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第十七章 勾股定理
一、选择题(每题3分,共30分)
1.下列各组线段的长,不能构成直角三角形的是( )
A.1,❑√2,3 B.5,12,13
C.6,8,10 D.8,15,17
2.如图所示的各直角三角形中,其中边长x=5的个数是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
3.如图,以点D为圆心、DB的长为半径画弧与数轴交于点A,若点A表示的数为a,则a的值
为 ( )
A.-1-❑√5 B.1-❑√5
C.-❑√5 D.-1+❑√5
4.下列命题的逆命题成立的是 ( )
A.全等三角形的对应角相等
B.如果两个数相等,那么它们的绝对值相等
C.两直线平行,同位角相等
D.如果两个角都是45°,那么这两个角相等
5.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,D是线段BC上的动点(不含端点B,C),若线段AD的长
为正整数,则符合条件的点D共有 ( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
6.如图,梯子AB靠在墙上,底端A到墙根O的距离为2 m,顶端B到地面的距离为7 m,现将梯
子的底端A向外移动到A',使梯子的底端A'到墙根O的距离等于3 m,同时梯子的顶端B下降
至B',那么BB'( )A.小于1 m
B.大于1 m
C.等于1 m
D.小于或等于1 m
7.如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若正方形a,c的面积分别为7和9,则正方形b的面积为
( )
A.15 B.16 C.20 D.32
8.图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个完全相同的直角三角形围成的.
在直角三角形ABC中,若直角边AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向
外延长一倍,得到图2所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长是 ( )
A.12
B.36
C.66
D.76
9.如图,长方体木箱的长、宽、高分别为5 cm,4 cm,3 cm,在它里面放入一根细木条(木条的粗
细、变形忽略不计),要求木条不能露出木箱,则能放入细木条的最大长度是( )
A.❑√41 cm B.❑√34 cm C.5❑√2 cm D.5❑√3 cm
第9题图 第10题图
10.如图,正方形ABCD的边长为2,其面积标为S,以CD为斜边向外作等腰直角三角形,以该
1
等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积记为S……按照此规律继续下去,则
2
S 的值为 ( )
2 020
❑√2 ❑√2 1 1
A.( )2 017 B.( )2 018 C.( )2 017 D.( )2 018
2 2 2 2
二、填空题(每题3分,共18分)
11.如图,已知正方形ABCD的面积为8,则对角线BD的长为 .第11题图 第12题图
12.如图,在四边形ABCD中,AB=2,BC=2,CD=3,AD=1,且∠ABC=90°,则∠BAD的度数为
.
13.已知m,n,d为一个直角三角形的三边长,且❑√m-5=8n-n2-16,则此三角形的面积为
.
14.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6 cm,AC=8 cm,按图中所示方法将△BCD沿BD折叠,使
点C落在AB边的C'处,那么△ADC'的面积是 .
第14题图 第15题图 第16题图
15.如图,已知Rt△ABC的面积为20 cm2,在斜边AB的同侧,分别以AB,BC,AC为直径作三个半
圆,则阴影部分的面积为 .
16.如图,圆柱形容器的高为18 cm,底面周长为24 cm,在容器内壁离下底面4 cm的点B处有
一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,离容器上底面2 cm的A处,则蚂蚁从外壁A处到达
内壁B处的最短距离为 cm.
三、解答题(共52分)
17.(6分)如图,在5×5的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,请在所给网格中按下列要
求画出图形.
(1)从点A出发作一条线段AB,使它的另一个端点落在格点(即小正方形的顶点)上,且长度为2
❑√2;
(2)以(1)中的AB为边作一个等腰三角形ABC,使点C落在格点上,且另两边的长都是无理数.9
18.(8分)如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,AC=4,BC=3,DB= .
5
(1)求CD,AD的值;
(2)判断△ABC的形状,并说明理由.
19.(8分)如图,小明所在学校的旗杆BD高为13 m,距离旗杆20 m处刚好有一棵高为3 m的香
樟树AE,活动课上,小明有意在旗杆与香樟树之间的连线上来回踱步,发现有一个位置到旗杆
顶部与树顶的距离相等,请你求出该位置与旗杆之间的距离.
20.(8分)清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王.近日,西安发现了他的数学专著,
其中有一文《积求勾股法》,它对“三边长分别为3,4,5的整数倍的直角三角形,已知面积求
边长”这一问题提出了解法:“若所设者为积数(面积),以积率六除之,平方开之得数,再以勾股弦各率乘之,即得勾股弦之数”.用现在的数学语言表述:“若直角三角形的三边长分别为3,4,5
S
的整数倍,设其面积为S,则第一步, =m;第二步,❑√m=k;第三步,分别用3,4,5乘k,得三边长”.
6
(1)当面积S等于150时,请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长;
(2)你能证明“积求勾股法”的正确性吗?请写出证明过程.
21.(10分)在△ABC中,AB=2❑√5,AC=4,BC=2,以AB为边向△ABC外作△ABD,使△ABD为等
腰直角三角形,求线段CD的长.
22.(12分)我们新定义一种三角形:若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平
方,则称这个三角形为勾股高三角形,两边交点为勾股顶点.
特例感知
①等腰直角三角形 勾股高三角形;(填“是”或“不是”)②如图1,已知△ABC为勾股高三角形,其中C为勾股顶点,CD是AB边上的高,若BD=2AD=2,
试求线段CD的长度;
深入探究
如图2,已知△ABC为勾股高三角形,其中C为勾股顶点且CA>CB,CD是AB边上的高,试探究
线段AD与CB的数量关系,并给予证明;
推广应用
如图3,等腰三角形ABC为勾股高三角形,其中AB=AC>BC,CD为AB边上的高,过点D作BC
边的平行线与AC边交于点E,若CE=a,试求线段DE的长度 .参考答案
1.A 【解析】 A项,因为12+(❑√2)2≠32,所以不能构成直角三角形;B项,因为52+122=132,所
以能构成直角三角形;C项,因为62+82=102,所以能构成直角三角形;D项,因为82+152=172,所
以能构成直角三角形.故选A.
2.B 【解析】 A项,x= =5;B项,x= =7;C项,x= =8;D项,x=
❑√32+42 ❑√252-242 ❑√172-152
=5.故选B.
❑√132-122
3.A 【解析】 由题图,可知DB= = ,∴DA=DB= ,∴a=-1- .故选A.
❑√22+12 ❑√5 ❑√5 ❑√5
4.C 【解析】 A项,逆命题是三个角对应相等的两个三角形全等,不成立;B项,逆命题是绝
对值相等的两个数相等,不成立;C项,逆命题是同位角相等,两直线平行,成立;D项,逆命题是
相等的两个角都是45°,不成立.故选C.
5.C 【解析】 过点A作AE⊥BC于点E,因为AB=AC,所以BE=CE=4.在Rt△ABE中,由勾
股定理得AE= = =3,因为垂线段最短,所以AD的取值范围是3≤AD<5,
❑√AB2-BE2 ❑√25−16
又线段AD的长为正整数,所以AD=3或4.由对称性可知,使AD=4的点D有2个,所以符合条
件的点D共有3个.故选C.
6.A 【解析】 在Rt△AOB中,∵OA=2 m,OB=7 m,∴AB= = m.由题意可
❑√OA2+OB2 ❑√53
知A'B'=AB=
m,又OA'=3 m,∴OB'= =2 m,∴BB'=(7-2 ) m<1 m.故选
❑√53 ❑√A'B'❑ 2-OA'❑ 2 ❑√11 ❑√11
A.
7.B 【解析】 如图,∵a,b,c都是正方
形,∴AC=CD,∠ABG=∠ACD=90°,∴∠ACB+∠DCE=∠ACB+{∠BAC=∠DCE,
)
∠BAC=90°,∴∠BAC=∠DCE.在△ABC和△CE中, ∠ABC=∠DEC,
AC=DC,
∴△ACB≌△CDE,∴AB=CE,BC=DE.在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AC2=AB2+BC2=AB2+DE2=7+9=16,∴正方形b的面积为16.故选B.
8.D 【解析】 根据题意,得将边长为6的直角边分别向外延长一倍所得的四个直角三角
形的斜边长都是 =13,所以这个风车的外围周长为13×4+6×4=76.故选D.
❑√122+52
9.C 【解析】 如图,连接BC,BD,在Rt△ABC中,BC= = = (cm),在
❑√AC2+AB2 ❑√42+52 ❑√41
Rt△DCB中,DB=
= =5 (cm),所以能放入细木条的最大长度为5 cm.故选C.
❑√DC2+CB2 ❑√32+(❑√41)2 ❑√2 ❑√2
10.C 【解析】 利用等腰直角三角形的斜边与一直角边之间的数量关系可得到规律:从第
1 1 1 1
二个正方形起每一个正方形的面积都是上一个正方形面积的 ,即S= S,S= S=(
2 1 3 2
2 2 2 2
1 1
)2S,…,S=( )n-1S,∴S =22×( )2 020-1=
1 n 1 2 020
2 2
1
( )2 017.故选C.
2
11.4 【解析】 因为正方形ABCD的面积为8,所以AB=AD=2❑√2,所以BD=
=
❑√AB2+AD2
=4.
❑√(2❑√2)2+(2❑√2)2
12.135° 【解析】 连接AC,∵∠ABC=90°,AB=BC=2,∴∠BAC=45°,AC2=AB2+BC2=22+22=8,
又CD=3,AD=1,∴AC2+AD2=CD2,∴∠CAD=90°,∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=45°+90°=135°.13.6或10 【解析】 ∵❑√m-5=8n-n2-16,∴❑√m-5-8n+n2+16=0,∴❑√m-5+
1
(n-4)2=0,∴m=5,n=4.(1)当m为直角三角形的斜边长时,d=❑√52-42=3,∴三角形的面积为
2
1
×3×4=6;(2)当d为直角三角形的斜边长时,三角形的面积为 ×5×4=10.故此三角形的面积为
2
6或10.
14.6 cm2 【解析】 在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6 cm,AC=8 cm,由勾股定理得AB=
1 1
❑√AC2+BC2=10 cm.由折叠的性知,DC=DC',DC'⊥AB,∵S
△BCD
= BC·CD,S
△ABD
=
2 2
AB·DC',∴S ∶S =BC∶AB=6∶10=
△BCD △ABD
1
3∶5,∵S +S =S = ×8×6=24(cm2),∴S =S =9 cm2,S =15 cm2,∴S =S -
△BCD △ABD △ABC △BDC' △BCD △ABD △ADC' △ABD
2
S =15-9=6(cm2).
△BDC'
1 AC 1 BC 1 AB
15.20 cm2 【解析】 由题图可知,阴影部分的面积S= π( )2+ π( )2+S - π(
2 2 2 2
△ABC
2 2
π
)2= (AC2+BC2-AB2)+S =S =20 cm2.
△ABC △ABC
8
16.20 【解析】 将圆柱形容器展开(过点A竖直剖开)后侧面是一个长24 cm、宽18 cm的
长方形,如图,作点A关于MN的对称点A',连接A'B交MN于点P,连接AP,过点B作BH⊥MA
于点H.由轴对称的性质和三角形三边关系知A'B的长度为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离.由题意
知BH=12 cm,A'H=16 cm.在Rt△A'BH中,由勾股定理得A'B= =20 cm.即蚂蚁
❑√A'H2+BH2
从外壁A处到达内壁B处的最短距离为20 cm.
17.【解析】 (1)线段AB如图所示.
AB= = =2 .
❑√22+22 ❑√8 ❑√2
(2)△ABC如图所示.AC=BC= = .
❑√12+32 ❑√10
18.【解析】 (1)∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=90°.
√ 9 12
在Rt△BDC中,CD=❑√CB2-BD2=❑32-( )2= ,
5 5
√ 12 16
在Rt△ADC中,AD=❑√AC2-CD2=❑42-( )2= .
5 5
(2)△ABC为直角三角形.理由如下:
16 9 16 9
∵AD= ,DB= ,∴AB=AD+DB= + =5.
5 5 5 5
∵AC2+BC2=42+32=25,AB2=25,∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC为直角三角形.
19.【解析】 如图,CE=CD,AE=3 m,AB=20 m,BD=13 m.
设AC=x m,则BC=(20-x)m,
在Rt△ACE中,CE= = ,
❑√AE2+AC2 ❑√32+x2
在Rt△BCD中,CD= = ,
❑√BD2+BC2 ❑√132+(20-x)2
∵CE=CD,∴32+x2=(20-x)2+132,
解得x=14,∴CB=20-x=6(m).
故该位置与旗杆之间的距离为6 m.
S 150
20.【解析】 (1)当S=150时,m= = =25,
6 6
k=❑√m=❑√25=5,
3×5=15,4×5=20,5×5=25.
所以这个直角三角形的三边长分别为15,20,25.(2)能.证明如下:
设直角三角形的三边长分别为3k,4k,5k(k>0),
1
则S= ·3k·4k=6k2,
2
S √S
所以k2= ,所以k=❑ .
6 6
21.【解析】 ∵AC=4,BC=2,AB=2❑√5,
∴AC2+BC2=AB2,∴△ACB为直角三角形,∠ACB=90°.
分三种情况讨论:
如图1,AB=BD,∠ABD=90°,
过点D作DE⊥CB,交CB的延长线于点E,
则∠ABC+∠DBE=90°,
又∠ABC+∠BAC=90°,∴∠BAC=∠DBE,
∴△ACB≌△BED,∴BE=AC=4,DE=BC=2,
∴CE=6.
在Rt△CDE中,由勾股定理得CD= =2 .
❑√CE2+DE2 ❑√10
如图2,AB=AD,∠BAD=90°,
过点D作DF⊥CA,交CA的延长线于点F,
同理可证△ACB≌△DFA,同理可得CD=2❑√13.
如图3,AD=BD,∠ADB=90°,
过点D作DG⊥CB,交CB的延长线于点G,过点A作AH⊥GD,交GD的延长线于点H,
同理可证△AHD≌△DGB,∴AH=DG,DH=BG.
设BG=x,则CG=2+x,AH=DG=4-x,
易知CG=AH,∴2+x=4-x,解得x=1,
∴CG=3,DG=3,
在Rt△CGD中,由勾股定理,得CD= =3 .
❑√CG2+DG2 ❑√2
因此,线段CD的长为2❑√10或2 ❑√13或3❑√2.22.【解析】 特例感知
①是
②根据勾股定理,得CB2=CD2+4,CA2=CD2+1,
∵△ABC为勾股高三角形,C为勾股顶点,
∴CD2=CB2-CA2=(CD2+4)-(CD2+1)=3,
∴CD=❑√3.
深入探究
AD=CB.证明如下:
∵△ABC为勾股高三角形,C为勾股顶点,CA>CB,
∴CA2-CB2=CD2,∴CA2-CD2=CB2.
∵CA2-CD2=AD2,∴AD2=CB2,∴AD=CB.
推广应用
如图,过点A作AG⊥DE于点G,
∵等腰三角形ABC为勾股高三角形,且AB=AC>BC,
∴AC2-BC2=CD2,由深入探究中的结论,可知AD=BC.
∵ED∥BC,∴∠ADE=∠B.
又∠AGD=∠CDB=90°,∴△AGD≌△CDB,∴DG=BD.
易知△ADE为等腰三角形,∴ED=2DG=2BD.
又AB=AC,AD=AE,∴BD=EC=a,∴ED=2a.
