文档内容
四川省字节精准教育联盟2025-2026学年高三下学期4月期中数学试卷
一、单选题
1．已知全集 ，集合 ， ， （ ）
A． B． C． D．
2．复数 满足 （ 为虚数单位），则 的共轭复数的虚部是（ ）
A． B． C．1 D．
3．已知圆锥的底面半径为3，且圆锥的底面积是侧面积的一半，则圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量 ，若 ，则 （ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
5．已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上， ，则点 到直线 的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．已知随机变量 的分布列为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．函数 ， 是（ ）
A．最小正周期为 的偶函数 B．最小正周期为 的奇函数
C．最小正周期为 的偶函数 D．最小正周期为 的奇函数
8．已知 是R上的奇函数，当 时， ，函数 ，若
，则实数x的取值范围是（ ）A． B． C． D．
二、多选题
9．2026年是“十四五”环境治理规划的关键验收年.某市生态环境局为评估AI辅助预测模型的准确性，记
录了某月连续7天的PM2.5预测误差（预测误差＝实际浓度－预测浓度，单位： ）.如下表：
日期 1 2 3 4 5 6 7
预测误差
1 0 3 3
下列关于这7天预测误差 的描述中，正确的有（ ）
A．这组数据的众数是3
B．这组数据的60%分位数是0.5
C．这组数据的方差大于5
D．若第8天该模型预测误差为 ，则加入第8天数据后，新数据组的平均数将变小
10．已知函数 ，则（ ）
A．当 时， 有3个零点
B．当 时， 有两个极值
C．当 时， 在 上单调递减
D． 图象对称中心的横坐标不变
11．已知曲线 为 上一点， 为坐标原点，则（ ）
A．C关于 轴对称
B． 关于 轴对称
C． 的取值范围分别为D． 的最大值为2
三、填空题
12．在数列 中， ，其前n项和为 ，则 ＝______
13．直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，与 交于C、D两点，
，则 __________．
14．在 中，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S，则 的最大值为______
四、解答题
15．已知数列 的首项 ，前 项和为 ，且满足 ．
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
16．某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现
选派3人到法国的学校交流访问．
(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；
(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列和数学期望．
17．把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中 ， ．将
沿 翻折至 ，使得二面角 为直二面角．
(1)证明： 平面 ；(2)若 在同一个球面上，求该球的半径；
(3)求平面 与平面 所成角的余弦值．
18．已知函数 ，其中 .
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若 ，
（i）证明： 在区间 内有且仅有1个零点；
（ii）设 为 的极值点， 为 的零点，且 ，证明： .
19．已知双曲线 左右焦点分别为 ，且 ， 在 上， 为坐标原
点．
(1)求 的方程；
(2)设直线 与 右支交于 两点，且直线 倾斜角互补，记 中点为 ．
（i）判断直线 斜率是否为定值，请说明理由；
（ii）若 不在 上，记 ， ，求 的最大值．参考答案
1．D
【详解】由 ， 可得 ，
又 ，所以 .
2．C
【详解】由题意可得： ，所以 ，所以复数 的共轭复数的虚部为1.
3．A
【详解】设圆锥的体高为 ，母线长为 ，底面半径 ，
则底面积 ，侧面积 ，解得 ，
易知 ，所以体积 .故选：A.
4．A
【详解】因为 ，
则 ，
则 ，
所以 ，
解得 .
5．C
【详解】抛物线 ，其准线方程为： ，因为 ，且点 在 上，
由抛物线定义可知，点 到直线 的距离为3，
因为 与 平行，且距离为2，所以点 到直线 的距离为5.
故选：C
6．A
【详解】依题意，分布列概率之和为1，则 ，解得 .
即 ，所以 .
故选：A.
7．C
【详解】由周期公式可得 的最小正周期是 ，
又 ，是偶函数.
故选：C
8．D
【详解】函数 在 上单调递减，则函数 在 上单调递增，
而 是R上的奇函数，则函数 在 上单调递增，因此函数 在 上单调递增，
当 时， ，则 ，所以 时， ，则 ，故 时， ，
当 时， 在 上单调递增，此时 ，
综上，函数 在 上单调递增，
由 ，得 ，解得 ，
所以实数x的取值范围是 .
9．ACD
【详解】将数据从小到大排序得： ， ， ，0，1，3，3.
对于A，3出现两次，其余一次，众数为3，故A正确；
对于B， ，不是整数，故取第5个数，第5个数为1，故60%分位数为1，故B错误；
对于C，平均数 ，方差 ，故C正确；
对于D，原平均数为0，新数据 小于0，加入后平均数变为 ，确实变小，故D正确.
10．ABD
【详解】对于A，当 时， ，则 ，
所以当 或 时， ，当 时， ，
所以 在 和 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ，所以 有3个零点，故A正确；
对于B，由 ，当 时，方程 的 ，设其两根为
，
易得 在 和 上单调递减，在 上单调递增，故 在 和 处分别取到极
小值和极
大值，所以 有两个极值，故B正确；对于C，由B，当 时， 在 和 上单调递减，在 上单调递增，故C错误；
对于D，因为
，
所以 图象对称中心坐标为 ， ， 图象对称中心的横坐标不变，故D正确.
故选：ABD.
11．ABC
【详解】用 换方程中的 ，化简后方程不变，故 关于 轴对称，
同理可得， 关于 轴对称，故AB均正确；
由 ，得 ，解得 ，同理可得 ，故C正确；
在曲线 上，所以 ，
所以 ，
当 时， 取得最大值 ，故D错误.
故选：ABC.
12．
【详解】由 可得数列 为等比数列，公比为 ，首项为 ,所以
13．
【详解】令 ，得 ，即 ,
令 ，得 ，即 ,
圆心 ， ，所以，直线 经过圆心，,
所以, .
14．
【详解】
（当且仅当 时取等号）.
令 ，
故 ，
因为 ，且 ，
故可得点 表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：
目标函数 上，表示圆弧上一点到点 点的斜率，
由数形结合可知，当且仅当目标函数过点 ，即 时，取得最小值 ，
故可得 ，
又 ，故可得 ，
当且仅当 ，即三角形为等边三角形时，取得最大值.故答案为： .
15．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由 ，①
当 时， ，由 ，解得 ，
当 时， ，②
①-②得： ，即 ，
从而 ，
又因为 ，且 也满足上式，
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）得 ，则 ，
从而 ，
所以 ，
，
令 ，①
则 ，②
①-②得： ，
所以 ，又 ，
所以 ．
16．(1)
(2) 的分布列为
【详解】（1） 名同学中，会法语的人数为 人，
从 人中选派 人，共有 种选法；其中恰有 人会法语共有 种选法；
所以选派的 人中恰有 人会法语的概率 ．
（2）由题意可知， 所有可能的取值为 ，
， ，
， ，
所以 的分布列为
数学期望为 ．
17．(1)证明见解析
(2)(3)
【详解】（1）二面角 为直二面角，即平面 平面 ，
又因为 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ．
又因为 平面 ，所以 ．
由题意 平面 ，
所以 平面 ．
（2）取 中点 中点 ，连接 ，
则 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，所以 ，
在 中， 为 中点，所以 .
以 为正交基底建立如图所示空间直角坐标系 ，
则 ．
设该球的球心坐标为 ，则
解得 .
所以该球的半径为 .（3）法一：取 中点 ，在 中，过 作 ，垂足为 ，连接 ，
平面 平面 平面 ，
平面 平面 ，所以 平面 ．
而 平面 ，故 ，
又因为 ， 平面 ，故 平面 ，
而 平面 ，所以 ，
则 为平面 与平面 的所成角.
直角三角形 中， ，
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 .
法二：平面 的一个法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，则 即
取 ，得平面 的一个法向量为 .所以平面 与平面 所成角的余弦值为 .
18．(1) 的单调递减区间为 ，无单调递增区间；
(2)证明见解析
【详解】（1）求导得： ，
因为 ，对任意 ，都有 ，
所以 的单调递减区间为 ，无单调递增区间；
（2）（i）由（1）知，当 时，令 ，
当 时， ，
故 在 上单调递减，
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 在区间 内存在零点，
即结合 在 上单调递减，
可得 在区间 内有且仅有1个零点 ，且 ；
则当 时， ，当 时， ，
所以 在 单调递增，在 单调递减，
又因为 ，所以根据单调性可知： ，
又因为当 ， ，所以根据零点存在性定理结合函数单调递减，
可知： 在区间 内有且仅有1个零点，
又因为 时，结合 在 单调递增，所以 ，即在区间 函数没有零点，
所以 在区间 内有且仅有1个零点，
（ii）由题意可知： ，即 ，
消 可得： ，
当 时，构造函数 ，
求导得 ，则 在 时单调递增，
即 ，所以 ，
即可知 ，
则 ，
两边取对数得： ，即 .
19．(1)
(2)（i）直线 斜率为定值 ，理由见解析；（ii） ．
【详解】（1）方法①：由题意，则 ，解得 ，
故双曲线方程为 ．
方法②：由题意，则 ，利用定义： ，
，故双曲线方程为 ．
（2）（i）结论：直线 斜率为定值 ，理由如下
讨论：若直线 斜率不存在，记 ，
则 ，记直线 斜率分别为 ，
，不符合题意，舍去．
故直线 斜率存在，设 ，
代入 ，整理得 ，
，则 ，
记直线 斜率分别为 ，
由
，
化简得 ， （ 不符合题意舍去）
此时， ．设直线 斜率为 ， ，故直线 斜率为定值 ．
（ii）方法①：由（i）可知 ， ，
直线 ，记 到 的距离为 ，
，又 ，
同理 ，
令
（当 取等号）
（当且仅当 取等号）
故最大值为 ．
方法②：如图， 中，利用正弦定理记 分别到直线 的距离为 ，
利用双曲线第二定义， ，
由 （ 为 倾斜角） ，
．
（当且仅当 时取等号）
故最大值为 ．
