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2002年数学(三)真题解析
一、填空题
(1)【答案】丄厂
n 一 2na + 1 ] l—2a
【解】 limln In lim 1 +
7/ (1 一 2a ) 8 I n(l — 2a )
=ln e1^ 1
1 一 2a '
(2) 【答案】do-J 2f(x,y)dy .
【解】 如图所示，改变积分次序得
j"； d^j ,y)dz + ］；町分(2 ,y)cLz = J： dr j 2f(x ,y)dy .
(3) 【答案】一1. —(2)题图
【解】因为Aa与a线性相关，所以Aa与a成比例,
设―即［; (a = Aa 9
，于是｛ 2a + 3 =入，解得a =
〔3a + 4 =入 9
方法点评：本题考查向量组线性相关及特征值与特征向量的定义两点.
注意：两个向量线性相关的充分必要条件是两个向量成比例.
(4)【答案】 -0.02.
0 1 1
【解】 由X2 X2Y2
0. 4 0. 6 0. 28
得 E(X2) =0. 6, E(Y2) =0. 5, E(X2Y2) =0. 28,
于是 Cov(x2,y2)=e(x2y2)-e(x2)e(y2)=-o. 02.
(5)【答案】 X —1.
广+°° r+8 工一& = t c+°°
【解】 E(X)= xf (j? )dj; = a: e~(xd) dx = (&+£)e~'ck
J —oo J 0 J 0
r+°°
e~! df + te~c At =0『(1) + r(2) =0 + 1,
J 0
令o + i=x,得0的矩估计量为e=x-i.
方法点评：本题考查参数的矩估计法，需要熟练掌握广义积分的计算，尤其需要掌握r函
数的使用.
f+oo
所谓『函数即：F(a)= 才Te-’cLz ,，性质有
J 0
F(a + 1) =a F(a ) 9 r(n + 1) ! 9 ・二、选择题
（1） 【答案】（B）.
【解】 由/'（工）在（a,b）内可导得/（x）在（a,b）内连续，若£ 6 Ca,b）,
则 7"（工）在 W 处连续，即 lim/Xz ）=/（£），或 lim[/（j：） —_/"（£）] = 0,应选（E）.
工十 工十
（2） 【答案】（A）.
【解】由已知条件，得lim Q 卄 i 2及 lim "卄 1 =3,
/5 ”f 8 bn
2
Q卄1
].仍+1 ]. a卄1 2 bn 2 9 1 1
于是 lim —— = lim =--•----------
”f00 a “一*8 〃卄 5 9 5
1
00 2
故级数S挣
的收敛半径为R =5,应选（A）.
n = l匕斤
（3） 【答案】（D）.
【解】AB为m 阶矩阵，当加An时，
因为 r (A )^min{m ,/?}=〃， r (B )^min{m 皿} =n ,
又因为 r (AB min{r (A ) ,r (B ) }^：n 0;当 a E (1,2)时，W (a) V 0,
故当 时,V(a)最大，且最大值为 字1 QQjr ・
a=l
□
2 5 8 3n-l
七、 【解】(l)^，^)=fT + fT + |? + …+(3：_1)!+…'
4 7 3n—2
乞+舌+肴+-+^^+…，
2 3 4 n
于是/ + "+夕=1+工+|? + |? +务+・・・+£? +・・・=才
2! 3! 4! n \
00 3n
(2)j/(h) =〉2 :寸，由⑴得;y(*r)满足『+》'+，= e",
”=。⑶)！yr，y' y — 0 的特征方程为 A2 + A +1=0,特征根为 A li2 = — 土 —i ,
则 y，f + y' + y = o 的通解为 y=e '(Gcos弓工 + Czsin弓z ),
又『+ _>' +夕=e"有特解y = '故y" +)' + y = e"的通解为
y —e $(Cicos書z + Czsin普工)+ ye" ‘
2
由夕(0)=1,『(O) =0,得 G=§, C2 =0,
故 S -舟的和函数为 yCx) = —e 2 cos —jc + — eJ .
” =o (3兀)！ 3 2 3
方法点评：本题考查幕级数的和函数.
求幕级数的和函数除采用逐项可积性和逐项可微性等方法外，还有一种方法需要引起
注意，就是找出幕级数的和函数满足的微分方程，通过求出微分方程的解求出幕级数的和
函数.
八、【证明】 因为fM 在［a ,6］上连续，所以/(^)在［a ,6］上取到最小值m和最大值M ,
因为 gQ) > 0,所以 mg (z) W/XJgQ) W Mg (z ),积分得
m g (j; )djr f(x )g (x )dj? M g(_z)clz ,
J a J a J a
/"(工)g(_Z )dz
rb
因为 I g(z)dr>0,所以加 W -----------W M ,
g(x)dj：
J a
I djc
由介值定理，存在W 6匕，刃，使得-----------,
g(H)dz
即 ［/(z )g (工)dz =/(£)［ g(«r)dz ・
J a J a
方法点评：本题考查闭区间上连续函数的性质.
证明有关闭区间上的连续函数的命题时，以下两种常用的思维需要注意：
(1) 设 m 在［a,6］上连续，若题中出现几个函数值相加时，一般采用介值定理.
【例】 设/(X)在［0,2］上连续，且/(0) + 2/(1)+3/(2)=6,证明：存在w e ［0,2］，使
得 /(^)= 1.
【证明】 因为/'(工)在［0,2］上连续，所以/(工)在［0,2］上取到最小值加和最大值M ,
由 6m 2时A+kE为正定矩阵.
I — 9 — 2 u 2 9
十一、【解】U的密度函数为/■(")=彳4
0, 其他.
(1)P{X = —1,Y = —1} = P{U w—1,U w 1} =P{U w— 1} == 3
4
J -2
P{X =-l,Y = l} =P{U ^-1,U > 1} 0,
-1} = P{U>-1,CJ<1} = P{- 1 -1,U>1} =P{U>1} = [2f(u)du ，
=4-
4
J i
于是(X,Y)的联合分布律为X
y
一 1 1
1 1
-1
T 7
1
1 ° 4
(2)令Z =X+Y，则Z的可能取值为一 2,0,2,
P{Z=_2}=P{X=_l,Y = _l}=t，
4
P{Z=0}=P{X= —1,Y = 1}+P{X=1,Y = —1*, }=
P{Z=2}=P{X=1,Y = 1}=2，
4
/— 2 0 2
z的分布律为z〜 2 丄 丄
T T 7
E(Z)=0, EQ) =4 X 2 + 4 X ±=2 ,
4 4
于是 D(X+Y) =D(Z) =E(Z2) - [E(Z)]2 =2.
十二、【解】 设X〜EQ)，因为E*=5(X, )= 所以X〜E(+),
[0, 工 V 0,
分布函数为Fx(h)= _x 由题意得y = min{X ,2}.
'1 一 e 5 ,工 N 0 ,
F(y) = P {Y y } = P{ min(X ,2) y } = 1 — P {min(X ,2) > y }
= \-P{X> y,2> y}P{2> y},
当》$2时，因为P {2~> y} =0,所以F(y)=l；
当 y )}=1,
(0, y<0,
所以 FCy)=l-P{X> y}^P{X ^y} = \ _z
'1 — e ", 0W_yV2,
[0, 》
