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2021年数学（二）真题解析
一、选择题
（1） 【答案】（C）.
【解】 由| （e‘ — l）d? t3 dt =—j;8 （j： 0）得| （e‘ — l）d?为才的高阶无穷小,
〜|
J o J o 4 J o
应选（C）.
（2） 【答案】（D）.
eJ — 1
【解】 因为lim/（j?） = lim--------= 1 = /（0）,所以在工=0处连续；
JC
j*0-- x*O-
e’ 1
一
因为 lin/S—4°)=lim 工 i ・ e" — 1 x e" — 1 1 ZH
一
-=lim--------2------= hm —z------= — 4#
x x X Lx Z
X*O- j*0r- X*O- X*O-
”（。）=*工 0,应选（D）.
（3）【答案】（C）.
【解】 设圆柱体的底面半径为r（t）,高为h⑺，且字=2,学=—3,
At （\t
圆柱体的体积为V（t）=兀厂2/1,表面积为SCt） = 2兀厂2 + 2nr • h ,
mi dV n dr 2 dA dS dr dr dh
贝1J = Litrh •----jcr • — , — = 4兀厂• -—\- Z7t/i -—卜 2jcr —,
d/ d/ At At dz dz dz
代人 r =10,/z = 5,— = 2,— = —3 得，丁 = — 100k，— =40兀，应选（C）.
d/ dt At dr
⑷【答案】（A）.
【解】 因为f（.X ~） = ax — b\n x有两个零点，所以由罗尔定理，存在c C （0,+产），使得
y'（c） = a — = 0 ,从而 b =ac > 0.
一
c
b b
a 得
x =0 a
因为f" d = l> 0 ,所以x =—为函数f (x) =ax — bin j：的极小值点，极小值为
x a
/仔)s—bln”b(l —1<),
又 /X0 + 0)=+OO9/X+OO)=+OO9
所以) =ax — b\n X有两个零点等价于b (1 — In —) < 0,即仝> e,应选(A).
\ a ' a
⑸【答案】(D).
【解】f'Qx} = sec x tan x ,/z (0) = 0,
厂(工)=sec2 j? tan x + sec3 j? ,/^(0) = 1,
则 a =/z(0) =0,6 = =£■，应选(D).
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淘宝店铺：光速考研工作室(6) 【答案】(C).
【解】+ 1 ) =x Cx + l)2两边对z求导得
+ 1 ,e" ) + ex ff2(.x + 1 ,*e ) = (z + 1 )2 -\-2x{x + 1)»
取工=0,得兀(i,i)+y‘2(i,i)=1；
/(a: ,j:2) =2j：2ln x两边对工求导得
2 ) + 2工 f 2’(工，攵 $)= 4工 In 工 + 2工，
取工=1,得 托(1,1) +2兀(1,1) =2,
解得兀(1,1) =0,兀(1,1) =1,故 d/(l,l) =dy ,应选(C).
(7) 【答案】(E).
应选（E）.
（8）【答案】（B）.
【解】 由题可得 ,攵 ，乞 云+ 乂 工 工 工 孔工
/'（•Z 1 2 3）=2 2 1 2 + 2 1 3 +2 3，
I0 1
令A = 1 2
4
1
A - 1 - 1 1 0 0
由 |AE-A 1 = -1 A - 2 - 1 =(A +1) -1 A - 2 - 2 =(A +1)(A2 —3A ) =0,
-1 - 1 A -1 - 1 A - 1
得入1 = 一 1,入2 =0,入3 = 3,应选(E).
(9)【答案】(D).
【解】 令佝=k nPx +珞 '。 =怡 十& 怡 爲 怡 爲 ，
+&1202 303 2 2101 2202 + 2303 3 = 101 + 3202 + 303
[b ii b 2i b 31 \
即 A = (01 .02 ,03)”12
k 22 b 32 =(卩•卩2』3)K =BK,AT =Kt = KB,
l】
3 b 23 b 33 '
若 B X0 =0,从而 AtX0 =KtBX0 =0,
即B X =0的解均为"X =0的解，应选（D）.
（10）【答案】（C）.
1 0 °\
【解】 2 -1 0 ,(A)不对
'
q
-1 2
1 0 0
2 -1 1 ,（B）不对；
-3 2 0 0 '
1 0
2 -1
—3 2
应选（C）.
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淘宝店铺：光速考研工作室（11）【答案】丽.
【解】
o In 3
2
(12) 【答案】 §・
【解】兽=船¥=普¥=血，
dj? djc / ck 2e + 1
dj_ d(2/)/dt_ 2 d2y I =A
dx2 dr / dt 2e + 1 dx2 I <=o 3
(13) 【答案】1.
【解】当je =0,y =2时，z=l,
(j? +1)2+3/In z — arctan 2jcy = 1 两边对 x 求偏导得
将工=0,j/ =2,z =1代入得亍
7T 2
(14)【答案】 -cos-.
【解】改变积分次序得
j/cos------丿 cos y
y
COS —・
7T
方法点评：直角坐标法计算二重积分时，若累次积分中表达式为如下形式时需要改变
积分次序：
⑴工叫2吐；
(2)e‘ da?；
（⑸【答案】夕+』缺仁遇弓+ Cssin弓）（C-Cz’Cs为任意常数）.
1 /T
【解】 微分方程的特征方程为入3 — 1=0,特征根为小=ia2,3=-f + yi，
则方程的通解为y=C{e +』柴（C2cosy + Cssin弓）（C,,C2,C3为任意常数）.
• 189 •
淘宝店铺：光速考研工作室(16)［答案】 一5.
X X i 0 0 0 1 0
1 X 2 一 3 1 一 X 一 x 2 -3
【解】/"(工)=
2 1 X -3 1 1 一 x2 X -3
2 -1 1 x 一 4 3 —1 — X 1 x 一 4
1 — X -3 1 0
1 1 一 x2 一 3 X 2 1 _ x2 3工2 — 3
3 一 1 一 x jc 一 4 4 +工 一 1 — X 4工+ 8
=(1 —工2)(4 工 +8) + (1 + 工)(3工 2 — 3) +
x [_x2 (4jc +8) 一(工 + 4) (3jc 2 — 3)〕9
整理得工3项的系数为一5.
三、解答题
(17)【解】方法一
H .2 ,
1 + e ck (1+ e dt sin x — e" + 1
lim o 1 =lim------- 0
sin x (e° — l)sin x
Hf 0 x*0-
工，2 ,
(1 + e dt sin x 一 + 1
=lim------- 0
X
T*0- 2
工 2 . 工
e dt • sin x — e" + 1 + z
sin x 一 © + o
lim
X X
x-*0 2 2
工 e 2 dt • si. n x 一 z + 1 + jc
o
lim
X
2
工,2
e dz
sin jc o i・ e 工 — [1 — x
=lim -------------lim
X 3C 2
x*0- L 0
= lime，— lim 匚=1 —寺 丄
I
x*0- Hf 0 厶 JC Ci
方法二
e/2 dt \ et2dt
1 +
1 1 1
lim 0 =lim
x~^0 ex - 1 sin x x*0- sin x
z 2
e dt 2
由lim 0 lim = 19
h—o — 1
J?-*o
1 1 sin jc 一 + 1
lim =lim
x->0
ex — 1 sin x
X—0
(eJ — l)sin x
sin jc 一 e° + 1 1 v cos x 一 eJ
lim =Tlin?
-----------------J-Q-- -2----------------- Li x
•r f 0 H f 0
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淘宝店铺：光速考研工作室£lim(— sin x — er ) =----得1
Z
工*-
o 22
1 + e,2dt
lim 0 1 = 1_I = T
j-—o eJ - 1 sm x
方法三
由泰勒公式得/2 =1+ 厂 + O （厂）9
3
z z2
从而 e dt =x + --。（工 3）9 于是有
0
3
1 + 工 M .2 dt 1 + X-------o (工3 )
lim 0 1 =lim 1 lim 1 + JC 1
j- -»o sin x _Zf 0 sin x •rf 0 ex 一 1 sin x
+釧土 1 i sin e — e° + 1
lim =1 + lim ——----------:-----
J*O-
■0
sin x
工一
0 (er
一
1) sin x
sin j; — e +1 1 ... cos X
1 + lim --------------2-----------= 1 十 lim
X
x*0- ±*0~
sin x eJ 1
一 一
1 + lim
工―0 2
（18）【解】 函数y（x ）的定义域为（一°°9 — 1） U (― 1, +*),
乂 2
•z V 0 且 jc 工一 19
—1十J
X 2
z $ 0.
1 +工’
2
当工＜ 0且工工一1时，/■'（.）
（1+" (1+"
•z2 + 2z 2
当工〉0时，/■'&）
（1 +工）2 " （1 +"，
、"—
当 z w （-00,-1）时/"（_z） 0；当工 6 （-1,0）时,/〃 （工）VO；当工 6 （0, +* ）时,
〉
/"（工）＞ 0,
故（—*, — 1）及（0, 8）为曲线的凹区间，（一1,0）为曲线的凸区间.
十
因为lim f （工）=°°,所以x = — 1为曲线的铅直渐近线；
•Z f—1
由 lim ）= 一 1, lim [/（x ） +无]= lim （ JC2 + X T 1 得;y = 1
工 ~8 工 ~OO 工 _OO ' 1+工 —工 +
为曲线的一条斜渐近线；
由 lim - f - - （ - 无 --- ） = 1, lim [/（jc ） — ] = lim 1 x + 2 工r =lim 1得夕=力—1
J. -►-j-OO JQ 工_＞+8 工—+8 工_>+oo 1十工
为曲线的另一条斜渐近线.
q^d_Z =扛2 —工+C两边对工求导得42=宁—1,
（19）【解】
6 T 3
，/
从而/(jr ) = +工 3
7
• 191 •
淘宝店铺：光速考研工作室6 6
(20)【解】(I)由 xyr — 63/ = — 6 得3/------y =------，解得
x JC
夕=『(—|)eHdJ dx 十 C〔 J® =E + 1,
由 J/(V3 ) =10 得 C =y ,故夕=+工& + 1.
(n)设P (a- ,y)为曲线y = 6 + 1上的一点，则法线方程为
取X =0得法线在y轴上的截距为Ip
=0得工=1(工=一 1舍去)9
当0V" VI时，轨＜0,当工＞1时，扫P ＞0,
故IP在工=1时有极小值，此时P点的坐标为(*)1, , ] P =石・
[x = rcos 9 , / 兀 一 ,------\ „.
(21)【解】令 o W0 w 〒,0 w Y Mcos 20 ,则
\y = rsin 0 ' 4
Vcos 20
do 厂3sin 0cos 9dr
0
1 f y f J cos 2E 1 C y
=— sin 20I r3dr = — sin 20cos22(9d(9
2 J 0 Jo o J 0
「” 1 1 1
-a I
=------4 cos22(9d(cos 26) = — — • —cos3 2^ ——.
16J o 16 3 I o 48
(22)【解】
A — 2 — 1 0
由 |AE-A |= - 1 A -2 0 -(A2 -4A +3)(A -6) = 0 得
—1 一 a -b
特征值 A j = 1 ,A 2 = 3 ,A 3 =b.
情形一 = 1
因为A相似于对角矩阵，所以r(E-A)=l,
• 192 •
淘宝店铺：光速考研工作室-1 °\ r1 -1 0\
0卜
而 E - A = - 1 —1 -0 a 一 1 0 ，故 a = 1.
J ' 0 0丿
1 一 a 0
由…F: oj得入=1的线性无关的特征向量为aj 1 j ,a2
'o 0 o' ' 0 '
/ 1 -1 0\ (1 0
1 0卜I -1］得入=3的特征向量为a3 = 11
由 3E - A = T 0 1
-12丿 0 ' '1
1 0
0 1\ I1 0 0\
令卩=1 0 1 ,贝U P~ AP =0 1 0 .
' 0 I1 'o 0 3/
1
情形二"=3
因为A相似于对角矩阵，所以r(3E-A)=l,
-1 - 1 0\ I1 -1 °\
而 3E - A -1 1 0 -A O 一 a 一 1 0，故 a ==-l
1 —a o' 0 o'
由…口 -1 0 \ /I 0
-1 0—01
1 一2‘ 'o 0
1 0 '
oj得入=3的线性无关的特征向量为a2 =
，a3
= |o
'o 0 o' '1
1 °\ I1 0 0
令卩=1 1 ，则 P~ AP = 0 3 0
' 1 J 'o
0 0 3
• 193 ・
淘宝店铺：光速考研工作室
