文档内容
2020年上海市嘉定区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个
选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】
1．（4分）下列四个选项，其中的数不是分数的选项是（ ）
A．﹣4 B． C． D．50%
2．（4分）当x≠0时，下列运算正确的是（ ）
A．x3+x2＝x5 B．x3•x2＝x6 C．（x3）2＝x9 D．x3÷x2＝x
3．（4分）下列关于二次函数y＝x2﹣3的图象与性质的描述，不正确的是（ ）
A．该函数图象的开口向上
B．函数值y随着自变量x的值的增大而增大
C．该函数图象关于y轴对称
D．该函数图象可由函数y＝x2的图象平移得到
4．（4分）一组数据：3，4，4，5，如果再添加一个数据4，那么会发生变化的统计量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
5．（4分）下列图形，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．线段 B．矩形 C．等腰梯形 D．圆
6．（4分）下列四个命题中，真命题是（ ）
A．一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形
B．一组对角相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形
C．一组邻边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形
D．一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
7．（4分）化简 + ＝ ．
8．（4分）函数y＝ 的定义域是 ．
9．（4分）分解因式4x2﹣4x+1＝ ．
10．（4分）方程 ＝3的根是 ．
11．（4分）如果反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过点P（1，3），那么当x＜0时，函数值y随
第1页（共25页）自变量x的值的增大而 （从“增大”或“减小”中选择）．
12．（4分）一个不透明的布袋中有2个红球和4个黑球，它们除颜色外其他都相同，那么从该
布袋中随机取出1个球恰好是红球的概率为 ．
13．（4分）半径长为2的半圆的弧长为 （计算结果保留 ）．
14．（4分）为了调查A学校2400名学生的某一周阅读课外书籍的时π 间（t 单位：时），一个数
学课外活动小组随机调查了A学校120名学生该周阅读课外书籍的时间（t 单位：时），并
绘制成如图所示的频率分布直方图（列频数分布表时，执行了“每个小组可含最小值，不
含最大值”的约定）．请根据以上信息，估计A学校该周阅读课外书籍的时间位于8≤t＜
10之间的学生人数大约为 人．
15．（4分）如图，在正六边形ABCDEF中，如果向量 ＝ ， ，那么向量 用向量 ，
表示为 ．
16．（4分）如图，点A、B、C在 O上，其中点C是劣弧 的中点．请添加一个条件，使得四边
形AOBC是菱形，所添加的⊙这个条件可以是 （使用数学符号语言表达）．
17．（4分）七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形（其中的一个平行四边形是正方
形）组成．用七巧板可以拼出丰富多彩的图形，图中的正方形ABCD就是由七巧板拼成的，
那么正方形EFGH的面积与正方形ABCD的面积的比值为 ．
第2页（共25页）18．（4分）定义：如果三角形的两个内角∠ 与∠ 满足∠ ＝2∠ ，那么，我们将这样的三角
形称为“倍角三角形”．如果一个等腰三α角形是β “倍角α三角形β”，那么这个等腰三角形的
腰长与底边长的比值为 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ．
20．（10分）解分式方程： ．
21．（10分）如图所示的方格纸是由9个大小完全一样的小正方形组成的．点A、B、C、D均在
方格纸的格点（即图中小正方形的顶点）上，线段AB与线段CD相交于点E．设图中每个
小正方形的边长均为1．
（1）求证：AB⊥CD；
（2）求sin∠BCD的值．
第3页（共25页）22．（10分）已知汽车燃油箱中的 y（单位：升）与该汽车行驶里程数 x（单位：千米）是一次函
数关系．贾老师从某汽车租赁公司租借了一款小汽车，拟去距离出发地600公里的目的地
旅游（出发之前，贾老师往该汽车燃油箱内注满了油）．行驶了200千米之后，汽车燃油箱
中的剩余油量为40升； 又行驶了100千米，汽车燃油箱中的剩余油量为30升．
（1）求y关于x的函数关系式（不要求写函数的定义域）；
（2）当汽车燃油箱中的剩余油量为8升的时候，汽车仪表盘上的燃油指示灯就会亮起来．
在燃油指示灯亮起来之前，贾老师驾驶该车可否抵达目的地？请通过计算说明．
23．（12分）已知：△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是边BC的中点，点E在边AB上（点E
不与点A、B重合），点F在边AC上，联结DE、DF．
（1）如图1，当∠EDF＝90°时，求证：BE＝AF；
（2）如图2，当∠EDF＝45°时，求证： ．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知经过点A（﹣3，0）的抛物线y＝ax2+2ax﹣
第4页（共25页）3与y轴交于点C，点B与点A关于该抛物线的对称轴对称，D为该抛物线的顶点．
（1）直接写出该抛物线的对称轴以及点B的坐标、点C的坐标、点D的坐标；
（2）联结AD、DC、CB，求四边形ABCD的面积；
（3）联结AC．如果点E在该抛物线上，过点E作x轴的垂线，垂足为H，线段EH交线段
AC于点F．当EF＝2FH时，求点E的坐标．
25．（14分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，cosB＝ ．动点D从点A出发沿着射线
AC的方向以每秒1cm的速度移动，动点E从点B出发沿着射线BA的方向以每秒2cm的
速度移动．已知点D和点E同时出发，设它们运动的时间为t秒．联结BD．
（1）当AD＝AB时，求tan∠ABD的值；
（2）以A为圆心，AD为半径画 A；以点B为圆心、BE为半径画 B．讨论 A与 B的位
置关系，并写出相对应的t的值⊙． ⊙ ⊙ ⊙
（3）当△BDE为直角三角形时，直接写出tan∠CBD的值．
第5页（共25页）2020年上海市嘉定区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个
选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】
1．（4分）下列四个选项，其中的数不是分数的选项是（ ）
A．﹣4 B． C． D．50%
【分析】依据实数的分类方法进行判断即可．
【解答】解：A、﹣4 是分数，与要求不符；
B、 是分数，与要求不符；
C、 是无理数，不是分数，与要求相符；
D、50%＝ 是分数，与要求不符．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是实数的分类，掌握实数的相关概念和分类方法是解题的关键．
2．（4分）当x≠0时，下列运算正确的是（ ）
A．x3+x2＝x5 B．x3•x2＝x6 C．（x3）2＝x9 D．x3÷x2＝x
【分析】分别根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字
母的指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：
底数不变，指数相乘；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减进行计算即可．
【解答】解：A、不能合并，故原题计算错误；
B、x3•x2＝x5，故原题计算错误；
C、（x3）2＝x6，故原题计算错误；
D、x3÷x2＝x，故原题计算正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方，关键是熟练掌握各计
算法则．
3．（4分）下列关于二次函数y＝x2﹣3的图象与性质的描述，不正确的是（ ）
第6页（共25页）A．该函数图象的开口向上
B．函数值y随着自变量x的值的增大而增大
C．该函数图象关于y轴对称
D．该函数图象可由函数y＝x2的图象平移得到
【分析】根据二次函数的性质逐一判断即可得．
【解答】解：A、由a＝1＞0知抛物线开口向上，此选项描述正确；
B、∵抛物线的开口向上且对称轴为y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而证得，故此选项描
述错误；
由y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1知抛物线的顶点坐标为（1，1），此选项错误；
C、∵抛物线的对称轴为y轴，∴该函数图象关于y轴对称，此选项描述正确；
D、该函数图象可由函数y＝x2的图象向下平移3个单位得到，此选项描述正确；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数的性质及二次函数图象平移的规律逐
一分析四个选项的正误是解题的关键．
4．（4分）一组数据：3，4，4，5，如果再添加一个数据4，那么会发生变化的统计量是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】依据的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可．
【解答】解：原数据的3，4，5，4的平均数为 ＝4，中位数为4，众数为4，方差为
×[（3﹣4）2+（4﹣4）2×2+（5﹣4）2]＝0.5；
新数据3，4，4，4，5的平均数为 ＝4，中位数为4，众数为4，方差为 ×[（3﹣
4）2+（4﹣4）2×3+（5﹣4）2]＝0.4；
故选：D．
【点评】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题
的关键．
5．（4分）下列图形，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．线段 B．矩形 C．等腰梯形 D．圆
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、线段是轴对称图形也是中心对称图形；
B、矩形是轴对称图形也是中心对称图形；
C、等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形；
第7页（共25页）D、圆是轴对称图形也是中心对称图形；
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称
轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重
合．
6．（4分）下列四个命题中，真命题是（ ）
A．一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形
B．一组对角相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形
C．一组邻边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形
D．一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形
【分析】根据平行四边形的判定进行判断即可．
【解答】解：A、一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形，是
真命题；
B、一组对角相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形不一定是平行四边形，原命
题是假命题；
C、一组邻边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形不一定是平行四边形，原命
题是假命题；
D、一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形不一定是平行四边形，原命
题是假命题；
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理和平行四边形的判定，解题的关键是了解平行四边形的几
个判定定理，难度不大．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
7．（4分）化简 + ＝ ．
【分析】原式利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝ ，
故答案为：
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
第8页（共25页）8．（4分）函数y＝ 的定义域是 x ≠﹣ ．
【分析】根据题目中的函数解析式，可知2x+3≠0，从而可以求得x的取值范围．
【解答】解：∵函数y＝ ，
∴2x+3≠0，
解得，x≠﹣ ，
故答案为：﹣ ．
【点评】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性
质解答．
9．（4分）分解因式4x2﹣4x+1＝ （ 2 x ﹣ 1 ） 2 ．
【分析】直接利用完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2分解即可．
【解答】解：4x2﹣4x+1＝（ 2x﹣1）2．
【点评】本题考查用公式法进行因式分解的能力，要会熟练运用完全平方公式分解因式．
10．（4分）方程 ＝3的根是 x ＝ 1 1 ．
【分析】把方程两边平方，再解整式方程，然后进行检验确定原方程的解．
【解答】解：两边平方得x﹣2＝9，解得x＝11，
经检验x＝11为原方程的解．
故答案为x＝11．
【点评】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，
在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因
式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等． 用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来
消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
11．（4分）如果反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过点P（1，3），那么当x＜0时，函数值y随
自变量x的值的增大而 减小 （从“增大”或“减小”中选择）．
【分析】根据题意，利用待定系数法解出k＝3，再根据k值的正负确定函数值的增减性．
【解答】解：反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过点P（1，3），
所以k＝1×3＝3＞0，
所以当x＜0时，y的值随自变量x值的增大而减小．
第9页（共25页）故答案为：减小．
【点评】本题考查了运用待定系数法求反比例函数的表达式和反比例函数的性质，解题时
注意：当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小．
12．（4分）一个不透明的布袋中有2个红球和4个黑球，它们除颜色外其他都相同，那么从该
布袋中随机取出1个球恰好是红球的概率为 ．
【分析】由布袋中有2个红球和3个黑球，它们除颜色外其他都相同，直接利用概率公式求
解即可求得答案．
【解答】解：∵布袋中有2个红球和4个黑球，它们除颜色外其他都相同，
∴从布袋中取出1个球恰好是红球的概率为： ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之
比．
13．（4分）半径长为2的半圆的弧长为 2 （计算结果保留 ）．
【分析】根据弧长的计算公式计算即可．π π
【解答】解：由弧长公式得， ＝2 ，
π
故答案为：2 ．
【点评】本题π考查了弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键．
14．（4分）为了调查A学校2400名学生的某一周阅读课外书籍的时间（t 单位：时），一个数
学课外活动小组随机调查了A学校120名学生该周阅读课外书籍的时间（t 单位：时），并
绘制成如图所示的频率分布直方图（列频数分布表时，执行了“每个小组可含最小值，不
含最大值”的约定）．请根据以上信息，估计A学校该周阅读课外书籍的时间位于8≤t＜
10之间的学生人数大约为 60 0 人．
【分析】根据直方图给出的数据先求出8≤t＜10的频率，再用该校的总人数乘以8≤t＜10
第10页（共25页）的频率即可得出答案．
【解答】解：∵组距是2，
∴8≤t＜10的频率是0.125×2＝0.25，
∵A学校共有2400名学生，
∴A学校该周阅读课外书籍的时间位于8≤t＜10之间的学生人数大约为：2400×0.25＝
600（人）；
故答案为：600．
【点评】本题考查了频数分布直方图和用样本估计总体，利用统计图获取信息时，必须认
真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
15．（4分）如图，在正六边形ABCDEF中，如果向量 ＝ ， ，那么向量 用向量 ，
表示为 ．
【分析】如图，连接BE交AD于O．则△AOB是等边三角形，OA＝OD，根据三角形法则求
出 即可解决问题．
【解答】解：如图，连接BE交AD于O．
∵ABCDEF是正六边形，
∴△AOB是等边三角形，AO＝OD，
∴∠FAO＝∠AOB＝60°，OB＝AB＝AF，
∴AF∥OB，
∴ ＝ ＝ ，
∵ ＝ + ＝ + ，
∵AD＝2AO，
第11页（共25页）∴ ＝2 +2 ，
故答案为2 +2 ．
【点评】本题考查正多边形与圆，平面向量，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性
质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16．（4分）如图，点A、B、C在 O上，其中点C是劣弧 的中点．请添加一个条件，使得四边
形AOBC是菱形，所添加⊙的这个条件可以是 AC ＝ AO 或 AC ＝ OA 或∠ AOB ＝ 120 ° 或
OA ∥ CB 等 （使用数学符号语言表达）．
【分析】利用圆心角、弧、弦的关系得到AC＝BC，然后根据菱形的判定方法添加条件．
【解答】解：∵点C是劣弧 的中点，
∴AC＝BC，
∴当添加AC＝OA时，OA＝OB＝AC＝BC，四边形OACB为菱形；
当添加∠AOB＝120°时，四边形OACB为菱形；
当添加OA∥CB时，四边形OACB为菱形．
故答案为AC＝AO或AC＝OA或∠AOB＝120°或OA∥CB等．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于
这条弧所对的圆心角的一半．也考查了菱形的性质．
17．（4分）七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形（其中的一个平行四边形是正方
形）组成．用七巧板可以拼出丰富多彩的图形，图中的正方形ABCD就是由七巧板拼成的，
那么正方形EFGH的面积与正方形ABCD的面积的比值为 ．
【分析】四边形EFGH是正方形，△AEH是等腰直角三角形，即可得出AH＝HE＝HG，设
AH＝HG＝1，则AG＝2，即可得到正方形EFGH的面积为1，正方形ABCD的面积为8，进
第12页（共25页）而得出结论．
【解答】解：∵四边形EFGH是正方形，△AEH是等腰直角三角形，
∴AH＝HE＝HG，
设AH＝HG＝1，则AG＝2，正方形EFGH的面积为1，
∵△ADG是等腰直角三角形，
∴AD＝ AG＝2 ，
∴正方形ABCD的面积为8，
∴正方形EFGH的面积与正方形ABCD的面积的比值为 ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了正方形的性质以及等腰直角三角形的性质，等腰直角三角形是一
种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．
18．（4分）定义：如果三角形的两个内角∠ 与∠ 满足∠ ＝2∠ ，那么，我们将这样的三角
形称为“倍角三角形”．如果一个等腰三α角形是β “倍角α三角形β”，那么这个等腰三角形的
腰长与底边长的比值为 或 ．
【分析】若等腰三角形的三个内角∠ 、∠ ，∠ ，利用∠ +2∠ ＝180°和∠ ＝2∠ 得 ＝
45°，此“倍角三角形”为等腰直角三α角形β，从β而得到腰α长与底β边长的比值；α若等腰β三角β形
的三个内角∠ 、∠ ，∠ ，利用2∠ +∠ ＝180°和∠ ＝2∠ 得 ＝36°，如图，∠B＝∠C
＝72°，∠A＝3α6°，作α∠AβBC的平分线α BDβ，则∠ABD＝α∠CBDβ＝36β°，易得DA＝DB＝CB，
再证明△BDC∽△ACB，利用相似比得到BC：AC＝CD：BC，等量代换得到BC：AC＝（AC
﹣BC）：BC，然后解关于AC的方程AC2﹣AC•BC﹣BC2＝0得AC与BC的比值即可．
【解答】解：若等腰三角形的三个内角∠ 、∠ ，∠ ，
∵∠ +2∠ ＝180°，∠ ＝2∠ ， α β β
∴4∠α ＝18β0°，解得 ＝α45°，β
∴此“β倍角三角形”为β 等腰直角三角形，
∴腰长与底边长的比值为 ；
若等腰三角形的三个内角∠ 、∠ ，∠ ，
∵2∠ +∠ ＝180°，∠ ＝2α∠ ，α β
∴5∠α＝18β0°，解得 ＝α36°，β
β β
第13页（共25页）如图，∠B＝∠C＝72°，∠A＝36°，作∠ABC的平分线BD，则∠ABD＝∠CBD＝36°，
∴DA＝DB，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
即DA＝DB＝CB，
∵∠CBD＝∠A，∠BCD＝∠ACB，
∴△BDC∽△ACB，
∴BC：AC＝CD：BC，
即BC：AC＝（AC﹣BC）：BC，
整理得AC2﹣AC•BC﹣BC2＝0，解得AC＝ BC，
即 ＝ ，
此时腰长与底边长的比值为 ，
综上所述，这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为 或 ．
故答案为 或 ．
【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是
AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB
的黄金分割点．其中AC＝ AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．也考
查了等腰三角形的性质．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
第14页（共25页）19．（10分）计算： ．
【分析】先根据二次根式的乘法法则和二次根式的性质计算，再利用绝对值和完全平方公
式计算，然后合并即可．
【解答】解：原式＝ ﹣1﹣ +3+2 +1﹣3
＝ ﹣1﹣2 +3+2 +1﹣3
＝ ．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同
类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性
质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20．（10分）解分式方程： ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到
分式方程的解．
【解答】解：去分母得：（x+2）2﹣16＝x﹣2，
整理得：x2+3x﹣10＝0，即（x﹣2）（x+5）＝0，
解得：x＝2或x＝﹣5，
经检验x＝2是增根，分式方程的解为x＝﹣5．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转
化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
21．（10分）如图所示的方格纸是由9个大小完全一样的小正方形组成的．点A、B、C、D均在
方格纸的格点（即图中小正方形的顶点）上，线段AB与线段CD相交于点E．设图中每个
小正方形的边长均为1．
（1）求证：AB⊥CD；
（2）求sin∠BCD的值．
【分析】（1）证明△BAG≌△CDF（SAS），可得∠BAG＝∠CDF，根据同角的余角相等可得
第15页（共25页）结论；
（2）根据勾股定理先计算CD和BC的长，根据面积法可得BE的长，最后由三角函数定义
可得结论．
【解答】（1）证明：如图，
∵AG＝DF＝1，∠G＝∠CFD＝90°，BG＝CF＝3，
∴△BAG≌△CDF（SAS），
∴∠BAG＝∠CDF，
又∵∠BAG+∠ABG＝90°，
∴∠CDF+∠ABG＝90°，
∴∠BED＝180°﹣（∠CDF+∠ABG）＝90°，
∴AB⊥CD；
（2）解：在Rt△CFD中，∵DF＝1，CF＝3，
∴ ，
同理， ，
∵ ，
，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
【点评】本题考查网格型问题，还考查了三角形全等的性质和判定，勾股定理和三角函数，
解题的关键是根据面积法和数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
22．（10分）已知汽车燃油箱中的 y（单位：升）与该汽车行驶里程数 x（单位：千米）是一次函
第16页（共25页）数关系．贾老师从某汽车租赁公司租借了一款小汽车，拟去距离出发地600公里的目的地
旅游（出发之前，贾老师往该汽车燃油箱内注满了油）．行驶了200千米之后，汽车燃油箱
中的剩余油量为40升； 又行驶了100千米，汽车燃油箱中的剩余油量为30升．
（1）求y关于x的函数关系式（不要求写函数的定义域）；
（2）当汽车燃油箱中的剩余油量为8升的时候，汽车仪表盘上的燃油指示灯就会亮起来．
在燃油指示灯亮起来之前，贾老师驾驶该车可否抵达目的地？请通过计算说明．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）把y＝8代入（1）的结论解答即可．
【解答】解：（1）设y关于x的函数关系式为y＝kx+b由题意，得 ，
解得 ，
∴y关于x的函数关系式为 ；
（2）当y＝8时， ，
解得x＝520．
∵520＜600，
∴在燃油指示灯亮起来之前，贾老师驾驶该车不能抵达目的地．
【点评】本题考查了一次函数的应用，已知函数值求自变量的值，读懂题目信息，理解剩余
油量的表示是解题的关键．
23．（12分）已知：△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是边BC的中点，点E在边AB上（点E
不与点A、B重合），点F在边AC上，联结DE、DF．
（1）如图1，当∠EDF＝90°时，求证：BE＝AF；
（2）如图2，当∠EDF＝45°时，求证： ．
第17页（共25页）【分析】（1）连接AD，证△BDE≌△ADF（ASA），即可得出结论；
（2）证明△BDE∽△CFD．得出 ，得出 ，由BD＝CD，即可
得出结论．
【解答】证明：（1）连接AD，如图1所示：
在Rt△ABC中，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵点D是边BC的中点，
∴AD＝ BC＝BD，AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝45°，
∴∠B＝∠CAD，
∵∠EDF＝90°，
∴∠ADF+∠ADE＝90°
∵∠BDE+∠ADE＝90°，
∴∠BDE＝∠ADF，
在△BDE和△ADF中， ，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE＝AF；
（2）∵∠BDF＝∠BDE+∠EDF，∠BDF＝∠C+∠CFD，
∴∠BDE+∠EDF＝∠C+∠CFD．
又∵∠C＝∠EDF＝45°，
∴∠BDE＝∠CFD，
∴△BDE∽△CFD．
∴ ，
∴ ，
又∵BD＝CD，
∴ ．
第18页（共25页）【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角
形的性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题
的关键．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知经过点A（﹣3，0）的抛物线y＝ax2+2ax﹣
3与y轴交于点C，点B与点A关于该抛物线的对称轴对称，D为该抛物线的顶点．
（1）直接写出该抛物线的对称轴以及点B的坐标、点C的坐标、点D的坐标；
（2）联结AD、DC、CB，求四边形ABCD的面积；
（3）联结AC．如果点E在该抛物线上，过点E作x轴的垂线，垂足为H，线段EH交线段
AC于点F．当EF＝2FH时，求点E的坐标．
【分析】（1）该抛物线的对称轴为直线x＝ ＝﹣1，而点A（﹣3，0），求出点B的坐标，
进而求解；
（2）将四边形ABCD的面积分解为△DAM、梯形DMOC、△BOC的面积和，即可求解；
（3）设点E（x，x2+2x﹣3），则点F（x，﹣x﹣1），求出EF、FH长度的表达式，即可求解．
【解答】解：（1）∵该抛物线的对称轴为直线x＝ ＝﹣1，而点A（﹣3，0），
∴点B的坐标为（1，0），
∵c＝﹣3，故点C的坐标为（0，﹣3），
∵函数的对称轴为x＝﹣1，故点D的坐标为（﹣1，﹣4）；
（2）过点D作DM⊥AB，垂足为M，
第19页（共25页）则OM＝1，DM＝4，AM＝2，OB＝1，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）设直线AC的表达式为：y＝kx+b，则 ，解得： ，
故直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，
将点A的坐标代入抛物线表达式得：9a﹣6a﹣3＝0，解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3，
设点E（x，x2+2x﹣3），则点F（x，﹣x﹣3），
则EF＝（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x，FH＝x+3，
∵EF＝2FH，
∴﹣x2﹣3x＝2（x+3），解得：x＝﹣2或﹣3（舍去﹣3），
故m＝﹣2，
故点E的坐标为：（﹣2，﹣3）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会
利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，
从而求出线段之间的关系．
25．（14分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，cosB＝ ．动点D从点A出发沿着射线
第20页（共25页）AC的方向以每秒1cm的速度移动，动点E从点B出发沿着射线BA的方向以每秒2cm的
速度移动．已知点D和点E同时出发，设它们运动的时间为t秒．联结BD．
（1）当AD＝AB时，求tan∠ABD的值；
（2）以A为圆心，AD为半径画 A；以点B为圆心、BE为半径画 B．讨论 A与 B的位
置关系，并写出相对应的t的值⊙． ⊙ ⊙ ⊙
（3）当△BDE为直角三角形时，直接写出tan∠CBD的值．
【分析】（1）先根据三角函数定义可得BC＝4，由勾股定理计算AC＝3，最后证明∠ABD＝
∠D，计算∠D的正切即可；
（2）分情况讨论，根据两圆外离，外切，相交，内切，内含的定义可得结论；
（3）当△BDE为直角三角形时，分D在线段AC上和射线AC上两种情况，再分∠BDE＝
90°和∠DBE＝90°分别画图，根据三角形相似和三角函数列比例式可解决问题．
【解答】解：（1）在△ABC中，
∵∠ACB＝90°，AB＝5， ，
∴ ，
∴BC＝AB•cos∠ABC＝5× ＝4，
∴ ，
当AD＝AB＝5时，∠ABD＝∠D，
∴CD＝AD﹣AC＝5﹣3＝2，
第21页（共25页）在Rt△BCD中， ，
∴tan∠ABD＝tan∠D＝2；
（2）如图2， A经过点E，两圆外切，
⊙
由题意得：AD＝t，BE＝2t，
∴t+2t＝5，
解得：t＝ ，
当两圆外离时，由题意得 5＞3t，解得 ；
①
当两圆外切时，如图2， ；
②
当两圆相交时，由题意得 t＜5＜3t，解得 ；
③
当两圆内切时，如图3，由题意得2t﹣t＝5，解得t＝5；
④当两圆内含时，由题意得 0≤5＜t，解得t＞5；
⑤（3） 当D在线段AC上，且∠BED＝90°时，如图4，
①
∵cosA＝ ，即 ，
解得： ，
第22页（共25页）∴CD＝3﹣ ＝ ，
∴ ；
当D在线段AC上，且∠BDE＝90°，如图5，过E作EF∥BC，交AC于F，
②
∴AE＝5﹣2t，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴AF＝3﹣ t，EF＝4﹣ t，
∵AD＝t，
∴CD＝3﹣t，DF＝AD﹣AF＝t﹣（3﹣ t）＝ t﹣3，
∵∠BDE＝∠EDF+∠CDB＝∠CDB+∠CBD＝90°，
∴∠EDF＝∠CBD，
∵∠EFD＝∠C＝90°，
∴△EFD∽△DCB，
∴ ，即 ，
∴4（4﹣ t）＝（3﹣t）（ t﹣3），
解得：t ＝5（舍）， ，
1
∴tan∠CBD＝ ＝ ＝ ；
当D在线段AC的延长线上，且∠BDE＝90°时，如图6，过E作EF⊥AC，交CA的延长
③
第23页（共25页）线于F，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴ ＝ ，即 ，
∴AF＝ t﹣3，EF＝ t﹣4，
∵AD＝t，
∴CD＝t﹣3，DF＝AD+AF＝t+（ t﹣3）＝ t﹣3，
同理得△EFD∽△DCB，
∴ ，即 ＝ ，
∴4（ t﹣4）＝（t﹣3）（ t﹣3），
解得：t ＝5， （舍），
1
∴tan∠CBD＝ ＝ ；
当D在线段AC的延长线上，且∠DBE＝90°时，如图7，
④
第24页（共25页）∵∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠CDB，
∴∠ABC＝∠CDB，
∴tan∠ABC＝tan∠CDB＝ ，即 ，
解得： ，
∴tan∠CBD＝ ；
综上，tan∠CBD的值是 或 或 或 ．
【点评】此题是圆和三角形的综合题，主要考查了相似三角形的性质和判定，两圆的位置
关系，解直角三角形，动点运动问题，是中考压轴题，难度偏大，正确利用相似三角形的判
定进行解答是解题关键．
第25页（共25页）
