广东实验中学2024-2025学年（下）高一级期中考试_数学答案_2025年05月试卷_0519广东实验中学2024-2025学年高一下学期期中考试

广东实验中学 2024－2025 学年（下）高一级期中考试 数学 答案及说明 【选择题、填空题答案】 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B B D A D C C 题号 9 10 11 12 13 14 答案 BCD AB ACD 数学答案 第 1 页（共6页） 1 0 6 2 1 8 4 【试题详解及解答题参考评分标准】 6． 【解析】由余弦定理知 a 2 + b 2 − c 2 = 2 a b c o s C ，所以 S A B C = 2 3 a b c o s C ， 又 S A B C = 1 2 a b s in C ，所以 3 c o s C = s in C ， ta n C = 3 ，因为 C ( 0 , )   ，所以 C 3  = ； c b 由正弦定理知 = ，所以 sinC sinB  A A B B + A A C C   B C = 0 ， 其中 p = A A B B + A A C C 与角 A 的角平分线方向相同，由 p  B C = 0 知 p⊥BC，故 A B C 为等腰三角形． 综上， A B C 为等边三角形． 7． 【解析】在长方体 A B C D − A 1 B C1 1 D 1 中， B 1 关于面 A C C 1 A 1 对称的点为D ， 1 所以PB +PB=PD +PBBD = 22 +22 +32 = 17， 1 1 1 当且仅当 B , P , D 1 共线时取等号，即 P B + P B 1 的最小值为 1 7 ． 8． 【解析】 A 选项，易知 f ( x ) 的定义域为 R ， 又 f ( − x ) = s in ( − x ) + 1 2 s in ( − 2 x ) + + 1 1 0 0 s in ( − 1 0 0 x ) = − s in x − 1 2 s in 2 x − − 1 1 0 0 s in 1 1 0 0 x = − f ( x ) ．故 f (x)是奇函数， A 正确； B 选项， x 8 , 8     −      3 3    时，2x − , ，3x − , ，4x − , ，        4 4  8 8   2 2 故 y = s in x ， y = 1 2 s in 2 x ， y = 1 3 s in 3 x y = 1 4 s in 4 x 在 8 , 8    −  上都是增函数，    f (x)在 − , 上单调递增，B正确；    8 8数学答案 第 2 页（共6页） C 选项，由 f 2 s in 2 1 2 s in 1 3 s in 3 2 1 4 s in 2 2 3        = + + + = ，因为 2 3  1 2 ， 故 f ( x ) 的振幅必然大于 h ( x ) = 1 2 s in 2 x 的振幅，即声音甲的响度一定大于纯音的响度， C 错误； D 选项，对于 g ( x ) = s in x + 1 2 s in 2 x ， 因为 y = s in x 的最小正周期为2， y = 1 2 s in 2 x 的最小正周期为， 所以g(x)的最小正周期为2，其频率 f1 1 T 2 1 H z  = = ； 2 1 3 h(x)的最小正周期为 ，其频率 f = = Hz． 3 2 T 2 声音乙的频率更低，比 h ( x ) 低沉， D 正确． 11． 【解析】对于 A ， a b a b s in 0   =   = ，若 a , b 至少有一个为零向量，则满足 a // b ； 若 a , b 均不为零向量，则 s in 0  = ，即 a , b 同向或反向，即 a // b ．故 A 正确； 对于 B ， ( a b ) a b s in     =   ， ( a ) b a b s in a , b     =     ， 若 0  ，则 ( a ) b a b s in     =   ，此时 ( a b ) ( a ) b    =  ， 若 0   ，则 ( a ) b a b s in     = −   ，此时 ( a b ) ( a ) b      ，故 B 错误； 对于 C ，若 A B C D 为平行四边形，则它的面积等于 A B  A D s in  A B , A D  ，即ABAD，故 C 正确； 对于 D ， a b a b s in 3   =   = ，ab = a  b cos=1，两式平方后相加得， a  b = 2 ， a+b = a2 +2ab+b2 = a2 + b 2 +2 2a  b +2 ，其中 a  b ab，故 a+b 6 ， 当且仅当 a = b 且 a , b 方向相同时，等号成立，故 a+b 的最小值为 6 ，故D正确． 14． 【解析】取 B C 中点 M ，连AM ，则 B M = C M = A D ， 又  A M C =  C D A = R t ，且 A C = C A ，所以 A M C ≌ C D A ，   设CAM =ACD=0,  ，则AD=ACsin=sin，  2 如图，要使BD最小， B , D 应在 A C 同侧，    故BAD=2− −=3− ，  2  2 在 A B D 中，由余弦定理知 B D 2 = A B 2 + A D 2 − 2 A B  A D c o s  B A D   =1+sin2−2sincos3− =1+sin2−2sinsin3，  2 B D A θ M θ C其中 数学答案 第 3 页（共6页） s in 3 s in ( 2 ) s in 2 c o s c o s 2 s in        = + = + 2 s in c o s 2 ( 1 2 s in 2 ) s in s in ( 3 4 s in 2 )       = + − = − ， 于是BD2 =1+sin2−2sin2 ( 3−4sin2 ) =8sin4−5sin2+1=8  sin2− 5   2 + 7 ，  16 32 当且仅当 s in 2 1 5 6  = ，即 s in 4 5  = 时， B D 取得最小值 1 8 4 ． 15． 【解答】（1）由函数的部分图象知，最大值为2，最小值为 − 2 ，所以A=2．（2分） 又因为 T 4 6 1 2   = −  −  ，所以 T  = ，所以 2 T 2   = = ．（4分）   因为函数的图象经过点  ,2 ，所以 6  3 2 2 k     + = + ， 6 2 k    = + ， 又因为 0 2     ，所以 6   = ．（6分） 所以函数的解析式为 y 2 s in 2 x 6  =  +  ．（7分） （2）令 2 2 k 2 x 6 2 2 k      − + + + ， k  Z ，则 3 k x 6 k     − + + ，（8分） 所以 f ( x ) 在  , 0   − 上的单调递增区间为 , 5 6    − −  和 3 , 0   −  ．（10分） 令 2 x 6 k   + = ，kZ，则 x 1 2 k 2   = − + ，（11分） 所以 f ( x ) 在  , 0   − 7  上的零点为− 和− ．（13分） 12 12 16． 【解答】解：（1） A M N 中， A M = 2 ，AN =1，  M A N = 1 2 0  ， 由余弦定理得，MN2 = AM2 +AN2 −2AMANcosMAN（2分） = 4 + 1 − 2  2  1  c o s 1 2 0  = 7 ，（4分） 所以M ,N的距离为MN = 7 km．（5分） （2） PMN中，MNP=，P=60， M N = 7 ， PM MN 7sin 2 21 由正弦定理得， = ，所以PM = = sin，（8分） sin sinP sin60 3 2 21 21 同理，PN = sin(120−)= 7cos+ sin，（10分） 3 3 2 21  21  所以 f ()=PM +PN = sin+ 7cos+ sin= 21sin+ 7cos（11分）   3 3    3 1    =2 7  sin+ cos  =2 7sin+  ；（13分）  2 2   6当 数学答案 第 4 页（共6页） 3   = 时， s in 6 1    +  = ， f ( )  取得最大值2 7(km)．（15分） 17． 【解答】（1）由题意， D C = 2 B D ，则 B D = 1 3 B C ，（1分） 又 O 为 A D 中点，则 B O = 1 2 ( B D + B A ) = 1 6 B C + 1 2 B A = 1 6 ( A C − A B ) − 1 2 A B = − 2 3 A B + 1 6 A C ，（3分） 故 2 3 1 6 1 2   + = − + = − ．（5分） （2）设 A C = tA E ，因为O为 A D 的中点， D C = 2 B D ，（6分）  A O = 1 2 A D = 1 2 ( A B + B D ) = 1 2 A B + 1 6 B C = 1 2 A B + 1 6 ( A C − A B ) = 1 3 A B + 1 6 A C = 1 3 A B + t 6 A E ，（8分） B, O , E 三点共线，所以 1 3 + t 6 = 1 ，得t=4，（10分） 故 O E = A E − A O = 1 4 A C −  1 3 A B + 1 6 A C  = − 1 3 A B + 1 1 2 A C ，（12分） O E  B C =  − 1 3 A B + 1 1 2 A C   B C = 1 3 B A  B C + 1 1 2 C A  C B ，（13分） 因为 A B C 为边长为2的正三角形， 所以 O E B C 1 3 B A A C c o s 3 1 1 2 C A C B c o s 3    =  +  = 1 3  2 2  1 2 + 1 1 2  2 2  1 2 = 5 6 ．（15分） 【另法：①以BA,BC为基底表示 O E 再求数量积；②构造平行线由相似关系得到 O E 的线性表示】 18． 【解答】（1）由题意知 a 2 b s in C 6 b ( 3 s in C c o s C )  =  +  = + ，（1分） 又由正弦定理得 s a in A = s b in B ，所以 s in A = s in B ( 3 s in C + c o s C ) ．（2分） 又 A B C  + + = ，所以 A B C  = − − ，所以 s in A = s in ( B + C ) = s in B c o s C + c o s B s in C ， 所以 c o s B s in C = 3 s in B s in C ，（3分） 因为 C ( 0 , )   ，所以 s in C  0 ，所以 ta n B = 3 3 ，（4分） 又因为 B ( 0 , )   ，所以 B 6  = ．（5分） （2）（i）因为BC =2 3， B D = 1  ，B= ， 6 根据余弦定理得 C D 2 = B C 2 + B D 2 − 2 B C  B D  c o s B = 1 + 1 2 − 2  1  2 3  2 3 = 7 ，所以 C D = 7 ，（7分）  因为BDC= +A，所以 2 s in B D C s in 2 A c o s A   =  +  = ，（8分） BC CD 2 3 7 21 在BDC中，由正弦定理知， = ，即 = ，所以cosA= ，（9分） sinBDC sinB cosA 1 7 2所以 数学答案 第 5 页（共6页） ta n A = 2 3 3 = C A D C ， A C = 2 2 1 ．（10分） （ii）因为 B 6  = ， A C D 2   = ，所以 B C D A C B A C D A B 2 3 A     =  −  = − − − = − ，（11分） 在 B C D 中，由正弦定理得 s in B  D B C D = s C in D B ，所以 B D 2 C D s in 3 A  =  −  ；（12分） 又在 A C D CD 中，AD= ；（13分） sinA BD        1 所以 =2sinAsin −A=cos2A− −cos =cos2A− − ，（15分） AD  3   3 3  3 2   因为BCD0，所以A0,  ，  3 2 A 3 3 , 3    −   −  ，所以 c o s 2 A 3 1 2 ,1   −     ， BD  1 所以 的取值范围是 0,  ．（17分） AD  2 19． 【解答】（1）法一：因为 c o s 2 C + 2 s in ( A + B ) s in ( A − B ) = 1 ， 所以 1 − 2 s in 2 C + 2 ( s in A c o s B + s in B c o s A ) ( s in A c o s B − s in B c o s A ) = 1 ，（1分） 即 s in 2 C = s in 2 A c o s 2 B − s in 2 B c o s 2 A = s in 2 A ( 1 − s in 2 B ) − s in 2 B ( 1 − s in 2 A ) = s in 2 A − s in 2 B ， 整理得： s in 2 C + s in 2 B = s in 2 A ，（3分） 所以由正弦定理可得 a 2 = b 2 + c 2 ，所以 A = 9 0  ；（4分） 法二：因为cos2C+2sin(A+B)sin(A−B)=1，且 s in C = s in ( A + B )  0 ， 所以 2 s in ( A + B ) s in ( A − B ) = 1 − c o s 2 C = 2 s in 2 C = 2 s in 2 ( A + B ) ，（2分） 所以 s in ( A − B ) = s in ( A + B ) ，整理得 s in B c o s A = 0 ，（3分） 因为 s in B  0 ，所以cosA=0，所以 A = 9 0  ．（4分） （2）由（1）可得，A=90，所以ABC三个内角 A , B ,C都小于120， 则由费马点的定义可知：  A P B =  B P C =  C P A = 1 2 0  ， 设 PA =x， PB = y， P C = z ，由 S  P A B + S  P A C + S  P B C = S  A B C ， 1 3 1 3 1 3 1 得 xy + xz + yz = 6，整理得：xy+xz+ yz=4 3，（6分） 2 2 2 2 2 2 2 所以 P A  P B + P B  P C + P C  P A = x y   − 1 2  + y z   − 1 2  + x z   − 1 2  = − 1 2  4 3 = − 2 3 ；（8分） （3）由费马点的定义可知：  A P B =  B P C =  C P A = 1 2 0  ， PB PC 设 PB =m， PC =n， PA = p，m,n, p0，则PA=−p + ，   m n  又 数学答案 第 6 页（共6页） P A = x P B + y P C ，所以由平面向量基本定理有 x = − p m ， y = − p n ．（10分） 【另法： P A  P B = x P B 2 + y P B  P C ，即 − 1 2 p m = x m 2 − 1 2 y m n ，整理得 p = − 2 x m + y n ， 同理有 p = x m − 2 y n ，所以 x m = y n = − p ，即 x = − p m ， y = − p n ．】 由余弦定理可得： BC2 =m2 +n2 −2mncos120=m2 +n2 +mn， AB2 = p2 +m2 −2mpcos120= p2 +m2 + pm， AC2 = p2 +n2 −2npcos120= p2 +n2 + pn， 因为 A = 9 0  ，所以 B C 2 = A B 2 + A C 2 ， 所以有 m 2 + n 2 + m n = ( p 2 + m 2 + p m ) + ( p 2 + n 2 + p n ) ，化简可得： m n = p m + p n + 2 p 2 ，（12分） 将 m = − p x ， n = − p y 代入上式，化简得 2 x y − x − y − 1 = 0 ．（14分） 因为 x y  x + 2 y  2 ，当且仅当 x = y 结合 2 x y − x − y − 1 = 0 解得 x = y = 1 − 2 3 时等号成立，（15分） 设 x + y = t t2 ，所以 −t−1 0，解得 2 t 1 + 3 或 t 1 − 3 ， 因为 x  0 ， y  0 ，所以 t  0 ，所以 t 1 − 3 ，即x+ y的最大值为 1 − 3 ．（17分）