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2024-2025 学年七年级数学下学期期中测试卷
基础知识达标测
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
考前须知：
1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。
2．测试范围：整式的乘除~三角形（北师大版2024）。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。）
1．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（x+y）2＝x2+y2 B．a3÷a3＝0
C．（3x）2＝6x2 D．（﹣a2）3＝﹣a6
【分析】根据完全平方公式，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、（x+y）2＝x2+2xy+y2，故A不符合题意；
B、a3÷a3＝1，故B不符合题意；
C、（3x）2＝9x2，故C不符合题意；
D、（﹣a2）3＝﹣a6，故D符合题意；
故选：D．
2．（3分）据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已
突破到14nm．已知1nm＝10﹣9m，则14nm用科学记数法表示是（ ）
A．14×10﹣9m B．1.4×10﹣8m
C．1.4×10﹣9m D．1.4×10﹣10m
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此
即可求得答案．
【解答】解：14nm＝14×10﹣9m＝1.4×10﹣8m，
故选：B．
3．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．任意购买一张电影票，座位号是偶数
B．梦到醒来会下雨，醒来后发现窗外在下雨
学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 共 19 页C．解锁手机，提示微信收到了新消息
D．随意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不超过6
【分析】根据事情发生的可能性大小进行解题即可．
【解答】解：A、任意购买一张电影票，座位号是偶数是随机事件，不符合题意；
B、梦到醒来会下雨，醒来后发现窗外在下雨是随机事件，不符合题意；
C、解锁手机，提示微信收到了新消息是随机事件，不符合题意；
D、随意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不超过6是必然事件，符合题意；
故选：D．
4．（3分）如图，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝14m，PB＝
10m，那么AB间的距离不可能是（ ）
A．4m B．15m C．20m D．22m
【分析】由PA＝14m，PB＝10m，直接利用三角形的三边关系求解即可求得AB的取值范围，继而求得答
案．
【解答】解：∵PA＝14m，PB＝10m，
∴PA﹣PB＜AB＜PA+PB，
即4m＜AB＜24m，
∴AB间的距离不可能是：4m．
故选：A．
5．（3分）下列乘法中，不能运用平方差进行运算的是（ ）
A．（3x+7y）（3x﹣7y）
B．（5m﹣n）（n﹣5m）
C．（﹣0.2x﹣0.3）（﹣0.2x+0.3）
D．（﹣3n﹣mn）（3n﹣mn）
【分析】根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相
反数解答．
【解答】解：A、C、D选项符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算；
B选项两项都互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算．
故选：B．
6．（3分）在△ABC中，作出AC边上的高，正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 第 2 页 共 19 页A． B．
C． D．
【分析】根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可．
【解答】解：根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线垂足为D，
纵观各图形，D选项符合高线的定义，
故选：D．
7．（3分）下列说法中正确的有（ ）
①相等的角是对顶角；
②一个三角形中至少有两个角为锐角；
③两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
④如果直线a∥b，a∥c，那么b∥c；
⑤在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC为直角三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①根据对顶角的性质判断；②根据三角形内角和定理判断；③根据平行线的性质判断；④根据
平行线的性质判断；⑤根据三角形内角和定理判断．
【解答】解：①对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故①错误；
②符合三角形内角和定理，故②正确；
③两直线平行，同旁内角互补，故③错误；
④平行于同一条直线的两条直线平行，故④正确；
⑤∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+2∠A+3∠A＝180°，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，
∴△ABC为直角三角形，
故⑤正确；
∴正确的有3个，
故选：C．
学科网（北京）股份有限公司 第 3 页 共 19 页8．（3分）如图，已知∠AOB＝48°，点C为射线OB上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点O为圆心，以
任意长为半径作弧，交OA于点D，交OB于点E；②以点C为圆心，以OD长为半径作弧，交OC于点
F；③以点F为圆心，以DE长为半径作弧，交前面的弧于点G；④连接CG并延长交OA于点H．则
∠AHC的度数为（ ）
A．24° B．42° C．48° D．96°
【分析】根据作图，由全等三角形的判定定理SSS可以推知△DOE≌△GCF，得到∠GCF＝∠DOE，即
∠ACO＝∠AOB＝48°，再利用三角形外角性质求解即可．
【解答】解：由作图可知，OE＝OD，OD＝CF，FG＝DE，OD＝CG，
∴OE＝CF，
在△DOE与△GCF中，
{OD=CG
)
DE=GF ，
OE=CF
则△DOE≌△GCF（SSS）．
∴∠GCF＝∠DOE，即∠ACO＝∠AOB＝48°，
∴∠AHC＝∠AOB+∠ACO＝48°+48°＝96°．
故选：D．
9．（3分）已知，如图，AB∥CD，将一副三角尺如图摆放，让一个顶点和一条边分别放在AB和CD上，则
∠AEF＝（ ）
A．10° B．12° C．15° D．18°
【分析】过点F作FG∥AB，根据平行线的性质得出∠CFG＝120°，进而得出∠GFD＝30°，∠EFG＝15°，
根据FG∥AG，即可求解．
【解答】解：如图所示，过点F作FG∥AB，
学科网（北京）股份有限公司 第 4 页 共 19 页∵AB∥CD，
∴FG∥AB∥CD，
∵∠FCD＝60°，
∴∠CFG＝180°﹣∠FCD＝120°，
∵∠CFD＝90°，
∴∠GFD＝∠CFG﹣∠DFC＝120°﹣90°＝30°，
∵∠EFD＝45°，
∴∠EFG＝∠EFD﹣∠GFD＝45°﹣30°＝15°，
∵FG∥AB，
∴∠AEF＝∠EFG＝15°．
故选：C．
10．（3分）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详
解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三
角”．
根据“杨辉三角”请计算（a+b）20的展开式中第三项的系数为（ ）
A．2017 B．2016 C．191 D．190
【分析】根据图形中的规律即可求出（a+b）20的展开式中第三项的系数；
【解答】解：找规律发现（a+b）3的第三项系数为3＝1+2；
（a+b）4的第三项系数为6＝1+2+3；
（a+b）5的第三项系数为10＝1+2+3+4；
学科网（北京）股份有限公司 第 5 页 共 19 页不难发现（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），
∴（a+b）20第三项系数为1+2+3+…+19＝190，
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）若x﹣2y＝2，则10x÷100y＝ 10 0 ．
【分析】将100写成以10为底的幂，再根据同底数幂的除法运算法则化简，将已知条件代入计算即可．
【解答】解：∵x﹣2y＝2，
∴10x÷100y＝10x÷102y
＝10x﹣2y
＝102
＝100．
故答案为：100．
12．（3分）一个角是它的补角的五分之一，则这个角的余角是 6 0 度．
【分析】设这个角为x°，则余角为（90°﹣x°），补角为（180°﹣x°），再由一个角是它的补角的五分之
一，可得出方程，解出即可．
【解答】解：设这个角为x°，则余角为（90°﹣x°），补角为（180°﹣x°），
1
则x= （180﹣x），
5
解得：x＝30，
则这个角为30°，
所以这个角的余角是90°﹣30°＝60°．
故答案为：60．
13．（3分）如图，A是某公园的进口，B，C，D，E，F是不同的出口，若小贤从A处进入公园，随机选择出
2
口离开公园，则恰好从北面的出口出来的概率为 ．
5
【分析】根据共有5个出口，北面有两个出口，直接利用概率公式得出答案．
【解答】解：∵共有5个出口，其中北面有B和C两个出口，
学科网（北京）股份有限公司 第 6 页 共 19 页2
∴恰好从北面的出口出来的概率为 ，
5
2
故答案为： ．
5
14．（3分）某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知∠BAC＝130°，AB∥DE，∠D＝70°，
则∠ACD＝ 20 ° ．
【分析】过点C作CF∥AB，先证明CF∥DE，然后根据平行线的性质求出∠ACF＝130°，∠DCF＝110°，
最后利用角的和差关系求解即可．
【解答】解：过点C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠ACF＝∠BAC，∠D+∠DCF＝180°，
又∠BAC＝130°，∠D＝70°，
∴∠ACF＝130°，∠DCF＝110°，
∴∠ACD＝∠ACF﹣∠DCF＝20°．
故答案为：20°．
15．（3分）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解
读．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，DA交AB于点F，若A′D∥BC，且∠B﹣∠A
＝20°，则∠AED的度数为 100 ° ．
学科网（北京）股份有限公司 第 7 页 共 19 页1
【分析】由折叠的性质可得∠ADE= ∠ADF，再根据平行线的性质可得∠ADF＝∠C，根据三角形的内
2
角和定理用含有∠A的代数式表示出∠C的度数，再根据三角形的外角性质可得∠DEF的度数，进而得出
∠AED的度数．
1
【解答】解：将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，DA交AB于点F，则∠ADE= ∠ADF，
2
∵A′D∥BC，
∴∠ADF＝∠C，
∵∠B﹣∠A＝20°，
∴∠B＝∠A+20°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣（∠A+20°）﹣∠A＝160°﹣2∠A，
1 1
∴∠ADE= ∠ADF= ∠C＝80°﹣∠A，
2 2
∴∠DEF＝∠A+∠ADE＝∠A+80°﹣∠A＝80°，
∴∠AED＝180°﹣80°＝100°．
故答案为：100°．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，AD＝AC，点E在BC边上，CE＝BD，过点
E作EF⊥CD交AB于点F，若AF＝2，BC＝8，则DF的长为 4 ．
【分析】设∠BCD＝ ，延长AC到点G，使AG＝AB，连接BG，延长EF和CA交于点H，根据已知条件
证明△CEH≌△CGB，即可解决问题．
α
【解答】解：设∠BCD＝ ，
∵∠ACB＝90°，
α
∴∠ACD＝90°﹣ ，
∵AD＝AC，
α
∴∠ADC＝∠ACD＝90°﹣ ，
∴∠CAB＝180°﹣2∠ACD＝2 ，
α
∴∠ABC＝90°﹣2 ，
α
∵EF⊥CD，
α
学科网（北京）股份有限公司 第 8 页 共 19 页∴∠CKF＝90°，
∴∠DFK＝90°﹣（90°﹣ ）＝ ，
∴∠CEF＝90°﹣ ，
α α
如图，延长AC到点G，使AG＝AB，连接BG，
α
∵AD＝AC，
∴CD∥GB，BD＝CG＝CE，
∴∠GBC＝∠BCD＝ ，
∴∠G＝90°﹣ ，
α
∴∠G＝∠CEF，
α
延长EF和CA交于点H，
∴∠H＝ ＝∠GBC，
∵∠CAB＝2 ，
α
∴∠AFH＝ ，
α
∴∠H＝∠AFH，
α
∴AH＝AF＝2，
在△CEH和△CGB中，
{
∠CEH=∠G
)
CE=CG ，
∠ECH=∠GCB=90°
∴△CEH≌△CGB（ASA），
∴CH＝CB＝8，
∴DF＝AD﹣AF＝AC﹣AH＝CH﹣2AH＝8﹣4＝4．
故答案为：4．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：
（1）a2•a4+（﹣2a2）3﹣a8÷a2；
学科网（北京）股份有限公司 第 9 页 共 19 页2 1
（2）(−2) −1+(3.14−π) 0+(− ) 200×(−1 ) 201 ．
3 2
【分析】根据同底数幂的乘除法法则、幂的乘方与积的乘方法则、零指数幂法则、负整数指数幂法则进行
解题即可．
【解答】解：（1）原式＝a6﹣8a6﹣a6
＝a6﹣8a6﹣a6
＝﹣8a6；
1 2 3 3
（2）原式=− +1+(− ) 200×(− ) 200×(− )
2 3 2 2
1 3
= −
2 2
＝﹣1．
18．（8分）若（2x﹣y）2+|y﹣2|＝0，求代数式[（x+2y）（2y﹣x）﹣4y（﹣x+y）]÷（﹣2x）的值．
【分析】原式中括号里利用平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单
项式法则计算得到最简结果，利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝（4y2﹣x2+4xy﹣4y2）÷（﹣2x）
＝（﹣x2+4xy）÷（﹣2x）
1
= x﹣2y，
2
∵（2x﹣y）2+|y﹣2|＝0，
∴2x﹣y＝0，y﹣2＝0，
解得：x＝1，y＝2，
当x＝1，y＝2时，
1
原式= −4
2
7
=− ．
2
19．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．
（1）若∠B＝30°，且AE＝CE，求∠DAE的度数；
（2）若CD＝3DE，△ADE的面积为2，AC＝4，求点E到边AB的距离．
学科网（北京）股份有限公司 第 10 页 共 19 页【分析】（1）设∠C＝x，先利用AE＝CE得到∠EAC＝∠C＝x，则∠BAE＝∠CAE＝x，所以∠BAC＝2x，
根据三角形内角和得到30°+x+2x＝180°，解得x＝50°，接着计算出∠DAC＝40°，然后计算∠EAC﹣
∠DAC；
1
（2）过E作EG⊥AB于D，EH⊥AC于H，如图，根据三角形面积公式得到S△AEC ＝4S△ADE ＝8，则
2
EH•AC＝8，解得EH＝4，然后根据角平分线的性质得到EG＝4，从而得到E到AB的距离．
【解答】解：（1）设∠C＝x，
∵AE＝CE，
∴∠EAC＝∠C＝x，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝x，
∴∠BAC＝2x，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
而∠B＝30°，
∴30°+x+2x＝180°，
解得x＝50°，
即∠EAC＝50°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝50°，
∴∠DAC＝40°，
∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝10°；
（2）过E作EG⊥AB于D，EH⊥AC于H，如图，
∵CD＝3DE，S△ADE ＝2，AD⊥BC，
∴S△AEC ＝4S△ADE ＝8，
1
∴ EH•AC＝8，
2
8×2
∴EH= =4，
4
∵AE平分∠BAC，EG⊥AB，EH⊥AC，
∴EG＝EH＝4，
即E到AB的距离为4．
学科网（北京）股份有限公司 第 11 页 共 19 页20．（8分）如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连
CF．
（1）求证：CF∥AB
（2）若∠A＝70°，∠F＝35°，BE⊥AC，求∠BED的度数．
【分析】（1）求出△AED≌△CEF，根据全等三角形的性质得出∠A＝∠ACF，根据平行线的判定得出即
可；
（2）根据（1）求出∠A＝∠ACF，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】（1）证明：∵E为AC中点，
∴AE＝CE，
在△AED和△CEF中，
{
AE=CE
)
∠AED=∠CEF ，
DE=EF
∴△AED≌△CEF（SAS），
∴∠A＝∠ACF，
∴CF∥AB；
（2）解：∵∠A＝∠ACF＝70°，∠F＝35°，
∴∠AED＝∠CEF＝180°﹣70°﹣35°＝75°，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BED＝90°﹣75°＝15°．
21．（8分）小深一家逛完超市后，凭小票参加一次抽奖活动，超市设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面
如下．如果小深只能抽奖一次，且抽到数字1至9的可能性一样，请解决下面的问题：
学科网（北京）股份有限公司 第 12 页 共 19 页1
（1）小深抽到“纸巾”的概率是 ；
3
2
（2）小深中奖的概率是 ；
3
4
（3）请你设计翻奖牌背面的内容，使得最后抽到“太阳伞”的可能性大小是 ，要求奖牌内容包含“纸
9
巾、牙刷、太阳伞、谢谢参与”．
【分析】（1）用“纸巾”的数量除以总数量即可；
（2小深中奖的数量除以总数量即可；
（3）根据概率公式求解即可．
1
【解答】解：（1）由图可得，抽到“纸巾”奖品的可能性是3÷9= ，
3
1
故答案为： ；
3
2
（2）由题意可得，6÷9= ，
3
2
故答案为： ；
3
（3）设计九张翻奖牌中有四张写着太阳伞，其它的五张牌中纸巾、牙刷、太阳伞各一张，谢谢参与两张．
（答案不唯一）．
22．（10分）【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可
以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
【类比应用】
（1）①若xy＝8，x+y＝6，则x2+y2的值为 2 0 ；
②若x（5﹣x）＝6，则x2+（5﹣x）2＝ 1 3 ；
【迁移应用】
（2）两块完全相同的特制直角三角板（∠AOB＝∠COD＝90°）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线
上，连接AC，BD，若AD＝14，S△AOC +S△BOD ＝54，求一块三角板的面积．
学科网（北京）股份有限公司 第 13 页 共 19 页【分析】（1）①利用（a+b）2＝a2+2ab+b2计算即可；
②令a＝x，b＝5﹣x，从而得到a、b的和与积，再利用（a+b）2＝a2+2ab+b2计算即可；
（2）将三角板的两直角边分别用字母表示出来，从而写出这两个字母的和、平方和，利用题目中给出的等
式计算这两个字母的积，进而求出一块三角板的面积．
【解答】解：（1）①由题意可知，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，
∵xy＝8，x+y＝6，
∴x2+y2＝62﹣2×8＝20，
故答案为：20．
②令a＝x，b＝5﹣x，
∴a+b＝5，ab＝6，
∴x2+（5﹣x）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×6＝13，
故答案为：13．
1
（2）设三角板的两条直角边AO＝m，BO＝n，则一块三角板的面积为 mn，
2
1
∴m+n＝14， （m2+n2）＝54，即m2+n2＝108，
2
∵2mn＝（m+n）2﹣（m2+n2）＝142﹣108＝88，
∴mn＝44，
1 1
∴ mn = ×44＝22，
2 2
∴一块三角板的面积是22．
23．（10分）问题探究：
如图①，已知AB∥CD，我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？
张山同学：如图②，过点E作EF∥AB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF＝
∠B，∠DEF＝∠D．
李思同学：如图③，过点B作BF∥DE，则∠E＝∠EBF，再证明∠ABF＝∠D．
学科网（北京）股份有限公司 第 14 页 共 19 页问题解答：
（1）请按张山同学的思路，写出证明过程；
（2）请按李思同学的思路，写出证明过程；
问题迁移：
（3）如图④，已知AB∥CD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F，请直接写出∠F的度
数．
【分析】（1）如图②中，过点E作EF∥AB，利用平行线的性质证明即可．
（2）如图③中，过点B作BF∥DE交CD的延长线于G．利用平行线的性质证明即可．
（3）设∠AEF＝∠CEF＝x，∠CDF＝∠EDF＝y，则∠F＝x+y，根据∠AEC+∠CED+∠DEB＝180°，构建
方程求出x+y可得结论．
【解答】解：（1）如图②中，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D．
（2）如图③中，过点B作BF∥DE交CD的延长线于G．
∵DE∥FG，
∴∠EDC＝∠G，∠DEB＝∠EBF，
∵AB∥CG，
∴∠G＝∠ABF，
学科网（北京）股份有限公司 第 15 页 共 19 页∴∠EDC＝∠ABF，
∴∠DEB＝∠EBF＝∠ABE+∠ABF＝∠ABE+∠EDC．
（3）如图④中，
∵EF平分∠AEC，FD平分∠EDC，
∴∠AEF＝∠CEF，∠CDF＝∠EDF，
设∠AEF＝∠CEF＝x，∠CDF＝∠EDF＝y，则∠F＝x+y，
∵∠CED＝3∠F，
∴∠CED＝3x+3y，
∵AB∥CD，
∴∠BED＝∠CDE＝2y，
∵∠AEC+∠CED+∠DEB＝180°，
∴5x+5y＝180°，
∴x+y＝36°，
∴∠F＝36°．
24．（12分）【特例感知】
（1）如图1，点C为直线l上一点，将一块等腰直角三角板的直角顶点与C重合，两条直角边AC、BC在
直线l的两侧，过A作AD⊥l于点D，过B作BE⊥l于点E，求证：AD＝CE．
【应用拓展】
（2）当等腰直角△ACB的边AC落在直线l上，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为直线l上的一个动点（点D不
与A、C重合），连接BD，将线段BD绕点B逆时针旋转90°的得到线段BE，连接AE，AE与射线BC交于
点F．
①如图2，求证：AF＝EF；
②当BC＝3CF时，请直接写出AD：AC的值．
学科网（北京）股份有限公司 第 16 页 共 19 页【分析】（1）根据垂直的定义得到∠ADC＝∠BEC＝90°，∠ADC＝∠BEC＝90°，求得∠CBE＝∠ACD，
根据全等三角形的性质得到；
（2）①如图2，过E作EG⊥BF交BF的延长线于G，则∠EGF＝∠DCB＝90°，由（1）可得
△DBC≌BEG，EG＝BC＝AC，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
②如图2，当点D在CA的延长线上时，过E作EG⊥BF交BF的延长线于G，设CF＝a，则AC＝BC＝
3a，由①知，△ACF≌△EGF，得到FG＝CF＝a，求得BG＝5a，根据全等三角形的性质得到CD＝BG＝
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5a，求得AD：AC= ；当点D在线段AC上时，过E作EG⊥BF交BF的延长线于G，同理AD：AC= ．
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【解答】（1）证明：∵AD⊥l，BE⊥l，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BEC+∠ACD＝90°，
∠CBE+∠BEC＝90°，
∴∠CBE＝∠ACD，
∵AC＝BC，
∴△BCE≌△CAD（AAS）
∴AD＝CE；
（2）①证明：如图2，过E作EG⊥BF交BF的延长线于G，则∠EGF＝∠DCB＝90°，
学科网（北京）股份有限公司 第 17 页 共 19 页由（1）可得△DBC≌BEG，EG＝BC＝AC，
∵EG⊥BF，∠ACB＝90°，
∴∠G＝∠ACF＝90°，
又∵∠AFC＝∠EFG，AC＝EG，
∴△ACF≌△EGF（AAS），
∴AF＝CF；
②解：如图2，当点D在CA的延长线上时，
过E作EG⊥BF交BF的延长线于G，
∵BC＝3CF，
∴设CF＝a，则AC＝BC＝3a，
由①知，△ACF≌△EGF，
∴FG＝CF＝a，
∴BG＝5a，
由（1）可得△DBC≌BEG，
∴CD＝BG＝5a，
∴AD＝2a，
2
∴AD：AC= ；
3
当点D在线段AC上时，
过E作EG⊥BF交BF的延长线于G，
∵BC＝3CF，
学科网（北京）股份有限公司 第 18 页 共 19 页∴设CF＝a，则AC＝BC＝3a，
∴BF＝2a，
由①知，△ACF≌△EGF，
∴FG＝CF＝a，
∴BG＝a，
由（1）可得△DBC≌BEG，
∴CD＝BG＝a，
∴AD＝2a，
2
∴AD：AC= ；
3
2
综上所述，AD：AC的值为 ．
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