文档内容
秘密★启用前 〔考试时间：２０２６年４月１４日下午１５∶００—１７∶００〕
乐山市高中 ２０２３级第二次调查研究考试
数 学
（本试卷满分１５０分，考试用时１２０分钟）
注意事项：
１．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
２．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上。写在本试卷上无效。
３．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
１．设Ａ＝{３，５，６，８}，Ｂ＝{４，５，８}，则Ａ∩Ｂ＝
Ａ．{５} Ｂ．{８} Ｃ．{５，８} Ｄ．{３，４，５，６，８}
２．复数ａ＋ｂｉ与ｃ＋ｄｉ的积是实数的充要条件是
Ａ．ａｄ＋ｂｃ＝０ Ｂ．ａｃ＋ｂｄ＝０ Ｃ．ａｃ＝ｂｄ Ｄ．ａｄ＝ｂｃ
３ 槡５
３．在△ＡＢＣ中，ｔａｎＡ＝ ，ｃｏｓＢ＝ ，则ｔａｎＣ＝
４ ５
１１ １１ ２ ２
Ａ． Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．－
２ ２ １１ １１
ｓｉｎｘ
４．函数ｆ（ｘ）＝ 的部分图象可能是
ｅｘ＋ｅ－ｘ
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
高三数学 第 １页（共４页）
书书书５．定义平面斜坐标系 ｘＯｙ，记∠ｘＯｙ＝６０°，ｅ，ｅ分别为 ｘ轴、ｙ轴正方向上的单位向量．若
１ ２
→ →
ＯＰ＝ｘｅ＋ｙｅ，则称（ｘ，ｙ）为Ｐ的斜坐标．已知Ａ，Ｂ的斜坐标分别为（１，２），（２，１），则 ＡＢ ＝
１ ２
Ａ．１ Ｂ．槡２ Ｃ．槡３ Ｄ．槡７
６．在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝槡２，ＡＣ＝２，ＢＣ＝１＋槡３，则△ＡＢＣ的面积是
１＋槡３
Ａ．１ Ｂ．槡２ Ｃ．槡３ Ｄ．
２
７．在（１＋ｘ）２＋（１＋ｘ）３＋（１＋ｘ）４＋…＋（１＋ｘ）ｎ＋２的展开式中，含ｘ２项的系数是
Ａ．Ｃ２ Ｂ．Ｃ３ Ｃ．Ｃ３ Ｄ．Ｃ４
ｎ＋３ ｎ＋３ ｎ＋４ ｎ＋４
８．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买１０ｇ黄金，售货员先将
４ｇ的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将６ｇ的砝码放
在天平右盘中，取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾
客．你认为顾客购得的黄金是
Ａ．大于１０ｇ Ｂ．等于１０ｇ Ｃ．小于１０ｇ Ｄ．无法确定
二、选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求。全部选对的得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分。
９．已知等比数列{ａ}的前ｎ项和为Ｓ，且Ｓ＝７，Ｓ＝６３，则
ｎ ｎ ３ ６
Ａ．公比ｑ＝２ Ｂ．数列{ａ}是单调递减数列
ｎ
Ｃ．ａ＝２ｎ－１ Ｄ．Ｓ＝１－２ｎ
ｎ ｎ
１０．某水果店店长记录了过去３０天苹果的日销售量数据（单位：ｋｇ）：
销量 ［５０，６０） ［６０，７０） ［７０，８０） ［８０，９０） ［９０，１００）［１００，１１０）［１１０，１２０）
频数 １ ０ ４ １１ ８ ４ ２
店长假设日销售量 Ｘ近似服从正态分布 Ｎ（μ，１２．５２），Ｐ（μ－σ＜Ｘ＜μ＋σ）≈０．６８２７，
Ｐ（μ－２σ＜Ｘ＜μ＋２σ）≈０．９５４５，根据上述数据，下列说法正确的有
Ａ．可以估计μ约为９０ｋｇ
Ｂ．日销售量在（７７．５，１０２．５）范围内的天数约为２０天
Ｃ．若日销售量超过１１５ｋｇ的概率为ｐ，则ｐ＜０．０２５
Ｄ．若未来连续３天的日销售量都超过１１５ｋｇ，则说明日销售量不服从正态分布
高三数学 第 ２页（共４页）π ｘ＋２
１１．已知函数 ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（ｗｘ＋ ）两相邻对称中心的距离为４，ｇ（ｘ）＝ｔ（ｘ＋１）－ｌｎ ，且
４ ｘ
Ｈ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ），则下列说法正确的是
π π
Ａ．ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（ ｘ＋ ）
４ ４
Ｂ．Ｈ（ｘ）的对称中心为（３，０）
Ｃ．若ｇ′（ｘ）＝０有两个零点ｘ，ｘ，则ｔ∈（－∞，０）
１ ２
４
Ｄ．当ｇ′（ｘ）＝０其中一个零点ｘ∈［１，＋∞）时，ｇ（ｘ）最小值为－ －ｌｎ３
１ １ ３
三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分。
１２．点Ａ（１，２）在抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）上，Ｆ是抛物线的焦点，则 ＡＦ ＝ ．
π π π π
１３．已知函数 ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（２ｘ＋ ）＋ｃｏｓ（２ｘ－ ）＋ａ在区间［ ， ］上的最小值为 ３，则
６ ３ １２ ２
ａ＝ ．
１４．已知正方体ＡＢＣＤ－ＡＢＣＤ，Ｏ为 ＡＢＣＤ的中心，Ｍ为 ＡＢ 的中点，过 Ｏ、Ｍ两点的平面
１ １ １ １ １ １
Ｖ
将正方体分为两部分，记两部分的体积分别为Ｖ，Ｖ，则 １的取值范围为 ．
１ ２ Ｖ
２
四、解答题：本题共５小题，共７７分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。
１５．（１３分）
已知数列{ａ}的首项ａ＝１，且满足ａ－ａ ＝ｎ（ｎ≥２，ｎ∈Ｎ）．
ｎ １ ｎ ｎ－１
（１）求{ａ}的通项公式；
ｎ
１ １ １
（２）证明： ＋ ＋…＋ ＜２．
ａ ａ ａ
１ ２ ｎ
１６．（１５分）
已知ｆ（ｘ）＝ａｘ３＋ｘ２－ｂ（ａ，ｂ∈Ｒ）．
（１）讨论ｆ（ｘ）的单调性；
（２）当ａ≥０时，ｆ（ｘ）在ｘ∈［１，２］最大值为１０，最小值为０，求此时ａ，ｂ的值．
高三数学 第 ３页（共４页）１７．（１５分）
如图，在四棱锥 Ｐ－ＡＢＣＤ中，ＰＣ⊥平面 ＡＢＣＤ，且底面 ＡＢＣＤ是等腰梯形，ＡＢ∥ＣＤ，
π
∠ＡＢＣ＝ ，ＣＢ＝ＣＤ＝ＣＰ＝１．
３
（１）若平面ＰＡＢ∩平面ＰＣＤ＝ｍ，求证：ｍ∥ＡＢ；
（２）若平面ＰＡＤ∩平面ＰＢＣ＝ｎ，求ｎ与ＡＢ所成角的余弦值．
１８．（１７分）
２０２６年马年春晚《武ＢＯＴ》节目中，宇树科技的人形机器人与塔沟武校的少年武者进行了
一场人机武术对抗赛．假设每局比赛中，机器人获胜的概率为０．６，少年武者获胜的概率为
０．４，且每局胜负相互独立．比赛采用２ｋ＋１局ｋ＋１胜制（即先赢得ｋ＋１局者获胜）．
（１）当ｋ＝１时，记结束比赛时的局数为Ｘ，求Ｘ的分布列和数学期望Ｅ（Ｘ）；
（２）设在该赛制下机器人获胜的概率为Ｐ（ｋ）．
①求Ｐ（１）和Ｐ（２）的值，并比较它们的大小，据此说明ｋ＝１和ｋ＝２哪种赛制对机器人更
有利；
②随着ｋ的增大，机器人获胜的可能性如何变化？证明你的结论．
１９．（１７分）
ｙ２ ｘ２ 槡２ 槡２
已知椭圆Ｃ： ＋ ＝１（ａ＞ｂ＞０）的中心为Ｏ，离心率为 ，且过点（ ，１）．
ａ２ ｂ２ ２ ２
（１）求椭圆Ｃ的标准方程；
（２）直线ｙ＝ｔ，ｔ＞ａ与ｙ轴交于点Ｐ，过点Ｐ的直线ｌ与Ｃ分别交于点Ａ，Ｂ，椭圆的下焦点
为Ｆ，直线ＦＡ，ＦＢ分别交直线ｙ＝ｔ于点Ｍ，Ｎ，记直线ｌ，ＦＡ，ＦＢ的斜率分别为ｋ，ｋ，ｋ．
１ ２
①若ｔ＝２，探究ｋ＋ｋ＋４ｋ是否为定值？若是，求出此值；若不是，请说明理由；
１ ２
②若 ｔ＞ａ，使得Ｏ，Ｆ，Ｍ，Ｎ四点共圆，求ｋ的取值范围．
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