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2020 年全国高考数学真题试卷及解析（上海卷）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．已知集合A={1，2，4}，集合B={2，4，5}，则A B= ．
I
n+1
2．计算：lim = ．
n®¥3n-1
3．已知复数z=1-2i(i为虚数单位），则|z|= ．
4．已知函数 f(x)=x3， f¢(x)是 f(x)的反函数，则 f¢(x)= ．
ìx+ y-2…0
ï
5．已知x、y满足íx+2y-3„ 0，则z= y-2x的最大值为 ．
ï
îy…0
1 a b
a b
6．已知行列式 2 c d =6，则 = ．
c d
3 0 0
7．已知有四个数1，2，a，b，这四个数的中位数是3，平均数是4，则ab= ．
a +a +¼+a
8．已知数列{a }是公差不为零的等差数列，且a +a =a ，则 1 2 9 = ．
n 1 10 9 a
10
9．从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，
第三天安排2个人，则共有 种安排情况．
x2 y2
10．已知椭圆C: + =1的右焦点为F ，直线l经过椭圆右焦点F ，交椭圆C于P、Q
4 3
两点（点P在第二象限），若点Q关于x轴对称点为Q¢，且满足PQ^FQ¢，求直线l的方程
是 ．
11．设aÎR，若存在定义域为R的函数 f(x)同时满足下列两个条件：
第1页 | 共6页（1）对任意的x ÎR， f(x )的值为x 或x2；
0 0 0 0
（2）关于x的方程 f(x)=a无实数解，
则a的取值范围是 ．
uur uur ur uur uur
12．已知 a ， a ， b ， b ，¼， b (kÎN*)是平面内两两互不相等的向量，满足
1 2 1 2 k
uur uur uur uur
|a -a |=1，且|a -b |Î{1，2}（其中i=1，2， j=1，2，¼，k)，则k的最大值是 ．
1 2 i j
二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13．下列等式恒成立的是( )
A．a2 +b2„ 2ab B．a2 +b2… -2ab C．a+b…2 |ab| D．a2 +b2„ -2ab
14．已知直线方程3x+4y+1=0的一个参数方程可以是( )
ì x=1+3t ìx=1-4t
A．í (t为参数） B．í (t为参数）
îy=-1-4t îy=-1+3t
ìx=1-3t ìx=1+4t
C．í (t为参数） D．í (t为参数）
îy=-1+4t îy=1-3t
15．在棱长为10的正方体ABCD-ABCD 中，P为左侧面ADDA 上一点，已知点P到AD
1 1 1 1 1 1 1 1
的距离为3，P到AA 的距离为2，则过点P且与AC平行的直线相交的面是( )
1 1
第2页 | 共6页A．AABB B．BBCC C．CCDD D．ABCD
1 1 1 1 1 1
16．命题 p：存在aÎR且a¹0，对于任意的xÎR，使得 f(x+a)< f(x)+ f （a）；
命题q : f(x)单调递减且 f(x)>0恒成立；
1
命题q : f(x)单调递增，存在x <0使得 f(x )=0，
2 0 0
则下列说法正确的是( )
A．只有q 是 p的充分条件 B．只有q 是 p的充分条件
1 2
C．q ，q 都是 p的充分条件 D．q ，q 都不是 p的充分条件
1 2 1 2
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）
17．（14分）已知ABCD是边长为1的正方形，正方形ABCD绕AB旋转形成一个圆柱．
（1）求该圆柱的表面积；
p
（2）正方形ABCD绕AB逆时针旋转 至ABCD ，求线段CD 与平面ABCD所成的角．
2 1 1 1
18．（14分）已知函数 f(x)=sinwx，w>0．
1
（1） f(x)的周期是4p，求w，并求 f(x)= 的解集；
2
p p
（2）已知w=1，g(x)= f2(x)+ 3f(-x)f( -x)，xÎ[0， ]，求g(x)的值域．
2 4
第3页 | 共6页19．（14分）在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除
以时间，车辆密度是该路段一定
q
时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为v= ，x为道路密度，q为车
x
辆密度．
ì 1
v= f(x)= ï í 100-135 g ( 3 )x,095，求道路密度x的取值范围；
（2）已知道路密度x=80，交通流量v=50，求车辆密度q的最大值．
x2 y2
20．（16分）已知双曲线G : - =1与圆G :x2 + y2 =4+b2(b>0)交于点A(x ，y )（第
1 4 b2 2 A A
第4页 | 共6页一象限），曲线G为G 、G 上取满足x>|x |的部分．
1 2 A
（1）若x = 6，求b的值；
A
（2）当b= 5，G 与x轴交点记作点F 、F ，P是曲线G上一点，且在第一象限，且
2 1 2
|PF |=8，求ÐFPF ；
1 1 2
b2 b
（3）过点D(0, +2)斜率为- 的直线l与曲线G只有两个交点，记为M 、N，用b表示
2 2
uuuur uuur uuuur uuur
OM ON，并求OM ON的取值范围．
g g
21．（18分）已知数列{a }为有限数列，满足|a -a |„ |a -a |„ ¼„ |a -a |，则称{a }
n 1 2 1 3 1 m n
满足性质P．
（1）判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P，请说明理由；
（2）若a =1，公比为q的等比数列，项数为10，具有性质P，求q的取值范围；
1
（3）若{a }是 1，2，3，¼，m的一个排列(m…4)，{b }符合b =a (k =1，2，¼，
n n k k+1
m-1)，{a }、{b }都具有性质P，求所有满足条件的数列{a }．
n n n
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