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位似
第1课时 位似图形的概念及画法 [见A本P76]
1．下列四个命题中，属于真命题的是( D )
A．若＝m，则a＝m
B．若a>b，则am>bm
C．两个等腰三角形必定相似
D．位似图形一定是相似图形
2．如图27－3－1，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分
别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是( B )
A．1∶2 B．1∶4
C．1∶5 D．1∶6
【解析】 ∵△DEF∽△ABC，∴＝＝＝，故选B.
图27－3－1
图27－3－2
3．如图27－3－2，已知△EFH和△MNK是位似图形，那么其位似中心是( A )
A．点B B．点C
C．点D D．点A
【解析】 根据位似图形的性质，连接对应点E与M，F与N，H与K，看它们的交点是哪一
个，易知它们相交于点B，则B点就是它们的位似中心．
4．如图27－3－3，正五边形 FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB∶FG
＝2∶3，则下列结论正确的是( B )
图27－3－3
A．2DE＝3MN B．3DE＝2MN
C．3∠A＝2∠F D．2∠A＝3∠F
【解析】 位似图形是相似图形，所以对应边的比都等于相似比，则有＝＝，所以3DE＝
2MN.
5．如图27－3－4，四边形ABCD的周长为12 cm，它的位似图形为四边形A′B′C′D′，位似中心为O，若OA∶AA′＝1∶3，则四边形A′B′C′D′的周长为( B )
图27－3－4
A．12 cm B．24 cm
C．12 cm或24 cm D．以上都不对
【解析】 ∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是位似图形，∴＝，
又∵＝，∴设OA＝k，则AA′＝3k，
∴OA′＝AA′－OA＝3k－k＝2k，
∴＝＝＝，
即A′D′＝2AD，
同理A′B′＝2AB，B′C′＝2BC，C′D′＝2CD，
∴四边形A′B′C′D′的周长为A′B′＋B′C′＋C′D′＋D′A′＝2(AB＋BC＋CD＋DA)
＝24 cm.
6．如图27－3－5，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源
到幻灯片的距离为20 cm，到屏幕的距离为60 cm，且幻灯片中图形的高度为6 cm，则
屏幕上图形的高度为__18__cm.
图27－3－5
7．如图 27－3－6，以点 O为位似中心，将五边形 ABCDE放大后得到五边形
A′B′C′D′E′，已知OA＝10 cm，OA′＝20 cm，则五边形ABCDE的周长与五边形
A′B′C′D′E′的周长的比值是____．
图27－3－6
8．如图27－3－7，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，且AA′＝OA′，
那么五边形ABCDE是将五边形A′B′C′D′E′放大到原来的__2__倍，S ＝__4__S
五边形ABCDE
.
五边形A′B′C′D′E′
图27－3－7【解析】 因为AA′＝OA′，所以＝，所以五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的相似
比为2∶1，面积比为4∶1.
9．如图27－3－8，分别按下列要求作出四边形ABCD以O点为位似中心的位似图形．
图27－3－8
(1)沿AO方向放大为原图的2倍；
(2)沿OA方向放大为原图的2倍．
解：(1)如图所示，四边形A′B′C′D′符合题意；
(2)如图所示，四边形A″B″C″D″符合题意．
10．关于位似图形的表述，下列命题正确的是__②③__.(只填序号)
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③
如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两
个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
11．图27－3－9中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点和O点都在正方形的顶
点上．
图27－3－9
(1)以点O为位似中心，在方格图中将△ABC放大为原来的2倍，得到△A′B′C′；
(2)△A′B′C′绕点B′顺时针旋转 90°，画出旋转后得到的△A″B′C″，并求边
A′B′在旋转过程中扫过的图形面积．
【解析】 利用位似图形的性质和旋转解决问题．
解：(1)如图中△A′B′C′；
(2)如图中△A″B′C″，边A′B′在旋转过程中扫过的图形面积为S＝π×(22＋42)＝
π×20＝5π.12如图27－3－10，正三角形ABC的边长为3＋.
(1)如图，正方形EFPN的顶点E，F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内
部，以点 A为位似中心，作正方形 EFPN的位似正方形 E′F′P′N′，且使正方形
E′F′P′N′的面积最大(不要求写作法)；
(2)求(1)中作出的正方形E′F′P′N′的边长；
图27－3－10
解：(1)如图，正方形E′F′P′N′即为所求．
(2)设正方形E′F′P′N′的边长为x，
∵△ABC为正三角形，
∴AE′＝BF′＝x.
∵E′F′＋AE′＋BF′＝AB，
∴x＋x＋x＝3＋，
∴x＝，即x＝3－3.
第2课时 位似图形的坐标变化规律 [见B本P76]
1．如图27－3－11，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，
OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC的面积的，那么点B′的坐标是( D )
图27－3－11
A．(3，2)
B．(－2，－3)
C．(2，3)或(－2，－3)
D．(3，2)或(－3，－2)
2．如图27－3－12，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△ABC(顶点均在格点上)，它们是
1 1 1
以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是( A )
图27－3－12
A．(－4，－3) B．(－3，－3)
C．(－4，－4) D．(－3，－4)
3．如图27－3－13，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A，B的对应点分别为A′，B′点
A，B，A′，B′均在图中的格点上．若线段AB上有一点P(m，n)，则点P在A′B′上的对
应点P′的坐标为( D )
图27－3－13
A．(，n) B．(m，n)
C．(m，) D．(，)
【解析】 ∵△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A，B的对应点分别为A′，B′点A，B，
A′，B′均在图中的格点上，A点坐标为(4，6)，B点坐标为(6，2)，A′点坐标为(2，
3)，B′点坐标为(3，1)，
所以若线段AB上有一点P(m，n)，则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为(，)．
故选D.
4.在平面直角坐标系中，已知点E(－4，2)，F(－2，－2)，以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是( D )
A．(－2，1)
B．(－8，4)
C．(－8，4)或(8，－4)
D．(－2，1)或(2，－1)
【解析】 根据题意画出相应的图形，找出点E的对应点E′的坐标即可．
根据题意得：
则点E的对应点E′的坐标是(－2，1)或(2，－1)．
5．已知四边形ABCD在直角坐标系中各顶点的坐标为A(6，0)，B(－2，－6)，C(－8，
2)，D(0，8)，现将四边形ABCD以坐标原点为位似中心作四边形ABCD，且使四边形ABCD
1 1 1 1
的周长是四边形ABCD的4倍，则C的坐标为( D )
1 1 1 1 1
A. B.
C. D.或
【解析】 相似图形的周长比等于相似比，根据图形位似变换的坐标变化规律，知C的坐
1
标为或，即或，故选D.
6．如图27－3－14，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的
坐标是__ ( 9 ， 0 )__．
图27－3－14
【解析】 连接C′C，A′A，并延长得它们的交点就是位似中心．作图后观察得交点坐标
为(9，0)，所以位似中心的坐标为(9，0)．
7．如图27－3－15，已知△OAB与△OA′B′是相似比为1∶2的位似图形，点O为位似中
心，若△OAB内点P(x，y)与△OA′B′内一点P′是一对对应点，则点P′的坐标是__ ( －
2x ， － 2y )__．图27－3－15
8．在平面直角坐标系中，△ABC顶点A的坐标为(2，3)，若以原点O为位似中心，画△ABC
的位似图形△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′的相似比等于，则点A′的坐标为__ ( 4 ，
6 ) 或 ( － 4 ， － 6 )__．
【解析】 由关于原点位似的两图形在坐标平面内对应点的坐标变化规律知 A′(2×2，
2×3)或A′(－2×2，－2×3)，∴点A′的坐标为(4，6)或(－4，－6)．
9．[2013·泰州]如图27－3－16，平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(3，0)，
(2，－3)，△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，且O′的坐标为
(－1，0)，则点B′的坐标为__ ( ， － 4 )__．
图27－3－16
10．如图27－3－17，△ABC与△DOE是位似图形，且A(0，3)，B(－2，0)，C(1，0)，
E(6，0)，则D点的坐标为__ (4 ， 6 )__，△ABC与△DOE的位似中心M的坐标为__ ( － 4 ，
0 )__．
图27－3－17
【解析】 位似中心M为直线AD与x轴的交点．
11．如图27－3－18，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，
2)，B(－3，4)，C(－2，6)．图27－3－18
(1)画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△ABC.
1 1 1
(2)以原点O为位似中心，画出将△ABC三条边放大为原来的2倍后的△ABC.
1 1 1 2 2 2
解：如图，(1)△ABC 即为所求；
1 1 1
(2)△ABC 即为所求．
2 2 2
12．如图27－3－19，△ABC在方格纸中．
(1)请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A点坐标为(2，3)，C点坐标为(6，2)，并求出
B点坐标；
(2)以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的图形
△A′B′C′；
(3)计算△A′B′C′的面积S.
图27－3－19
解：(1)将A点向下平移3个单位，再向左平移2个单位得坐标原点，即可建立平面直角坐
标系，此时B的坐标为(2，1)，如图．(2)求出放大后的△A′B′C′的三点坐标分别为A′(4，6)，B′(4，2)，C′(12，4)，顺
次连接即得△A′B′C′，如图．
(3)S＝A′B′·(x －x )＝×(6－2)×(12－4)＝16.
C′ A′
13．如图27－3－20，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．
以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大
到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是( D )
图27－3－20
A．－a B．－(a＋1)
C．－(a－1) D．－(a＋3)
【解析】 可以分别过点B和B′向x轴作垂线BM和B′N，分别交x轴于点M、N，则
△BMC∽△B′NC，∵点B′的横坐标是a，则CN＝1＋a，∴MC＝(1＋a)，∴点M的横坐标是
－1－(1＋a)＝－(a＋3)，则点B的横坐标也是－(a＋3)．
