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第 04 章 重点突破训练：与线段和角有关的证明与计算
考点体系
考点1：与线段有关的计数问题
典例：（2018·内蒙古宁城·初一期末）探究归纳题：
(1)试验分析：
如图1，经过A点与B、C两点分别作直线，可以作____________条；同样，经过B点与A、C两点分别作
直线，可以作______________条；经过C点与A、B两点分别作直线，可以作___________条.
通过以上分析和总结，图1共有___________条直线.
（2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：
图2共有_____________条直线；
图3共有_____________条直线；
(3)探索归纳：
如果平面上有n(n≥3)个点，且每3个点均不在同一直线上，经过其中两点共有________条直线．(用含n的
式子表示)
(4)解决问题：
中职篮（CBA）2017——2018赛季作出重大改革，比赛队伍数扩充为20支，截止2017年12月21日赛程
过半，即每两队之间都赛了一场，请你帮助计算一下一共进行了多少场比赛？
【答案】（1）2 2 2 3 （2）6 10 （3） （4）190
【解析】（1）2；2；2；3；
（2）6；10；
（3）
（4）当n=20时， = （场）.
故一共进行了190场比赛.
方法或规律点拨
本题考查了直线射线和线段，要知道从一般到具体的探究方法，并找到规律．
巩固练习
1．（2019·河南许昌·）观察表格：
2条直线
1条直线 3条直线 4条直线
1个交点
0个交点 （1+2）个交点 （1+2+3）个交点
平面分成（1+1+2）
平面分成（1+1）块 平面分成（1+1+2+3）块 平面分成（1+1+2+3+4）块
块
根据表格中的规律解答问题：（1）5条直线两两相交，有 个交点，平面被分成 块；
（2）n条直线两两相交，有 个交点，平面被分成 块；
（3）应用发现的规律解决问题：一张圆饼切10刀（不许重叠），最多可得到 块饼．
【答案】（1）10，16；（2） n(n﹣1)；1+ n(n+1)；（3）56
【解析】解：（1）5条直线两两相交，有10个交点，平面被分成16块；
故答案为：10，16；
（2）2条直线相交有1个交点；
3条直线相交有1+2＝3个交点；
4条直线相交有1+2+3＝6个交点；
5条直线相交有1+2+3+4＝10个交点；
6条直线相交有1+2+3+4+5＝15个交点；
…
n条直线相交有1+2+3+4+…+(n﹣1)＝ n(n﹣1)；
平面被分成1+1+2+3+4+…+(n+1)＝1+ n(n+1)；
故答案为： n(n﹣1)；1+ n(n+1)；
（3）当n＝10时， （块），
故答案为：56
2．（2019·全国）平面内5条相交直线最多可以有几个交点？ 条直线呢？
【答案】10个交点； 个.
【解析】解：平面内2条直线相交有1个交点，第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1＋
2＝3个交点，第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1＋2＋3＝6个交点，第5条直线和前
4条直线都相交，增加了4个交点，得1＋2＋3＋4＝10个交点；
第n条直线和前n−1条直线都相交，增加了n−1个交点，得1＋2＋3＋…n−1，其和为：1＋2＋3＋…n−1＝个交点．
3．（2018·浙江全国·初一课时练习）观察图形找出规律，并解答问题．
(1)5条直线相交，最多有_____个交点，平面最多被分成_____块；
(2)n条直线相交，最多有__________个交点，平面最多被分成____________块．
【答案】(1)10,16;(2) ,[1＋ ]
【解析】如图，
（1）任意画2条直线，它们最多有1个交点；
（2）任意画3条直线，它们最多有3个交点；
（3）任意画4条直线（只画交点个数最多的情况），最多有6个交点；
（4）5条直线最多有10个交点；
n条直线最多有 n（n-1）个交点．
一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成4部分，三条直线最多可以把平面分成7
部分，四条直线最多可以把平面分成11部分，可以发现，两条直线时多了2部分，三条直线比原来多了3
部分，四条直线时比原来多了4部分，…，n条时比原来多了n部分．
因为n=1，a=1+1，
1
n=2，a=a+2，
2 1
n=3，a=a+3，
3 2n=4，a=a+4，
4 3
…
n=n，a=a-1+n，
n n
以上式子相加整理得，a=1+1+2+3+…+n=1+ ．
n
当n=5时，1+ =16．
4．（2019·全国初一）往返于A、B两地的客车,途中要停靠C、D两个车站,如图所示. 则需要设定几种不
同的票价?需要准备多少种车票?
【答案】设定6种，准备12种车票.
【解析】总线段条数为3+2+1=6,所以需要设定6种不同的票价.因为同一段路,往返时起点和终点正好相反,
所以需要准备12种车票.
5．（2019·全国初一课时练习）（1）观察思考：如图，线段AB上有两个点C、D，请分别写出以点A、
B、C、D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；
（2）模型构建：如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你
结论的正确性；
（3）拓展应用：8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场
比赛），那么一共要进行多少场比赛？
请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题.
【答案】（1）6；（2） ；（3）28
【解析】解：(1)∵以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD，
以点C为左端点向右的线段有线段CD、CB，
以点D为左端点的线段有线段DB，
∴共有3+2+1=6条线段；(2)
理由：设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，
则x=(m−1)+(m−2)+(m−3)+…+3+2+1，
∴倒序排列有x=1+2+3+…+(m−3)+(m−2)+(m−1)，
∴2x=m+m+…+m,(m−1)个m,
(3)把8位同学看作直线上的8个点，每两位同学之间的一场比赛看作为一条线段，
直线上8个点所构成的线段条数就等于比赛的场数，
因此一共要进行 场比赛.
考点2：线段作图与计算的综合题
典例：（2020·恩施市崔坝镇民族中学初一期末）如图，平面上有射线AP和点B，C，请用尺规按下列要
求作图：
（1）连接AB，并在射线AP上截取AD＝AB；
（2）连接BC、BD，并延长BC到E，使BE＝BD．
（3）在（2）的基础上，取BE中点F，若BD＝6，BC＝4，求CF的值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）CF的值为1
【解析】解：如图所示，
（1）连接AB，并在射线AP上截取AD＝AB；（2）连接BC、BD，并延长BC到E，使BE＝BD．
（3）在（2）的基础上，
∵BE＝BD＝6，BC＝4，
∴CE＝BE﹣BC＝2
∵F是BE的中点，
∴BF＝ ＝ ＝3
∴CF＝BC﹣BF＝4﹣3＝1．
答：CF的值为1．
方法或规律点拨
本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是根据语句准确画图．
巩固练习
1．（2020·全国单元测试）如图所示，已知线段 的长为 ．
（1）用直尺和圆规按所给的要求作图：点 在线段 的延长线上，且 ；
（2）在上题中，如果在线段 上有一点 ，且线段 、 长度之比为 ，求线段 的长．
【答案】（1）见解析；（2）3.5cm或1.4xcm
【解析】（1）反向延长BA，以点A为圆心，AB为半径作圆交BA的延长线于点C，则线段AC即为所求;
（2）当 在线段 上时，
∵ , ，
∴ .∵ ，
∴ ．
当 在线段 上时，∵ ， ，
∴ .∵ ，
∴ ．
2．（2020·福建宁化·初一期末）如图，已知线段a和线段AB，
（1）延长线段AB到C，使BC＝a（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若AB＝5，BC＝3，点O是线段AC的中点，求线段OB的长．
【答案】（1）见解析；（2） OB长为1．
【解析】解：（1）如图：延长线段AB，在AB的延长线上截取BC＝a．
（2）∵AB＝5，BC＝3，
∴AC＝8，
∵点O是线段AC的中点，
∴AO＝CO＝4，
∴BO＝AB﹣AO＝5﹣4＝1，
∴OB长为1．
3．（2020·河北涞源·初一期末）已知：如图，线段AB.
（1）根据下列语句顺次画图.
① 延长线段AB至C，使BC=3AB，
② 画出线段AC的中点D.
（2）请回答：
① 图中有几条线段；
② 写出图中所有相等的线段.
【答案】（1）画出图形，如图所示见解析；（2）① 6；② .【解析】解：(1)画出图形，如图所示.
(2)①图中的线段有：AB、BD、DC、AD、BC、AC，共6条；
②相等的线段有：AB=BD，AD=CD.
故答案为：(1)画图见解析；(2)①6；②AB=BD，AD=CD.
4．（2019·广西防城港·初一期末）如图，已知线段a和射线OA，射线OA上有点B．
（1）用圆规和直尺在射线OA上作线段CD，使点B为CD的中点，点C在点B的左边，且BC=a．（不用
写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的基础上，若OB=12cm，OC=5cm，求线段OD的长．
【答案】（1）详见解析；（2）19cm
【解析】解：（1）如图所示：以B为圆心，a的长为半径画弧，交OA于C、D两点
（2）∵OB=12cm，OC = 5cm，
∴ BC= OB -OC =12-5 =7cm，
∵ B为CD的中点，
∴ BC =BD = 7cm，
∴ OD = OB +BD =12+7 = 19cm．
5．（2019·江苏沛县·初一期末）如图，已知四点A、B、C、D．
（1）用圆规和无刻度的直尺按下列要求与步骤画出图形：
①画直线AB．
②画射线DC．③延长线段DA至点E，使 ．(保留作图痕迹)
④画一点P，使点P既在直线AB上，又在线段CE上．
（2）在（1）中所画图形中，若 cm， cm，点F为线段DE的中点，求AF的长．
【答案】（1）见解析；（2）0.5cm．
【解析】解：（1）如图，该图为所求，
(2)∵AB=2cm，AB=AE，
∴AE=2cm，AD=1cm，
∵点F为DE的中点，
∴EF= DE= cm，
∴AF=AE-EF=2- = cm；
∴AF=0.5cm.
6．（2019·广东龙华·初一期末）如图，已知不在同一条直线上的三点 、 、 ，其中 ，且
．
（1）按下列要求作图（用尺规作图，保留作图痕迹）
①作射线 ；
②在线段 上截取 ；
③在线段 上截取 ．恭喜您！通过刚才的动手操作画图，你作出了闻名世界的“黄金分割点”．像这样点 就称为线段 的
“黄金分割点”．
（2）阅读下面材料，并完成相关问题；
黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分的长约是全长的0．618倍，则称这个点为黄金分
割点．如图， 为线段 上一点，如果 ，那么点 为线段 的黄金分割点．
已知某舞台的宽为30米，一次演出时两位主持人分别站在舞台 上的两个黄金分割点 和 处，如图，
则这两位主持人之间的距离 约为_________米．
【答案】（1）见解析；（2）7.08
【解析】解：（1）如图1，点E就称为线段AB的“黄金分割点”；
（2）∵点Q是MN的黄金分割点，
∴MQ≈0.618MN＝18.54，
∴QN＝MN﹣MQ＝11.46，
∵点P是MN的黄金分割点，
∴NP≈0.618MN＝18.54，
∴PQ＝NP﹣QN＝18.54﹣11.46＝7.08（米），
故答案为：7.08．
7．（2019·闽清县教育局初一期末）如图，已知线段a，b，用尺规作图（不用写作法，保留作图痕迹），
并填空．
（1）作线段AB，使得AB＝a＋b；（2）在直线AB外任取一点C，连接AC，BC，可得AC＋BC AB（填“＜”或“＞”号），理由
是 ．
【答案】（1）图见解析； （2）＞；两点之间线段最短．
【解析】
（1）如图所示：
（2）由题意，得AC＋BC＞AB
理由是两点之间线段最短.
考点3：动点有关的线段问题
典例：（2020·江西东湖·期末）已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从
M、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段
BM上）
（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝ ，DM＝ ；（直接填空）
（2）当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．
（3）若点C、D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝ （填空）
（4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求 的值．
【答案】（1）2，4；（2）6 cm；（3）4；（4） 或1．
【解析】（1）根据题意知，CM＝2cm，BD＝4cm，
∵AB＝12cm，AM＝4cm，
∴BM＝8cm，
∴AC＝AM﹣CM＝2cm，DM＝BM﹣BD＝4cm，
故答案为：2cm，4cm；
（2）当点C、D运动了2 s时，CM＝2 cm，BD＝4 cm
∵AB＝12 cm，CM＝2 cm，BD＝4 cm
∴AC+MD＝AM﹣CM+BM﹣BD＝AB﹣CM﹣BD＝12﹣2﹣4＝6 cm；（3）根据C、D的运动速度知：BD＝2MC，
∵MD＝2AC，
∴BD+MD＝2（MC+AC），即MB＝2AM，
∵AM+BM＝AB，
∴AM+2AM＝AB，
∴AM＝ AB＝4，
故答案为：4；
（4）①当点N在线段AB上时，如图1，
∵AN﹣BN＝MN，
又∵AN﹣AM＝MN
∴BN＝AM＝4
∴MN＝AB﹣AM﹣BN＝12﹣4﹣4＝4
∴ ；
②当点N在线段AB的延长线上时，如图2，
∵AN﹣BN＝MN，
又∵AN﹣BN＝AB
∴MN＝AB＝12
∴ ；
综上所述 或1故答案为 或1．
方法或规律点拨
本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题
关键．
巩固练习
1．（2020·浙江镇海·期末）已知数轴上，点 为原点，点 对应的数为9，点 对应的数为 ，点 在点
右侧，长度为2个单位的线段 在数轴上移动．
（1）当线段 在 、 两点之间移动到某一位置时恰好满足 ，求此时 的值．
（2）当线段 在射线 上沿 方向移动到某一位置时恰好满足 ，求此时 的值．
【答案】（1）b=3.5；（2） 或—5
【解析】解：（1）线段AC可以表示为 ，
根据AC=OB，列式 ，解得 ；
（2）当B在O点右侧（或O点）时， ，解得 ，
当B在O点左侧时， ，解得 ，
∴b的值为 或 ．2．（2021·重庆开学考试）如图， 是线段 上任意一点， ， 两点分别从点 开始，
同时向点 运动，且点 的运动速度为 ，点 的运动速度为 ，运动时间为 ．
（1）若 ．
①求运动 后， 的长；
②当点 在线段 上运动时，试说明 ．
（2）如果 ，试探索 的长．
【答案】（1）①3cm；②见解析；（2）9或11
【解析】解：（1）①由题可知：
②
（2）当 时，
当点 在 的右边时，如图所示：
由于
当点 在 的左边时，如图所示：综上所述， 或11
3．（2020·全国初一课时练习）已知 ， 两点在数轴上表示的数为 和 ， ， 均为数轴上的点，
且 ．
（1）若 ， 的位置如图所示，试化简： ；
（2）如图，若 ， ，求图中以 ， ， ， ， 这5个点为端点的所有线段（无
重复）长度的和；
（3）如图， 为 中点， 为 中点，且 ， ，若点 为数轴上一点，且
，试求点 所对应的数．
【答案】（1）b-a；（2）41.6；（3） 或3．
【解析】（1）由已知得 ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；（2）∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴
；
（3）∵ ，
∴ ．
∵ 为 的中点， 为 的中点，
∴ ， ，
∴ ．
又∵ ，
所以 ，
解得 ，
∴ ．
当点 在点 的左边时，点 在原点的左边， ，
故点 所对应的数为 ；
当点 在点 的右边时，点 在原点的右边， ，
故点 所对应的数为3．
综上，点 所对应的数为 或3．
4．（2020·河南太康·初一期末）(1)如图，已知点C在线段AB上，AC＝6 cm，且BC＝4 cm，M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度；
(2)在(1)题中，如果AC＝a cm，BC＝b cm，其他条件不变，你能猜出MN的长度吗？请你用一句简洁的话
表述你发现的规律；
(3)对于(1)题，如果我们这样叙述它：“已知线段AC＝6 cm，BC＝4 cm，点C在直线AB上，M，N分别是
AC，BC的中点，求MN的长度．”结果会有变化吗？如果有，求出结果．
【答案】(1)5 cm;(2)MN＝ cm.MN的长度为线段AC，BC长度和的二分之一．(3)有变化．当AB在点C
同侧时，MN＝1 cm.
【解析】解：(1)∵AC=6cm，BC=4cm，点M，N分别是AC，BC的中点，
(2)
直线上相邻两线段中点间的距离为两线段长度和的一半；
(3)如图，有变化，会出现两种情况：
①当点C在线段AB上时,
②当点C在AB或BA的延长线上时,
5．（2020·深圳市高级中学初一期末）如图，P是线段AB上一点，AB=12cm，C、D两点分别从P、B出
发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上），运动的时间为t.
（1）当t=1时，PD=2AC，请求出AP的长；
（2）当t=2时，PD=2AC，请求出AP的长；
（3）若C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请求出AP的长；
（4）在（3）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ=PQ，求PQ的长.【答案】（1）4cm；（2）4cm；（3）4cm；（4）4cm或12cm
【解析】解：(1) 因为点C从P出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t=1(s)，所以 (cm).
因为点D从B出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t=1(s)，所以 (cm).
故BD=2PC.
因为PD=2AC，BD=2PC，所以BD+PD=2(PC+AC)，即PB=2AP.
故AB=AP+PB=3AP.
因为AB=12cm，所以 (cm).
(2) 因为点C从P出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t=2(s)，所以 (cm).
因为点D从B出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t=2(s)，所以 (cm).
故BD=2PC.
因为PD=2AC，BD=2PC，所以BD+PD=2(PC+AC)，即PB=2AP.
故AB=AP+PB=3AP.
因为AB=12cm，所以 (cm).
(3) 因为点C从P出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t(s)，所以 (cm).
因为点D从B出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t(s)，所以 (cm).
故BD=2PC.
因为PD=2AC，BD=2PC，所以BD+PD=2(PC+AC)，即PB=2AP.
故AB=AP+PB=3AP.
因为AB=12cm，所以 (cm).
(4) 本题需要对以下两种情况分别进行讨论.
(i) 点Q在线段AB上(如图①).
因为AQ-BQ=PQ，所以AQ=PQ+BQ.因为AQ=AP+PQ，所以AP=BQ.
因为 ，所以 .
故 .
因为AB=12cm，所以 (cm).
(ii) 点Q不在线段AB上，则点Q在线段AB的延长线上(如图②).
因为AQ-BQ=PQ，所以AQ=PQ+BQ.
因为AQ=AP+PQ，所以AP=BQ.
因为 ，所以 .
故 .
因为AB=12cm，所以 (cm).
综上所述，PQ的长为4cm或12cm.
6．（2020·山东崂山·初一期末）如图，已知线段AB、a、b．
（1）请用尺规按下列要求作图：（不要求写作法，但要保留作图痕迹）
①延长线段AB到C，使BC＝a；
②反向延长线段AB到D，使AD＝b．
（2）在（1）的条件下，如果AB＝8cm，a＝6m，b＝10cm，且点E为CD的中点，求线段AE的长度．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）AE＝2cm．
【解析】（1）①如图所示，线段BC即为所求，
②如图所示，线段AD即为所求；（2）∵AB＝8cm，a＝6m，b＝10cm，
∴CD＝8+6+10＝24cm，
∵点E为CD的中点，
∴DE＝ DC＝12cm，
∴AE＝DE﹣AD＝12﹣10＝2cm．
7．（2019·河北初三二模）如图，已知数轴上有两点 ，它们的对应数分别是 ，其中
（1）在 左侧作线段 ，在 的右侧作线段 （要求尺规作图，不写作法，保留作图
痕迹）
（2）若点 对应的数是 ，点 对应的数是 ，且 ，求 的值
（3）在（2）的条件下，设点 是 的中点， 是数轴上一点，且 ，请直接写出 的
长
【答案】（1）见解析；（2）c=-68；d=92；（3）28或
【解析】（1）解：如图，线段 为所求的线段
（2）因为
；
（3）分情况讨论：①点N在线段CD上，
由（2）得CD＝92−（−68）＝160，点B对应的数为12−40＝−28，
∴BD＝92−（−28）＝120，
∵点M是BD的中点，
∴点M对应的数为92−60＝32，
∵CN＝4DN，
∴DN＝ CD＝32，
∴点N对应的数为92−32=60，
∴MN＝60−32＝28；
②点N在线段CD的延长线上，
∵CN＝4DN，
∴DN＝ CD＝ ，
∴点N对应的数为92＋ ＝ ，
∴MN＝ −32＝ ．
故 的长为28或 ．
8．（2019·江西贵溪·初一期末）如图，点 是定长线段 上一点， 、 两点分别从点 、 出发以1
厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线 向左运动（点 在线段 上，点 在线段 上）．
（1）若点 、 运动到任一时刻时，总有 ，请说明点 在线段 上的位置；（2）在（1）的条件下，点 是直线 上一点，且 ，求 的值；
（3）在（1）的条件下，若点 、 运动5秒后，恰好有 ，此时点 停止运动，点 继续运
动（点 在线段 上），点 、 分别是 、 的中点，下列结论：① 的值不变；②
的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．
【答案】（1）点P在线段AB的 处；（2） 或 ；（3）结论② 的值不变正确， .
【解析】解：（1）设运动时间为t秒，则 ，
由 得 ，即
， ， ，即
所以点P在线段AB的 处；
（2）①如图，当点Q在线段AB上时，
由 可知 ，
②如图，当点Q在线段AB的延长线上时，，
综合上述， 的值为 或 ；
（3）② 的值不变.
由点 、 运动5秒可得 ，
如图，当点M、N在点P同侧时，
点 停止运动时， ，
点 、 分别是 、 的中点，当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以 ；
如图，当点M、N在点P异侧时，
点 停止运动时， ，
点 、 分别是 、 的中点，
当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以 ；
所以② 的值不变正确， .
考点4：静态图形中的角度计算与证明
典例：（2020·江西东湖·期末）若 的度数是 的度数的k倍，则规定 是 的k倍角.（1）若∠M=21°17'，则∠M的5倍角的度数为 ；
（2）如图1，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，若∠AOC=∠COE，请直接写出图中
∠AOB的所有3倍角；
（3）如图2，若∠AOC是∠AOB的5倍角，∠COD是∠AOB的3倍角，且∠AOC和∠BOD互为补角，
求∠AOD的度数.
【答案】（1）106°25'；（2）∠AOD，∠BOE；（3）120°.
【解析】解：（1） ；
故答案为： .
（2）∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，∠AOC=∠COE，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，
∴∠AOD=3∠AOB，∠BOE=3∠AOB；
∴图中∠AOB的所有3倍角有：∠AOD，∠BOE；
（3）设∠AOB=x，则∠AOC=5x，∠COD=3x.
∴∠BOC=4x，
∵∠AOC和∠BOD互为补角，
∴∠AOC+∠BOD=∠AOC+∠BOC+∠COD=180°，
即5x+7x=180°，
解得：x=15°.
∴∠AOD=8x=120°.
方法或规律点拨
此题主要考查了角的计算以及解一元一次方程，关键是理清图中角之间的关系，掌握两角和为180°为互补．
巩固练习
1．（2020·全国单元测试）如图所示，已知 ， 平分 ， ，，求 、 的度数．
【答案】 ，
【解析】解：由题意得：
平分 ， ，
，
又 ，
，解得 ，
∴ ， ．
2．（2020·岳阳市第十中学初一期末）如图1，已知∠AOB的内部有一条射线OC，OM、ON分别平分
∠AOC和∠BOC．
（1）若∠AOB＝120°，∠BOC＝40°，求∠MON的度数．
（2）若取掉（1）中的条件∠BOC＝40°，只保留∠AOB＝120°，求∠MON的度数．
（3）若将∠AOB内部的射线OC旋转到∠AOB的外部，如图2，∠AOB＝120°，求∠MON的度数，并请
用一句话或一个式子概括你发现的∠MON与∠AOB的数量关系．【答案】（1）∠MON＝60°；（2）∠MON＝60°；（3） ．
【解析】解：（1）∵∠AOB＝120°，∠BOC＝40°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣40°＝80°，
∵OM、ON分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠MOC＝ ， ，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝40°+20°＝60°；
（2）∵OM、ON分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠MOC＝ ， ，
∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB，∠AOB＝120°，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝ ＝ ＝ ＝60°；
（3）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC＝ ∠AOC，∠NOC＝ ∠BOC，
所以∠MON＝∠COM﹣∠CON＝ ∠AOC﹣ ∠BOC＝ （∠AOC﹣∠BOC）＝ ＝ ×120°
＝60° ，
综上可知 ．
3．（2020·甘肃肃州·初一期末）如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝20°，求
∠AOB的度数．【答案】120°
【解析】解：设∠AOC＝x，则∠BOC＝2x．
∴∠AOB＝3x．
又OD平分∠AOB，
∴∠AOD＝1.5x．
∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝1.5x﹣x＝20°．
∴x＝40°
∴∠AOB＝120°．
4．（2019·山西浑源·初一期末）已知∠COD＝90°，且∠COD的顶点O恰好在直线AB上．
（1）如图1，若∠COD的两边都在直线AB同侧，回答下列问题：
①当∠BOD＝20°时，∠AOC的度数为 °；
②当∠BOD＝55°时，∠AOC的度数为 °；
③若∠BOD＝α，则∠AOC的度数用含α的式子表示为 ；
（2）如图2，若∠COD的两边OC，OD分别在直线AB两侧，回答下列问题：
①当∠BOD＝28°30′时，∠AOC的度数为 ；
②如图3，当OB恰好平分∠COD时，∠AOC的度数为 °；
③图2中，若∠BOD＝α，则∠AOC的度数用含α的式子表示为 ．
【答案】（1）①70；②35；③90°－α；（2）①118°30′；②135；③90°＋α
【解析】解：（1）①∵∠AOC+∠COD+∠BOD=180°，∠COD=90°，∠BOD=20°，
∴∠AOC=180°-∠COD-∠BOD=180°-90°-20°=70°．
②∵∠AOC+∠COD+∠BOD=180°，∠COD=90°，∠BOD=55°，
∴∠AOC=180°-∠COD-∠BOD=180°-90°-55°=35°．
③∵∠AOC+∠COD+∠BOD=180°，∠COD=90°，∠BOD=α，
∴∠AOC=180°-∠COD-∠BOD=180°-90°-α=90°-α．
（2）①∵∠COD=∠BOD+∠BOC=90°，∠BOD=28°30′，
∴∠BOC=∠COD-∠BOD=90°-28°30′=61°30′，
∵∠AOC+∠BOC=180°，∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-61°30′=118°30′．
②∵∠COD=90°，OB平分∠COD
∴∠BOC= ∠COD=45°，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-45°=135°．
③∵∠COD=∠BOD+∠BOC=90°，∠BOD=α，
∴∠BOC=∠COD-∠BOD=90°-α，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-(90°-α)=90°+α．
5．（2020·全国初一课时练习）如图，O在直线AC上，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC内．
（1）若OE是∠BOC的平分线，则有∠DOE=90°，试说明理由；
（2）若∠BOE= ∠EOC，∠DOE=72°，求∠EOC的度数．
【答案】（1）见解析；（2）72°
【解析】（1）如图，因为OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，
所以∠BOD= ∠AOB，∠BOE= ∠BOC，
所以∠DOE= （∠AOB+∠BOC）= ∠AOC=90°；
（2）设∠EOB=x，则∠EOC=2x，则∠BOD= （180°–3x），
则∠BOE+∠BOD=∠DOE，
即x+ （180°–3x）=72°，
解得x=36°，
故∠EOC=2x=72°．
6．（2020·湖北广水·初一期末）已知点O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，
并在∠MON内部作射线OC．
（1）如图1，三角板的一边ON与射线OB重合，且∠AOC＝150°．若以点O为观察中心，射线OM表示
正北方向，求射线OC表示的方向；
（2）如图2，将三角板放置到如图位置，使OC恰好平分∠MOB，且∠BON＝2∠NOC，求∠AOM的度数；
【答案】（1）射线OC表示的方向为北偏东60°；（2）∠AOM＝45°；
【解析】解：（1）∵∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝150°﹣90°＝60°，
∴射线OC表示的方向为北偏东60°；
（2）∵∠BON＝2∠NOC，OC平分∠MOB，
∴∠MOC＝∠BOC＝3∠NOC，
∵∠MOC+∠NOC＝∠MON＝90°，
∴3∠NOC+∠NOC＝90°，
∴∠NOC＝22.5°，
∴∠BON＝2∠NOC＝45°，
∴∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON＝180°﹣90°﹣45°＝45°．
7．（2020·全国初一课时练习）如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．(1)如图1，当∠AOB是直角，∠BOC=60°时，∠MON的度数是多少？
(2)如图2，当∠AOB=α，∠BOC=60°时，猜想∠MON与α的数量关系；
(3)如图3，当∠AOB=α，∠BOC=β时，猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理
由．
【答案】（1）45°；（2）∠MON= α．（3）∠MON= α
【解析】解：（1）如图1，∵∠AOB=90°，∠BOC=60°，
∴∠AOC=90°+60°=150°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC= ∠AOC=75°，∠NOC= ∠BOC=30°
∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=45°．
（2）如图2，∠MON= α，
理由是：∵∠AOB=α，∠BOC=60°，
∴∠AOC=α+60°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC= ∠AOC= α+30°，∠NOC= ∠BOC=30°
∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（ α+30°）﹣30°= α．
（3）如图3，∠MON= α，与β的大小无关．
理由：∵∠AOB=α，∠BOC=β，
∴∠AOC=α+β．
∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，∴∠MOC= ∠AOC= （α+β），
∠NOC= ∠BOC= β，
∴∠AON=∠AOC﹣∠NOC=α+β﹣ β=α+ β．
∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC
= （α+β）﹣ β= α
即∠MON= α．
8．（2020·内蒙古杭锦后旗·初一期末）如图，∠AOB＝90°，∠AOC=50°，ON是∠AOC的平分线，OM是
∠BOC的平分线．
（1）求∠MON的大小；
（2）当∠AOC＝ 时，∠MON等于多少度？
【答案】（21）45°；（2）45°
【解析】解：（1）∵∠AOB是直角，∠AOC=50°，
∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+50°=140°，
∵ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线，
∴∠COM= ∠BOC= ×140°=70°，
∠CON= ∠AOC= ×50°=25°，
∴∠MON=∠COM-∠CON
=70°－25°
=45°；（2）当∠AOC= 时，∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+ ，
∵ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线，
∴∠COM= ∠BOC= （90°+ ），
∠CON= ∠AOC= ，
∴∠MON=∠COM－∠CON= （90°+ ）－ =45°.
9．（2019·内蒙古临河·初一期末）已知，O为直线AB上一点，∠DOE=90°．
（1）如图1，若∠AOC=130°，OD平分∠AOC．
①求∠BOD的度数；
②请通过计算说明OE是否平分∠BOC．
（2）如图2，若∠BOE：∠AOE=2：7，求∠AOD的度数．
【答案】（1）①115°；②答案见解析；（2）∠AOD＝50°
【解析】解：（1）①∵OD平分∠AOC，∠AOC=130°，
∴∠AOD=∠DOC= ∠AOC= ×130°=65°，
∴∠BOD=180°－∠AOD=180°－65°=115°；
②∵∠DOE=90°，又∠DOC=65°，
∴∠COE=∠DOE－∠DOC=90°－65°=25°，
∵∠BOD=115°，∠DOE=90°，
∴∠BOE=∠BOD－∠DOE=115°－90°=25°，
∴∠COE=∠BOE，
即OE平分∠BOC；（2）若∠BOE：∠AOE=2：7，
设∠BOE=2x，则∠AOE=7x，
又∠BOE＋∠AOE=180°，∴2x+7x=180°，
∴x=20°，∠BOE=2x=40°，
∵∠DOE=90°，
∴∠AOD＝90°－40°=50°.
10．（2020·辽宁庄河·期末）如图 ，将一副直角三角尺的顶点叠一起放在点 处， ，
， 与 重合，在 外 ，射线 、 分别是 、 的角平分
线
（1）求 的度数；
（2）如图 ，若保持三角尺 不动，三角尺 绕点逆时针旋转 时，其他条件不变，
求 的度数（提示：旋转角 ）
（3）在旋转的过程中，当 时，直接写出 的值．
【答案】（1） ；（2）75º；（3） ．
【解析】（1）∵ ， ，射线 、 分别是 、 的角平分线，
∴∠COM= ∠AOC=45º，∠BON= ∠BOD=30º，
∴∠MON=∠COM+∠BON=75º；（2）∵ ， ， ，
∴∠AOC=90º-nº，∠BOD=60º-nº，
∵射线 、 分别是 、 的角平分线，
∴∠COM= ∠AOC= (90º-nº)= 45º- nº，∠BON= ∠BOD= (60º-nº)=30º- nº，
∴∠MON=∠COM+∠BON+∠BOC=45º- nº+30º- nº+ nº=75º；
（3）由叠合可得 =150 º，
∴ = (150 º-120 º)=15 º.
11．（2019·四川雁江·初一期末）如图，点 为直线 上一点，过点 作射线 ，使 ，
将一直角三角板的直角顶点放在点 处（ ），一边 在射线 上，另一边 在直线
的下方．
（1）将图1中的三角板绕点 逆时针旋转至图2，使一边 在 的内部，且恰好平分 ，求
的度数；
（2）将图1中的三角板绕点 以每秒5〫的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 秒时，直
线 恰好平分锐角 ，求 的值；
将图1中的三角板绕点 逆时针旋转至图3，使一边 在 的内部，请探究 的值．
【答案】（1）35°；（2）11或47；（3）∠AOM-∠NOC=20°．
【解析】解：（1）如图2中，
∵OM平分∠BOC，∴∠MOC=∠MOB，
又∵∠BOC=110°，
∴∠MOB=55°，
∵∠MON=90°，
∴∠BON=∠MON-∠MOB=35°；
（2）（2）分两种情况：
①如图2，∵∠BOC=110°
∴∠AOC=70°，
当当ON的反向延长线平分∠AOC时，∠AOD=∠COD=35°，
∴∠BON=35°，∠BOM=55°，
即逆时针旋转的角度为55°，
由题意得，5t=55°
解得t=11；
②如图3，当射线ON平分∠AOC时，∠NOA=35°，
∴∠AOM=55°，
即逆时针旋转的角度为：180°+55°=235°，
由题意得，5t=235°，
解得t=47，
综上所述，t=11s或47s时，直线ON恰好平分锐角∠AOC；
故答案为：11或47；
（3）∠AOM-∠NOC=20°．
理由：∵∠MON=90°，∠AOC=70°，
∴∠AOM=90°-∠AON，∠NOC=70°-∠AON，
∴∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（70°-∠AON）=20°，
∴∠AOM与∠NOC的数量关系为：∠AOM-∠NOC=20°．
12．（2020·山西浑源·初一期末）综合与探究：
问题情境：如图，已知∠AOB＝90°，射线OC在∠AOB的外部且0°＜∠BOC＜180°．OM是∠AOC的角
平分线，ON是∠BOC的角平分线．
特例探究：（1）如图1，①当∠BOC＝40°时，∠MON的度数为 °；
②当∠BOC＜90°时，求∠MON的度数；
猜想拓广：（2）若∠AOB＝α（0＜α＜90°），
①当∠AOB＋∠BOC＜180°时，则∠MON的度数是 °；（用含α的代数式表示）
②当∠AOB＋∠BOC＞180°时，请在图2中画出图形，并直接写出∠MON的度数．（用含α的代数式表
示）
【答案】（1）①45；②45°；（2）① ②画图见解析； ．
【解析】（1）①
平分
平分
故答案为：45．②如图1，
∵OM是∠AOC的角平分线，ON是∠BOC的角平分线．
∴∠MOC＝ ∠AOC，∠NOC＝ ∠BOC．
∵∠MON＝∠MOC－∠NOC
∴∠MON＝ ∠AOC ∠BOC．
＝ （∠AOC－∠BOC）
＝ ∠AOB＝ ×90°＝45°．
（2）①∵OM是∠AOC的角平分线，ON是∠BOC的角平分线．
∴∠MOC＝ ∠AOC，∠NOC＝ ∠BOC．
∵∠MON＝∠MOC﹣∠NOC
∴∠MON＝ ∠AOC ∠BOC．
＝ （∠AOC﹣∠BOC）
＝ ∠AOB
．
故答案为：
②当∠AOB＋∠BOC＞180°时补全图形如图2．∵OM是∠AOC的角平分线，ON是∠BOC的角平分线．
∴∠MOC＝ ∠AOC，∠NOC＝ ∠BOC．
∵∠MON＝∠MOC＋∠NOC
∴∠MON＝ ∠AOC ∠BOC．
＝ （∠AOC＋∠BOC）
＝
．
所以∠MON的度数为
考点5：与旋转角有关的计算与证明
典例：（2020·全国初一课时练习）[阅读理解]射线 是 内部的一条射线，若
则我们称射线 是射线 的伴随线．例如，如图1， ，则 ，称射线 是
射线 的伴随线：同时，由于 ，称射线 是射线 的伴随线．
[知识运用]
（1）如图2， ，射线 是射线 的伴随线，则 ，若 的度数是
，射线 是射线 的伴随线，射线 是 的平分线，则 的度数是 ．（用
含 的代数式表示）
（2）如图，如 ，射线 与射线 重合，并绕点 以每秒 的速度逆时针旋转，射线
与射线 重合，并绕点 以每秒 的速度顺时针旋转，当射线 与射线 重合时，运动停止，
现在两射线同时开始旋转．
①是否存在某个时刻 （秒），使得 的度数是 ，若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由；
②当 为多少秒时，射线 中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．
【答案】（1） ， ；（2）①存在，当 秒或25秒时，∠COD的度数是20 ；②当 ，
， ， 时，OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．
【解析】（1）∵ ，射线 是射线 的伴随线，根据题意， ，则 ；
∵ 的度数是 ，射线 是射线 的伴随线，射线 是 的平分线，
∴ ， ，
∴ ；
故答案为： ， ；
（2）射线OD与OA重合时， （秒），
①当∠COD的度数是20°时，有两种可能：
若在相遇之前，则 ，
∴ ；
若在相遇之后，则 ，
∴ ；
所以，综上所述，当 秒或25秒时，∠COD的度数是20°；
②相遇之前：
（i）如图1，
OC是OA的伴随线时，则 ，
即 ，∴ ；
（ii）如图2，
OC是OD的伴随线时，
则 ，
即 ，
∴ ；
相遇之后：
（iii）如图3，
OD是OC的伴随线时，
则 ，
即 ，∴ ；
（iv）如图4，
OD是OA的伴随线时，则 ，
即 ，
∴ ；
所以，综上所述，当 ， ， ， 时，OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴
随线．
方法或规律点拨
本题是几何变换综合题，考查了角的计算，考查了动点问题，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的
思想思考问题．
巩固练习
1．（2020·宿迁市钟吾初级中学初一期末）如图，以直线 AB 上一点 O 为端点作射线 OC，使
∠BOC=70°，将一个直角三角形的直角顶点放在点 O 处．（注：∠DOE=90°）
(1)如图①，若直角三角板 DOE 的一边 OD 放在射线 OB 上，则∠COE= °；
(2)如图②，将直角三角板 DOE 绕点 O 逆时针方向转动到某个位置，若 OC 恰好平分∠BOE，求
∠COD 的度数；
(3)如图③，将直角三角板 DOE 绕点 O 转动，如果 OD 始终在∠BOC 的内部， 试猜想∠BOD 和
∠COE 有怎样的数量关系？并说明理由．【答案】（1）20；（2）20 º；（3）∠COE﹣∠BOD=20°．
【解析】（1）如图①，∠COE=∠DOE﹣∠BOC=90°﹣70°=20°；
（2）如图②，∵OC平分∠EOB，∠BOC=70°，
∴∠EOB=2∠BOC=140°，
∵∠DOE=90°，
∴∠BOD=∠BOE﹣∠DOE=50°，
∵∠BOC=70°，
∴∠COD=∠BOC﹣∠BOD=20°；
（3）∠COE﹣∠BOD=20°，
理由是：如图③，∵∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，
∴（∠COE+∠COD）﹣（∠BOD+∠COD）
=∠COE+∠COD﹣∠BOD﹣∠COD
=∠COE﹣∠BOD
=90°﹣70°
=20°，
即∠COE﹣∠BOD=20°．
2．（2020·宿迁市钟吾初级中学初一期末）如图①，已知线段AB=20cm，CD=2cm，线段CD在线段AB上
运动，E、F分别是AC、BD的中点.
（1）若AC=4cm，则EF=_________cm.
（2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变请求出EF的长度，如果
变化，请说明理由.
（3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图②已知 在 内部转动，OE、OF分别平分
在 ，则 、 和 有何关系，请直接写出_______________________.【答案】（1）11（2）11cm（3）
【解析】（1）∵AB=20cm，CD=2cm，AC=4cm，
∴ BD=AB－AC－CD= 20－2－4=14cm，
∵E、F分别是AC、BD的中点，
∴EC=2cm，DF=7cm，
∴EF=2+2+7=11cm；
（2）EF的长度不发生变化，
∵E、F分别是AC、BD的中点，
∴EC= AC，DF= DB，
∴EF=EC+CD+DF
= AC+CD+ DB
= （AC+BD）+CD
= （AB－CD）+CD
= （AB+CD），
∵AB = 20cm， CD = 2cm，
∴EF = （20+2）=11cm；
（3）∠EOF= （∠AOB+∠COD）.理由：∵OE、OF分别平分∠AOC在∠BOD，
∴∠COE= ∠AOC,∠DOF= ∠BOD，
∴∠EOF=∠COE+∠COD+∠DOF
= ∠AOC+∠COD+ ∠BOD
= (∠AOC+∠BOD)+∠COD
= (∠AOB−∠COD)+∠COD
= (∠AOB+∠COD).
故答案为：∠EOF= (∠AOB+∠COD).
3．（2020·江苏南京·南师附中宿迁分校初一期末）已知直线AB过点O，∠COD＝90°，OE是∠BOC的平
分线．
（1）操作发现：①如图1，若∠AOC＝40°，则∠DOE＝
②如图1，若∠AOC＝α，则∠DOE＝ （用含α的代数式表示）
（2）操作探究：将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，②中的结论是否
成立？试说明理由．
（3）拓展应用：将图2中的∠COD绕顶点O逆时针旋转到图3的位置，其他条件不变，若∠AOC＝α，求
∠DOE的度数，（用含α的代数式表示）
【答案】（1）20°， ；（2）成立，理由见详解；（3）180°－ ．
【解析】解：（1）如图1，∵∠COD＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°，
∵∠AOC＝40°，∴∠BOD＝50°，
∴∠BOC＝∠COD＋∠BOD＝90°＋50°＝140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝ ∠BOC＝70°，
∴∠DOE＝∠BOE－∠BOD＝20°，
②如图1，由（1）知：∠AOC＋∠BOD＝90°，
∵∠AOC＝α，
∴∠BOD＝90°﹣α，
∴∠BOC＝∠COD＋∠BOD＝90°＋90°﹣α＝180°﹣α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝ ∠BOC＝90°﹣ α，
∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝90°﹣ α﹣（90°﹣α）＝ α，
（2）（1）中的结论还成立，理由是：
如图2，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＝α，
∴∠BOC＝180°﹣α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠EOC＝ ∠BOC＝90°﹣ α，
∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣（90°﹣ α）＝ α；
（3）如图3，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＝α，
∴∠BOC＝180°﹣α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠EOC＝ ∠BOC＝90°﹣ α，
∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD＋∠COE＝90°＋（90°﹣ α）＝180°﹣ α．
4．（2020·全国初一课时练习）如图①②所示，将两个相同三角板的两个直角顶点O重合在一起．（1）若 ，如图①，请求出 的度数；
（2）若 ，如图②，请求出 的度数；
（3）猜想： 和 的关系（请直接写出答案即可）
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】（1）∵ ，
∴
（2）∵ ，
∴
∴
（3）∠AOD和∠BOC的关系是：∠AOD+∠BOC=180°．理由如下：
如图①，∠AOD+∠BOC=360°－∠AOB－∠DOC=360°－90°－90°=180°；
如图②，∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COD+∠BOC=∠AOC+∠BOC+∠COD=∠AOB+∠COD=90°
+90°=180°．
综上所述：∠AOD+∠BOC=180°．
5．（2020·全国初一课时练习）已知 是 内部的一条射线， ， 分别为 ， 上的点，
线段 ， 同时分别以 ， 的速度绕点 逆时针转动，设转动时间为 ．（1）如图（1），若 ， ， 逆时针转动到 ， 处．
①若 ， 的转动时间 为2，则 ________；
②若 平分 ， 平分 ，求 的值．
（2）如图（2），若 ，当 ， 分别在 ， 内部转动时，请猜想
与 的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①40゜；②60゜；（2） ，理由见解析．
【解析】（1）∵线段OM、ON分别以30°/s、10°/s的速度绕点O逆时针旋转2s，
∴∠AOM′=2×30°=60°，∠CON′=2×10°=20°，
∴∠BON′=∠BOC-20°，∠COM′=∠AOC-60°，
∴∠BON′+∠COM′=∠BOC-20°+∠AOC-60°=∠AOB-80°，
∵∠AOB=120°，
∴∠BON′+∠COM′=120°-80°=40°；
故答案为：40°；
②∵OM′平分∠AOC，ON′平分∠BOC，
∴∠AOM′=∠COM′= ∠AOC，∠BON′=∠CON′= ∠BOC，
∴∠COM′+∠CON′= ∠AOC+ ∠BOC= ∠AOB= ×120°=60°，
即∠MON=60°；
（2）∠COM=3∠BON，理由如下：
设∠BOC= ，则∠AOB=4 ，∠AOC=3 ，
∵旋转t秒后，∠AOM=30t，∠CON=10t，
∴∠COM=3 -30t=3（ -10t），∠NOB= -10t，
∴∠COM=3∠BON．
6．（2020·全国初一课时练习）一个问题解决往往经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下.
（发现猜想）（1）如图①，已知∠AOB＝70°，∠AOD＝100°，OC为∠BOD的角平分线，则∠AOC的度
数为 ；.
（探索归纳）（2）如图①，∠AOB＝m，∠AOD＝n，OC为∠BOD的角平分线. 猜想∠AOC的度数（用
含m、n的代数式表示），并说明理由.
（问题解决）（3）如图②，若∠AOB＝20°，∠AOC＝90°，∠AOD＝120°.若射线OB绕点O以每秒20°逆
时针旋转，射线OC绕点O以每秒10°顺时针旋转，射线OD绕点O每秒30°顺时针旋转，三条射线同时旋
转，当一条射线与直线OA重合时，三条射线同时停止运动. 运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线
夹角的角平分线？
【答案】（1）85°；（2）∠AOC＝ ；理由见解析；（3）经过 ， ，4秒时，其中一条射线是
另外两条射线夹角的平分线.
【解析】（1）85°；
（2）∵∠AOB＝m，∠AOD＝n
∴∠BOD＝n－m
∵OC为∠BOD的角平分线
∴∠BOC＝
∴∠AOC＝ +m＝
（3）设经过的时间为x秒，
则∠DOA＝120°－30x；∠COA＝90°－10x；∠BOA＝20°+20x；
①当在x＝ 之前，OC为OB，OD的角平分线；30－20x＝70－30x，x＝4（舍）；
1
②当x在 和2之间，OD为OC，OB的角平分线；－30+20x＝100－50x，x＝ ；
2③当x在2和 之间，OB为OC，OD的角平分线；70－30x＝－100+50x，x＝ ；
3
④当x在 和4之间，OC为OB，OD的角平分线；－70+30x＝－30+20x，x＝4.
4
答：经过 ， ，4秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线.
7．（2020·全国初一课时练习）如图①， 是直线 上的一点， 是直角， 平分 .
（1）若 ，则 的度数为 ；
（2）将图①中的 绕顶点 顺时针旋转至图②的位置，其他条件不变，探究 和 的度
数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
（3）将图①中的 绕顶点 顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变，直接写出 和
的度数之间的关系.
【答案】(1) 15°；（2）∠AOC=2∠DOE；（3）∠AOC=360°﹣2∠DOE
【解析】解：（1）由已知得∠BOC=180°﹣∠AOC=150°，
又∠COD是直角，OE平分 ∠BOC，
∴∠DOE=∠COD﹣ ∠BOC=90°﹣ ×150°=15°；
（2）∠AOC=2∠DOE；
理由：∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOE=90°﹣∠DOE，
则得∠AOC=180°﹣∠BOC=180°﹣2∠COE=180°﹣2（90°﹣∠DOE），
所以得：∠AOC=2∠DOE；
（3）∠AOC=360°﹣2∠DOE；
理由：∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=2∠COE，
则得∠AOC=180°﹣∠BOE=180°﹣2∠COE=180°﹣2（∠DOE﹣90°），
所以得：∠AOC=360°﹣2∠DOE
8．（2020·全国初一课时练习）如图，以直线 上一点 为端点作射线 ，使 ，在同一
个平面内将一个直角三角板的直角顶点放在点 处.（注： ）
（1）如图1，如果直角三角板 的一边 放在射线 上，那么 的度数为______；
（2）如图2，将直角三角板 绕点 按顺时针方向转动到某个位置，如果 恰好平分 ，求
的度数；
（3）如图3，将直角三角板 绕点 任意转动，如果 始终在 的内部，请直接用等式表示
和 之间的数量关系.【答案】（1） ；（2） ；（3） 或 .
【解析】解：（1）∵ ，
∴
故答案为：
（2）∵ 平分 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（3）∵ ，
∴
∴ 或 ．
故答案为： 或 ．
9．（2020·全国初一课时练习）如图，射线 ， ， ， 分别表示以点 为中心的北，东，南，
西四个方向，点 在点 的北偏东 方向，点 在点 的北偏西 方向．
（1）画出射线 ，若 与 互余，请在图（1）或备用图中画出 ；
（2）若 是 的平分线，直接写出 的度数．（不需要计算过程）
【答案】（1）见解析；（2） 或 ．
【解析】（1）如图所示， 与 即为所求．（2） 的度数为 或 ．
∵∠AON=45°，∠BON=30°，
∴∠AOB=75°，
∵∠BOC与∠AOB互余，
∴∠BOC=∠BOC′=15°，
∴∠AOC=90°，∠AOC=60°，
∵OP是∠AOC的角平分线，
∴∠AOP=45°或30°．
10．（2017·河南平舆·初一期末）如图，已知同一平面内 ， ．
（1）问题发现： 的余角是_____， 的度数是_____；
（2）拓展探究：若 平分 ， 平分 ，则 的度数是_____．
（3）类比延伸：在（2）的条件下，如果将题目中的 改为 ； 改
为 ，其他条件不变，你能求出 吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请
说明理由．【答案】（1）∠AOD，150°；（2）45°；（3） =
【解析】（1）∵ ，
∴∠BOD+∠AOD=90°，
∴ 的余角是∠AOD，
∵ ， ,
∴ =∠AOB+∠AOC=150°，
故答案为：∠AOD，150°；
（2）由（1）知 =150°，
∵ 平分 ，
∴∠COD=75°，
∵ 平分 ，
∴∠COE=30°，
∴ =∠COD-∠COE=45°，
故答案为：45°；
（3）能求出 的度数，
∵ ， ，
∴∠BOC=
∵ 平分 ， ，
∴∠COD= ，
∵ 平分 ，∴∠COE= ，
∴ =∠COD-∠COE= .
11．（2019·沈阳市第七中学初一期中）数学课上小明用一副三角板进行如下操作：把一副三角板中两个直
角的顶点重合，一个三角板固定不动，另一个三角板绕着重合的顶点旋转（两个三角板始终有重合部分）．
（1）当旋转到如图所示的位置时，量出∠α＝25°，通过计算得出∠AOD＝∠BOC＝ ；
（2）通过几次操作小明发现，∠α≠25°时．∠AOD＝∠BOC仍然成立，请你帮他完成下面的说理过程．
理由：因为∠AOC＝∠BOD＝ ；
所以，根据等式的基本性质∠ ﹣∠COD＝∠BOD﹣∠ ；
即∠AOD＝∠ ．
（3）小莹还发现在旋转过程中∠AOB和∠DOC之间存在一个不变的数量关系，请你用等式表示这个数量
关系 ．
【答案】（1）65°；（2）90°，AOC，COD，BOC；（3）∠AOB+∠COD＝180°．
【解析】解：（1）∵∠AOC＝∠BOD＝90°，
∴∠AOD＝∠BOC＝90°﹣α＝90°﹣25°＝65°；
（2）因为∠AOC＝∠BOD＝90°，
所以，根据等式的基本性质∠AOC﹣∠COD＝∠BOD﹣∠COD，
即∠AOD＝∠BOC；
（3）∵∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝90°﹣∠AOD，∠AOB＝∠BOD+∠AOD＝90°+∠AOD，
∴∠AOB+∠COD＝90°+∠AOD+90°﹣∠AOD＝180°．
故答案为：（1）65°；（2）90°，AOC，COD，BOC；（3）∠AOB+∠COD＝180°．
12．（2020·辽宁望花·初一期末）已知点O为直线AB上的一点，∠BOC＝∠DOE＝90°
（1）如图1，当射线OC、射线OD在直线AB的两侧时，请回答结论并说明理由；
①∠COD和∠BOE相等吗？②∠BOD和∠COE有什么关系？
（2）如图2，当射线OC、射线OD在直线AB的同侧时，请直接回答；
①∠COD和∠BOE相等吗？
②第（1）题中的∠BOD和∠COE的关系还成立吗？
【答案】（1）①∠COD＝∠BOE，理由见解析；②∠BOD+∠COE＝180°，理由见解析；（2）①∠COD
＝∠BOE，②成立
【解析】解：（1）①∠COD＝∠BOE，理由如下：
∵∠BOC＝∠DOE＝90°，
∴∠BOC+∠BOD＝∠DOE+∠BOD，
即∠COD＝∠BOE，
②∠BOD+∠COE＝180°，理由如下：
∵∠DOE＝90°，∠AOE+∠DOE+∠BOD＝∠AOB＝180°，
∴∠BOD+∠AOE＝180°﹣90°＝90°，
∴∠BOD+∠COE＝∠BOD+∠AOE+∠AOC＝90°+90°＝180°，
（2）①∠COD＝∠BOE，
∵∠COD+∠BOD＝∠BOC＝90°＝∠DOE＝∠BOD+∠BOE，
∴∠COD＝∠BOE，
②∠BOD+∠COE＝180°，
∵∠DOE＝90°＝∠BOC，
∴∠COD+∠BOD＝∠BOE+∠BOD＝90°，
∴∠BOD+∠COE＝∠BOD+∠COD+∠BOE+∠BOD＝∠BOC+∠DOE＝90°+90°＝180°，
因此（1）中的∠BOD和∠COE的关系仍成立．
13．（2020·河北承德·初一期末）如果两个角的差的绝对值等于 ，就称这两个角互为反余角，其中一个
角叫做另一个角的反余角，例如， ， ， ，则 和 互为反余角，其中 是 的反余角， 也是 的反余角．
如图 为直线AB上一点， 于点O， 于点O，则 的反余角是______，
的反余角是______；
若一个角的反余角等于它的补角的 ，求这个角．
如图2，O为直线AB上一点， ，将 绕着点O以每秒 角的速度逆时针旋转得
，同时射线OP从射线OA的位置出发绕点O以每秒 角的速度逆时针旋转，当射线OP与射线
OB重合时旋转同时停止，若设旋转时间为t秒，求当t为何值时， 与 互为反余角 图中所
指的角均为小于平角的角 ．
【答案】（1） 的反余角是 ， 的反余角是 （2） 或者 （3）当t为
40或者10时， 与 互为反余角
【解析】 的反余角是 ， 的反余角是 ；
设这个角为 ，则补角为 ，反余角为 或者
：当反余角为 时解得：
：当反余角为 时
解得：
答：这个角为 或者
设当旋转时间为t时， 与 互为反余角．
射线OP从射线OA的位置出发绕点O以每秒 角的速度逆时针旋转，当射线OP与射线OB重合时旋转
同时停止，
此时：
．
解得： 或者
答：当t为40或者10时， 与 互为反余角．
15．（2020·河北乐亭·初一期末）直线 上有一点 ，过 作射线 ，嘉琪将一直角三角板的直角顶
点与 重合．（1）嘉琪把三角板 如图1放置，若 ，则 ， ；
（2）嘉琪将直角三角板绕 点顺时针旋转一定角度后如图2，使 平分 ，且 ，
求 的度数．
【答案】（1）30°，120°；（2）∠BOE=72° ．
【解析】(1) ∵ ， ，
∴ ，
，
故答案为：30°，120°；
(2)∵∠COF=2∠AOC，
∴∠AOF=∠COF＋∠AOC
=2∠AOC＋∠AOC
=3∠AOC ，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF=3∠AOC，
∵∠COE=90°，
∴5∠AOC=90°，
∴∠AOC=18°，
∴∠AOE=6∠AOC =6×18°=108°，
∴∠BOE=180°－∠AOE=180°－108°=72° ．
