广东实验中学2024-2025学年（下）高一级期中考试_数学答案_2025年05月试卷_0519广东实验中学2024-2025学年高一下学期期中考试

广东实验中学 2024－2025 学年（下）高一级期中考试 数学
答案及说明
【选择题、填空题答案】
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B B D A D C C
题号 9 10 11 12 13 14
答案 BCD AB ACD
数学答案 第 1 页（共6页）
1 0 6 2
1
8
4
【试题详解及解答题参考评分标准】
6． 【解析】由余弦定理知 a 2 + b 2 − c 2 = 2 a b c o s C ，所以 S
A B C
=
2
3
a b c o s C ，
又 S
A B C
=
1
2
a b s in C ，所以 3 c o s C = s in C ， ta n C = 3 ，因为 C ( 0 , )   ，所以 C
3

= ；
c b
由正弦定理知 = ，所以
sinC sinB

A
A
B
B
+
A
A
C
C

 B C = 0 ，
其中 p =
A
A
B
B
+
A
A
C
C
与角 A 的角平分线方向相同，由 p  B C = 0 知 p⊥BC，故 A B C 为等腰三角形．
综上， A B C 为等边三角形．
7． 【解析】在长方体 A B C D − A
1
B C1
1
D
1
中， B
1
关于面 A C C
1
A
1
对称的点为D ，
1
所以PB +PB=PD +PBBD = 22 +22 +32 = 17，
1 1 1
当且仅当 B , P , D
1
共线时取等号，即 P B + P B
1
的最小值为 1 7 ．
8． 【解析】 A 选项，易知 f ( x ) 的定义域为 R ，
又 f ( − x ) = s in ( − x ) +
1
2
s in ( − 2 x ) + +
1
1
0 0
s in ( − 1 0 0 x )
= − s in x −
1
2
s in 2 x − −
1
1
0 0
s in
1
1
0 0
x = − f ( x ) ．故 f (x)是奇函数， A 正确；
B 选项， x
8
,
8
 


−
     3 3   
时，2x − , ，3x − , ，4x − , ，
     
 4 4  8 8   2 2
故 y = s in x ， y =
1
2
s in 2 x ， y =
1
3
s in 3 x y =
1
4
s in 4 x 在
8
,
8
  
−

上都是增函数，
  
f (x)在 − , 上单调递增，B正确；
 
 8 8数学答案 第 2 页（共6页）
C 选项，由 f
2
s in
2
1
2
s in
1
3
s in
3
2
1
4
s in 2
2
3
  
 
 
= + + + = ，因为
2
3

1
2
，
故 f ( x ) 的振幅必然大于 h ( x ) =
1
2
s in 2 x 的振幅，即声音甲的响度一定大于纯音的响度， C 错误；
D 选项，对于 g ( x ) = s in x +
1
2
s in 2 x ，
因为 y = s in x 的最小正周期为2， y =
1
2
s in 2 x 的最小正周期为，
所以g(x)的最小正周期为2，其频率 f1
1
T 2
1
H z

= = ；
2 1 3
h(x)的最小正周期为 ，其频率 f = = Hz．
3 2 T 2
声音乙的频率更低，比 h ( x ) 低沉， D 正确．
11． 【解析】对于 A ， a b a b s in 0   =   = ，若 a , b 至少有一个为零向量，则满足 a // b ；
若 a , b 均不为零向量，则 s in 0  = ，即 a , b 同向或反向，即 a // b ．故 A 正确；
对于 B ， ( a b ) a b s in     =   ， ( a ) b a b s in a , b     =     ，
若 0  ，则 ( a ) b a b s in     =   ，此时 ( a b ) ( a ) b    =  ，
若 0   ，则 ( a ) b a b s in     = −   ，此时 ( a b ) ( a ) b      ，故 B 错误；
对于 C ，若 A B C D 为平行四边形，则它的面积等于 A B  A D s in  A B , A D  ，即ABAD，故 C 正确；
对于 D ， a b a b s in 3   =   = ，ab = a  b cos=1，两式平方后相加得， a  b = 2 ，
a+b = a2 +2ab+b2 = a2 + b 2 +2 2a  b +2 ，其中 a  b ab，故 a+b 6 ，
当且仅当 a = b 且 a , b 方向相同时，等号成立，故 a+b 的最小值为 6 ，故D正确．
14． 【解析】取 B C 中点 M ，连AM ，则 B M = C M = A D ，
又  A M C =  C D A = R t ，且 A C = C A ，所以 A M C ≌ C D A ，
 
设CAM =ACD=0,  ，则AD=ACsin=sin，
 2
如图，要使BD最小， B , D 应在 A C 同侧，
  
故BAD=2− −=3− ，
 2  2
在 A B D 中，由余弦定理知 B D 2 = A B 2 + A D 2 − 2 A B  A D c o s  B A D
 
=1+sin2−2sincos3− =1+sin2−2sinsin3，
 2
B
D
A
θ
M
θ
C其中
数学答案 第 3 页（共6页）
s in 3 s in ( 2 ) s in 2 c o s c o s 2 s in        = + = +
2 s in c o s 2 ( 1 2 s in 2 ) s in s in ( 3 4 s in 2 )       = + − = − ，
于是BD2 =1+sin2−2sin2 ( 3−4sin2 ) =8sin4−5sin2+1=8  sin2− 5   2 + 7 ，
 16 32
当且仅当 s in 2
1
5
6
 = ，即 s in
4
5
 = 时， B D 取得最小值
1
8
4
．
15． 【解答】（1）由函数的部分图象知，最大值为2，最小值为 − 2 ，所以A=2．（2分）
又因为
T
4 6 1 2
 
= −

−

，所以 T  = ，所以
2
T
2

 = = ．（4分）
 
因为函数的图象经过点  ,2 ，所以
6  3 2
2 k
 
  + = + ，
6
2 k

  = + ，
又因为 0
2

   ，所以
6

 = ．（6分）
所以函数的解析式为 y 2 s in 2 x
6

=

+

．（7分）
（2）令
2
2 k 2 x
6 2
2 k
  
  − + + + ， k  Z ，则
3
k x
6
k
 
  − + + ，（8分）
所以 f ( x ) 在  , 0   − 上的单调递增区间为 ,
5
6



− −

和
3
, 0
 
−

．（10分）
令 2 x
6
k

 + = ，kZ，则 x
1 2
k
2
 
= − + ，（11分）
所以 f ( x ) 在  , 0   −
7 
上的零点为− 和− ．（13分）
12 12
16． 【解答】解：（1） A M N 中， A M = 2 ，AN =1，  M A N = 1 2 0  ，
由余弦定理得，MN2 = AM2 +AN2 −2AMANcosMAN（2分）
= 4 + 1 − 2  2  1  c o s 1 2 0  = 7 ，（4分）
所以M ,N的距离为MN = 7 km．（5分）
（2） PMN中，MNP=，P=60， M N = 7 ，
PM MN 7sin 2 21
由正弦定理得， = ，所以PM = = sin，（8分）
sin sinP sin60 3
2 21 21
同理，PN = sin(120−)= 7cos+ sin，（10分）
3 3
2 21  21 
所以 f ()=PM +PN = sin+ 7cos+ sin= 21sin+ 7cos（11分）
 
3 3
 
 3 1   
=2 7  sin+ cos  =2 7sin+  ；（13分）
 2 2   6当
数学答案 第 4 页（共6页）
3

 = 时， s in
6
1



+

= ， f ( )  取得最大值2 7(km)．（15分）
17． 【解答】（1）由题意， D C = 2 B D ，则 B D =
1
3
B C ，（1分）
又 O 为 A D 中点，则 B O =
1
2
(
B D + B A
)
=
1
6
B C +
1
2
B A =
1
6
(
A C − A B
)
−
1
2
A B = −
2
3
A B +
1
6
A C ，（3分）
故
2
3
1
6
1
2
  + = − + = − ．（5分）
（2）设 A C = tA E ，因为O为 A D 的中点， D C = 2 B D ，（6分）
 A O =
1
2
A D =
1
2
(
A B + B D
)
=
1
2
A B +
1
6
B C =
1
2
A B +
1
6
(
A C − A B
)
=
1
3
A B +
1
6
A C =
1
3
A B +
t
6
A E ，（8分）
B, O , E 三点共线，所以
1
3
+
t
6
= 1 ，得t=4，（10分）
故 O E = A E − A O =
1
4
A C −
 1
3
A B +
1
6
A C

= −
1
3
A B +
1
1
2
A C ，（12分）
O E  B C =

−
1
3
A B +
1
1
2
A C

 B C =
1
3
B A  B C +
1
1
2
C A  C B ，（13分）
因为 A B C 为边长为2的正三角形，
所以 O E B C
1
3
B A A C c o s
3 1
1
2
C A C B c o s
3
 
 =  +  =
1
3
 2 2 
1
2
+
1
1
2
 2 2 
1
2
=
5
6
．（15分）
【另法：①以BA,BC为基底表示 O E 再求数量积；②构造平行线由相似关系得到 O E 的线性表示】
18． 【解答】（1）由题意知 a 2 b s in C
6
b
(
3 s in C c o s C
) 
=

+

= + ，（1分）
又由正弦定理得
s
a
in A
=
s
b
in B
，所以 s in A = s in B
(
3 s in C + c o s C
)
．（2分）
又 A B C  + + = ，所以 A B C  = − − ，所以 s in A = s in ( B + C ) = s in B c o s C + c o s B s in C ，
所以 c o s B s in C = 3 s in B s in C ，（3分）
因为 C ( 0 , )   ，所以 s in C  0 ，所以 ta n B =
3
3
，（4分）
又因为 B ( 0 , )   ，所以 B
6

= ．（5分）
（2）（i）因为BC =2 3， B D = 1

，B= ，
6
根据余弦定理得 C D 2 = B C 2 + B D 2 − 2 B C  B D  c o s B
= 1 + 1 2 − 2  1  2 3 
2
3
= 7 ，所以 C D = 7 ，（7分）

因为BDC= +A，所以
2
s in B D C s in
2
A c o s A

 =

+

= ，（8分）
BC CD 2 3 7 21
在BDC中，由正弦定理知， = ，即 = ，所以cosA= ，（9分）
sinBDC sinB cosA 1 7
2所以
数学答案 第 5 页（共6页）
ta n A =
2
3
3
=
C
A
D
C
， A C =
2
2
1
．（10分）
（ii）因为 B
6

= ， A C D
2

 = ，所以 B C D A C B A C D A B
2 3
A
 
  =  −  = − − − = − ，（11分）
在 B C D 中，由正弦定理得
s in
B

D
B C D
=
s
C
in
D
B
，所以 B D 2 C D s in
3
A

=

−

；（12分）
又在 A C D
CD
中，AD= ；（13分）
sinA
BD        1
所以 =2sinAsin −A=cos2A− −cos =cos2A− − ，（15分）
AD  3   3 3  3 2
 
因为BCD0，所以A0,  ，
 3
2 A
3 3
,
3
  
− 

−

，所以 c o s 2 A
3
1
2
,1
 
−


 
，
BD  1
所以 的取值范围是 0,

．（17分）
AD  2
19． 【解答】（1）法一：因为 c o s 2 C + 2 s in ( A + B ) s in ( A − B ) = 1 ，
所以 1 − 2 s in 2 C + 2 ( s in A c o s B + s in B c o s A ) ( s in A c o s B − s in B c o s A ) = 1 ，（1分）
即 s in 2 C = s in 2 A c o s 2 B − s in 2 B c o s 2 A = s in 2 A ( 1 − s in 2 B ) − s in 2 B ( 1 − s in 2 A ) = s in 2 A − s in 2 B ，
整理得： s in 2 C + s in 2 B = s in 2 A ，（3分）
所以由正弦定理可得 a 2 = b 2 + c 2 ，所以 A = 9 0  ；（4分）
法二：因为cos2C+2sin(A+B)sin(A−B)=1，且 s in C = s in ( A + B )  0 ，
所以 2 s in ( A + B ) s in ( A − B ) = 1 − c o s 2 C = 2 s in 2 C = 2 s in 2 ( A + B ) ，（2分）
所以 s in ( A − B ) = s in ( A + B ) ，整理得 s in B c o s A = 0 ，（3分）
因为 s in B  0 ，所以cosA=0，所以 A = 9 0  ．（4分）
（2）由（1）可得，A=90，所以ABC三个内角 A , B ,C都小于120，
则由费马点的定义可知：  A P B =  B P C =  C P A = 1 2 0  ，
设 PA =x， PB = y， P C = z ，由 S
 P A B
+ S
 P A C
+ S
 P B C
= S
 A B C
，
1 3 1 3 1 3 1
得 xy + xz + yz = 6，整理得：xy+xz+ yz=4 3，（6分）
2 2 2 2 2 2 2
所以 P A  P B + P B  P C + P C  P A = x y 

−
1
2

+ y z 

−
1
2

+ x z 

−
1
2

= −
1
2
 4 3 = − 2 3 ；（8分）
（3）由费马点的定义可知：  A P B =  B P C =  C P A = 1 2 0  ，
PB PC
设 PB =m， PC =n， PA = p，m,n, p0，则PA=−p + ，
 
m n
 又
数学答案 第 6 页（共6页）
P A = x P B + y P C ，所以由平面向量基本定理有 x = −
p
m
， y = −
p
n
．（10分）
【另法： P A  P B = x P B 2 + y P B  P C ，即 − 1
2
p m = x m 2 − 1
2
y m n ，整理得 p = − 2 x m + y n ，
同理有 p = x m − 2 y n ，所以 x m = y n = − p ，即 x = −
p
m
， y = −
p
n
．】
由余弦定理可得： BC2 =m2 +n2 −2mncos120=m2 +n2 +mn，
AB2 = p2 +m2 −2mpcos120= p2 +m2 + pm， AC2 = p2 +n2 −2npcos120= p2 +n2 + pn，
因为 A = 9 0  ，所以 B C 2 = A B 2 + A C 2 ，
所以有 m 2 + n 2 + m n = ( p 2 + m 2 + p m ) + ( p 2 + n 2 + p n ) ，化简可得： m n = p m + p n + 2 p 2 ，（12分）
将 m = −
p
x
， n = −
p
y
代入上式，化简得 2 x y − x − y − 1 = 0 ．（14分）
因为 x y
 x +
2
y  2
，当且仅当 x = y 结合 2 x y − x − y − 1 = 0 解得 x = y =
1 −
2
3
时等号成立，（15分）
设 x + y = t
t2
，所以 −t−1 0，解得
2
t 1 + 3 或 t 1 − 3 ，
因为 x  0 ， y  0 ，所以 t  0 ，所以 t 1 − 3 ，即x+ y的最大值为 1 − 3 ．（17分）