专题01与三角形有关的线段重难点专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2021·西藏日喀则市·八年级期末）已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角
形第三边的长可能是（ ）
A．1 B．2 C．8 D．11
【答案】C
【详解】
【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可确定出第三边的范
围，据此根据选项即可判断.
【详解】设第三边长为x，则有
7-3<x<7+3，
即4<x<10，
观察只有C选项符合，
故选C.
【点睛】本题考查了三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边之间的关系是解题的关
键.
2．（2021·陕西宝鸡市·八年级期末）在三角形ABC中，AB=7，BC=2，并且AC的长
为奇数，则AC=( )
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【解析】
分析：根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出AC的
取值范围，再根据AC是奇数解答即可．
详解：∵AB=7，BC=2，
∴7+2=9，7-2=5，
∴5＜AC＜9，
∵AC为奇数，
∴AC=7．
故选C．
点睛：本题主要考查了三角形的三边关系，熟记关系式求出AC的取值范围是解题的
关键．3．（2021·湖南八年级期末）如图，AD是△ABC的中线，△ABD比△ACD的周长大
6 cm，则AB与AC的差为( )
A．2 cm B．3 cm C．6 cm D．12 cm
【答案】C
【分析】
根据三角形的周长和中线的定义进行解题．
【详解】
∵AD是△ABC的中线，∴BD=BC.
∴△ABD比△ACD的周长大6cm，即AB与AC的差值为6cm．
故选C．
【点睛】
本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握三角形是本题解题的关键．
4．（2021·河北八年级期末）若实数m、n满足等式|m﹣2|+ =0，且m、n恰好是
等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是( )
A．6 B．8 C．8或10 D．10
【答案】D
【分析】
由已知等式，结合非负数的性质求m、n的值，再根据m、n分别作为等腰三角形的腰，
分类求解．
【详解】
解：∵|m-2|+ =0，
∴m-2=0，n-4=0，
解得m=2，n=4，
当m=2作腰时，三边为2，2，4，不符合三边关系定理；
当n=4作腰时，三边为2，4，4，符合三边关系定理，周长为：2+4+4=10．
故选D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质．关键是根据非负数的性质求m、n的值，
再根据m或n作为腰，分类求解．5．（2021·武汉市武珞路中学八年级期中）已知三角形的两边分别为5和8，则此三角
形的第三边可能是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．13
【答案】C
【分析】
先根据三角形的三边关系求出x的取值范围，再求出符合条件的x的值即可．
【详解】
此三角形第三边的长为x，则
8-5＜x＜8+5，即3＜x＜13，
只有选项C符合题意．
故选C．
【点睛】
本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第
三边．
6．（2021·河北八年级期末）如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为C，D，
E，则下列说法不正确的是( )
A．AC是△ABC的高 B．DE是△BCD的高
C．DE是△ABE的高 D．AD是△ACD的高
【答案】C
【分析】
根据三角形高的定义分别进行判断.
【详解】
解:△ABC中，AC⊥BC,则AC是BC边上的高，所以A正确;
△BCD中，DE⊥BC，则DE是BC边上的高，所以B正确;
△ABE中，DE不是△ABE的高，所以C错误;△ACD中，CD⊥AB，则AD是CD边上
的高，所以D正确.故答案为:C.
【点睛】
本题考查了三角形的角平分线、中线和高，三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与
顶点之间的线段叫做三角形的高;三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，
则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线.
7．（2021·山东滨州市·八年级期末）三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，
图中小椭圆圈里的A表示（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】D
【分析】
根据三角形的分类可直接得到答案．
【详解】
三角形根据边分类 ，
∴图中小椭圆圈里的A表示等边三角形．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握分类方法．按边的相等关系分类：不等边
三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三
角形）．
8．（2021·浙江八年级期末）已知三角形的三边长分别为2、x、10，若x为正整数，
则这样的三角形个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
先根据三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边求出x的取值范围,然
后根据若x为正整数,即可选择答案.
【详解】
,
,
若x为正整数,的可能取值是9,10,11三个,故这样的三角形共有3个.
所以C选项是正确的.
【点睛】
本题主要考查了三角形的三边关系:三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边;牢
记三角形的三边关系定理是解答的关键,注意本题的隐含条件就是x为正整数.
9．（2021·湖南八年级期末）三角形的下列线段中将三角形的面积分成相等两部分的
是( )
A．中线 B．角平分线
C．高 D．以上都对
【答案】A
【分析】
根据等底等高的三角形的面积相等解答．
【详解】
∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，
∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分．
故选A．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，主要利用了“三角形的中线把三角形分成两个等底同高的
三角形”的知识，本知识点是中学阶段解三角形的面积经常使用，一定要熟练掌握并
灵活应用．
10．（2021·河南八年级期末）下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cm C．3cm，4cm，5cm D．4cm，5cm，
6cm
【答案】B
【分析】
看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．
【详解】
A． ，能构成三角形，不合题意；
B． ，不能构成三角形，符合题意；
C． ，能构成三角形，不合题意；
D． ，能构成三角形，不合题意．故选B．
【点睛】
此题考查了三角形三边关系，解题关键在于看较小的两个数的和能否大于第三个数．
11．（2021·湖南娄底市·八年级期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是(
)
A．2、2、4 B．2、6、3 C．8、6、3 D．11、4、6
【答案】C
【分析】
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进
行分析．
【详解】
根据三角形的三边关系，知
A、2+2=4，不能组成三角形；
B、3+2=5＜6，不能组成三角形；
C、3+6＞8，能够组成三角形；
D、4+6＜11，不能组成三角形．
故选C．
【点睛】
此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的
和是否大于第三个数．
12．（2021·邯郸市第十一中学八年级期末）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要
在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行直线，
桥要与河岸垂直）（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】
过A作河岸的垂线AH，在直线AH上取点I，使AI等于河宽，连接BI即可得出N，
作出MN⊥a即可得到M，连接AM即可．
【详解】
解：根据河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直可知，只要AM＋BN最短就符合题意，
即过A作河岸a的垂线AH，垂足为H，在直线AH上取点I，使AI等于河宽．连结IB
交河岸b于N，作MN垂直于河岸交河岸a于M点，连接AM．
故选D．
【点睛】
本题考查了最短路线问题以及三角形三边关系定理的应用，关键是找出M、N的位置．
13．（2021·河南八年级期末）如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，
那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．都有可能
【答案】C
【分析】
根据三角形的三条高线与三角形的位置关系即可直接得出结论．
【详解】
解：锐角三角形的三条高的交点在三角形内部(如图1)，钝角三角形的三条高所在直线
的交点在三角形外部(如图2)，直角三角形的三条高的交点在三角形的直角顶点上(如
图3).故选C.
【点睛】
本题主要考查了三角形的三条高线的交点问题，掌握三角形的三条高线交点的特征是
解题的关键.
14．（2021·重庆市两江中学校八年级月考）现有两根长度为3 和8 的木条，想
制作一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，应该选择长度为（ ）的木条.
A．11 B．10 C．5 D．3
【答案】B
【分析】
设木条的长度为xcm，再由三角形的三边关系即可得出结论．
【详解】
解：设木条的长度为xcm，则8-3＜x＜8+3，即5＜x＜11，
故她应该选择长度为10cm的木条．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之
差小于第三边是解答此题的关键．
15．（2021·山东八年级期末）下列各组数中，不能成为三角形三条边长的数是
（ ）
A．5，10，12 B．3，14，13 C．4，12，12 D．2，6，8
【答案】D
【分析】
根据三角形三边关系判断即可．
【详解】
解：A、因为5+10＞12，所以本组数可以构成三角形．故本选项不符合题意；
B、因为3+13＞14，所以本组数能构成三角形．故本选项不符合题意；
C、因为4+12＞12，所以本组数能构成三角形．故本选项不符合题意；D、因为2+6=8，所以本组数不能构成三角形．故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，只要满足两短边
的和大于最长的边，就可以构成三角形．
16．（2021·湖北八年级期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．2cm，5cm，8cm B．3cm，3cm，6cm
C．25cm，24cm，7cm D．1cm，2cm，3cm
【答案】C
【分析】
根据三角形任意两边之和大于第三边进行分析即可．
【详解】
A、2+5＜8，不能组成三角形；
B、3+3=6，不能组成三角形；
C、7+24＞25，能够组成三角形；
D、1+2=3，不能组成三角形．
故选：C．
【点睛】
此题考查三角形三边关系．解题关键在于掌握用两条较短的线段相加，如果大于最长
哪条就能够组成三角形．
17．（2021·北京延庆区·八年级期末）如图，用三角板作 的边 上的高线，
下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】B
【分析】
从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据高线的定义即可得出结论．
【详解】
解：A．作出的是△ABC中BC边上的高线，故本选项错误；
B．作出的是△ABC中AB边上的高线，故本选项正确；
C．不能作出△ABC中AB边上的高线，故本选项错误；
D．作出的是△ABC中AC边上的高线，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查的是作图-基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
18．（2021·山东临沂市·）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个
三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】
利用三角形的三边关系列举出所围成三角形的不同情况，通过比较得到结论.
【详解】
①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；
②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；
③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；
④长度分别为6、3、3，不能构成三角形；
综上所述，得到三角形的最长边长为5．
故选：B.
【点睛】
此题考查构成三角形的条件，三角形的三边关系，解题中运用不同情形进行讨论的方
法，注意避免遗漏构成的情况.
19．（2020·四川七年级期末）如图，在 中， ， 是高， 是
中线， 是角平分线， 交 于 ，交 于 ，下列说法正确的是（ ）
① ② ③ ④
A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③④【答案】C
【分析】
①根据 ， 是高，可得 ,
,又因为 是角平分线，可得 ，故能得到
∠AEG=∠DGB，再根据对顶角相等，即可求证该说法正确；
②因为 是中线， 是角平分线，得不到∠HCB=∠HBC，故该说法错误；
③ , ,可得∠EAG=∠DBA，因为
∠DBA=2∠EBC，故能得到该说法正确；
④根据中线平分面积，可得该说法正确．
【详解】
解：①∵ ， 是高
∴ ,
∵ 是角平分线
∴
∴∠AEG=∠DGB
∵∠DGB=∠AGE
∴ ，故该说法正确；
②因为 是中线， 是角平分线，得不到∠HCB=∠HBC，故该说法错误；
③∵ ,
∴∠EAG=∠DBA
∵∠DBA=2∠EBC，
∴∠EAG=2∠EBC，故该说法正确；
④根据中线平分面积，可得 ，故该说法正确．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了三角形的高，中线，角平分线的性质，熟练各线的特点和性质是解决
本题的关键．
20．（2021·河北八年级期末）如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S ＝4cm2，则S 等于…（ ）
△ABC 阴影
A．2cm2 B．1cm2 C． cm2 D． cm2
【答案】B
【分析】
根据三角形的中线将三角形面积平分这一结论解答即可．
【详解】
∵在△ABC中，点D是BC的中点，
∴ =2cm2，
∵在△ABD和△ACD中，点E是AD的中点，
∴ =1 cm2， =1 cm2，
∴ =2 cm2，
∵在△BEC中，点F是CE的中点，
∴ =1 cm2，即S =1 cm2
阴影
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形的中线与三角形面积的关系，熟知三角形的中线将三角形面积平分这
一结论是解答的关键．
21．（2020·重庆八年级月考）在△ABC中，AB=10，BC=12，BC边上的中线AD=8，
则△ABC边AB上的高为（ ）
A．8 B．9.6 C．10 D．12
【答案】B
【分析】
如图，作 与E,利用勾股定理的逆定理证明 ,再利用面积法求出EC
即可.【详解】
如图，作 与E.
是 的中线,BC=12,
BD=6,
,
故选B.
【点睛】
本题主要考查勾股定理的逆定理,三角形的面积等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,
学会面积法求三角形的高.
22．（2021·湖北八年级期末）若a，b，c为△ABC的三边长，且满足|a﹣5|+(b﹣
3)2=0，则c的值可以为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】
根据非负数的性质列方程求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，
三角形的任意两边之差小于第三边求出c的取值范围，然后解答即可．
【详解】
解：∵|a﹣5|+(b﹣3)2=0，
∴a﹣5=0，b﹣3=0，解得a=5，b=3，
∵5﹣3=2，5+3=8，
∴2＜c＜8，
∴c的值可以为7．
故选：A．
【点睛】
本题考查了非负数的性质以及三角形的三边关系．注意：几个非负数的和为0时，这
几个非负数都为0．
23．（2021·湖北八年级期末）下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，5cm B．5cm，6cm，11cm
C．3cm，4cm，8cm D．5cm，6cm，10cm
【答案】D
【分析】
看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．
【详解】
解：A、2+3=5，不能构成三角形；
B、5+6=11，不能构成三角形；
C、3+4＜8，不能构成三角形；
D、5+6＞10，能构成三角形．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．判断是否可以构成三角形，只要判断两
个较小的数的和大于最大的数就可以．
24．（2021·浙江八年级期末）已知三角形的一边长为 ，则它的另两边长分别可以是
（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】D
【分析】
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”进行判
断即可．
【详解】
A、∵4＋4＝8，∴构不成三角形；B、29−17＝12＞8，∴构不成三角形；
C、∵12−3＝9＞8，∴构不成三角形；
D、9−2＝7＜8，9＋2＝11＞8，∴能够构成三角形，
故选：D．
【点睛】
此题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，
任意两边之差小于三边”是解题的关键．
25．（2021·湖北八年级期末）下面四个图形中，线段 是 的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据三角形高的定义进行判断．
【详解】
解：线段AD是△ABC的高，则过点A作对边BC的垂线，则垂线段AD为△ABC的
高．
选项A、B、C错误，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的高：三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶
点与垂足之间的线段．
26．（2021·广州市番禺区新英才中英文学校八年级期末）下列各组数中，不可能成为
一个三角形三边长的是（ ）
A．2，3，4 B．5，7，7 C．5，6，12 D．6，8，10
【答案】C
【分析】
判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【详解】
A．∵2＋3>4，∴能组成三角形，故A错误；
B．∵5＋7＞7，∴不能组成三角形，故B错误；
C．∵5＋6＜12，∴不能组成三角形，故C正确；
D．∵6＋8>10，∴能组成三角形，故D错误；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，
三角形的两边差小于第三边．
27．（2021·全国八年级） 是 的高， ， ，则
的度数为( )
A． B． C． D． 或
【答案】D
【分析】
分高AD在△ABC内部和外部两种情况讨论求解即可．
【详解】
①如图1，当高AD在△ABC的内部时，
∠BAC=∠BAD+∠CAD=80°+20°=100°；
②如图2，当高AD在△ABC的外部时，
∠BAC=∠BAD-∠CAD=80°-20°=60°，
综上所述，∠BAC的度数为100°或60°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的高线，难点在于要分情况讨论．
28．（2021·全国）如图所示， 为 的中线， 于点 ，于点 ， ，则 等于
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由 为中线得到 ，根据 于点 ， 于点 ，
列得 ，分别代入计算即可.
【详解】
解： 在 中， 为中线，
∴ ，
于 ， 于 ， ， ，
∴ ，
∴
解得 ，
故选：B.
【点睛】
此题考查三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分为两个面积相等的三角形.
29．（2021·全国八年级）如图，已知 于点 ， 于点 ，
于点 ，则 中 边上的高是( )A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
从三角形的一个顶点向它的对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．根据
此概念求解即可．
【详解】
A、CF⊥AB，∴线段CF是△ABC中AB边上的高，此选项不符合题意；
B、BE⊥AC，∴线段BE是△ABC中AC边上的高，此选项不符合题意；
C、CD不是△ABC的高，此选项不符合题意；
D、AD⊥BC，∴线段AD是△ABC中BC边上的高，此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了三角形的高．准确识图并熟记三角形高的定义是解题的关键．
30．（2021·全国八年级）以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】B
【分析】
根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可．
【详解】
A、 ，不能组成三角形，故本选项错误；
B、 ，能组成三角形，故本选项正确；C、 ，不能组成三角形，故本选项错误；
D、 ，不能组成三角形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】
本题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段
能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第
三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
31．（2021·全国）下列长度的三根小木棒不能构成三角形的是（ ）
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
【答案】D
【分析】
根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【详解】
解： ， ，能构成三角形； ， ，能构成三角形； ， ，
能构成三角形；
， ，不能构成三角形．
故选 ．
【点睛】
本题考查了能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长
的那条就能够组成三角形．
32．（2021·新疆喀什地区·八年级期末）已知三角形两边的长分别是3和5，则此三角
形第三边的长不可能是（ ）．
A．3 B．5 C．7 D．11
【答案】D
【分析】
根据三角形的三边关系解答．
【详解】
设三角形的第三边为x，则5-3<x<5+3，
2<x<8，
故选：D．
【点睛】
此题考查三角形三边关系：三角形任意两边的和都大于第三边，熟记关系是解题的关键．
33．（2021·天津红桥区·八年级期末）以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是
（ ）
A．2cm，3cm，6cm B．3cm，4cm，8cm
C．5cm，6cm，10cm D．5cm，6cm，11cm
【答案】C
【分析】
根据三角形三边关系解答．
【详解】
A、∵2+3<6，∴以此三条线段不能组成三角形；
B、3+4<8，∴以此三条线段不能组成三角形；
C、∵5+6>10，∴以此三条线段能组成三角形；
D、∵5+6=11，∴以此三条线段不能组成三角形；
故选：C．
【点睛】
此题考查三角形的三边关系：三角形两边的和大于第三边．
34．（2021·云南八年级期末）下列四个图形中，线段BE表示△ABC的高的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的
高，再结合图形进行判断．
【详解】
解：线段BE是△ABC的高的图是选项C．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶
点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．
35．（2021·云南保山市·八年级期末）已知三角形的两边长分别为1和4，则第三边长
可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】
根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取
值范围．
【详解】
解：根据三角形的三边关系，设第三边的长为x，
∵三角形两边的长分别是1和4，
∴4-1＜x＜4+1，即3＜x＜5．
故选：B．
【点睛】
此题考查了三角形的三边关系，关键是正确确定第三边的取值范围．
36．（2021·山东滨州市·八年级期末）若一个三角形的三边长分别为3，7，x，则x的
值可能是（ ）
A．6 B．3 C．2 D．11
【答案】A
【分析】
根据三角形的三边关系列出不等式，即可求出x的取值范围，得到答案．
【详解】
解：∵三角形的三边长分别为3，7，x，
∴7-3＜x＜7+3，
即4＜x＜10，
四个选项中，A中，4＜6＜10，符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于
第三边．
37．（2021·江苏八年级期末）已知实数x、y满足|x－4|+ ＝0，则以x、y的值
为两边长的等腰三角形周长是（ ）A．20或16 B．20 C．16 D．18
【答案】B
【分析】
根据绝对值与二次根式的非负性即可求出x与y的值．由于没有说明x与y是腰长还是
底边长，故需要分类讨论．
【详解】
由题意可知：x-4=0，y-8=0，
∴x=4，y=8，
当腰长为4，底边长为8时，
∵4+4=8，
∴不能围成三角形，
当腰长为8，底边长为4时，
∵4+8＞8，
∴能围成三角形，
∴周长为：8+8+4=20，
故选：B．
【点睛】
本题考查了算术平方根，以及三角形三边关系，解题的关键是正确理解非负性的意义，
以及三角形三边关系，本题属于基础题型．
38．（2021·广西钦州市·八年级期末）下列长度的三条线段中，有组成三角形的是（
）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可．
【详解】
解：A、∵3＋4=7<9，∴不能构成三角形，故本选项不符合题意；
B、∵8＋7＝15，∴不能构成三角形，故本选项不符合题意；
C、∵12+13=25>24，∴能构成三角形，故本选项符合题意；
D、∵2＋2＝4＜6，∴不能构成三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的
和是否大于第三个数．
39．（2021·广东八年级期末）如图， 中， 、 分别是 、 的中点，
若 的面积是10，则 的面积是（ ）
A． B． C．5 D．10
【答案】B
【分析】
根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可求出△ABE的
面积.
【详解】
∵AD是BC上的中线，
∴ S =S = S ，
△ABD △ACD △ABC
∵BE是△ABD中AD边上的中线，
∴ S =S = S ，
△ABE △BED △ABD
∴ S = S ，
△ABE ΔABC
∵△ABC的面积是10，
∴ S = ×10= .
△ABE
故选:B.
【点睛】
本题考查的是三角形的中线的性质，三角形一边上的中线把原三角形分成的两个三角形的面积相等.
40．（2021·云南曲靖市·曲靖一中八年级期末）三角形的两边长分别是4和11，第三
边长为 ，则 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
已知两边的长，第三边应该大于任意两边的差，而小于任意两边的和，列不等式进行
求解后再进行判断即可．
【详解】
解：根据三角形的三边关系，得
11-4＜3+4m＜11+4，
解得1＜m＜3．
故选：A．
【点睛】
此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，
然后解不等式即可．
41．（2021·江苏七年级期中）已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式a2-2ab+b2-c2
的值（ ）
A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．不能确定
【答案】C
【详解】
a2-2ab+b2-c2=（a-b）2-c2=（a+c-b）[a-（b+c）]．
∵a，b，c是三角形的三边．
∴a+c-b＞0，a-（b+c）＜0．
∴a2-2ab+b2-c2＜0．
故选C．
二、填空题
42．（2021·富顺第二中学校八年级开学考试）已知等腰三角形的两边长分别为5cm、
2cm，则该等腰三角形的周长是_____．
【答案】12cm．【详解】
①当三边长分别为2，2，5时，因为2+2＜5，所以不符合题意；当三边长分别为2，
5，5时，周长为2+5+5=12，故答案为12.
43．（2021·湖北八年级期末）如图，△ABC中，D、E、F为BC、AD、BE的中点，
若△CEF的面积是3，则△ABC的面积是________．
【答案】12
【分析】
根据三角形的面积公式得到：三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分，据此进
行答题即可．
【详解】
∵点F是BE的中点，
∴S = S ．
△EFC △BCE
又∵点D是BC的中点，
∴S = S ，S = S ，
△BDE △BCE △ABD △ABC
∴S =S =3，S =2S ．
△BDE △EFC △ABC △ABD
又∵点E是AD的中点，
∴S = S ，即S =2S =6，
△BDE △ABD △ABD △BDE
∴S =2S =12．
△ABC △ABD
故答案是12．
【点睛】
本题考查了三角形面积：三角形面积等于底边与底边上的高乘积的一半；等底等高的
两三角形面积相等，等高的两三角形面积的比等于底边的比．
44．（2021·固阳县第三中学八年级期中）等腰三角形的边长分别为6和8，则周长为
___________________．
【答案】20或22
【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．
【详解】
①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、8，
能组成三角形，周长=6+6+8=20，
②6是底边长时，三角形的三边分别为6、8、8，
能组成三角形，周长=6+8+8=22，
综上所述，这个等腰三角形的周长是20或22，
故答案为20或22．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，解题的关键在于分情况讨论并利用
三角形的三边关系判断是否能组成三角形．
45．（2021·甘肃定西市·八年级期末）已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a
﹣7|+（b﹣1）2=0，c为奇数，则c=_____．
【答案】7
【分析】
根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两
边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值．
【详解】
∵a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，
∴a﹣7=0，b﹣1=0，
解得a=7，b=1，
∵7﹣1=6，7+1=8，
∴
又∵c为奇数，
∴c=7，
故答案为7．
【点睛】
本题考查非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确三角形三边的关系．
46．（2021·湖南八年级期末）已知三角形的三边分别为a,b,c，其中a，b满足
，那么这个三角形的第三边c的取值范围是____．
【答案】
【分析】
根据非负数的性质列式求出a、b，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边只差小于第三边求解即可．
【详解】
∵ ,
∴ =0,b-4=0,
∴a=3,b=4,
∴4-3<c<4+3,
即 .
故答案是： .
【点睛】
考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0；三角形的三边关
系．
47．（2021·四川泸州市·八年级期末）已知等腰三角形的两边长分别为3和5，则它的
周长是____________
【答案】11或13
【分析】
题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行
讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】
解：有两种情况：①腰长为3，底边长为5，三边为：3，3，5可构成三角形，周长
=3+3+5=11；
②腰长为5，底边长为3，三边为：5，5，3可构成三角形，周长=5+5+3=13．
故答案为11或13．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一
定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，
这点非常重要，也是解题的关键．
48．（2020·湖北鄂州市教育局八年级期末）已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|
a-b+c|-|a-b-c|=______.
【答案】2a-2b
【分析】
先根据三角形的三边关系定理得出a+c＞b，b+c＞a，再去掉绝对值符号合并即可．【详解】
∵a，b，c是三角形的三边长，
∴a+c＞b，b+c＞a，
∴a-b+c＞0，a-b-c＜0，
∴|a-b+c|-|a-b-c|=（a-b+c）-（b+c-a）=a-b+c-b-c+a=2a-2b，
故答案为：2a-2b．
【点睛】
本题考查了三角形三边关系定理，绝对值，整式的加减的应用，解此题的关键是能正
确去掉绝对值符号．
49．（2021·河南八年级期末）已知三角形ABC的三边长分别是 ，化简
的结果是_________________;
【答案】
【分析】
先根据三角形的三边关系定理可得 ，再根据绝对值运算、整式的加
减即可得．
【详解】
由三角形的三边关系定理得： ，
，
则 ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系定理、绝对值运算、整式的加减，熟练掌握三角形的三
边关系定理是解题关键．
50．（2021·苏州市景范中学校八年级月考）如图， 中，G为重心， ，
那么 =______________；【答案】6
【分析】
根据重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍和已知可以求出△ABC的面积．
【详解】
解：如图示，连接AG交BC于D点，作△ABC的高h，做△BCG的高h，
1 2
∵G为△ABC的重心，根据重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，
∴AD=3GD，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
【点睛】
本题考查的是三角形的重心的知识，掌握重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的
2倍是解题的关键．
51．（2021·湖南八年级期末）如图，在 中，D，E分别是BC，AD的中点，
，则 的值是_______．【答案】
【分析】
中线AD把△ABC分成面积相等的两个三角形，中线BE又把△ABD分成面积相等的
两个三角形，所以△ABE的面积是△ABC的面积的 ．
【详解】
解：∵D、E分别是BC，AD的中点，
∴△ABD是△ABC面积的 ，△ABE是△ABD面积的 ，
∴△ABE的面积=4× × = ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了三角形的面积计算，解题的关键是熟悉三角形的中线把三角形分成面积相
等的两个小三角形．
52．（2021·安徽阜阳市·八年级期末）如图，AD是 的中线，DE是 的
中线，EF是 的中线，FG是 的中线，若 的面积 ，
则 的面积 _____．【答案】
【分析】
根据三角形中线与三角形的面积关系即可得．
【详解】
是 的中线，
，
同理可得： ，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了三角形中线，熟练掌握三角形中线的性质是解题关键．
53．（2021·全国八年级课时练习）如图，在△ABC中，E，D，F分别是AD，BF，
CE的中点若△DEF的面积是1cm²，则S =_______．
△ABC
【答案】7
【分析】
连接AF，根据三角形中位线的性质求解.
【详解】
连接AF，
∵E是AD的中点，
∴∴ ，
∵点D是BF的中点，
∴ ,
∵点F是CE的中点，
∴ ,
同理可得： ,
∴ = 1+2+2+2=7 ，
故答案为：7 .
【点睛】
此题考查三角形中位线的性质，熟知三角形的中位线将三角形分成面积相等的两部分
是解题的关键.
54．（2021·全国）如图，在 中，点 分别在三边上，点 是 的中
点， 交于一点 ，则 的面积是
________．
【答案】30
【分析】
根据部分三角形的高相等，由这些三角形面积与底边的比例关系可求三角形ABC的面积．
【详解】
解：在 和 中，
∵ ,
∴ ， ，
∴ ,
∵点 是 的中点，
∴
∴ ，
∴
故答案为： ．
【点睛】
本题中由于部分三角形的高相等，可根据这些三角形面积的比等于底边的比例关系来
求三角形ABC的面积是解题关键．
55．（2021·全国）如图， 的三边的中线 ， ， 的公共点为 ，且
．若 ，则图中阴影部分的面积是________．
【答案】4
【分析】
根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC的面积即为阴影部分
的面积的3倍．
【详解】
解：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，AG：GD=2：1，
∴AE=CE，∴S =S = S ，S =S = S ，
△CGE △AGE △ACF △BGF △BGD △BCF
∵S =S = S = ×12=6，
△ACF △BCF △ABC
∴S = S = ×6=2，S = S = ×6=2，
△CGE △ACF △BGF △BCF
∴S =S +S =4．
阴影 △CGE △BGF
故阴影部分的面积为 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
56．（2021·全国八年级）如图，在 中， 于点 ， 于点 ，
且 ， ， ，则 _________．
【答案】
【分析】
根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
【详解】
解：根据三角形面积公式可得， ，
∵AB=3，BC=6，CE=5，
∴ ，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了三角形的高以及三角形的面积，熟记三角形的面积公式是解题的关键．
57．（2021·全国八年级专题练习）如果三角形两条边分别为3和5，则周长L的取值
范围是________
【答案】10<L<16
【分析】
根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，再根据不等式的性质求出答案．
【详解】
设第三边长为x，
∵有两条边分别为3和5，
∴5-3<x<5+3,
解得2<x<8，
∴2+3+5<x+3+5<8+3+5，
∵周长L=x+3+5,
∴10<L<16,
故答案为: 10<L<16．
【点睛】
此题考查三角形三边关系，不等式的性质，熟记三角形的三边关系确定出第三条边长
是解题的关键．
58．（2021·北京朝阳区·八年级期末）一个三角形的三条高的长都是整数，若其中两条
高的长分别为4和12，则第三条高的长为_____．
【答案】5或4．
【分析】
先设长度为4、12的高分别是a，b边上的，边c上的高为h，△ABC的面积是S，根
据三角形面积公式，可求 ，结合三角形三边的不等关系，可
得关于h的不等式组，解即可．
【详解】
解：设长度为4、12的高分别是a，b边上的，边c上的高为h，△ABC的面积是S，
那么，
又∵a-b＜c＜a+b，
∴ ，
即 ，
解得3＜h＜6，
∴h=4或h=5，
故答案为：5或4．
【点睛】
本题考查了三角形面积、三角形三边之间的关系、解不等式组．求出整数值后，能根
据三边关系列出不等式组是解题关键．
59．（2021·北京石景山区·八年级期末）如果三角形的三边长分别为5，8，a，那么a
的取值范围为__．
【答案】3<a<13
【分析】
根据三角形的三边关系解答．
【详解】
由题意得：8-5<a<8+5，
∴3<a<13，
故答案为：3<a<13．
【点睛】
此题考查三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边．
60．（2021·广东八年级期末）如图， 是 的中线，点 、 分别为 、
的中点，若 的面积为 ，则 的面积是______ ．【答案】12
【分析】
根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
【详解】
∵ F是CE的中点，
∴ ，
∵ E是BD的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴△ABC的面积= ．
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三
角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．
61．（2021·湖南八年级期末）已知 的三边长分别为 ， ， ，则
______．
【答案】
【分析】
三角形三边满足的条件是：两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此条件来
确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可．
【详解】
解：∵△ABC的三边长分别是a、b、c，∴必须满足两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，
∴ ，
∴
=
=
=
故答案为： ．
【点睛】
此题考查了三角形三边关系，此题的关键是先根据三角形三边的关系来判定绝对值内
式子的正负．
62．（2021·四川绵阳市·八年级期末）如图，在△ABC中E是BC上的一点，
BC=3BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S ，
△ABC
S ，S ，且S =12，则S ﹣S =____．
△ADF △BEF △ABC △ADF △BEF
【答案】2
【分析】
S -S =S -S ，所以求出三角形ABD的面积和三角形ABE的面积即可，因
△ADF △BEF △ABD △ABE
为BC=3BE，点D是AC的中点，且S =12，就可以求出三角形ABD的面积和三角
△ABC
形ABE的面积．
【详解】
解：∵点D是AC的中点，
∴AD= AC，
∵S =12，
△ABC
∴S = S = ×12=6．
△ABD △ABC∵BC=3BE，
∴S = S = ×12=4，
△ABE △ABC
∵S -S =（S +S ）-（S +S ）=S -S ，
△ABD △ABE △ADF △ABF △ABF △BEF △ADF △BEF
即S -S =S -S =6-4=2，
△ADF △BEF △ABD △ABE
故答案为：2．
【点睛】
本题考查三角形的面积，解题的关键是要能根据已知条件求出三角形的面积并对要求
的两个三角形的面积之差进行变化．
63．（2021·四川八年级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，AD⊥BC于D点，
AE平分∠BAC交BC于点E．若∠C＝26°，则∠DAE的度数为_____．
【答案】14°
【分析】
利用垂直的定义得到∠ADC＝90°，再根据三角形内角和计算出∠CAD＝64°，接着利
用角平分线的定义得到∠CAE＝50°，然后计算∠CAD﹣∠CAE即可．
【详解】
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝64°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝ ∠BAC＝ ×100°＝50°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝64°﹣50°＝14°．
故答案为14°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、垂线的定义，解题关键是熟练运用
相关性质求角．
64．（2021·江苏省苏州工业园区金鸡湖学校八年级月考）如图，点G是 的重心，点D，E分别是边 ， 的中点，连接 ，若 的面积为6，则
的面积为_________．
【答案】
【分析】
根据三角形中线的性质以及重心的性质即可得出答案；
【详解】
解：∵点G是 的重心，
∴CG=2DG，
∴S S
△DEG △CDE
∵点D，E分别是边 ， 的中点，
∴S S ，S S ，
△BCD △ABC △CDE △BCD
∴S S ，
△CDE △ABC
∵ 的面积为6，
∴S ，
△CDE
∴S S ；
△DEG △CDE
故答案为：
【点睛】
此题考查三角形的面积和重心的性质，熟练掌握重心的性质是解题的关键．
三、解答题65．（2021·大庆市庆新中学八年级期末）如图，AD，CE是△ABC的两条高；已知
AD＝10，CE＝9，AB＝12.
(1)求△ABC的面积；
(2)求BC的长.
【答案】（1）54（2）
【解析】
分析：(1)根据三角形的面积公式计算；(2)S ＝ AB·CE＝ BC·AD.
△ABC
详解：(1)S ＝ AB·CE＝ ×12×9＝54.
△ABC
(2)因为S ＝ BC·AD，
△ABC
所以 ×10×BC＝54.
所以BC＝ .
点睛：三角形的面积等于它的底和底上的高和积的一半，设a，b，c边上的
高分别为h，h，h，则有ah＝bh＝ch.
a b c a b c
66．（2021·重庆八年级期末）如图所示，已知AD，AE分别是△ADC和△ABC的高
和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°．试求：
（1）AD的长；
（2）△ABE的面积；
（3）△ACE和△ABE的周长的差．【答案】⑴4.8cm；⑵12cm²；⑶2cm.
【分析】
（1）利用直角三角形面积的两种求法求线段AD的长度即可；（2）先求△ABC的面
积，再根据△AEC与△ABE是等底同高的两个三角形，它们的面积相等，由此即可求
得△ABE的面；（3）由AE是中线，可得BE=CE，根据△ACE的周长-△ABE的周长
=AC+AE+CE-（AB+BE+AE），化简可得△ACE的周长-△ABE的周长=AC-AB，即可
求解．
【详解】
∵∠BAC=90°，AD是边BC上的高，
∴ AB•AC= BC•AD，
∴AD= =4.8（cm），
即AD的长度为4.8cm；
（2）如图，∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，AB=6cm，AC=8cm，
∴S = AB•AC= ×6×8=24（cm2）．
△ABC
又∵AE是边BC的中线，
∴BE=EC，
∴ BE•AD= EC•AD，即S =S ，
△ABE △AEC
∴S = S =12（cm2）．
△ABE △ABC
∴△ABE的面积是12cm2．
（3）∵AE为BC边上的中线，
∴BE=CE，
∴△ACE的周长-△ABE的周长=AC+AE+CE-（AB+BE+AE）=AC-AB=8-6=2（cm），
即△ACE和△ABE的周长的差是2cm．
【点睛】
本题考查了中线的定义、三角形周长的计算．解题的关键是利用直角三角形面积的两
两种表达方式求线段AD的长．
67．（2020·河北七年级期末）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9，
AB=15，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒3个单位，
设运动的时间为t秒.（1）当t=______时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分；
（2）当t=5时，CP把△ABC分成的两部分面积之比是S ：S =______
△APC △BPC
（3）当t=______时，△BPC的面积为18.
【答案】(1)6.5；(2)1：4；(3) 或 .
【分析】
（1）根据中线的性质可知，点P在AB中点，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，
进而求解即可；
（2）求出当 时， 与 的长，再根据等高的三角形面积比等于底边的比求解
即可；
（3）分两种情况：①当P在AC上时；②当P在AB上时．
【详解】
（1）当点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，此时
∵点P在AB中点
∴
∴CA+AP=12+7.5=19.5（cm），
∴3t=19.5，
解得t=6.5．
故当t=6.5时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分；
（2）5×3=15，
AP=15-12=3，
BP=15-3=12，
则S ：S =3：12=1：4；
△APC △BPC（3）分两种情况：
①当P在AC上时，
∵△BCP的面积=18，
∴ ×9×CP=18，
∴CP=4，
∴3t=4，
∴t= ；
②当P在AB上时，
∵△BCP的面积=18，△ABC面积= ，
∴
∴3t=12+15× =22，
解得t= ．
故t= 或 秒时，△BCP的面积为18．
故答案为： 或 ．
【点睛】
本题考查了三角形的动点问题，掌握中线的性质、等高的三角形面积比等于底边的比、
三角形的面积公式是解题的关键．68．（2020·全国八年级课时练习）等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分为
13.5 cm和11.5 cm两部分，求这个等腰三角形各边的长．莉莉的解答过程如下：
设在 中， ，BD是中线．
∵中线将三角形的周长分为13.5cm和11.5 cm，如图所示， ，
，∴ ，解得 ，
，
∴三角形三边的长为9cm，9cm，7cm．
请问莉莉的解法正确吗？如果不正确，请给出理由．
【答案】不正确，见解析
【分析】
根据AB和BC的大小关系分类讨论，然后根据三角形的周长差即可分别求出对应的
AB和BC，从而得出结论．
【详解】
解：莉莉的解法不正确，理由如下：
假设在 中， ，BD是中线．
当 时，
，
∴
．
解得 ，
．
当 时，∴ ，
∴
．
解得
．
综上，这个三角形三边的长分别为9 cm，9 cm，7 cm或 ．
【点睛】
这道题是用文字叙述的形式给出的，没有图形，也没有字母，因此，可以先根据文字
叙述画出图形，标注字母，利用图形减小题目难度，由于腰和底边不相等造成一腰上
的中线把三角形的周长分成两个不相等的部分，解题关键是既要考虑到腰比底边长，
又要考虑到底边比腰长．
69．（期末检测（5）-2020-2021学年八年级数学上册十分钟同步课堂专练（沪科
版））已知三角形的三条边为互不相等的整数，且有两边长分别为7和9，另一条边长
为偶数．
（1）请写出一个三角形，符合上述条件的第三边长．
（2）若符合上述条件的三角形共有a个，求a的值．
【答案】（1）9，7，4；（2）6
【分析】
（1）根据三角形三边关系求得第三边的取值范围，即可求解；
（2）找到第三边的取值范围内的正整数的个数，即为所求；
【详解】
解：（1）两边长分别为9和7，设第三边是m，则9-7＜m＜7+9，即2＜m＜16，因为
m为偶数，所以m=4，6，8，10，12，14，当第三边长是4（答案不唯一）时，三边
为：9，7，4；
（2）∵由（1）得2＜m＜16， m的值为4，6，8，10，12，14共六个，
∴a=6．
【点睛】
本题考查三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．在运用三角形三边关系
判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
70．（【南昌新东方】2020年9月心远升初二开学考27）如图，在 中，
是 边上的中线，点 是 的中点，过点 作 于点 ，已知 ，
的面积为24，求 的长．
【答案】3
【分析】
根据三角形的中线的性质和三角形面积公式进行解答即可．
【详解】
解：∵AD是BC边上的中线，△ABC的面积为24，
∴△ADC的面积为12，
∵点E是AD中点，
∴△CDE的面积为6，
∵BC＝8，AD是BC边上的中线，
∴DC＝4，
∵ DC×EF＝6，
即 ×4×EF＝6，
∴EF＝3．
【点睛】
此题考查三角形面积问题，关键是根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分
解答．
71．（2021·安徽八年级期末）如图，有以下四个条件：①AC∥DE，②DC∥EF，
③CD平分∠BCA，④EF平分∠BED．（1）若CD平分∠BCA，AC∥DE，DC∥EF，求证：EF平分∠BED．
（2）除（1）外，请再选择四个条件中的三个作为题设，余下的一个作为结论，写出
一个真命题，再给予证明．
【答案】（1）详见解析；（2）如果EF平分∠BED，AC∥DE，DC∥EF，那么CD平
分∠BCA，详见解析
【分析】
（1）根据角平分线的定义得到∠BCD＝∠ACD，根据平行线的性质定理证明结论；
（2）根据题意写出一个真命题，仿照（1）的证明过程证明结论．
【详解】
（1）证明：∵CD平分∠BCA，
∴∠BCD＝∠ACD，
∵DC∥EF，
∴∠BCD＝∠BEF，∠DEF＝∠CDE，
∵AC∥DE，
∴∠ACD＝∠CDE，
∴∠BEF＝∠DEF，即EF平分∠BED．
（2）如果EF平分∠BED，AC∥DE，DC∥EF，那么CD平分∠BCA．
证明：∵EF平分∠BED，
∴∠BEF＝∠DEF，
∵DC∥EF，
∴∠BCD＝∠BEF，∠DEF＝∠CDE，
∵AC∥DE，
∴∠ACD＝∠CDE，
∴∠BCD＝∠ACD，即EF平分∠BED．
【点睛】
本题考查的是平行线性质、角平分线的定义，掌握平行线的性质定理是解题的关键．
72．（2020·黑龙江桦南实验中学八年级期中）如图，在 ABC中，AB＝AC，AC边
上的中线BD把 ABC的周长分成12cm和15cm两部分，求 ABC各边的长．【答案】AB＝AC＝8cm，BC＝11cm或AB＝AC＝10cm，BC＝7cm
【分析】
设AB＝xcm，BC＝ycm，则可以把题中边长分为AB＋AD＝12cm，BC＋CD＝15cm
和AB＋AD＝15cm，BC＋CD＝12cm两种情况列出二元一次方程组求解，解方程组即
可得到问题解答．
【详解】
解：设AB＝xcm，BC＝ycm．
则有以下两种情况：
(1)当AB＋AD＝12cm，BC＋CD＝15cm时， ，解得 ,即AB＝
AC＝8cm，BC＝11cm，符合三边关系；
(2)当AB＋AD＝15cm，BC＋CD＝12cm时， ，解得 ，即AB
＝AC＝10cm，BC＝7cm，符合三边关系．
【点睛】
本题考查三角形中线的应用，利用方程求解及把问题分成两种情况讨论是解题关键 ．
73．（2021·南昌市二十八中教育集团青云学校八年级期末）如图所示，已知AD，AE
分别是△ABC的高和中线，AB=3cm，AC=4 cm，BC=5 cm，∠CAB=90°．
(1)求AD的长．(2)求△ABE的面积．
【答案】（1） cm；（2）3cm2
【分析】
（1）利用“面积法”来求线段AD的长度；
（2）△AEC与△ABE是等底同高的两个三角形，它们的面积相等
【详解】
解：∵∠BAC=90°，AD是边BC上的高，
∴ AB•AC= BC•AD，
∴ （cm），即AD的长度为 cm；
（2）如图，∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，AB=3cm，AC=4cm，
∴S = AB•AC= ×3×4=6（cm2）．
△ABC
又∵AE是边BC的中线，
∴BE=EC，
∴ BE•AD= EC•AD，即S =S ，
△ABE △AEC
∴S ABE= S =3（cm2）．
△ △ABC
∴△ABE的面积是3cm2．
【点睛】
本题考查了中线的性质．解题的关键是利用三角形面积的两个表达式相等，求出AD．
74．（2021·北京朝阳区·八年级期末）已知 ， ， ，且
m>n>0．
（1）比较a，b，c的大小；
（2）请说明以a，b，c为边长的三角形一定存在．
【答案】（1）a＞b＞c；（2）见解析
【分析】
（1）a、b、c两两作差可得出a、b、c之间的大小关系；（2）对于任意一个三角形的三边a，b，c，满足任意两边之和大于第三边，任意两边
之差小于第三边．
【详解】
（1）∵a-b=m2+n2-m2=n2＞0；
a-c=m2+n2-mn=（m-n）2+mn＞0；
b-c= m2-mn=m（m-n）＞0
∴a＞b＞c；
（2）由（1）a＞b＞c可得，a+b＞c
∵a-b= m2+n2-m2=n2＜mn
∴a-b＜c
∴以a、b、c为边长的三角形一定存在．
【点睛】
本题主要考查了利用差比法比较代数式的大小和用三角形三边关系证明三角形的存在．
75．（2021·陕西安康市·八年级期末）在 中，已知 ，若第三边
的长为偶数，求 的周长．
【答案】周长为 或 ．
【分析】
利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，再根据第三边 的长为偶数求出
符合条件的BC值，即可求出周长．
【详解】
解： 在 中， ，
第三边 的取值范围是：
符合条件的偶数是 或 ，
当 时， 的周长为： ；
当 时， 的周长为： ．
的周长为 或 ．
【点睛】
此题主要考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三
边，任意两边之差小于第三边．
76．（2021·河南郑州市·八年级期末）在 中， 交 的延
长线于点 ，点 是线段 上的一个动点．特例研究：
当点 与点 重合时，过 作 交 的延长线于点 ，如图①所示，
通过观察﹑测量 与 的长度，得到 ．请给予证明．
猜想证明：
当点 由点 向点 移动到如图②所示的位置时，过 作 交 的延
长线于点 ，过 作 交 于点 ，此时请你通过观察，测量 与
的长度，猜想并写出 与 之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
拓展延伸：
当点 由点 向点 继续移动时（不与 重合） ，过 作 交 于
点 ，过 作 交 （或 的延长线）于点 ，如图③，图④所示，请
你判断（2）中的猜想是否仍然成立?（不用证明）
【答案】（1）证明见解析；（2） ，证明见解析；（3）结论不变：
【分析】（1）根据 ， ， 即可解决问题；
（2）结论 ，利用面积法证明即可；
（3）结论不变，证明方法类似（2）．
【详解】
（1）证明：如图①中，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（2）解：结论 ，
理由：如图②中，连接 ，
∵ ， ， ， ，
∴ ，∵ ，
∴ ；
（3）结论不变： ，证明如下：
如图③，连接AD，
∵ ， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
如图④，连接AD，
∵ ， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是利用面积法证明
线段之间的关系．
77．（2021·江西八年级期末）已知， 的三边长为 ， ， ．（1）求 的周长的取值范围；
（2）当 的周长为偶数时，求 ．
【答案】（1） 的周长 ；（2） ， 或 ．
【分析】
（1）直接根据三角形的三边关系即可得出结论；
（2）根据轴线为偶数，结合（1）确定周长的值，从而确定x的值．
【详解】
解：（1） 的三边长分别为 ， ， ，
，即 ，
的周长 ，
即： 的周长 ；
（2） 的周长是偶数，由（1）结果得 的周长可以是 ， 或 ，
的值为 ， 或 ．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差
小于第三边是解答此题的关键．
78．（2021·云南八年级期末）已知 的周长为 ， 是 边上的中线，
．
（1）如图，当 时，求 的长．
（2）若 ，能否求出 的长？为什么？
【答案】（1）6cm；（2）不能求出 的长，理由见解析【分析】
（1）根据 ， 及 的周长为 ，可求得BC，再根据
三角形中线的性质解答即可；
（2）利用（1）中的方法，求得BC的长度，然后根据构成三角形的条件，可判断出
△ABC不存在，进而可知没法求DC的长．
【详解】
解：（1）∵ ， ，
∴ ，
又∵ 的周长为 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 是 边上的中线，
∴ ；
（2）不能，理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
又∵ 的周长为 ，
∴ ，
∴ ，
∴BC+AC=16<AB=21，
∴不能构成三角形，故不能求出DC的长．
【点睛】
此题考查三角形的中线、三角形的周长、构成三角形的条件，关键是根据三角形中线
的性质解答．
79．（2021·安徽八年级期末）如图，点 ， ， 都落在网格的格点上．（1）写出点 ， ， 的坐标；
（2）求 的面积：
（3）把 先向左平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度，得 ，画
出 ．
【答案】（1）点 ， ， 的坐标分别是 ， ， ；（2）3；（3）见
解析
【分析】
（1）根据点 ， ， 所在位置直接写出的坐标即可；
（2）先求出BC，点A到BC边的距离，利用面积公式 BC边上的高
求即可；
（3）先求A′（-4，-4），B（-3，-2），C（0，-2）三点坐标，再描出A′、B′、C′三点
坐标，连结A′B′、B′C′、C′A′即可．
【详解】
解：（1）点 ， ， 的坐标分别是 ， ， ；
（2）BC=4-1=3，点A到BC边的距离为：3-1=2，
∴ BC边上的高= ；
（3）先把A、B、C三点向左平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到A′
（-4，-4），B（-3，-2），C（0，-2）三点坐标，再描出A′、B′、C′三点坐标，连结A′B′、B′C′、C′A′，
则 为所求如图所示．
【点睛】
本题考查点的坐标，三角形面积，平移性质，掌握点的坐标，三角形面积，平移性质，
作图先平移点，再连线得图是解题关键．
80．（2021·山东）如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC，OA所在
直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足
．
（1）a= ；b= ；直角三角形AOC的面积为 ．
（2）已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从C点出发以每秒2个单位长度的
速度向点O匀速移动，Q点从O点出发以每秒1个单位长度的速度向点A匀速移动，
点P到达O点整个运动随之结束．AC的中点D的坐标是（4，3），设运动时间为t秒．
问：是否存在这样的t，使得△ODP与△ODQ的面积相等？若存在，请求出t的值；
若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若∠DOC=∠DCO，点G是第二象限中一点，并且y轴平分
∠GOD．点E是线段OA上一动点，连接接CE交OD于点H，当点E在线段OA上运
动的过程中，探究∠GOD，∠OHC，∠ACE之间的数量关系，并证明你的结论(三角
形的内角和为180)．【答案】（1）6；8；24；（2）存在 时，使得△ODP与△ODQ的面积相等；
（3）∠GOD+∠ACE=∠OHC，见解析
【分析】
（1）利用非负性即可求出a，b即可得出结论,即可求出△ABC的面积；
（2）先表示出OQ，OP，利用那个面积相等，建立方程求解即可得出结论；
（3）先判断出∠OAC=∠AOD，进而判断出OG∥AC，即可判断出∠FHC=∠ACE，同
理∠FHO=∠GOD，即可得出结论．
【详解】
解：(1) 解：（1）∵ ，
∴a-6=0，b-8=0，
∴a=6，b=8，
∴A（0，6），C（8，0）；
∴S ABC=6×8÷2=24,
△
故答案为（0，6），（8，0）； 6；8；24
(2) ∵
由 时,
∴存在 时,使得△ODP与△ODQ的面积相等
(3) ）∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC，理由如下：
∵x轴⊥y轴，
∴∠AOC=∠DOC+∠AOD=90°
∴∠OAC+∠ACO=90°
又∵∠DOC=∠DCO
∴∠OAC=∠AOD
