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2025—2026 学年上学期第二次月考考试
高一年级 数学试题
考试时间：120分钟 试题分数：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 下列与集合 表示同一集合的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用集合相等的条件，对各个选项逐一分析判断，即可求解.
【详解】对于A，集合 中只有一个元素 ，所以A错误，
对于B，集合 的元素是点 ，所以B错误，
对于C，由 ，解得 或 ，
所以 ，故C正确，
对于D，集合 中有二个元素， ，所以D错误，
故选：C.
2. 集合 的子集个数是（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】确定集合元素个数，即可求解.
【详解】 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以子集个数是 ，
故选：B
3. 已知 是实数集，集合 ，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由韦恩图可得阴影部分表示的集合是 ，再利用补集与交集定义计算即可得.
【详解】由图可得图中阴影部分表示的集合为 ，
由 ，则 或 ，
又 ，则 .
故选：D.
4. 已知 ，则 的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据基本不等式即可得到答案.
【详解】 ，当且仅当 时等号成立，
故选：C.
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学科网（北京）股份有限公司5. 不等式 的解集是（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次不等式解法求解即可.
【详解】不等式 等价于 ，
解得 或 ，
所以不等式的解集为： 或 .
故选：D
6. “ ”的一个必要不充分条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求不等式 的解集，根据集合的包含关系确定“ ”的必要不充分条件.
【详解】由 .
所以不等式 的解集为 .
因为 ，所以“ ”是“ ”的充要条件；
因为 与集合 不存在包含关系，所以“ ”是“ ”的既不
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学科网（北京）股份有限公司充分也不必要条件.
因为 ⫋ ，所以：“ ”是“ ”的必要不充分条件；
因为 ⫋ ，所以“ ” 是“ ”的充分不必要条件.
故选：C
7. 正数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A. 9 B. 6 C. 4 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意利用乘“1”法结合基本不等式运算求解.
【详解】因为正数 ， 满足 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为9.
故选：A.
8. 已知关于 的不等式 的解集为 ，其中 ，则 的最小值为
（ ）
A. B. 4 C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知： ， 是方程 的两根，利用韦达定理可得 ，再利用基
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学科网（北京）股份有限公司本不等式求最值即可.
【详解】由题意可知： ， 是方程 的两根，且 ，
则 ，可得 ， ，
则 ，当且仅当 时取等号，
所以其最小值为 .
故选：B.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 给出下列说法，其中正确的有（ ）
A. 中国的所有直辖市可以构成一个集合
B. 高一（1）班较胖的同学可以构成一个集合
C. 正偶数的全体可以构成一个集合
D. 大于2023且小于2030的所有整数不能构成集合
【答案】AC
【解析】
【分析】由集合元素的确定性逐个判断即可.
【详解】A，C中的元素具备确定性，可以构成集合，A，C正确.
B中高一（1）班较胖的同学不具有确定性，不能构成集合，B错误.
D中的元素具备确定性能构成集合，D错误.
故选：AC
10. 已知 ，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】用特殊值法和不等式的性质一一求解即可.
【详解】对于A， ， 取 ， ， ，不满足 ，
选项A错误；
对于B， ， 取 ， ， ，不满足 ，
选项B错误；
对于C， ， ， ， ，
选项C正确；
对于D， ， ， ，
， ，
选项D正确.
故选：CD.
的
11. 已知 ， ，且 ，则下列说法正确 是（ ）
A. 的最大值为 B. 的最小值为4
C. 的最大值为2 D. 的最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据基本不等式的性质逐项判断即可.
【详解】对于A：
因为 ，所以根据基本不等式的性质得
，解得 ，
当且仅当 时等号成立，此时 的最大值为 ，所以A正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于B：
因为 ，
当且仅当 时，即 时等号成立，此时 的最小值为5，所以B错误；
对于C：
，由A知 的最大值为 ，
所以 的最大值为 ，所以 的最大值为 ，所以C错误；
对于D：
，所以 .
由A知 ，所以 ，所以 的最小值为 ，所以D正确.
故选：AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 命题“ ， ”的否定是_____.
【答案】 ，
【解析】
【分析】利用全称量词命题的否定的求法，直接求出命题的否定，即可求解.
【详解】命题“ ， ”的否定是 ， ，
故答案为： ， .
13. 不等式 的解集为_____.
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】由 即可求解.
【详解】由 ，
解得： ，
所以不等式的解集为 ，
故答案为：
14. 已知集合 ， ，且 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】先求解集合 ，再根据 确定集合 对应的一元二次不等式，利用韦达定理求出 、 的值，
最后计算 .
【详解】解不等式 ，等价于 ，即 ，
解得 ，所以 ，
因为 ，所以不等式 解为 ，
则一元二次方程 的两根为 ， ，
，解得 ，
，解得 ，
.
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
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学科网（北京）股份有限公司15. 已知全集为R，集合 .
（1）求 ；
（2）求 ， .
【答案】（1） ，
（2） ， 或
【解析】
【分析】（1）根据集合交集和并集的定义即可求解，
（2）根据补集的定义，结合并集和交集的运算即可求解.
【小问1详解】
由已知 ，
则 ， ；
【小问2详解】
又全集为 ，
则 或 或 ，
故 ， 或 .
另解： 或 .
16. （1） ，比较 与 的大小；
（2）已知 ，求代数式 的最小值及取最小值时 的值.
【答案】（1） ；（2） 的最小值20，
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式即可得解；
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学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）知 ， ，再利用基本不等式即可得解.
【详解】（1） ， ，
，当且仅当 ，即 时，等号成立.
所以 .
（2）由（1）知 ，
，当且仅当 时取等号，
显然要使 成立，需满足 ，解得
综上可知，当 ，代数式 取得最小值20.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足 的三个条件：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把
构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不
是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
17. 设集合 ， .
（1）若 ，求 ；
（2）若存在实数m，使得“ ”是“ ”成立的充分不必要条件，求 的取值范围.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） 或
（2）
【解析】
【分析】（1）利用一元二次不等式的解法，求出集合 ，再结合条件，利用集合的运算，即可求解；
（2）根据条件得到 ，从而有 ，即可求解.
【小问1详解】
由 ，得到 ，所以 ，则 或 ，
当 时， ，则 或 ，
所以 或 .
【小问2详解】
因为“ ”是“ ”成立的充分不必要条件，则 ，
又由（1）知 ，所以 ，解得 ，
当 时， ，满足 ，当 时， ，满足 ，
的
所以 取值范围为 .
18. 已知二次函数 .
（1）当 时，求该二次函数的最小值；
（2）当 时，该二次函数有最小值 .
①求 的值；
②求此时函数的最大值.
【答案】（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2）① ；②41
【解析】
【分析】（1）配方得到当 时，该二次函数取得最小值，最小值为 ；
（2）①配方得到 时，函数取得最小值 ，从而得到方程，求出 ；
②根据函数单调性得到函数最大值.
【小问1详解】
时， ，
故当 时，该二次函数取得最小值，最小值为 ；
【小问2详解】
① ，
因为 ，所以当 时，该二次函数取得最小值 ，
所以 ，解得 ；
②此时函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ，当 时， ， ，
故最大值为41.
19. 在中学阶段，对许多特定集合（如实数集等）的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律
为主要内容．现设集合 由全体二元有序实数组组成，在 上定义一个运算，记为 ，对于 中的任意
两个元素 ， ，规定： ．
（1）计算： ．
（2） 中是否存在唯一确定的元素 满足：对于任意 ，都有 成立，若存在，
请求出元素 ；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在； ．
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）按照规定 代入可得．
（2）设元素 ， ，代入 ，根据恒成立求得 .
【小问1详解】
．
【小问2详解】
设元素 ， ，
则 ，
∵ ，
∴ 恒成立，
∴ ，
∴ 满足条件．
20. 已知函数 ， ，
（1）若关于 的不等式 的解集为{ 或 }，求实数 ， 的值；
（2）当（1）的情况下， ， 且满足 时，有 恒成立，求 的取值范
围；在
（3）当 时，求关于 的不等式 的解集.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ， ；
（2） ；
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）先将 代入 ，整理后得到 ，由
题意得到 的解集为 或 ，从而得到方程 的两根为 或
及 ，将 代入 得到 的值，再将 代入 ，求解此方程得解；
（2）先在 上乘以 ，得到 ，再将 去掉括号，利用基本不等
式求解即可；
（3）先将 代入不等式 ，将其因式分解为 ，再根据 ，解出方程
的根，按照根的大小分类讨论得到不等式的解集.
【小问1详解】
， 可化为 ，
移项整理得 ， 不等式 的解集为 或 ，
或 是方程 的两个跟，且 .
将 代入方程 ，可得 ，解得 .
把 代入方程 ，得到 ，因式分解为 ，
即 ，故 ， .
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司由（1）知 ， ，则 ， ， ，
，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
， 恒成立，
， ， ，
， ，
故 的取值范围是 .
【小问3详解】
不等式 ，即 ，因式分解为 ，
， 的两根为 ， ，
①当 ，即 时，不等式 ，不等式的解集为 ；
②当 ，即 时，不等式的解集为 ；
③当 ，即 时，不等式的解集为 .
综上可知，当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
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学科网（北京）股份有限公司当 时，不等式的解集为 .
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学科网（北京）股份有限公司
