文档内容
2025-2026 学年九年级数学上学期第三次月考卷
强化卷·全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教版九年级上册。
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。）
1．小凯准备去医院就诊，在微信小程序上挂号，得到的数字号码是奇数．这个事件是（ ）
A．必然事件 B．确定性事件
C．不可能事件 D．随机事件
【答案】D
【解答】解：小凯准备去医院就诊，在微信小程序上挂号，得到的数字号码是奇数．这个事件是随机事
件，
故选：D．
2．将关于x的方程2（x﹣1）x＝5化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．2，2，5 B．2，﹣2，5 C．2，2，﹣5 D．2，﹣2，﹣5
【答案】D
【解答】解：2（x﹣1）x＝5，
2x2﹣2x＝5，
2x2﹣2x﹣5＝0，
∴二次项系数为 2，一次项系数为﹣2，常数项为﹣5，
故选：D．
3．在平面直角坐标系中，已知点A（3，a），B（b，2）关于原点对称，则a+b2的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．7 D．5
【答案】C
【解答】解：∵点A（3，a），B（b，2）关于原点对称，∴a＝﹣2，b＝﹣3，
∴a+b2＝﹣2+9＝7．
故选：C．
4．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2025﹣3a+3b的值为（ ）
A．2018 B．2020 C．2022 D．2024
【答案】C
【解答】解：由条件可得a﹣b﹣1＝0，
则a﹣b＝1，
则2025﹣3a+3b＝2025﹣3（a﹣b）＝2025﹣3×1＝2022，
故选：C．
5．关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
【答案】C
【解答】解：因为Δ＝（﹣2m）2﹣4×1×（m2+1）＝﹣4＜0，
所以该方程没有实数根．
故选：C．
6．如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，连接AC，延长AB至点E，若∠ACD=40°，^AC=C^D，
则∠CBE的度数为（ ⊙）
A．80° B．76° C．72° D．70°
【答案】D
【解答】解：∵^AC=C^D，∠ACD=40°，
∴AC＝CD，
1
∴∠CDA=∠CAD= (180°−∠ACD)=70°，
2∵四边形ABCD是 O的内接四边形，
∴∠CBE＝∠CDA＝⊙70°，
故选：D．
7．二维码成为广大民众生活中不可或缺的一部分．飞飞将二维码打印在面积为200cm2的正方形纸片上，
如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的
频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ）cm2．
A．160 B．240 C．120 D．0.6
【答案】C
【解答】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，
∴点落在黑色阴影的概率为0.6，
∴估计此二维码中黑色阴影的面积为200×0.6＝120（cm2）．
故选：C．
8．古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明
者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足，借问竿长多少数，谁人算出我佩服，”大意
是：“一人拿着一根竹竿进屋内，竹竿比门宽多4尺，比门高多2尺，如果竹竿斜着进门，恰好通过．
若设竹竿的长为x尺，则可列方程为（ ）
A．（x+2）2+（x﹣4）2＝x2 B．（x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2
C．（x﹣2）2+（x+4）2＝x2 D．（x+2）2+（x+4）2＝x2
【答案】B
【解答】解：若设竹竿的长为x尺，
∵竹竿比门宽多4尺，比门高多2尺，
∴门高为（x﹣2）尺，门宽为（x﹣4）尺，
∵竹竿斜着进门，恰好通过，
∴根据勾股定理可得：（x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2，
故选：B．9．已知点P（﹣4，y ），M（﹣2，y ），N（3，y ）在二次函数y＝﹣2（x+1）2+c的图象上，则y ，
1 2 3 1
y ，y 的大小关系是（ ）
2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 3 2 1 3 1 2 1 3 2
【答案】C
【解答】解：∵二次函数y＝﹣2（x+1）2+c的对称轴为x＝﹣1，且开口向下，
∴点离对称轴越近，y值越大，
计算各点到对称轴的距离：
点P（﹣4，y ）：|﹣4﹣（﹣1）|＝3，
1
点M（﹣2，y ）：|﹣2﹣（﹣1）|＝1，
2
点N（3，y ）：|3﹣（﹣1）|＝4，
3
∴距离关系：M近，其次P，N最远，
故y值大小关系为y ＞y ＞y ，即y ＜y ＜y ，
2 1 3 3 1 2
故选：C．
10．如图，抛物线y＝ax2+bx经过边长为2的菱形OABC的三个顶点O、A、C，∠AOC＝120°，则a的值
为（ ）
❑√3 ❑√3 ❑√3
A． B． C． D．❑√3
2 3 4
【答案】B
【解答】解：如图，作CH⊥x轴于点H，抛物线y＝ax2+bx经过边长为2的菱形OABC的三个顶点O、
A、C，∠AOC＝120°，
∵菱形OABC边长为2，
∴OA＝OC＝2，
∴A（2，0），
∵∠AOC＝∠OHC+∠OCH＝120°，
∴∠OCH＝120°﹣∠OHC＝120°﹣90°＝30°，1
∴OH= OC=1，CH=❑√OC2−OH2=❑√22−12=❑√3，
2
∴C(−1，❑√3)，
将C(−1，❑√3)和A（2，0）代入y＝ax2+bx，得：
{4a+2b=0)
，
a−b=❑√3
{ a=
❑√3
)
3
解得 ，
2❑√3
b=−
3
❑√3
∴a的值为 ．
3
故选：B．
11．如图，在平面直角坐标系中，点 A和点B均在y轴上，纵坐标分别为 1和3，点C的坐标为（1，
3），点D的坐标为（﹣2，2），CD与^ABC交于点P，则^AP的长为（ ）
❑√5π ❑√5π ❑√5π
A． B． C． D．❑√5π
8 4 2
【答案】B
【解答】解：由条件可知^ABC所在圆的圆心G一定在直线y＝2上，
设圆心G的坐标为（x，2），如图，连接GB、GC、GP、AG，∵GB＝GC，
∴❑√(x−0) 2+(2−3) 2=❑√(x−1) 2+(2−3) 2，
1
解得x= ，
2
1
∴G( ，2)，
2
√ 1 2 ❑√5 ❑√5
∴GB=❑( −0) +(2−3) 2= ，即^ABC所在圆的半径为 ，
2 2 2
由网格得AD=AC=❑√5，CD=❑√10，
∵AD2+AC2＝CD2，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠ACD＝45°，
∴∠AGP＝2∠ACD＝90°，
❑√5
90π×
∴^AP的长为 2 ❑√5π，
=
180 4
故选：B．
12．二次函数y＝ax2+bx+c大致图象如图，顶点坐标为（﹣2，﹣9a）．下列结论：①ab＞0；②4a+2b+c
＞0；③5a﹣b+c＝0；④对于任意实数n，若方程a（x+5）（x﹣1）＝n有两根为x 和x ，则x +x ＝
1 2 2 1
﹣4，其中正确结论的个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：∵抛物线的开口向上，则a＞0，对称轴在y轴的左侧，则b＞0，
∴ab＞0，所以①结论正确；
∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a），
b 4ac−b2
∴− =−2， =−9a，
2a 4a
∴b＝4a，c＝﹣5a，
∴抛物线的解析式为y＝ax2+4ax﹣5a，
∴4a+2b+c＝4a+8a﹣5a＝7a＞0，所以②结论正确，
5a﹣b+c＝5a﹣4a﹣5a＝﹣4a＜0，故③结论错误，
4a
∵方程a（x+5）（x﹣1）＝n整理为ax2+4ax﹣5a﹣n＝0，∴两个根x +x =− =−4，故结论④正确，
1 2 a
综上，其中正确结论的个数是3个，
故选：C．
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．若方程(m−2)xm2−2−3x−7=0是关于x的一元二次方程，则m的值为
﹣ 2 ．
【答案】﹣2．
【解答】解：由题意可知：x的最高次数为2，即m2﹣2＝2，
m2＝4，
∴m＝±2．
又因为m≠2，
故m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
14．如图， O为△ABC的外接圆，CE为 O的直径，CD⊥AB于点D，∠BCD＝70°，则∠ACE＝ 70 °
． ⊙ ⊙【答案】70°．
【解答】解：∵CD⊥AB，∠BCD＝70°，
∴∠CBD＝90°﹣70°＝20°，
由圆周角定理得：∠AEC＝∠CBD＝20°，
∵CE为 O的直径，
∴∠CAE⊙＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣20°＝70°，
故答案为：70°．
15．已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，则边长c的最大值是 6
．
【答案】6．
【解答】解：∵a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，
∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）＝0，
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣4﹣0．
∴a＝3，b＝4．
∴4﹣3＜c＜3+4，
∴1＜c＜7，
又∵c是正整数，
∴△ABC的边c的值2，3，4，5，6；
∴△ABC的边c的最大值6．
故答案为：6．
16．如图，抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（﹣3，﹣5），B（1，﹣2），则关于x的不等式
ax2+（b﹣m）x﹣n＞0的解为 ﹣ 3 ＜ x ＜ 1 ．【答案】﹣3＜x＜1．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（﹣3，﹣5），B（1，﹣2），
∴当﹣3＜x＜1时，ax2+bx＞mx+n，
∴关于x的不等式ax2+（b﹣m）x﹣n＞0的解为﹣3＜x＜1．
故答案为：﹣3＜x＜1．
17．如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象交x轴于A、B两点，B在A的左面，交y轴于C点，再将抛物
线沿CB射线方向平移3❑√2个单位，则平移后的抛物线的解析式为 y ＝﹣（ x +4 ） 2 +1 ．
【答案】y＝﹣（x+4）2+1．
【解答】解：由﹣x2﹣2x+3＝0得，
x ＝﹣3，x ＝1，
1 2
所以点A坐标为（﹣3，0），点B坐标为（1，0）．
将x＝0代入y＝﹣x2﹣2x+3得，
y＝3，
所以点C坐标为（0，3），
所以OB＝OC＝3，
所以△OBC是等腰直角三角形，
则射线BC与x轴的正半轴的夹角为45°．
因为将抛物线沿CB射线方向平移3❑√2个单位长度，
所以抛物线上点的横纵坐标都减小3．
因为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
则平移后抛物线的顶点坐标为（﹣4，1），
所以平移后的抛物线的解析为y＝﹣（x+4）2+1．故答案为：y＝﹣（x+4）2+1．
18．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为边CD上一点，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，
连接EF，过点A作AN⊥EF分别交EF，BC于点M，N．设DE＝x，BN＝y，则y关于x的解析式为y
4−2x
= ．
x+2
4−2x
【答案】y= ．
x+2
【解答】解：连接EN，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD＝AB＝2，∠C＝∠D＝∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴∠ABF＝∠D＝90°，∠BAE+∠DAE＝90°．
∵△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，
∴AE＝AF，∠EAF＝90°，
∴∠BAE+∠BAF＝90°，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴△ABF≌△ADE（AAS），
∴BF＝DE＝x，
∴FN＝BF+BN＝x+y．
∵AE＝AF，
∴△AEF为等腰三角形，
∵AN⊥EF，∴AN垂直平分EF，
∴EN＝FN＝x+y．
∵DE＝x，BN＝y，
∴CE＝CD﹣DE＝2﹣x，CN＝BC﹣BN＝2﹣y．
在Rt△CEN中，由勾股定理得，EN2＝CE2+CN2，
即（x+y）2＝（2﹣x）2+（2﹣y）2，
4−2x
∴y= ．
x+2
4−2x
故答案为：y= ．
x+2
三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．解答题：
（1）解方程：x2+4x﹣21＝0；
（2）解方程：x（x+4）＝3（x+4）（因式分解法）；
（3）解方程：x2﹣4x﹣1＝0（配方法）；
1 −1
（4）(2013) 0×❑√8−( ) −|−3❑√2|+2．
2
【答案】（1）x ＝﹣7，x ＝3；
1 2
（2）x ＝﹣4，x ＝3；
1 2
（3）x =2+❑√5，x =2−❑√5；
1 2
（4）−❑√2．
【解答】解：（1）原方程分解因式可得：
（x+7）（x﹣3）＝0，
则x+7＝0或x﹣3＝0，
解得x ＝﹣7，x ＝3；（2分）
1 2
（2）原方程移项可得：
x（x+4）﹣3（x+4）＝0，
（x+4）（x﹣3）＝0，
则x+4＝0或x﹣3＝0，
解得x ＝﹣4，x ＝3；（4分）
1 2
（3）原方程移项可得：
x2﹣4x＝1，x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
开方，得x−2=±❑√5，
解得x =2+❑√5，x =2−❑√5；（6分）
1 2
（4）原式=1×2❑√2−2−3❑√2+2
=2❑√2−2−3❑√2+2
=(2❑√2−3❑√2)+(−2+2)
=−❑√2．（8分）
20．已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0．
（1）若方程有实数根，求m的取值范围；
（2）若方程的两实数根分别为x ，x ，且满足x2+x2=14．求x2+4x ﹣10的值．
1 2 1 2 1 2
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[2（m﹣1）]2﹣4×1×m2≥0，
1
解得：m≤ ，
2
1
∴实数m的取值范围为m≤ ．（4分）
2
（2）∵x ，x 是关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0的两实数根，
1 2
∴x +x ＝﹣2（m﹣1），x •x ＝m2．（5分）
1 2 1 2
∵x2+x2=14，
1 2
∴（x +x ）2﹣2x •x ＝14，
1 2 1 2
∴[﹣2（m﹣1）]2﹣2m2＝14，
∴4m2﹣8m+4﹣2m2＝14，
∴m＝5或﹣1，
当m＝5时，方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0变为x2+8x+25＝0，无解舍去，
当m＝﹣1时，方程变为x2﹣4x+1＝0，（7分）
∴x +x ＝4，x 2−4x +1=0，
1 2 1 1
∴x 2=4x ﹣1，
1 1∴x2+4x
﹣10＝4x ﹣1+4x ﹣10＝4（x +x ）﹣11＝16﹣11＝5．（8分）
1 2 1 2 1 2
21．如图，过点D（1，3）的抛物线y＝﹣x2+k顶点为A，与x轴交于B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是y轴上一点，则当PC+PD取得最小值时，求点P的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+4；
（2）（0，2）．
【解答】解：（1）将D（1，3）代入抛物线y＝﹣x2+k中，
∴﹣1+k＝3，
∴k＝4，（2分）
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4；（6分）
（2）∵y＝﹣x2+4，对称轴是y轴，
∴C关于y轴的对称点是B，
根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，连点之间线段最短，
∴连接BD，与y轴的交点就是点P，
∴PC+PD能取得的最小值就是BD的长，（5分）把y＝0代入y＝﹣x2+4，
∴﹣x2+4＝0，解得x ＝﹣2，x ＝2，
1 2
∴B（﹣2，0），（6分）
设直线BD的解析式是y＝mx+n，
将（﹣2，0），（1，3）代入y＝mx+n，
{−2m+n=0)
得 ，
m+n=3
{m=1)
解得 ，
n=2
∴直线BD的解析式是y＝x+2，（7分）
当x＝0时，y＝2，
∴P（0，2）．（8分）
22．“七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打
卡地．据统计，2025年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流量为1.6万人次，第三天游客人数达
到2.5万人次．
（1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；
（2）景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为6元．根据销售经验，每把扇子定价
为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．若该文
创小店想通过售出这批扇子每天获得6300元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元？
【答案】（1）25%；
（2）5元．
【解答】解：（1）设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，
根据题意得：1.6（1+x）2＝2.5，（2分）
解得：x ＝0.25＝25%，x ＝﹣2.25（不符合题意，舍去）．
1 2
答：游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为25%；（4分）
（2）设每把扇子降价y元，则每把扇子的销售利润为（25﹣y﹣6）元，平均每天可售出（300+30y）把，
根据题意得：（25﹣y﹣6）（300+30y）＝6300，（6分）
整理得：y2﹣9y+20＝0，
解得：y ＝4，y ＝5，
1 2
又∵要尽可能地减少库存，
∴y＝5．
答：每把扇子应降价5元．（8分）23．如图，AB为 O直径，以AB为腰作等腰△ABC，底边BC交 O于点D，连结AD．
（1）如图1，⊙若BD＝AD，求证：AC是 O的切线． ⊙
（2）如图2，CA的延长线交 O于点E，⊙DE+AD＝8，AB＝6，求△ABC的面积．
⊙
【答案】（1）见解析
（2）△ABC的面积为14．
【解答】（1）证明：∵以AB为腰作等腰△ABC，底边BC交 O于点D，
∴AB＝AC，（1分） ⊙
∵AB为 O的直径，
∴∠ADB⊙＝90°，（2分）
∵BD＝AD，
∴∠B＝∠DAB＝45°，
∴∠C＝∠B＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，（4分）
∵OA是 O的半径，且AC⊥OA，
∴AC是⊙O的切线．（5分）
（2）解⊙：∵AB＝AC，AD⊥BC，
1
∴DB＝DC= BC，（6分）
2
∵∠B＝∠C，∠B＝∠E，
∴∠C＝∠E，
∴DE＝DC，
∴DB＝DE，（7分）
∵DE+AD＝8，AB＝6，∠ADB＝90°，
∴DB+AD＝DE+AD＝8，DB2+AD2＝AB2＝62＝36，
∴（DB+AD）2＝82，
∴DB2+AD2+2DB•AD＝64，1
∴36+2× BC•AD＝64，
2
1
∴S△ABC =
2
BC•AD＝14，
∴△ABC的面积为14．（10分）
24．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣2，0），
C（0，﹣2）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D，△PDB的面积是
△CDB的面积的2倍．
①求点P的坐标．
②抛物线的对称轴上有一动点Q，求△PAQ的周长最小值．
【答案】（1）y＝x2+x﹣2；
（2）①（﹣3，4）；
②❑√17+4❑√2．
{4−2b+c=0)
【解答】解：（1）把A（﹣2，0），C（0，﹣2）分别代入y＝x2+bx+c得 ，
c=−2
{ b=1 )
解得 ，
c=−2
∴抛物线解析式为y＝x2+x﹣2；（3分）
（2）①当y＝0时，x2+x﹣2＝0，
解得x ＝﹣2，x ＝1，
1 2
∴B（1，0），（4分）
∵△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，
∴点P到BD的距离为C点到BD的距离的2倍，∵C（0，﹣2），
∴P点的纵坐标为4，（5分）
当y＝4时，x2+x﹣2＝4，
解得x ＝2（舍去），x ＝﹣3，
1 2
∴P点坐标为（﹣3，4）；（6分）
1 1
②抛物线的对称轴为直线x=− ，即直线x=− ，（7分）
2×1 2
1
连结BP交直线x=− 与Q点，如图，
2
∵QA＝QB，
∴QA+QP＝QB+QP＝PB，
∴此时QA+QP的值最小，（8分）
∴ 此 时 △ PAQ 的 周 长 最 小 ， 最 小 周 长 为 PA+QA+QP ＝ PA+PB
=❑√(−3+2) 2+(4−0) 2+❑√(−3−1) 2+42=❑√17+4❑√2．（10分）
25．在一个不透明的口袋内装有三个完全相同的小球，把它们分别标号为﹣2，m，1．小红和小明进行摸
球游戏：小红先从口袋中随机摸取一个小球，记下其标号a后放回并摇匀，接着小明从口袋中随机摸取
一个小球，记下其标号b．
（1）用树状图或列表法表示这个摸球游戏的所有结果；
（2）规定：若a+b≥0，则小红获胜；若a+b＜0，则小明获胜．
①当m＝0时，判断小红和小明谁获胜的可能性大，并说明理由；
②如果小红获胜的可能性比小明大，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）见解答
（2）①小明
②m≥2【解答】解：（1）根据题意，列表如下：
﹣2 m 1
﹣2 （﹣2，﹣2） （m，﹣2） （1，﹣2）
m （﹣2，m） （m，m） （1，m）
1 （﹣2，1） （m，1） （1，1）
由列表可知共有9种等可能的情况数；（4分）
（2）①小明获胜的可能性大，理由如下：
当m＝0时，﹣2+m＝﹣2＜0，m+1＝1＞0，﹣2+1＝﹣1＜0，
4
∴a+b≥0的情况有4种，概率为 ，（5分）
9
5
a+b＜0的情况有5种，概率为 ，（6分）
9
4 5
∵a+b≥0，则小红获胜；若a+b＜0，则小明获胜， ＜ ，
9 9
∴小明胜可能性大；（7分）
②如果小红获胜的可能性比小明大，则剩下5种情况中至少有4个满足a+b≥0，
∴﹣2+m≥0，1+m≥0，（9分）
解得m≥2，
即如果小红获胜的可能性比小明大，m的取值范围为m≥2．（10分）
26．如图所示是一个音乐喷泉的示意图，在点O处竖直放置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，
喷出的水柱为抛物线（记为抛物线M，N），且形状相同，喷出的抛物线形水柱在与水管AO的水平距
离为4m处达到最高，最大高度为9m，水柱落地处与水管AO的水平距离为10m，以水平地面为x轴，
水管AO所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
（Ⅰ）求水管AO的高度；
（Ⅱ）若在第一象限竖直放置一盏高为2.75m的景观射灯EF，且景观射灯的顶端E恰好碰到水柱．
①求景观射灯EF与水管AO的水平距离；
②现计划降低水管高度，使水柱落地处恰好在点 F处，已知水管下降后，喷水头喷出的水柱形状和对
称轴不变，则水管AO要降低多少米？【答案】（Ⅰ）5m；
11
（Ⅱ）①9m；②水管AO要降低 m．
4
【解答】解：（Ⅰ）由题意得，N（4，9），B（10，0），
设经过A、N、B三点的抛物线解析式为y＝a（x﹣4）2+9，
∴0＝a（10﹣4）2+9，
1
∴a=− ，
4
1
∴经过A、N、B三点的抛物线解析式为y=− (x−4) 2+9，（2分）
4
1
当x＝0时，y=− (0−4) 2+9=5，
4
∴A（0，5），
∴OA＝5m，
答：水管AO的高度为5m；（3分）
1 1
（Ⅱ）①在y=− (x−4) 2+9中，当y＝2.75时，− (x−4) 2+9=2.75，
4 4
解得x＝﹣1或x＝9，（4分）
∴E（9，2.75），
∴F（9，0），
∴OF＝9m，
答：景观射灯EF与水管AO的水平距离为9m；（6分）
1
②设下降后的抛物线解析式为y=− (x−4) 2+n，
4
∵下降后的抛物线经过F（9，0），
1
∴0=− (9−4) 2+n，
4
25
∴n= ，（8分）
425 11
∵9− = ，
4 4
11
∴水管AO要降低 m，
4
11
答：水管AO要降低 m．（10分）
4
