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第 03 章 重点突破训练：一元一次方程应用举例
考点体系
考点1：古典文化中的一元一次方程
典例：（2020·安徽初三学业考试）《算法统宗》中有一首“以碗知僧”的趣味诗，原文如下：巍巍古寺在
山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹．请问先
生明算者，算来寺内几多僧？
译文为：寺内有三百六十四只碗，如果三个和尚共吃一碗饭，四个和尚共吃一碗羹，恰好把碗用完，请问
寺内共有多少个和尚？请解答上述问题．
【答案】寺内共有624个和尚．
【解析】
解：设寺内共有 个和尚，依题意得:，
解得 ，
答：寺内共有624个和尚．
方法或规律点拨
考核知识点：一元一次方程应用.理解题意，根据等量关系列出方程是关键.
巩固练习
1．（2020·安徽合肥·初三三模）《计算之书》是意大利中世纪著名数学家斐波那契（公元1175-1250年）
的经典之作．书中记载了一道非常有趣的“狐跑犬追”问题：在相同的时间里，猎犬每跑 ，狐狸跑
．若狐狸与猎犬同时起跑时狐狸在猎犬前面 ，问狐狸跑多少距离后被猎犬追上？
【答案】狐狸跑100米后被猎犬追上．
【解析】解：设设狐狸跑x米后被猎犬追上，由题意得：
解得： ．
答：狐狸跑100米后被猎犬追上．
2．（2020·全国初一课时练习）在我国明代数学家吴敬所著的《九章算法比类大全》中，有一道数学名题
叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，灯光点点倍加增，共灯三百八十一，试问尖头几盏灯？”
（“倍加增”指从塔的顶层到底层，每层灯的数量是上一层的2倍）那么，塔的顶层有几盏灯？
【答案】3盏
【解析】解：设塔的顶层有x盏灯．根据题意，得
．
解得 ．
答：塔的顶层有3盏灯．
3．（2020·湖北广水·初一期末）列方程解应用题．
程大位，明代商人，珠算发明家，被称为珠算之父、卷尺之父．少年时，读书极为广博，对数学颇感兴趣，
60岁时完成其杰作《直指算法统宗》（简称《算法统宗》）．
在《算法统宗》里记载了一道趣题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几
丁？意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、
小和尚各多少人？
【答案】大和尚有25人，小和尚有75人
【解析】解：设小和尚有x人，则大和尚有（100﹣x）人，
1
根据题意得： x+3（100﹣x）=100，
3
解得：x=75，
∴100﹣x=100﹣75=25．
答：大和尚有25人，小和尚有75人．4．（2020·河北初三其他）（阅读材料）“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（如图①），是世
界上最早的矩阵，又称幻方．用今天的数学符号表示，洛书就是一个三阶幻方（如图②）．
（1）观察图②，根据“九宫图”中各数字之间的关系，我们可以总结出“幻方”需要满足的条件是
；
（2）若图③是一个幻方，求图中a，b的值．
【答案】（1）每一横行，每一竖列，每一对角线上三个数的和相同；（2）-3，0．
【解析】解：（1）通过观察和口算可知，每一横行、每一竖列、每一对角线上三个数的和相同．
故答案为：每一横行、每一竖列、每一对角线上三个数的和相同；
（2）由幻方的条件可知4+2+a＝﹣1+1+3，
解得：a＝﹣3；
4﹣1+b＝﹣1+1+3，
解得：b＝0．
5．（2020·安庆市教育体育局初三二模）中国古代算书《算法统宗》中有这样一道题：甲赶群羊逐草茂，
乙拽肥羊随其后，戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，若得这般一群凑，再添半群小半（注：四分之一的
意思）群，得你一只来方凑，玄机奥妙谁参透？大意是说：牧羊人赶着一群羊去寻找草长得茂盛的地方放
牧，有一个过路人牵着1只肥羊从后面跟了上来，他对牧羊人说你赶的这群羊大概有100只吧？牧羊人答
道：如果这一群羊加上1倍，再加上原来羊群的一半，又加上原来这群羊的四分之一，连你牵着的这只肥
羊也算进去，才刚好满100只你知道牧羊人放牧的这群羊一共有多少只吗？
【答案】36只
【解析】设牧羊人放牧的这群羊一共有 只
由题意得：
解得
答：牧羊人放牧的这群羊一共有36只．
6．（2020·合肥市五十中学东校初三一模）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众
客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.诗中后两句的意思是：如果每间客房住7人，那么有7
人无房可住；如果每间客房住9人，那么就空出一间房.求该店有客房多少间？房客多少人？
【答案】客房8间,房客63人
【解析】设该店有 间客房,则
解得答:该店有客房8间,房客63人.
7．（2020·安徽滁州·初三其他）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今
有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去
量一根木头的长，绳子还剩余 尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余 尺，问木头长多少尺？请你用
一元一次方程的知识解决．
【答案】6.5尺
【解析】
【分析】设木头长x尺，根据题意有
解得
所以木头长6.5尺
8．（2019·安徽初三月考）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中记载:“今有甲、乙二人，持钱
各不知数.甲得乙中半，可满四十八；乙得甲太半，亦满四十八。问甲、乙二人原持钱各几何?”译文:“甲，
乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文，如果乙得到甲所有钱的 ，那么
乙也共有钱48文，问甲、乙二人原来各有多少钱?”
【答案】甲原来有36文钱，乙原来有24文钱
【解析】解：设甲原有x文钱，则乙原有2(48-x)文钱，
根据题意，得： x+2(48-x)=48，
解得x=36，
则2(48-x)=24，
答：甲原来有36文钱，乙原来有24文钱．
故答案为：甲原有36文钱，乙原有24文钱.
9．（2020·安徽安庆·初三其他）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙
子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今
有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共
有多少人，多少辆车？
【答案】共有39人，15辆车．
【解析】解：设共有x人，
根据题意得： ，
去分母得：2x+12＝3x﹣27，
解得：x＝39，
∴ ，则共有39人，15辆车．
10．（2020·安徽蜀山·初三二模）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，其中《均输》卷记载
了一道有趣的数学问题：“今有凫（注释：野鸭）起南海，九日至北海；雁起北海，六日至南海．今凫雁
俱起，问何日相逢？”译文：“野鸭从南海起飞， 天飞到北海；大雁从北海起飞， 天飞到南海．现野
鸭与大雁分别从南海和北海同时起飞，问经过多少天相遇？请列方程解答上面问题．
【答案】经过 天相遇
【解析】
解：设经过 天相遇，
依题意得： ，
解得：
答：经过 天相遇．
考点2：一元一次方程中的营销问题
典例：（2020·四川大邑·初一期末）2019年双“11”期间，哈市各大商场掀起购物狂潮，现有甲、乙、丙三
个商场开展的促销活动如下表所示：
根据以上活动信息，解决以下问题：
（1）三个商场都同时出售一套（一件上衣和一条裤子为一套）同厂家、同面料、同款式的服装，其中上
衣标价都为290元，裤子标价都为270元．试计算三个商场分别按照促销活动销售出这一套服装的售价是
多少元？
（2）赵先生发现在甲、乙商场同时出售一件标价380元的上衣和一条标价300多元的裤子，最后付款额也
一样，请问这条裤子的标价是多少元？
（3）如果某种品牌的巴西大豆在三所商场的标价都是5元／ ,请探究：是否存在分别在三所商场付同样
多的一百多元，并且都能够够买同样重量同品牌的该大豆？如果存在请直接说明在乙商场该购买大豆的方
案（并指出在三个商场购买大豆的重量是多少 ，支付的费用是多少元）；如果不存在请直接回答“不
存在”．【答案】（1）甲：336元；乙：360元；丙：310元；（2）370元；（3）存在，先购买30kg大豆付150
元，再用100元购物券在乙商城购买20kg大豆，总共付150元，购买50kg大豆
【解析】解：（1）选甲商城需付费用为（290+270）×0.6＝336（元）
选乙商城需付费用为290+（270﹣200）＝360（元）
选丙商城需付费用为290+270﹣5×50＝310（元）
答：选甲商城需付费用为336元；选乙商城需付费用为360元；选丙商城需付费用为310元．
（2）设这条裤子的标价为x元，根据题意得：
（380+x）×0.6＝380+x﹣100×3
解得：x＝370
答：这条裤子的标价为370元．
（3）解：存在
设在乙商场先购买ykg大豆，需付一百多元，再用100元的购物卷再在乙商场购买100÷5=20kg大豆
由题意可得5（y＋20）×0.6=5y
解得：y=30
此时，在甲商场和乙商场共购买30＋20=50kg都需付款30×5=150（元）
在丙商场购买50kg需5×50－2×50=150（元）
∴存在分别在三所商场付同样多的一百多元，并且都能够够买同样重量同品牌的该大豆，
在乙商场购买方案为：先购买30 大豆付150元；再用100元的购物卷再在乙商场购买20kg大豆，总共
付了150元，购买了50kg大豆．
方法或规律点拨
此题考查的是一元一次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．
巩固练习
1．（2020·新疆生产建设兵团第六师教育局教学研究室期末）某超市用6000元购进甲、乙两种商品，其中
乙商品的件数比甲商品件数的 多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：获利＝售价﹣进
价）
甲 乙
进价（元/件） 22 30
售价（元/件） 29 40
（1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）该超市将购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？
【答案】(1) 该超市第一次购进甲种商品150件、乙种商品90件．(2) 1950元．
【解析】解：（1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品（ x+15）件，根据题意得：22x+30（ x+15）＝6000，
解得：x＝150，
∴ x+15＝90．
答：该超市第一次购进甲种商品150件、乙种商品90件．
（2）（29﹣22）×150+（40﹣30）×90＝1950（元）．
答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润1950元．
2．（2020·全国单元测试）某服装店两件衣服都以900元卖出，其中一件赚了 ，而另一件亏了 ，这两
件衣服合在一起是赚了还是亏了？赚或亏了多少？
【答案】亏了，亏了75元
【解析】一件赚了 ，设该件衣服成本为x元
∴
∴
∴赚的利润为150元
一件亏了 ，设该件衣服成本为y元
∴
∴
∴亏得钱为225元
∴总共的利润为 元
∴这两件衣服合在一起是亏了，亏了75元．
3．（2020·广东南海·石门中学初三其他）某镇枇杷园的枇杷除了运往市区销售外，还可以让市民亲自去园
内采摘购买，已知今年3月份该枇杷在市区、园内的销售价格分别为6元/千克、4元/千克，一共销售了
3000千克，总销售额为16000元，3月份该枇杷在市区、园内各销售了多少千克？
【答案】该枇杷在市区销售了2000千克，在园内销售了1000千克
【解析】解：设该枇杷在市区销售了x千克，则在园内销售了(3000－x)千克，
依题意得： ,
解得：x=2000,
园内销售：3000－2000＝1000(千克),
答：该枇杷在市区销售了2000千克，在园内销售了1000千克．4．（2020·云南文山·初一期末）农村义务教育学校学生营养改善计划是党中央、国务院及省委省政府实施
的一项教育惠民工程文山州某校根据上级要求配备了一批营养早餐.某天早上七年级（1）班分到牛奶和面
包共8件，每件牛奶32元，每件面包24元，共需232元问这天早上该班分到多少件牛奶，多少件面包？
【答案】5件牛奶，3件面包.
【解析】解：设该班分到牛奶 件，则分到面包 件
根据题意，得
（件）
答：该班分到5件牛奶，3件面包.
5．（2020·湖北枣阳·初一期末）小林在某商店购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时
打折，其余两次均按标价购买．三次购买商品A、B的数量和费用如下表：
购买总费
购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个
用/元
第一次购
3 5 870
物
第二次购
3 7 1110
物
第三次购
9 8 1062
物
（1）小林以折扣价购买商品A、B是第_____ 次购物；
（2）求出商品A、B的标价；
（3）若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？
【答案】（1）三；（2）商品A，B的标价分别为90元，120元；（3）6折
【解析】解：（1）根据表格中，第三购买A，B商品的数量都比前两次多，购买总费用反而少，则小林以
折扣价购买商品A、B是第三次购物．
故答案为：三；
（2）设B商品的标价为x元，则
，
解之，得 ，
．
答：商品A，B的标价分别为90元，120元；（3）设商品A，B均打a折出售，由题意得
，
解之，得 ．
答：商店是打6折出售这两种商品的．
6．（2020·山西中考真题） 年 月份，省城太原开展了“活力太原·乐购晋阳”消费暖心活动，本次
活动中的家电消费券单笔交易满 元立减 元（每次只能使用一张）某品牌电饭煲按进价提高 后
标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金 元．求该电
饭煲的进价．
【答案】该电饭煲的进价为 元
【解析】解：设该电饭煲的进价为 元
根据题意，得
解，得 ．
答；该电饭煲的进价为 元
7．（2020·安徽中考真题）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比．该超市2020年4月
份销售总额增长 其中线上销售额增长 ．线下销售额增长 ，
设2019年4月份的销售总额为 元．线上销售额为 元，请用含 的代数式表示2020年4月份的线
下销售额(直接在表格中填写结果)；
求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．
【答案】 ；
【解析】解： 年线下销售额为 元，
故答案为： ．
由题意得：2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为：
答：2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为：
8．（2020·重庆市凤鸣山中学初一月考）某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商
场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销
措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到
盈利45%的预期目标？
【答案】每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标．
【解析】解：设每件衬衫降价x元，依题意有
120×400+（120﹣x）×100=80×500×（1+45%），
解得x=20．
答：每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标．
9．（2019·陕西延安·初一期末）某水果批发市场苹果的价格如表
购买苹果（千 不超过20 20千克以上但不超过40 40千克
克） 千克 千克 以上
每千克的价格 6元 5元 4元
（1）小明分两次共购买40千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量，共付出216元，小明第一次
购买苹果_____千克，第二次购买_____千克．
（2）小强分两次共购买100千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量，且两次购买每千克苹果的单
价不相同，共付出432元，请问小强第一次，第二次分别购买苹果多少千克？（列方程解应用题）
【答案】（1）16，4；（2）第一次购买16千克苹果，第二次购买84千克苹果或第一次购买32千克苹果，
第二次购买68千克苹果．
【解析】（1）设第一次购买x千克苹果，则第二次购买（40﹣x）千克苹果，由题意可得
6x+5（40﹣x）=216，
解得：x=16，
40﹣x=24．
答：第一次买16千克，第二次买24千克．
故答案为16，24；
（2）设第一次购买x千克苹果，则第二次购买（100﹣x）千克苹果．
分三种情况考虑：
①第一次购买苹果少于20千克，第二次苹果20千克以上但不超过40千克；两次购买的质量不到100千克，不成立；
②第一次购买苹果少于20千克，第二次苹果超过40千克．
根据题意，得：6x+4（100﹣x）=432，
解得：x=16．
100﹣16=84（千克）；
③第一次购买苹果20千克以上但不超过40千克，第二次苹果超过40千克
根据题意，得：5x+4（100﹣x）=432，
解得：x=32．
100﹣32=68千克；
答：第一次购买16千克苹果，第二次购买84千克苹果或第一次购买32千克苹果，第二次购买68千克苹
果．
考点3：一元一次方程中的方案选择问题
典例：（2020·岳阳市第十中学初一期末）元旦节期间，各大商场纷纷推出优惠政策吸引顾客，下面是百盛
和武商各自推出的优惠办法：
百盛：1．若一次购物不超过500元（不含500），不予优惠．2．若一次购物满500元（含500），但不超
过1000元（不含1000），所有商品享受9折优惠．3．若一次购物超过1000元（含1000），超过部分享
受6折；
武商：1、若一次购物不超过500元，不予优惠．2、若一次购物满500元，则所有商品享受8折．问
（1）王老师想到百盛买件标价为1800元的衣服，她应该付多少钱？
（2）请问当我们购买多少钱的商品时，在两个商场可以享受相同的优惠？
（3）王老师元旦节打算消费3000元购买自己想要的商品，她有三个种打算：①到百盛武商各消费1500元；
②全到百盛去消费；③全到武商去消费．假设王老师需要的商品百盛和武商都有，如果你是王老师，你会
如何选择？请说明理由．
【答案】（1）1380元钱；（2）不超过500元或1500元；（3）见解析．
【解析】解：（1）1000×0.9+（1800﹣1000）×0.6＝1380（元）．
答：她应该付1380元钱；
（2）一次购物不超过500元，在两个商场可以享受相同的优惠；
一次购物超过1000元，设当我们购买x元钱的商品时，在两个商场可以享受相同的优惠，依题意有
1000×0.9+0.6（x﹣1000）＝0.8x，
解得x＝1500．
综上所述，当我们购买不超过500元或1500元钱的商品时，在两个商场可以享受相同的优惠；
（3）①1000+（1500﹣1000×0.9）÷0.6＝2000（元），
1500÷0.8＝1875（元），
2000+1875＝3875（元）；
②1000+（3000﹣1000×0.9）÷0.6＝4500（元）；
③3000÷0.8＝3750（元）；
∵4500＞3875＞3750，∴选择第②种打算．
方法或规律点拨
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等
量关系列出方程，再求解．
巩固练习
1．（2019·黑龙江道外·初一期末）有A、B两家复印社，A4纸复印计费方式如表：
A4纸复印计费方式
复印页数不超过20页时，每页0.12元；复印页数超过20
A复印社
页时，超过部分每页收费0.09元．
B复印社 不论复印多少页，每页收费0.1元．
（1）若要用A4纸复印30页，选哪家复印社划算？能便宜多少钱？
（2）用A4纸复印多少页时，两家复印社收费相同？
【答案】（1）选B复印社划算，能便宜0.3元；（2）复印42页时两家复印社收费相同．
【解析】解：（1）A复印社：20×0.12+0.09×（30﹣20）＝3.3（元），
B复印社：30×0.1＝3（元），
3＜3.3，3.3﹣3＝0.3（元），
答：选B复印社划算，能便宜0.3元．
（2）设：复印x页时两家复印社收费相同．
可得：20×0.12+0.09×（x﹣20）＝0.1x，
解得：x＝42，
答：复印42页时两家复印社收费相同．
2．（2020·河北饶阳·初一期末）某品牌西服标价 元，领带标价 元，若去甲商店购买可享受买一送
一（即买一套西 服送一条领带）的优惠，去乙商店购买西服领带均可享受九折优惠；小李是公司的采购
员，公司要采购 套西服，外加 条领带 ）
如果甲商店购买西服和领带，花费_____________元；如果乙商店购买西服和领带，花费
_____________元
当 为多少时，在甲乙两家商店费用一样多?
【答案】（1） 元； 元；（2）当 时，去甲乙商店都一样
【解析】解：（1）甲商店：
∴甲商店购买西服和领带，花费 元
乙商店：
∴甲商店购买西服和领带，花费 元（2）
解得：x=100
∴当 时，去甲乙商店费用一样多
3．（2019·黑龙江甘南·初一期末）元旦假期，甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾
客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市当日累计购物超出了300元以后，超出部分按原价8折优惠；在
乙超市当日累计购物超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠．设某位顾客在元旦这天预计累计购物x
元（其中x＞300）．
（1）当x=400时，顾客到哪家超市购物优惠．
（2）当x为何值时，顾客到这两家超市购物实际支付的钱数相同．
【答案】(1) 到乙超市购物优惠；(2) 当x=600时，两家超市所花实际钱数相同．
【解析】（1）由题意可得：当x=400时，
在甲超市购物所付的费用是：0.8×400+60=380（元），
在乙超市购物所付的费用是：0.85×400+30=370（元），
∵380>370，
∴当x=400时，到乙超市购物优惠；
（2）根据题意得：300+0.8（x-300）=200+0.85（x-200），
解得：x=600.
答：当x=600时，两家超市所花实际钱数相同．
4．（2020·黑龙江甘南·初一期末）某班将买一些乒乓球和乒乓球拍.了解信息如下：甲、乙两家商店出售两
种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍.乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元；经洽谈：甲店每买一副
球拍赠一盒乒乓球；乙店全部按定价的9折优惠.该班需球拍5副，乒乓球若干盒(不小于5盒).问：
(1)当购买乒乓球多少盒时，两种优惠办法付款一样？
(2)如果要购买15盒或30盒乒乓球时，请你去办这件事，你打算去哪家商店购买？为什么？
【答案】(1) 购买乒乓球20盒时，两种优惠办法付款一样；(2)买30盒乒乓球时，在甲店买5副乒乓球拍，
在乙店买25盒乒乓球省钱.
【解析】(1)设当购买乒乓球x盒时，两种优惠办法付款一样，
则30×5+5(x−5)=(30×5+5x)×90%
5x+125=135+4.5x
5x+125−4.5x=135+4.5x−4.5x
0.5x+125=135
0.5x+125−125=135−125
0.5x=10
0.5x×2=10×2
x=20
答：当购买乒乓球20盒时，两种优惠办法付款一样．
(2)①在甲商店购买球拍5副、15盒乒乓球需要：30×5+5×(15−5)=150+50=200(元)
在乙商店购买球拍5副、15盒乒乓球需要：
(30×5+5×15)×90%=225×90%=202.5(元)
因为200<202.5，
所以我去买球拍5副、15盒乒乓球时，打算去甲家商店购买，在甲家商店购买比较合算.
答：我去买球拍5副、15盒乒乓球时，打算去甲家商店购买，在甲家商店购买比较合算.
②在甲商店购买球拍5副、30盒乒乓球需要：
30×5+5×(30−5)=150+125=275(元)
在乙商店购买球拍5副、30盒乒乓球需要：
(30×5+5×30)×90%=300×90%=270(元)
因为270<275，
所以我去买球拍5副、30盒乒乓球时，打算去乙家商店购买，在乙家商店购买比较合算.
答：我去买球拍5副、30盒乒乓球时，打算去乙家商店购买，在乙家商店购买比较合算.
5．（2018·山西初一月考）光明中学七年级 1 班组织家长和学生去某红色景区参观学习，假设学生有 30
人，家长有 x 人．该红色景区为学生和家长提供了两种购买门票方案：方案一，成人票每张 100 元，学
生票每张 50 元；方案二，团体超过 50 人，成人票和学生票每张都为 75 元．
（1）按方案一购票，应付门票总价为 元；（用含 x 的代数式表示）
（2）如果家长人数为 40 人，按方案一购票应付门票总价为多少元？
（3）如果家长人数为 40 人，按方案几购票更划算？
【答案】（1） ；（2）按方案一购票应付门票总价为5500元；（3）按方案二购票更划算
【解析】解：（1）按方案一购票，应付门票总价为 元
故答案为：
（2）把 代入代数式 ，得
（元）
因此，按方案一购票应付门票总价为5500元
（3）按方案二购票应付门票总价为 （元）
，所以，家长人数为40人时，按方案二购票更划算．
6．（2020·全国初一课时练习）某中学到商店购买足球和排球，购买足球40个，排球30个共花费4000元，
已知购买一个足球比购买一个排球多花30元．
（1）求购买一个足球和一个排球各需多少元？
（2）学校决定第二次购买足球和排球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，一个足球售价比第一
次购买时提高了10%，一个排球按第一次购买时售价的九折出售，如果学校第二次购买足球和排球的总费
用是第一次购买总费用的86%，求学校第二次购买排球多少个？
【答案】（1）购买一个足球需要70元，购买一个排球需要40元；（2）学校第二次购买排球10个．
【解析】（1）设购买一个排球需x元，则购买一个足球需（x+30）元，依题意得：40（x+30）+30x＝4000，
解得：x＝40，
则x+30＝70．
答：购买一个足球需要70元，购买一个排球需要40元；
（2）设学校第二次购买排球m个，则购买足球（50﹣m）个，
依题意得：70（1+10%）（50﹣m）+40×0.9m＝4000×86%，
解得m＝10．
答：学校第二次购买排球10个．
7．（2020·全国初一课时练习）小丽用的练习本可以从甲乙两家商店购买，已知两家商店 的标价都是每本
2 元，甲商店的优惠条件是：购买十本以上，从第 11 本开始按标价的 70％出售；乙商店的优惠条件是：
从第一本起按标价的80％出售。
（1）设小丽要购买 x( x 10) 本练习本，则小丽到甲、乙两商店购买 时，各须付款多少元？列代数式
表示。
（2）买多少本练习本时，两家商店付款相同？
【答案】（1）1.4x+6（元）；（2）买30本时两家商店付款相同．
【解析】解：（1）根据题意得：在甲商店购买x（x＞10）本练习本所需费用为2×10+2×0.7（x-10）
=1.4x+6（元），
在乙商店购买x（x＞10）本练习本所需费用为2×0.8x=1.6x（元）．
（2）根据题意得：1.4x+6=1.6x，
解得：x=30．
答：买30本时两家商店付款相同．
8．（2020·全国初一课时练习）李老师准备购买一套小户型商品房，他去售楼处了解情况得知，该户型商
品房的单价是5000元 ，如图所示(单位：m，卫生间的宽未定，设宽为xm)，售楼处为李老师提供了以
下两种优惠方案：
方案一：整套房的单价为5000元 ，其中卫生间可免费赠送一半的面积；
方案二：整套房按原销售总金额的9.5折出售．
（1）用含x的代数式表示该户型商品房的面积及按方案一、方案二购买一套该户型商品房的总金额；
（2）当 时，通过计算说明哪种方案更优惠，优惠多少元．
【答案】（1）该户型商品房的面积为 ，按方案一购买一套该户型商品房的总金额为元，按方案二购买一套该户型商品房的总金额为 元；（2）当
时，方案二更优惠，优惠3000元．
【解析】解：（1）该户型商品房的面积为：
按方案一购买一套该户型商品房的总金额为：
元；
按方案二购买一套该户型商品房的总金额为：
元．
（2）当 时，方案一总金额为 (元)；
方案二总金额为 (元)．
方案二比方案一优惠 (元)．
所以方案二更优惠，优惠3000元．
9．（2020·全国初一课时练习）如表是中国电信两种“4G套餐”计费方式．(月基本费固定收，主叫不超
过主叫时间，流量不超上网流量不再收费，主叫超时和上网流量超出部分加收超时费和超流量费)
（1）若小萱某月主叫通话时间为220分钟，上网流量为800MB，则她按套餐1计费需________元，按套餐
2计费需________元；若小花某月按套餐2计费需129元，主叫通话时间为240分钟，则上网流量为
________MB．
（2）若上网流量为540MB，是否存在某主叫通话时间t(分)，按套餐1和套餐2计费相等？若存在，请求
出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）若上网流量为540MB，直接写出当主叫通话时间t(分)满足什么条件时，选择套餐1省钱；当主叫通
话时间t(分)满足什么条件时，选择套餐2省钱．
月基本费/元 主叫通话时间/分 上网流量/MB
套餐1 49 200 500
套餐2 69 250 600
接听 超时费(元/分) 超流量费(元/MB)
套餐1 免费 0.2 0.3
套餐2 免费 0.15 0.2
【答案】（1）143，109，900；（2）若上网流量为540MB，当主叫通话时间为240分钟时，按套餐1和套
餐2计费相等；（3）当 时，选择套餐1省钱；当 时，选择套餐2省钱．
【解析】（1）143，109，900
套餐1：(元)．
套餐2：
(元)
设上网流量为x MB，则 ．解得 ．
故答案为：143；109；900．
（2）存在．当 时，
，
所以此时不存在这样的t，按套餐1和套餐2计费相等；
当 时，
．
解得 ；
当 时，
．
解得 ，不合题意，舍去．
综上，若上网流量为540MB，当主叫通话时间为240分钟时，按套餐1和套餐2计费相等；
（3）由（2）可知，当 时，选择套餐1省钱；当 时，选择套餐2省钱．
考点4：一元一次方程中的几何问题
典例：（2019·云南师范大学实验中学初一期中）如图，正方形ABCD的边AB在数轴上，数轴上点A表示
的数为-1，正方形ABCD的面积为16．
(1)数轴上点B表示的数为___；
(2)将正方形ABCD沿数轴水平移动，移动后的正方形记为A′B′C′D′，移动后的正方形A′B′C′D′与原正方形
ABCD重叠部分的面积为S．
①当S=4时，画出图形，并求出数轴上点A′表示的数；
②设正方形ABCD的移动速度为每秒2个单位长度，点E为线段AA′的中点，点F在线段BB′上，且BF=BB′．经过t秒后，点E，F所表示的数互为相反数，直接写出t的值．
【答案】（1）-5；（2）①点A'表示的数为-4或2；②t=4．
【解析】解：（1）∵正方形ABCD的面积为16，
∴AB=4，
∵点A表示的数为-1，
∴AO=1，
∴BO=5，
∴数轴上点B表示的数为-5，
故答案为：-5．
（2）①∵正方形的面积为16，
∴边长为4，
当S=4时，分两种情况：
若正方形ABCD向左平移，如图1，
A'B=4÷4=1，
∴AA'=4-1=3，
∴点A'表示的数为-1-3=-4；
若正方形ABCD向右平移，如图2，
AB'=4÷4=1，
∴AA'=4-1=3，
∴点A'表示的数为-1+3=2；
综上所述，点A'表示的数为-4或2；
②t的值为4．
理由如下：
当正方形ABCD沿数轴负方向运动时，点E，F表示的数均为负数，不可能互为相反数，不符合题意；
当点E，F所表示的数互为相反数时，正方形ABCD沿数轴正方向运动，如图3，∵AE= AA'= ×2t=t，点A表示-1，
∴点E表示的数为-1+t，
∵BF= BB′= ×2t= t，点B表示-5，
∴点F表示的数为-5+ t，
∵点E，F所表示的数互为相反数，
∴-1+t+（-5+ t）=0，
解得t=4．
方法或规律点拨
此题主要考查了一元一次方程的应用，数轴以及两点间的距离公式的运用，解决问题的关键是正确理解题
意，利用数形结合列出方程，注意要分类讨论，不要漏解．
巩固练习
1．（2020·全国单元测试）如图，长方形 被分成六个大小不同的正方形，现在只知道中间一个最小
的正方形的面积为1，求长方形 的面积．
【答案】143
【解析】设第四个大正方形的边长为 （如图所示）．
，故最小的正方形的边长为1；长方形的长：
长方形的宽：
长方形的面积： ．
2．（2020·陕西西安·西北工业大学附属中学期末）如图所示，小明将一个正方形纸片剪去一个宽为4的长
条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5的长条.如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长
条的面积是多少？
【答案】长方条的面积为80.
【解析】解：设正方形的边长是x．
则有：4x=5（x-4），
解得x=20，
则4x=80，
答：长方条的面积为80．
3．（2020·全国初一课时练习）如图，将一条数轴在原点 和点 处各折一下，得到一条“折线数轴”，
图中点 表示-12，点 表示10，点 表示20，我们称点 和点 在数轴上相距32个长度单位．动点
从点 出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点 运动到点 期间速度变为原来
的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点 从点 出发，以1单位/秒的速度沿着折线数轴的负方向运动，
从点 运动到点 期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为 秒．则：
（1）动点 从点 运动至点 需要时间多少秒？
（2）若 ， 两点在点 处相遇，则点 在折线数轴上所表示的数是多少？
（3）求当 为何值时， 、 两点在数轴上相距的长度与 、 两点在数轴上相距的长度相等．
【答案】（1）21；（2）6；（3）当 时， ．
【解析】解：（1）点P运动至点C时，所需时间t＝12÷2＋10÷1＋10÷2＝21（秒），
答：动点P从点A运动至C点需要21s ；
（2）由题意可得 ，， 两点在线段 上相遇
∴ ，
∴ ，
∴ 所对的数字为12-6=6;
（3）当点 在 上，点 在 上时， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
当点 在 上，点 在 上时， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
当点 在 上，点 在 上时， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当点 在 上，点 在 上时， ，无解
当点 在 上，点 在 上时， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴当 时， ．
4．（2020·河南新蔡·初一月考）如图所示，长方形纸片的长为15厘米，在这张纸片的长和宽上各剪去一
个宽为3厘米的纸条，剩余部分(阴影部分)的面积是60平方厘米，求原长方形纸片的宽．
【答案】宽为8厘米．
【解析】解：设原长方形纸片的宽为xcm，根据题意可得：
（15-3）×（x-3）=60，解得： ，
∴原长方形纸片的宽为8厘米．
5．（2019·江苏沛县·初一期末）如图在长方形 中， ， ，点 从 点出发，
沿 路线运动，到 点停止;点 从 点出发，沿 运动，到 点停止
若点 、点 同时出发，点 的速度为每秒 ，点 的速度为每秒 ，用 （秒）表示运动时间．
（1）当 __________秒时，点 和点 相遇．
（2）连接 ，当 平分长方形 的面积时，求此时 的值
（3）若点 、点 运动到6秒时同时改变速度，点 的速度变为每秒 ，点 的速度变为每秒 ，
求在整个运动过程中，点 点 在运动路线上相距路程为 时运动时间 的值．
【答案】（1） ；（2）4或20；（3）4或14.5
【解析】（1）根据题意得：x+2x=12×2+8，
解得：x= ．
故答案：当x的值为 时，点P和点Q相遇．
（2）∵PQ平分矩形ABCD的面积，
当点P在AB边上时，点Q在CD边上，
有题意可知：2x=12−x，
解得：x=4．
当点Q运动到点A时，用时(12+8+12)÷2=16秒，此时点P运动到点C时，PQ平分矩形ABCD面积，此时
用时：(12+8)÷1=20 秒
故答案：当运动4秒或20秒时，PQ平分矩形ABCD的面积．
（3）变速前：x+2x=32-20
解得x=4
变速后：12+(x-6)+6+3×(x-6)=32+20
解得x=14.5
综上所述：x的值为4或14.56．（2018·山西初一月考）如图，学校有一块长方形空地，它的长和宽的比是3：1，面积为363 .
（1）求该长方形的长和宽；
（2）如图所示，工人师傅要在这块空地上设计一个圆形区域和四个扇形区域进行绿化，其中四个扇形区
域的半径与中间圆形区域半径相同，若绿化区域的总面积为 ，请你帮助工人师傅计算一下中间圆形
区域的直径.
【答案】（1）长方形的长为33 ，宽为11 ；（2）中间圆形区域的直径为6
【解析】解：（1）设长方形的长为 ，宽是 ，
则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，则 .
∴长方形的长为33 ，宽为11 .
（2）设扇形的半径为 ，则中间圆的半径为 ，
∴
∴
∴ ，
∵
∴
答：中间圆形区域的直径为6 .
考点5：数轴上的动点问题
典例：（2020·西安市铁一中学初一期末）如图， 为数轴上两条线段，其中 与原点重合，
，且 ．
（1）当 为 中点时，求线段 的长；
（2）线段 和 以（1）中图形为初始位置，同时开展向右运动，线段 的运动速度为每秒5个单
位长度，线段 运动速度为每秒3个单位长度，设运动时间为 秒，请结合运动过程解决以下问题：
①当 时，求 的值；
②当 时，请直接写出 的值．【答案】（1）AD＝52；（2）① 的值为2或18；② 的值为6或25．
【解析】解：（1）∵CD＝3AB＋2，AB＝10，
∴CD＝30＋2＝32，
∵ 为 中点，即AB＝CB＝10，
∴AD＝AB＋BC＋CD＝10＋10＋32＝52；
（2）①当点A在点C左侧时，由题意得：3t＋20－5t＝16，
解得：t＝2；
当点A在点C右侧时，由题意得：5t－3t－20＝16，
解得：t＝18，
故 的值为2或18；
②由题意可得：t秒后，A表示的数为5t，B表示的数为5t+10，C表示的数为3t+20，D表示的数为
3t+52，
∴ ，即 ，
当 时，可得 ，
解得： ；
当 时，可得 ，不符合题意；
当 时，可得 ，
解得： ，
故 的值为6或25．
方法或规律点拨
本题考查数轴上的动点问题以及一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握方程思想与
分类讨论思想的应用．
巩固练习
1．（2018·湖南靖州·初一期末）如图，点A从原点出发沿数轴向左运动，同时，点B也从原点出发沿数轴
向右运动，3秒后，两点相距15个单位长度.已知点B的速度是点A的速度的4倍（速度单位：单位长
度/秒）.
（1）求出点A、点B运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置；
（2）若A、B两点从(1)中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动，几秒时，原点恰好处在点
A、点B的正中间？
（3）若A、B两点从(1)中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动时，另一点C同时从B点位
置出发向A点运动，当遇到A点后，立即返回向B点运动，遇到B点后又立即返回向A点运动，如此往返，直到B点追上A点时，C点立即停止运动.若点C一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点C从
开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？
【答案】（1）点A的速度为每秒1个单位长度, 点B的速度为每秒4个单位长度，A、B两点位置见解析；
（2）运动1.8秒时，原点恰好处在A、B两点的正中间；（3）100个单位长度.
【解析】解：（1）设点A的速度为每秒t个单位长度，则点B的速度为每秒4t个单位长度，
依题意有：3t+3×4t=15，解得t=1，
∴点A的速度为每秒1个单位长度，点B的速度为每秒4个单位长度，
A、B两点位置如下：
；
（2）设x秒时，原点恰好处在点A、点B的正中间，
根据题意，得3+x=12-4x，
解之得：x=1.8，
即运动1.8秒时，原点恰好处在A、B两点的正中间；
（3）设运动y秒时，点B追上点A，
根据题意得：4y-y=15，
解得：y=5，
即点B追上点A共用去5秒，而这个时间恰好是点C从开始运动到停止运动所花的时间，因此点C行驶的
路程为：20×5=100(单位长度).
2．（2020·河北望都·初一期末）一条东西走向的马路旁，自西向东有一家书店和一家超市．已知书店和超
市相距120m，如图数轴上A点表示书店的位置，超市在数轴上用B点表示，
（1）请写出B点表示的数是_________________
（2）小红从A点以4m/s的速度走5分钟后，小刚才从B点以6m/s的速度出发，与小红相向而行，几分钟
后二人相遇？
（3）在（2）的条件下，若相遇地点为P，则P点表示的数是____________
【答案】（1）80（2）小刚出发10秒后二人相遇（3）20
【解析】解：（1）∵书店和超市相距120m，点A所表示的数为﹣40，
∴﹣40+120=80，
∴B点表示的数是80；
故答案为：80；
（2）解：设小刚出发x秒后二人相遇，由题意得：
4×5+（4+6）x=120
解得x=10
答：小刚出发10秒后二人相遇（3）在（2）的条件下，小刚共走了10×6=60（m），
∴80-60=20（m）
∴若相遇地点为P，则P点表示的数是20,
故答案为：20．
3．（2020·内蒙古乌兰浩特·初一期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别是 6，﹣8，M、N、P为数轴
上三个动点，点M从A点出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，点P从原点出
发速度为每秒1个单位．
（1）若点M向右运动，同时点N向左运动，求多长时间点M与点N相距54个单位？
（2）若点M、N、P同时都向右运动，求多长时间点P到点M，N的距离相等？
【答案】（1）5；（2） 或 ．
【解析】（1）设经过x秒点M与点N相距54个单位．
依题意可列方程为： ，解方程，得 ．
答：经过5秒点M与点N相距54个单位．（算术方法对应给分）
（2）设经过t秒点P到点M，N的距离相等．
或 ，
或 ，解得： 或 ，
答：经过 或 秒点P到点M，N的距离相等．
4．（2020·广东高明·初一期末）已知数轴上三点 、 、 表示的数分别为4、0、 ，动点 从 点出
发，以每秒3个单位的速度沿数轴向左匀速运动.
（1）当点 到点 的距离与点 到点 的距离相等时，点 在数轴上表示的数是 .
（2）另一动点 从点 出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点 、 同时出发，问点
运动多长时间追上点 ？
（3）若点 为 的中点，点 为 的中点，点 在运动过程中，线段 的长度是否发生变化？
若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段 的长度.
【答案】（1）1；（2）6秒；（3） MN的长度不变,为3
【解析】解：（1）∵点 到点 的距离与点 到点 的距离相等
∴点P为AB的中点∴点 在数轴上表示的数是
故答案为：1；
（2）AB=4－（-2）=6
设 点运动 秒追上 点，由题意得：
解得：
答： 点运动6秒追上 点．
（3） 的长度不变．
①当 点在线段 上时，如图示：
∵ 为 的中点， 为 的中点
∴
又∵
∴
∵
∴
②当 点在线段 的延长线上时，如图示：
∵
∴
5．（2019·山西太原·初一一模）综合与实践如图，根据给出的数轴，解答下面的问题：
（1）已知点 表示的数分别为6，-4，观察数轴，与点 距离为5的点所表示的数是 ，
两点之间的距离为 ；
（2）若点 到点 ，点 的距离相等，观察数轴并结合所学知识求点 表示的数；
（3）在（2）的条件下，若动点 从点 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动
时间为 秒．则点 表示的数是多少（用含字母 的式子表示）；当 等于多少秒时， 之间的
距离为3个单位长度．
【答案】（1）1或-9，10；（2）点 表示的数为1；（3）1或4
【解析】解：（1）与点 距离为5的点所表示的数是-4+5=1或-4-5=-9．
两点之间的距离为6-(-4)=10；
故答案是：1或-9，10；
（2）观察数轴，可知点 一定在点 与点 之间，设点 表示的数为 ，
则有
解方程，得
即点 表示的数为1．
（3）点 表示的数是 ．
依题意得：当点 在点 的左边时， ，即 ，则 ；
当点 在点 的右边时， ，即 ，则 ．
综上所述，当 等于1或4秒时， 之间的距离为3个单位长度．
6．（2019·中山大学附属中学初一期末）如图，若点A在数轴上对应的数为 ，点B在数轴上对应的数为
b，且 ，b满足
（1）求线段AB的长；
（2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程 的解，在数轴上是否存在点P，使得
PA+PB=PC？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由；
（3）在（1）（2）条件下，点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，
同时，点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与
点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，请问：AB﹣BC的值是否随时间t的变化
而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其常数值．【答案】（1）AB=3．
（2）P所对应的数是﹣3或﹣1．
（3）不随t的变化而变化，其常数值为2．
【解析】（1）∵|a+2|+（b﹣1）2=0，
∴a=﹣2，b=1，
∴AB=b﹣a=1﹣（﹣2）=3．
（2）2x﹣1= x+2，
解得：x=2，
由题意得，点P只能在点B的左边，
①当点P在AB之间时，x+2+1﹣x=2﹣x，
解得：x=﹣1；
②当点P在A点左边时，﹣2﹣x+1﹣x=2﹣x，
解得：x=﹣3，
综上可得P所对应的数是﹣3或﹣1．
（3）t秒钟后，A点位置为：﹣2﹣t，B点的位置为：1+4t， C点的位置为：2+9t
BC=2+9t﹣（1+4t）=1+5t AB=5t+3
AB﹣BC=5t+3﹣（5t+1）=2
所以不随t的变化而变化，其常数值为2．
7．（2020·吉林初一期中）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB＝
20，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒．
（1）数轴上点B表示的数是 ，点P表示的数是 ；（用含t的代数式表示）
（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少
秒时，P、Q之间的距离恰好等于2；
（3）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，直接写
出多少秒时，P、Q之间的距离恰好等于2．
【答案】（1）﹣12；8﹣5t；（2）若点P、Q同时出发，2.25或2.75秒时P、Q之间的距离恰好等于2；
（3）若点P、Q同时出发，9或11秒时P、Q之间的距离恰好又等于2．
【解析】（1）∵数轴上点A表示的数为8，AB＝20，AP=5t，
∴数轴上点B表示的数为8﹣20＝﹣12；点P表示的数为8﹣5t；
故答案是：﹣12；8﹣5t；
（2）若点P、Q同时出发，设t秒时P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况：
①点P、Q相遇之前，
由题意得3t+2+5t＝20，解得t＝2.25；
②点P、Q相遇之后，由题意得3t﹣2+5t＝20，解得t＝2.75．
答：若点P、Q同时出发，2.25或2.75秒时P、Q之间的距离恰好等于2；
（3）设点P运动x秒时，P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况：
①点P追上点Q之前，
则5x﹣3x＝20﹣2，
解得：x＝9；
②点P追上点Q之后，
则5x﹣3x＝20+2
解得：x＝11．
答：若点P、Q同时出发，9或11秒时P、Q之间的距离恰好又等于2．
8．（2019·郁南县蔡朝焜纪念中学初一月考）如图,动点A从原点出发向数轴负方向运动,同时动点B也从
原点出发向数轴正方向运动,2秒后,两点相距16个单位长度，已知动点A、B的速度比为1:3(速度单位:1个
单位长度秒).
(1)求两个动点运动的速度；
(2)在数轴上标出A、B两点从原点出发运动2秒时的位置；
(3)若表示数0的点记为O，A、B两点分别从(2)中标出的位置同时向数轴负方向运动,再经过多长时间,满足
OB=2OA?
【答案】（1）A的速度为2单位长度/秒 ，B的速度为6单位长度/秒；（2）画数轴见解析；（3）0.4秒
或10秒
【解析】解：（1）设动点A的速度是x单位长度/秒，
根据题意得2（x+3x）=16
∴8x=16，
解得：x=2，
则3x=6．
答：动点A的速度是2单位长度/秒，动点B的速度是6单位长度/秒；
（2）标出A，B点如图，
；
（3）设x秒时，OB=2OA，
当B在A的右边，
根据题意得：12﹣6x=2（4+2x），
∴x=0.4，
当A在B的右边，
根据题意得：6x﹣12=2（4+2x），∴x=10
∴0.4，10秒时OB=2OA．
9．（2020·河南渑池·初一期末）如图，点 在数轴上对应的数为 ．
（1）点 在点 右边距离点 4个单位长度，则点 所对应的数是
（2）在（1）的条件下，点 以每秒 个单位长度沿数轴向左运动，点 以每秒 个单位长度沿数轴向右
运动．现两点同时运动，当点 运动到 所在的点处时， 两点间的距离为 ；
（3）在（2）的条件下，现 点静止不动， 点以原速沿数轴向左运动，经过多长时间 两点相距 个
单位长度．
【答案】（1）2；（2）14；（3） 秒或6秒
【解析】解：（1）-2+4=2．
故点B所对应的数是2；
故答案是：2；
（2）（-2+6）÷2=2（秒），
2+2+（2+3）×2=14（个单位长度）．
答：A，B两点间距离是14个单位长度，
故答案为：14；
（3）①运动后的B点在A点右边4个单位长度时，
设经过x秒长时间A，B两点相距4个单位长度，
依题意得：3x=14-4，
解得x= ；
②运动后的B点在A点左边4个单位长度时，
设经过x秒长时间A，B两点相距4个单位长度，
依题意得：3x=14+4，
解得x=6．
答：经过 秒或6秒时间A，B两点相距4个单位长度．
考点6：行程问题中的环形跑问题
典例：（2020·河北泊头·初一期末）微信运动是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号，用户可以
通过关注微信运动公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和其他用户进行运动量的 或点赞.甲、
乙两人开启了微信运动，沿湖边环形道上匀速跑步，已知乙的步距比甲的步距少 (步距是指每一步的距离)，两人各跑了 圈，跑 圈前后的时刻和步数如下:
出发时微信运动中 结束时微信运动中
出发时刻 结束时刻
显示的步数 显示的步数
甲
乙
(1)求甲、乙的步距和环形道的周长；
(2)若每 分钟甲比乙多跑 步，求表中 的值.
【答案】(1)甲的步距为 ，乙的步距为 ，环形道的周长为 ；(2) 为 .
【解析】(1)设乙的步距为 ，由于乙的步距比甲的步距少 ， 则甲的步距为 ，
根据表格列方程得:
，
，
，
环形道的周长为: .
故甲的步距为 ，乙的步距为 ，环形道的周长为 .
(2)由表格知，甲 分钟跑了步 ，则甲每分钟跑 步，
每 分钟甲比乙多跑 步，
每 分钟甲比乙多跑 步
每 分钟乙跑 步，
分钟，
为 .
方法或规律点拨
本题是环形跑道的行程问题，需根据速度乘以时间等于路程等基本关系来求解．
巩固练习
1．（2020·全国单元测试）甲、乙两人沿环形道路跑步，甲跑一圈要120秒，乙跑一圈要150秒，如果两
人同时从同地起跑，问：
（1）反向而行，几秒后第一次相遇．
（2）同向而行，几秒后第一次相遇．
【答案】（1）反向而行， 秒后第一次相遇；（2）同向而行，600秒后第一次相遇
【解析】解：∵甲跑一圈要120秒，乙跑一圈要150秒，则
设跑道长600米，则甲的速度为5米/秒，乙的速度为4米/秒；（1）设反向而行， 秒钟后第一次相遇： ，
∴ .
答：反向而行， 秒后第一次相遇；
（2）设同向而行， 秒后第一次相遇： ，
∴ ；
答：同向而行，600秒后第一次相遇．
2．（2020·全国课时练习）体育场有一环形跑道长400米，甲、乙两人练习长跑，甲每秒跑8米，乙每秒
跑7米，两人在相距60米的地方同时同向而行，多少秒后两人第一次相遇．
【答案】340秒或60秒
【解析】设x秒后两人第一次相遇
情况一：如甲在前乙在后，则
∴
情况二：如乙在前甲在后，则
∴
∴340秒或60秒后两人第一次相遇．
3．（2020·全国课时练习）小丽、小明在400米环形跑道上练习跑步，小丽每分钟跑220米，小明每分钟
跑260米．两人同时由同一起点同向跑，几分钟以后，小丽与小明第一次相遇？
【答案】10分钟以后，小丽与小明第一次相遇．
【解析】设x分钟以后，小丽与小明第一次相遇，
由题意得： ，
解得 ，
答：10分钟以后，小丽与小明第一次相遇．
4．（2020·河南内黄·初一期末）教育部明确要求中小学生每天要有2小时体育锻炼，周末朱诺和哥哥在
米的环形跑道上骑车锻炼，他们在同一地点沿着同一方向同时出发，骑行结束后两人有如下对话：
朱诺：你要 分钟才能第一次追上我．
哥哥：我骑完一圈的时候，你才骑了半圈！
（1）请根据他们的对话内容，求出朱诺和哥哥的骑行速度（速度单位：米/秒）；
（2）哥哥第一次追上朱诺后，在第二次相遇前，再经过多少秒，朱诺和哥哥相距 米?
【答案】（1）朱诺和哥哥的骑行速度分别为 米/秒， 米/秒；（2）哥哥第一次追上朱诺后，在第二次
相遇前，再经过60秒或540秒，朱诺和哥哥相距 米．
【解析】（1）设朱诺的骑行速度为 米/秒，则哥哥的骑行速度为 米/秒，10分钟=600秒，
根据题意得：600 -600 =1000，
解得： = ， = ；
答：朱诺和哥哥的骑行速度分别为 米/秒， 米/秒；
（2）设哥哥第一次追上朱诺后，在第二次相遇前，在经过t秒，朱诺和哥哥相距100米．
①当哥哥超过朱诺100米时，根据题意得：
t - = 100，
解得：t = 60(秒)，
②当哥哥还差100米赶上朱诺时，根据题意得：
t - =1000-100，
解得：t = 540，
答：哥哥第一次追上朱诺后，在第二次相遇前，再经过60秒或540秒，朱诺和哥哥相距 米．
5．（2020·武邑宏达实验学校初二月考）甲乙两人在一环形场地上锻炼，甲骑自行车，乙跑步，甲比乙每
分钟快200m，两人同时从起点同向出发，经过3min两人首次相遇，此时乙还需跑150m才能跑完第一圈．
求甲、乙两人的速度分别是每分钟多少米？ 列方程或者方程组解答
若两人相遇后，甲立即以每分钟300m的速度掉头向反方向骑车，乙仍按原方向继续跑，要想不超过
两人再次相遇，则乙的速度至少要提高每分钟多少米？
【答案】 甲的速度是每分钟350米，乙的速度是每分钟150米； 50米．
【解析】解： 设乙的速度为每分钟 米，则甲的速度为每分钟 米，依题意有
，
解之得： ，
．
答：甲的速度是每分钟350米，乙的速度是每分钟150米．
（2）
，
答：乙的速度至少要提高每分钟50米．
6．（2020·福建省惠安科山中学初一月考）如图，甲、乙两位同学在长方形的场地ABCD上绕着四周跑步，甲沿着A－D－C－B－A方向循环跑步，同时乙沿着B－C－D－A－B方向循环跑步，AB＝30米，BC＝
50米，若甲速度为2米/秒，乙速度3米/秒．
（1）设经过的时间为t秒，则用含t的代数式表示甲的路程为 米；
（2）当甲、乙两人第一次相遇时，求所经过的时间t为多少秒？
（3）若甲改为沿着A－B－C－D－A的方向循环跑步，而乙仍按原来的方向跑步，两人的速度不变，求经
过多少秒，乙追上甲？
（4）在（3）的条件下，当乙第一次追上甲后继续跑步，则最少再经过 秒乙又追上甲，这时两人所处的
位置在点P；直接写出 的值，在图中标出点P，不要求书写过程．
【答案】（1）2t米；（2）26秒；（3）130秒；（4）160，P点详见解析.
【解析】解：（1）表示甲的路程为2t米；
（2） （秒）；
答：当甲、乙两人第一次相遇时，求所经过的时间t为26秒.
（3）设时间为t秒，则
3t-2t=130
解得t=130
答：经过130秒，乙追上甲.
（4）130×2=260（米）
260-（50+30）×2=100（米）
100-80=20（米）
所以（3）中乙追上甲的地点在CD上，离C点20米的地方；
若乙再次追上甲的时间为a秒,则
3a-2a=160
解得a=160
160×2=320（米）
320÷160=2（圈）
所以第二次乙追上甲的地方跟（3）一样，在CD上，离C点20米的地方；
P点如图考点7：行程问题中的往返运动问题
典例：（2019·哈尔滨市第四十九中学校初一月考）渔夫在静水划船总是每小时5里，现在逆水行舟，水流
速度是每小时3里；一阵风把他帽子吹落在水中，假如他没有发现，继续向前划行；等他发觉时人与帽子
相距2.5里；
于是他立即原地调头追赶帽子，原地调转船头用了10分钟．
计算：
（1）求顺水速度，逆水速度是多少？
（2）从帽子丢失到发觉经过了多少时间？
（3）从发觉帽子丢失到捡回帽子经过了多少时间？
【答案】（1）顺水速度是每小时8里，逆水速度是每小时2里；（2）从帽子丢失到发觉经过了0.5小时；
（3）从发觉帽子丢失到捡回帽子经过 小时
【解析】(1)∵顺水速度=静水速度+水流速度，
逆水速度=静水速度﹣水流速度，
∴顺水速度是5+3=8，逆水速度是5﹣3=2，
答：顺水速度是每小时8里，逆水速度是每小时2里；
(2)设从帽子丢失到发觉经过了x小时．
根据题意，得：
，
解得：x=0.5，
答：从帽子丢失到发觉经过了0.5小时；
(3)设原地调转船头后到捡回帽子经过了y小时，
则从发觉帽子丢失到捡回帽子经过(y+ )小时．根据题意，得：
(5+3)y=2.5+3×(y+ )
解得：y= ．
∴y+ =
答：从发觉帽子丢失到捡回帽子经过 小时．
方法或规律点拨
本题主要考查了一元一次方程的应用，根据已知表示出小船与了、帽子行驶路程是解题关键．
巩固练习
1．（2020·广东郁南·初一期末）某中学学生步行到郊外旅行，七年级 班学生组成前队，步行速度为4
千米 小时，七 班的学生组成后队，速度为6千米 小时；前队出发1小时后，后队才出发，同时后队
派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑车的速度为10千米 小时．
后队追上前队需要多长时间？
后队追上前队的时间内，联络员走的路程是多少？
七年级 班出发多少小时后两队相距2千米？
【答案】（1）后队追上前队需要2小时；（2）联络员走的路程是20千米；（3）七年级 班出发 小
时或2小时或4小时后，两队相距2千米
【解析】 设后队追上前队需要x小时，
根据题意得：
，
答：后队追上前队需要2小时；
千米，
答：联络员走的路程是20千米；
设七年级 班出发t小时后，两队相距2千米，
当七年级 班没有出发时， ，
当七年级 班出发，但没有追上七年级 班时， ，，
当七年级 班追上七年级 班后， ，
，
答：七年级 班出发 小时或2小时或4小时后，两队相距2千米．
2．（2020·全国）甲、乙两城相距800千米，一辆客车从甲城开往乙城，车速为 千米 小时，
同时一辆出租车从乙城开往甲城，车速为90千米 小时，设客车行驶时间为 小时
当 时，客车与乙城的距离为多少千米 用含a的代数式表示
已知 ，丙城在甲、乙两城之间，且与甲城相距260千米
求客车与出租车相距100千米时客车的行驶时间； 列方程解答
已知客车和出租车在甲、乙之间的服务站M处相遇时，出租车乘客小王突然接到开会通知，需要立即
返回，此时小王有两种返回乙城的方案：
方案一：继续乘坐出租车到丙城，加油后立刻返回乙城，出租车加油时间忽略不计；
方案二：在M处换乘客车返回乙城．
试通过计算，分析小王选择哪种方案能更快到达乙城？
【答案】 客车与乙城的距离为 千米； 客车的行驶时间是 小时或 小时；
小王选择方案二能更快到达乙城
【解析】 当 时，客车与乙城的距离为 千米；
解：设当客车与出租车相距100千米时客车的行驶时间是t小时
a：当客车和出租车没有相遇时
解得：
b：当客车和出租车相遇后
解得：
当客车与出租车相距100千米时客车的行驶时间是 小时或 小时
小王选择方案二能更快到达乙城 解：设客车和出租车x小时相遇
，
此时客车走的路程为350km，出租车的路程为450km
丙城与M城之间的距离为90km方案一：小王需要的时间是
方案二：小王需要的时间是
小王选择方案二能更快到达乙城．
3．（2020·重庆万州·初一期末）5月的第二个周日是母亲节，小东为了精心设计一份手工礼物送给妈妈，
为尽快完成手工礼物，小东骑自行车到位于家正西方向的商店购买材料．小东离家15分钟时自行车出现故
障，小东立即打电话通知在家看报纸的父亲贺明带上工具箱来帮忙维修，同时小东以原来一半的速度推着
自行车继续走向商店．父亲贺明接到电话后（接电话时间忽略不计），立即骑车出发追赶小东，15分钟时
追上小东，并修好了自行车，父亲贺明以原速返家，小东以原骑行速度骑车前往商店，10分钟时到达商店，
此时两人相距5000米．
（1）求父亲贺明和小东骑车的速度；
（2）求小东家到商店的路程．
【答案】（1）父亲贺明骑车的速度为300米/分钟，小东骑车的速度200米/分钟；（2）6500米．
【解析】解：设小东骑车速度为x米/分钟，则父亲贺明骑车速度＝ ＝ x（米/分钟），
由题意可得：10x+10× x＝5000，
∴x＝200
∴ x＝300米/分钟，
答：父亲贺明骑车的速度为300米/分钟，小东骑车的速度200米/分钟；
（2）小东家到商店的路程＝15×200+15×100+10×200＝6500（米），
答：小东家到商店的路程为6500米．
4．（2018·吉林农安·初一期末）A、B两地之间路程是200千米，甲、乙两车同时从A地出发，沿同一路
线匀速行驶，前往B地，甲车行驶到B地后立即返回．已知甲车速度是乙车速度的1.5倍，两车行驶2小
时相遇．
（1）求甲、乙两车的速度；
（2）当两车相遇时，求甲车距B地的路程．
【答案】（1）甲车的速度为120千米/小时，乙车的速度为80千米/小时；（2）当两车相遇时，甲车距B
地的路程为40千米．
【解析】（1）设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为1.5x千米/小时，
根据题意得：2（1.5x+x）＝200×2，
解得：x＝80，
∴1.5x＝1.5×80＝120．
答：甲车的速度为120千米/小时，乙车的速度为80千米/小时．（2）120×2﹣200＝40（千米）．
答：当两车相遇时，甲车距B地的路程为40千米．
5．（2020·黑龙江牡丹江·初一期末） ， 两地相距240千米，乙车从 地驶向 地，行驶80千米后，
甲车从 地出发驶向 地，甲车行驶5小时到达 地，并原地休息．甲、乙两车匀速行驶，乙车速度是甲
车速度的 倍．
（1）甲车的行驶速度是 千米/时，乙车的行驶速度是 千米/时；
（2）求甲车出发后几小时两车相遇；(列方程解答此问)
（3）若乙车到达 地休息一段时间后按原路原速返回，且比甲车晚1小时到达 地．乙车从 地出发到
返回 地过程中，乙车出发 小时，两车相距40千米．
【答案】（1）48，80 （2）1.25 （3）2.5
【解析】（1）甲车的行驶速度： （千米/小时）
乙车的行驶速度： （千米/小时）；
（2）设甲车出发后x小时两车相遇
解得
故甲车出发后1.25小时两车相遇；
（3）∵乙车比甲车晚1小时到达 地
∴甲车到达B地时，乙车距B地80千米
∵
∴在乙车从A地返回B地的过程中，两车的距离不断地缩短
故在甲车到达B地后，乙车再行驶0.5小时，两车相距40千米
∴乙车行驶时间 小时
故乙车出发2.5小时，两车相距40千米．
6．（2018·山西初一月考）小明每天早上要在7:50之前赶到距家1000 m的学校．小明每天以80 m/min的
速度出发．
（1）小明出发5 min后，小明的爸爸发现他忘了带数学书．于是，爸爸立即以 180 m/min的速度去追小明，
并且在途中追上了小明．爸爸追上小明用了多长时间？
（2）小明出发 8 min后，妈妈急于上班，门锁碰上时，发现忘带手机和钥匙，于是立即以120 m/min的速
度去追小明拿钥匙．请问妈妈能否在小明进学校前追上小明．
【答案】（1）爸爸追上小明用了 ；（2）妈妈不能在小明进学校前追上小明
【解析】解： 设爸爸追上小明用了 ．根据题意，得：
解方程，得： ．
答：爸爸追上小明用了 ．
不能．
理由如下：设妈妈追上小明用了
根据题意，得：
解方程，得： ．
（米）；
，
∴妈妈追上小明需走 ，不符合实际．
妈妈不能在小明进学校前追上小明．
7．（2020·河南确山·初一期末）七年级（1）班的全体同学排成一列步行去市博物馆参加科技活动，小涛
担任通讯员.在队伍中，小涛先数了一下他前后的人数，发现前面的人数是后面人数的2倍，他往前超了8
名同学后，发现前面的人数和后面的人数一样．
（1）七年级（1）班有多少名同学？
（2）这些同学要过一座长60米的大桥，安全起见，相邻两个同学间保持相同的固定距离，队伍前进速度
为1.2米/秒，从第一名同学刚上桥到全体通过大桥用了90秒，则队伍的全长为多少米？
（3）在（2）的条件下，排在队尾的小刚想把一则通知送到队伍最前的小婷手中，若小刚从队尾追赶小婷
的速度是4.2米/秒，他能在15秒内追上小婷吗？说明你的理由．
【答案】（1）七年级（1）班共有49名同学；（2）队伍全长48米；（3）不能，理由见解析．
【解析】解：（1）设小涛第一次数人数的时候他后面有 名同学，则他前面有 名同学，
依题意，得 ，
解得 .
则
七年级（1）班共有49名同学
（2）设队伍全长 米.
依题意，得 ，
解得
队伍全长48米
（3）不能
理由：设小刚 秒追上小婷.
依题意得： ，
解得 ，小刚不能在15秒内追上小婷.
8．（2020·四川龙泉驿·初一期末）小明每天早上要到距家1000米的学校上学，一天，小明以80米/分钟的
速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘带了数学书，于是，爸爸立即以180米/分钟的速度去追赶小明．
（1）若爸爸在途中追上了小明，请问爸爸追上小明用了多长时间？
（2）若爸爸出发2分钟后，小明也发现自己忘带数学书，于是他以100米/分钟往回走，与爸爸在途中相
遇了，请问这种情况下爸爸出发多久追上小明？
（3）小明家养了一条聪明伶俐的小狗，小狗跟着爸爸冲出了门，以240米/分钟的速度去追小明，小明看
到小狗的一刹那醒悟到自己忘了带数学书，立即以120米/分钟的速度往回返，小狗仍以原速度往爸爸这边
跑，跑到爸爸身边又折回往小明身边跑，直到爸爸和小明相遇方停下，随后又跟着爸爸回到家，请问小狗
从出门到回家共跑了多少米？
【答案】（1）爸爸追上小明用了4分钟；（2）爸爸出发 分钟追上小明；（3）小狗从出门到回家共跑
了1260米．
【解析】（1）设小明爸爸追上小明用了x分钟，依题意得：
，
解得x＝4，
答：爸爸追上小明用了4分钟；
（2）设爸爸出发y分钟追上小明，依题意得：
，
解得 ，
答：爸爸出发 分钟追上小明；
（3） （分），
（分），
（米）．
答：小狗从出门到回家共跑了1260米．
