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2021年数学(三)真题解析
一、选择题
(1) 【答案】(C).
r^2 3 1 r~r2 3
【解】 由| (er — l)dr〜| Z3df = —jr8 (j; -* 0)得| (e‘ — l)d?为d的高阶无穷小,
4
J o Jo J o
应选(C).
(2) 【答案】(D).
eJ——1
【解】 因为lim/1 (工)=lim--------= 1 =/(0),所以/(^ )在z =0处连续；
由応空2二£02= 恤 ----- =［曲匚二［二工=Mm笃二得厂(0)=斗工0,
x->o x*o- 工一0 x*o- Lx Z L
jc jc jc
应选(D).
⑶【答案】(A).
【解】 因为f⑺ =g -61n工有两个零点，所以由罗尔定理，存在c E (0, +^),使得
/"'(c) = a------=0,从而 b = ac > 0.
c
令 f'Q)=a—X= 0 得工=2,
x a
因为/'"(•z)=£>0,所以工=色为函数/(J? ) =ax — 61n
jc
的最小值点，最小值为
a
jc
f(^=b-b\n y =6(1 - In y),
又 /(0 + 0)=+oo,/(+oo)=+oo,
所以/(jc ) =ax — 61n j?有两个零点等价于b (1 — In —) V 0,即® > e,应选(A).
\ a ' a
(4) 【答案】(C).
【解】/(j： + l,eJ) —x{x +1)2两边对工求导得
/i (j： + 1 ,ex ) + eT f 2 (x + 1 ,e')=(工 + l)2 -\~2x{x + 1),
取 z = 0 得 /；(1,1)+兀(1,1)=1；
f{jc ,jr2) — 2j;2ln x两边对z求导得
(jc ,x2 ) + f z (jc ,x2) = 4z In 工 + 2工，
取工=1 得九'(1,1) +2兀(1,1) = 2,
解得 /i( 1，1)= 0,形(1,1) =1,故 d/(l, 1) — dj/，应选(C).
(5) 【答案】(B).
【解】 将二次型展开得f(JC I，攵2“3)= 2 +2n +2工1工3 +2工2広3，
/° 1
其矩阵为A= 1 2 1 ,由
'1 1()/A 一 1 — 1 1 0 0
AE - A | = —1 A — 2 — 1 =(A +1) —1 A 一 2 — 2 =(入 +1)(入2 一3入)=0
-1 - 1 A —1 — 1 A — 1
得入1 = — 1,入2 = 0,入3 = 3,应选(E).
(6) 【答案】(D).
【解】 因为A=(a】 ,a2,a3,a4)为正交矩阵，所以a, ,a2,a3,a4两两正交且为单位向量,
因为a! ,a2 »«3线性无关，所以r(B) 3 < 4,
1卜0,得
由 B (a! + a2 + a.3) +a2 +a3为方程组BX=P的一个特解,
再由Ba, =0得g为BX=0的基础解系，
故方程组BX =p的通解为X = a! + a2 + a3 + 4，应选(D).
(7) 【答案】(C)
卜)不对
【解】(A)选项：2 1
1
0
(B)选项:2 -1 ,(B)不对
3 2
0 /I 0 -1 1 0 1
(C)选项:2 -1 0 1 -3 0 1 3
\一 3
2 0 0 0 0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
应选(C).
(8)【答案】(D).
【解】由P(A | B) =P(A)得 P(AB) =P(A)P(B),即事件 独立，
P(AB) P(A)P(B)
于是P(A | B) ==-------=——=P (A), (A)正确；
P(B) P(B)
由 P(A | B) > P(A)得 P(AB) > P(A)P(B),
rl - , -x P(A 巨)1-P(A)-F(B)+P(AB)
从而P(A | B)=———
1 -P(B)
P(B)
1-P(A)-P(B)+P(A)P(B) i Q—、 小、工询
>----------- ； ”，•&-----------------= 1 — P(A)=F(A),(E)正确；
1 - P(B)
由 P(A|B)>P(A!B)得需〉—P(AE)
，整理得 P(AB) >P(A)F(B),
1 -P(B)
则 P(A|B)=^2>^2£^2
= P(A),(C)正确，应选(D).
人」 1 P(B) P(B)(9)【答案】(B).
【解】由题知，X〜N ,Y〜N ，—
、 n
则 E(0) =E(X) —E(Y) =“1 2 =0
D@) =D(X - Y) = D(X) + D(Y) - 2Cov(X ,Y)
(y\ 2 r — _ —
=—+ ———[c°v(X] ,y)+ Cov(x2，y)4-------卜 Cov(xn ,y)]
n n n
(71 o\ 2 r
=」+ 丄一—[CovCXi ,Y]) + Cov(X2 ,Y2) -------F Cov(X„
n n n
2 2 D o
九 2 62 十I 恥2 ―ZQCg宀w/门、
=6--- --I1------------r • npa! a2 =------------------------，应选(匕).
n n n n
(10)【答案】(A).
【解】似然函数为
/ -i _ n \
3 (1+0)5
L(9) =P{X =1}P{X =3}・“P{X =2}= :
8 45
取对数 In L(0) = 31n( 1 — 3) — In 8 + 51n( 1 + 0) — 51n 4，
由 2】nL(0) 3 +' 拜53 =o得参数e的最大似然估计值为心右应选(A).
dC7 e — i
二、填空题
sin e 1
(ii)［答案】
2e
由学——sin 1 已一77sin尹 L sin e_1
【解】 e —*J~X • e— 得譽 】
djc 2 -fx 2 \J~x 2e
(12)【答案】 6.
工
'5 '3 5 X
【解】 ....... ..............djc ------....-djr + ______dx
站丿&2—9| 岳丿9_工 2 3 Jx2 — 9
'3 x 厂|3 =2, '5 5
而 -dx = Jx2 — 9 =4,
兵丿9 一 乂 2 3 JX 2 — 9 3
”5 X
故
(13) 【答案】手.
4
【解】所求体积为
V = K ( J~x sin tcjt )2 djr = tc | x sin2 nx dx = — | Zsin2^ dz
J 0 J 0 7T J 0
=—• sinSdt = £ • 2「sinLck =兰.
兀 2 J o 2 J o 4
(14) 【答案】C-hj(t2 ~t)(C为任意常数).
【解】 差分方程厶％=/即 %+1 — y t =t 今
因为a = —1,所以一阶齐次差分方程x+i — % =0的通解为yt =C(C为任意常数);令j^r+i — yt =t的特解为y* =at“ + bt，代入得
a (t + 1 )2 + b(t + 1) 一 at2 — bt = t,
则 2a = 1 ,a + b = 0 ,解得 a = * =----,
故差分方程的通解为y =c + *a
2 -n（c为任意常数）.
（15）【答案】 一5.
J? X 1 0 0 0 1 0
1 X 2 -3 1 — JC —x 2 — 3
【解】于（工）=
2 1 X -3 1 1 — x2 x 一 3
2 -1 1 x 一 4 3 —1 一 3C 1 X — 4
1 — JC —x 一 3 1 —x 0
1 1 _ X2 -3 = X2 1 _ x2 3x2 — 3
3 —1 一 X x — 4 4 +工 —1 一 X 4工+8
=(1 —j;2)(4jc + 8) + (1 + j7)(3j?2 — 3) +
工［/(4工 + 8)—(工 + 4) (3j:2 — 3)］,
整理得工3项的系数为一5.
(16)［答案】 g.
0
【解】(X,Y)的可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),
13 3
p{x=o,y = o}=—X —,
Z 0 10
12 1
P{x=o,y = i} =-X- = -,
12 1
P{X=l,y = 0}=—X —=—,
Zoo
1 Q 3
P{X^l,Y = l}^-X-=-,
;得…
*，e（x“*, d（x）=4；
由 X
2 2 '
I 0 1 \
由 Y 〜 丄 丄 得 E(Y) =y,E(Y2) = j,D(Y)
；|^(xy)=A,Cov(x,y)=E(xy)_£(x)E(y)=A
1 _ 1
T_20
'io io，
1
则 20
pXY
1 1
Tx7三、解答题
(17)【解】lim a arctan- 1 - ---p (1 + | x \ ) 1 J ' -ya + Iim(l—工)+ 7T 十I e -1 ,
x
•zf 0
] 1'
+ lim(l+^)^ =£a +
lim a arctan-----F (1+ | x |)" =尹 e,
r*0- + - x Z2
•Z-*•()+
i
因为lim a arctan -----F (1+ | x |)T 存在,
Hf 0 JC
7T 訴+「,故 q 6 1 _e
所以—ci + e =—
/ Z 7t
(18)【解】 函数,y)的定义域为D = {(z,y) | x HO},
-a -f =--2 - --j:- -— 1 — y2
=0, 丄
3x x JC § X = 一 1，
由』 得
3f y n y =0
=飞=° 9 =0.
3y JC
a2 f -A + -2x+3 + 3y2 D_ d2f _ -2y 32f 1
A -」
3jc 2 X
4
，~ djcdy _ 工3，U~dy2 工~2
x = _ ] 9
当 时,A =3 ,B = 0,C=l,
V =0
=一］
因为AC-B2 > 0且A >0,所以 _0 '为极小值点，极小值为/(-1,0) =2
y
"丄，
当 2 时,A =24： B = 0,C = 4,
V =0
因为AC-B2> 0且A>0,所以
"为极小值点，极小值为/(y,0)
=一21n 2 + —.
J =0
x = r cos 9，
(19)［解】令 0<^Cy,0=C^~^ =Cz"+i
由夕”⑴ 鼎刁得 C 看 E ］ T 故片⑺=我 3吕C n •
00 卄
云+1】
（U）对于级数工广丄■,、，由lim 1得收敛半径R =1,
当工=土 1时9级数工
（士 1）”+1
（
刍\=1，故收敛域为［一1，叮.
n（72 + 1） Z2（72 + 1 ）
n = l n = 1
x "+i
令 S （工） =Y ，则
肓"（"+ 1）
8 x 卄 "十1 °° 8 卄］ 00 n 00 n
（工）=工—~~ 1 =工
S /丄 -1 2 /丿 /丿 '
+ 1） n 铝 "I +1
” =1 „ = 1 ”=1 " ”=1 "
=（1 一 x ）ln（l — jr） + （— VI）,
1, •Z = 1,
故S （攵）=
（1 — x ）ln（l 一 x ） + 厂 -K 工V 1.
A — 2 -1 0
（21）［解】由 |AE-A|= -1 A — 2 0 =（廿一 4入+3）（入一小=0得
—1 一 a X-b
矩阵的特征值为A ! =1,入2 = 3,入3 =b.
情形一:b = 1
因为A相似于对角矩阵，所以r（E-A）=l,
-1 °\ r1 -1 °\
4 0
而 E —A = T -1 0 - a — 1 0 | ,故 a = 1,
J
' 0
1 —a o' 0
1 1 花十线性无关蹄征向量和
由E — A 0 0
0 0 Q'
1 1 一1 （］ 0 —
由 3E — A = — 11。 hl 0 1 -1 得入=3的特征向量为
1 - 1 2 丿 'o 0 /
0
1 -1 0 /I 0 °\
J
令卩=1 0 】 ，则 P ^AP = 0 1
J 'o 3/
' 0 1 0
情形—: b =3
因为A相似于对角矩阵，所以厂（3E —A） =1,
/ 1 -1 0 1 -1 ［故
而 3E - A = _ 1 1 0 0 —a 一 1 a = — 1.
1 一 a 0 0 0/ ■ -1 _ 1 0 \ I1 1 J得"】的待征向量为
由 E _ A =--1 -1 0 亠° 1
\_ —2丿 'o
-1 1 0
卩
-1 0
由 3E — A — 0 0 0 得 入=3 E勺纟
'0 0 0
1 /! 0 0
令 1 0 ,则 P lAP = ° 3 0
' 1 1' 'o
0 0 3
（22）【解】（I）X的密度函数为
0 Vh V 1,
其他.
(U)由丫 = 2 — X 得乙=——
故 Fz(z)=P{Z£z}=P 恃，
当 z < 1 时,Fz(z) =0；
吕
= ^
当z 上1 时,Fz(z)=P(X U ld^ =1——
I Z + 1) J 缶 Z + 1 z + 1
[0, z < 1,
即 Fz (?) =( z — 1
trr z>1,
[0, z < 1,
故Z的密度函数为fz(z) =< 2 、
： 土山
（ni）E（9=E（M）= ］ =21n2 —1.
