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绝密★启用前
2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．已知集合A={-1,0,1,2}，B={x x2 £1}，则A
I
B=
A．
-1,0,1
B．
0,1
C．
-1,1
D．
0,1,2
2．若z(1+i)=2i，则z=
A．-1-i B．-1+i C．1-i D．1+i
3．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是
1 1 1 1
A． B． C． D．
6 4 3 2
4．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古
典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其
中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位
，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的
学生人数与该校学生总数比值的估计值为
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
5．函数 f(x)=2sinx-sin2x在[0，2π]的零点个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
6．已知各项均为正数的等比数列{a }的前4项和为15，且a =3a +4a ，则a =
n 5 3 1 3
A． 16 B． 8 C．4 D． 2
7．已知曲线y =aex +xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则
A．a=e，b=-1 B．a=e，b=1 C．a=e-1，b=1 D．a=e-1，
b=-1
8．如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线
段ED的中点，则
第1页 | 共6页A．BM=EN，且直线BM、EN 是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN 是相交直线
C．BM=EN，且直线BM、EN 是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN 是异面直线
9．执行下边的程序框图，如果输入的e为0.01，则输出s的值等于
1 1 1 1
A.2- B. 2- C. 2- D. 2-
24 25 26 27
x2 y2
10．已知F是双曲线C： - =1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若
4 5
OP = OF ，则△OPF 的面积为
3 5 7 9
A． B． C． D．
2 2 2 2
ìx+ y…6,
11．记不等式组í 表示的平面区域为D.命题 p:$(x,y)ÎD,2x+ y…9；命题
î2x- y³0
q:"(x,y)ÎD,2x+ y„ 12.下面给出了四个命题
① pÚq ②ØpÚq ③ pÙØq ④ØpÙØq
第2页 | 共6页这四个命题中，所有真命题的编号是
A．①③ B．①② C．②③
D．③④
12．设 f x是定义域为R的偶函数，且在0,+¥单调递减，则
3 2
1 - -
A． f （log ）＞ f （2 2）＞ f （2 3）
3
4
2 3
1 - -
B． f （log ）＞ f （2 3）＞ f （2 2）
3
4
3 2
- - 1
C． f （2 2）＞ f （2 3）＞ f （log ）
3
4
2 3
- - 1
D． f （2 3）＞ f （2 2）＞ f （log ）
3
4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量a =(2,2),b=(-8,6)，则cos=___________.
14．记S 为等差数列{a }的前n项和，若a =5,a =13，则S =___________.
n n 3 7 10
x2 y2
15．设F，F 为椭圆C: + =1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若△MFF
1 2 36 20 1 2
为等腰三角形，则M的坐标为___________.
16．学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体
ABCD-ABC D 挖去四棱锥O-
1 1 1 1
−EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点
，AB=BC=6cm, AA =4cm，3D打印所用原料密度为0.9
1
g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.
第3页 | 共6页三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成
A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只
小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同。经过一段时间后用某种科学方法测算出残
留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计
值为0.70.
（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值
为代表）.
18．（12分）
A+C
△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知asin =bsinA．
2
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．
19．（12分）
图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF
=2，∠FBC=60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.
（1）证明图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
（2）求图2中的四边形ACGD的面积.
第4页 | 共6页20．（12分）
已知函数 f(x)=2x3-ax2 +2.
（1）讨论 f(x)的单调性；
（2）当0
