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相似三角形的性质
1. 已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3∶4，则△ABC与△DEF的面积之比为
( D )
A．4∶3 B．3∶4
C．16∶9 D．9∶16
2. 如图27－2－41，AB∥CD，＝，则△AOB的周长与△DOC的周长比是 ( D )
图27－2－41
A. B. C. D.
3．两个相似多边形的面积比是9∶16，其中较小多边形的周长为36 cm，则较大多边形的
周长为( A )
A．48 cm B．54 cm C．56 cm D．64 cm
4．如图27－2－42，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，则下列结论不正确的是(
D )
A．BC＝2DE B．△ADE∽△ABC
C.＝ D．S ＝3S
△ABC △ADE
【解析】 ∵在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，∴BC＝
2DE，故A正确；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故B正确；∴＝，故C正确；∵DE是△ABC
的中位线，∴DE∶BC＝1∶2，∴S ＝4S ，故D错误．
△ABC △ADE
图27－2－42
图27－2－43
5．如图27－2－43，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为( B
)
A．2 B．3 C．4 D．6
【解析】 作DF⊥BC于F，
∵边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，
∴DE＝2，BD＝2，∠B＝60°，
∴BF＝1，DF＝＝＝，∴四边形BCED的面积为DF·(DE＋BC)＝××(2＋4)＝3.故选B.
6．在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，如果△ABC的周长是16，面积是
12，那么△DEF的周长、面积依次为( A )
A．8，3 B．8，6
C．4，3 D．4，6
【解析】 ∵AB＝2DE，AC＝2DF，∴＝＝2，又∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEF，且相似比为
2，∴△ABC与△DEF的周长比为2，面积比为4，又∵△ABC的周长为16，面积为12，
∴△DEF的周长为16×＝8，△DEF的面积为12×＝3.
7. 如图27－2－44，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且＝＝，则S ∶S
△ADE 四边形BCED
的值为( C )
图27－2－44
A．1∶ B. 1∶2
C. 1∶3 D. 1∶4
8．已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3∶4，若△ABC的周长为6，则△A′B′C′的周
长为__8__.
【解析】 ∵△ABC∽△A′B′C′，∴△ABC的周长∶△A′B′C′的周长＝3∶4，∵△ABC
的周长为6，∴△A′B′C′的周长＝6×＝8.
9．已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△ABC与△DEF的面积之
比为__ 9 ∶ 1__．
【解析】 ∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，∴△ABC与△DEF的相
似比是3∶1，∴△ABC与△DEF的面积之比为9∶1.
图27－2－45
10．如图27－2－45，在△ABC中，DE∥BC，DE分别交边AB，AC于D，E两点，若AD∶AB
＝1∶3，则△ADE与△ABC的面积比为__ 1 ∶ 9__．
11．一天，某校数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥
形坑”的深度，来评估这些深坑对河道的影响，如图27－2－46是同学们选择(确保测量过
程中无安全隐患)的测量对象，测量方案如下：
①先测量出沙坑坑沿圆周的周长约为34.54米；
②甲同学直立于沙坑坑沿圆周所在平面上，经过适当调整自己所处的位置，当他位于点B
时，恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上的一点A看到坑底S(甲同学的视线起点C与点A、
点S三点共线)．经测量：AB＝1.2米，BC＝1.6米．
根据以上测量数据，求“圆锥形坑”的深度(圆锥的高)．(π取3.14，结果精确到0.1米)图27－2－46
第11题答图
解：如图，取圆锥底面圆圆心O，连接OS，OA，
则∠O＝∠ABC＝90°，OS∥BC，
∴∠ACB＝∠ASO，∴△SOA∽△CBA，
∴＝，即OS＝.
∵OA＝≈5.5，BC＝1.6，AB＝1.2，
∴OS≈≈7.3，
∴“圆锥形坑”的深度约为7.3米．
12. 已知△ABC∽△DEF，＝，△ABC的周长是12 cm，面积是30 cm2.
(1)求△DEF的周长；
(2)求△DEF的面积．
解：(1)∵＝，
∴△DEF的周长＝12×＝8(cm)；
(2)∵＝，
∴△DEF的面积＝30×()2＝13(cm2)．
13．如图27－2－47，四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于O，AD＝1，BC＝4，
则△AOD与△BOC的面积比等于( D )
图27－2－47
A. B. C. D.
14．如图27－2－48，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF
交AD于点F，点E是AB的中点，连接EF.
(1)求证：EF∥BC；
(2)若△ABD的面积是6，求四边形BDFE的面积．图27－2－48
【解析】 (1)证明EF为△ABD的中位线；(2)利用相似三角形的面积比等于相似比的平方
求解．
解：(1)证明：∵DC＝AC，
∴△ACD为等腰三角形．
∵CF平分∠ACD，∴F为AD的中点．
∵E为AB的中点，∴EF为△ABD的中位线，
∴EF∥BC.
(2)由(1)得EF∥BC，∴△AEF∽△ABD.
∵＝，∴S ∶S ＝1∶4，
△AEF △ABD
∴S ∶S ＝ 3∶4.
四边形BDFE △ABD
∵S ＝6，∴S ＝.
△ABD 四边形BDFE
15．[2013·泰安]如图 27－2－49，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝
90°，E为AB的中点．
图27－2－49
(1)求证：AC2＝AB·AD；
(2)求证：CE∥AD；
(3)若AD＝4，AB＝6，求的值．
解：(1)证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC ＝∠CAB.
又∵∠ADC ＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB.
∴＝.
∴AC2＝AB·AD.
(2)证明：∵E为AB的中点，
∴CE＝AB＝AE，
∠EAC ＝∠ECA.
∵AC平分∠DAB，
∴∠CAD ＝∠CAB.
∴∠DAC ＝∠ECA.
∴CE∥AD.
(3)∵CE∥AD，
∴∠DAF ＝∠ECF，∠ADF ＝∠CEF，
∴△AFD∽△CFE，
∴＝.∵CE＝AB，
∴CE＝×6＝3.
又∵AD＝4，由＝得＝，
∴＝.
∴＝.
16. 已知：如图 27－2－50，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作
CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F.求证：BP2＝PE·PF.
图27－2－50
证明： 连接PC，
∵AB＝AC，AD是中线，
∴AD是△ABC的对称轴．
∴PC＝PB，∠PCE＝∠ABP.
∵CF∥AB，∴∠PFC＝∠ABP(两直线平行，内错角相等)，
∴∠PCE＝∠PFC.
又∵∠CPE＝∠EPC，
∴△EPC∽△CPF.
∴＝(相似三角形的对应边成比例)．
∴PC2＝PE·PF.
∵PC＝BP，
∴BP2＝PE·PF.
17. 我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有
很多美妙的性质，如有关线段比、面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决
三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：
(1)若O是△ABC的重心(如图1)，连结AO并延长交BC于D，证明：＝；
(2)若AD是△ABC的一条中线(如图2)，O是AD上一点，且满足＝，试判断O是△ABC的重
心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
(3)若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB，AC相交于G，H(均不与△ABC的顶点
重合)(如图3)，S .S 分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究的最大值．
四边形BCHG △AGH图27－2－51
解：(1)证明：连接BO并延长交AC于点E，连接DE，则DE为△ABC的中位线，∴DE∥AB，
∴△EDO≌△BAO，∴＝＝，∴＝.
(2)是，证明：
连接BO并延长交AC于点E，过点D作DF∥BE交AC于点F，则△AOE∽△ADF，
∴＝＝，
∴AE＝2EF，
又∵△CDF∽△CBE，
∴＝＝，
∴EF＝FC，
∴AE＝CE，即点E为AC中点，
∴点O为△ABC的重心．
(3).
