠安县期中）南山植物园中现有A、B两个园区，已知A园区为长方形，长为
（x+y）米，宽为（x﹣y）米；B园区为正方形，边长为（x+3y）米．
（1）请用代数式表示A、B两园区的面积之和并化简；
（2）现根据实际需要对A园区进行整改，长增加（11x﹣y）米，宽减少（x﹣2y）米，整改后
A区的长比宽多350米，且整改后两园区的周长之和为980米．
①求x、y的值；
②若A园区全部种植C种花，B园区全部种植D种花，且C、D两种花投入的费用与吸引游
客的收益如表：
C D
投入（元/平方米） 12 16收益（元/平方米） 18 26
求整改后A、B两园区旅游的净收益之和．（净收益＝收益﹣投入）
45．（2021春•罗湖区校级期末）如图①，在△ABC中，AD是三角形的高，且AD＝6cm，E是
一个动点，由B向C移动，其速度与时间的变化关系如图②
（1）求当E点在运动过程中△ABE的面积y与运动时间x之间的关系式；
（2）当E移动3.5秒后停止，求此时△ABE的面积．
46．（2021春•江汉区期中）问题探究：
如图①，已知AB∥CD，我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？
张山同学：如图②，过点E作EF∥AB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明
∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D．
李思同学：如图③，过点B作BF∥DE，则∠E＝∠EBF，再证明∠ABF＝∠D．
问题解答：
（1）请按张山同学的思路，写出证明过程；
（2）请按李思同学的思路，写出证明过程；
问题迁移：
（3）如图④，已知AB∥CD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F，请直接写
出∠F的度数．
47．（2021秋•龙凤区期中）如图1，MN∥PQ，直线AD与MN、PQ分别交于点A、D，点B在直线PQ上，过点B作BG⊥AD，垂足为点G．
（1）求证：∠MAG+∠PBG＝90°；
（2）若点C在线段AD上（不与A、D、G重合），连接BC，∠MAG和∠PBC的平分线交于
点H，请在图2中补全图形，猜想并证明∠CBG与∠AHB的数量关系；
（3）若直线AD的位置如图3所示，（2）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，
请直接写出∠CBG与∠AHB的数量关系．
48．（2021春•奉化区校级期末）已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．
（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠APC．
（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出
∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有
何数量关系？并说明理由．
49．（2021春•罗湖区校级期末）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一
探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便
立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转
动的速度是a度/秒，灯B转动的速度是b度/秒，且a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．假定
这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°（1）求a、b的值；
（2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几
秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若A射出的光束与B射出的光束交
于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否
发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．
50．（2021春•婺城区校级期末）已知直线AB∥CD．
（1）如图1，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是 ．
（2）如图2，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？
请说明理由．
（3）如图3，点E在直线BD的右侧，BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，请直接写出∠BFD和
∠BED的数量关系 ．
