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2025-2026 学年九年级数学上学期第三次月考卷
强化卷·参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D D C C C D C B C B B C
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
4−2x
13．﹣2 14．70° 15．6 16．﹣3＜x＜1 17．y＝﹣（x+4）2+1 18．y=
x+2
三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）
【解答】解：（1）原方程分解因式可得：
（x+7）（x﹣3）＝0，
则x+7＝0或x﹣3＝0，
解得x ＝﹣7，x ＝3；（2分）
1 2
（2）原方程移项可得：
x（x+4）﹣3（x+4）＝0，
（x+4）（x﹣3）＝0，
则x+4＝0或x﹣3＝0，
解得x ＝﹣4，x ＝3；（4分）
1 2
（3）原方程移项可得：
x2﹣4x＝1，
x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
开方，得x−2=±❑√5，
解得 ；（6分）
x =2+❑√5，x =2−❑√5
1 2
（4）原式=1×2❑√2−2−3❑√2+2
=2❑√2−2−3❑√2+2
=(2❑√2−3❑√2)+(−2+2)=−❑√2．（8分）
20．（8分）
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[2（m﹣1）]2﹣4×1×m2≥0，
1
解得：m≤ ，
2
1
∴实数m的取值范围为m≤ ．（4分）
2
（2）∵x ，x 是关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0的两实数根，
1 2
∴x +x ＝﹣2（m﹣1），x •x ＝m2．（5分）
1 2 1 2
∵ 14，
x2+x2=
1 2
∴（x +x ）2﹣2x •x ＝14，
1 2 1 2
∴[﹣2（m﹣1）]2﹣2m2＝14，
∴4m2﹣8m+4﹣2m2＝14，
∴m＝5或﹣1，
当m＝5时，方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0变为x2+8x+25＝0，无解舍去，
当m＝﹣1时，方程变为x2﹣4x+1＝0，（7分）
∴x +x ＝4， ，
1 2 x 2−4x +1=0
1 1
∴ x ﹣1，
x 2=4 1
1
∴ 4x ﹣10＝4x ﹣1+4x ﹣10＝4（x +x ）﹣11＝16﹣11＝5．（8分）
x2+ 2 1 2 1 2
1
21．（8分）
【解答】解：（1）将D（1，3）代入抛物线y＝﹣x2+k中，
∴﹣1+k＝3，
∴k＝4，（2分）
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4；（6分）
（2）∵y＝﹣x2+4，对称轴是y轴，
∴C关于y轴的对称点是B，
根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，连点之间线段最短，
∴连接BD，与y轴的交点就是点P，∴PC+PD能取得的最小值就是BD的长，（5分）
把y＝0代入y＝﹣x2+4，
∴﹣x2+4＝0，解得x ＝﹣2，x ＝2，
1 2
∴B（﹣2，0），（6分）
设直线BD的解析式是y＝mx+n，
将（﹣2，0），（1，3）代入y＝mx+n，
{−2m+n=0)
得 ，
m+n=3
{m=1)
解得 ，
n=2
∴直线BD的解析式是y＝x+2，（7分）
当x＝0时，y＝2，
∴P（0，2）．（8分）
22．（8分）
【解答】解：（1）设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，
根据题意得：1.6（1+x）2＝2.5，（2分）
解得：x ＝0.25＝25%，x ＝﹣2.25（不符合题意，舍去）．
1 2
答：游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为25%；（4分）
（2）设每把扇子降价y元，则每把扇子的销售利润为（25﹣y﹣6）元，平均每天可售出（300+30y）把，
根据题意得：（25﹣y﹣6）（300+30y）＝6300，（6分）
整理得：y2﹣9y+20＝0，
解得：y ＝4，y ＝5，
1 2
又∵要尽可能地减少库存，
∴y＝5．
答：每把扇子应降价5元．（8分）23．（10分）
【解答】（1）证明：∵以AB为腰作等腰△ABC，底边BC交 O于点D，
∴AB＝AC，（1分） ⊙
∵AB为 O的直径，
∴∠ADB⊙＝90°，（2分）
∵BD＝AD，
∴∠B＝∠DAB＝45°，
∴∠C＝∠B＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，（4分）
∵OA是 O的半径，且AC⊥OA，
∴AC是⊙O的切线．（5分）
（2）解⊙：∵AB＝AC，AD⊥BC，
1
∴DB＝DC= BC，（6分）
2
∵∠B＝∠C，∠B＝∠E，
∴∠C＝∠E，
∴DE＝DC，
∴DB＝DE，（7分）
∵DE+AD＝8，AB＝6，∠ADB＝90°，
∴DB+AD＝DE+AD＝8，DB2+AD2＝AB2＝62＝36，
∴（DB+AD）2＝82，
∴DB2+AD2+2DB•AD＝64，
1
∴36+2× BC•AD＝64，
2
1
∴S△ABC = BC•AD＝14，
2
∴△ABC的面积为14．（10分）
24．（10分）
{4−2b+c=0)
【解答】解：（1）把A（﹣2，0），C（0，﹣2）分别代入y＝x2+bx+c得 ，
c=−2
{ b=1 )
解得 ，
c=−2
∴抛物线解析式为y＝x2+x﹣2；（3分）（2）①当y＝0时，x2+x﹣2＝0，
解得x ＝﹣2，x ＝1，
1 2
∴B（1，0），（4分）
∵△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，
∴点P到BD的距离为C点到BD的距离的2倍，
∵C（0，﹣2），
∴P点的纵坐标为4，（5分）
当y＝4时，x2+x﹣2＝4，
解得x ＝2（舍去），x ＝﹣3，
1 2
∴P点坐标为（﹣3，4）；（6分）
1 1
②抛物线的对称轴为直线x=− ，即直线x=− ，（7分）
2×1 2
1
连结BP交直线x=− 与Q点，如图，
2
∵QA＝QB，
∴QA+QP＝QB+QP＝PB，
∴此时QA+QP的值最小，（8分）
∴ 此 时 △ PAQ 的 周 长 最 小 ， 最 小 周 长 为 PA+QA+QP ＝ PA+PB
4 ．（10分）
=❑√(−3+2) 2+(4−0) 2+❑√(−3−1) 2+42=❑√17+ ❑√2
25．（10分）
【解答】解：（1）根据题意，列表如下：
﹣2 m 1
﹣2 （﹣2，﹣2） （m，﹣2） （1，﹣2）
m （﹣2，m） （m，m） （1，m）1 （﹣2，1） （m，1） （1，1）
由列表可知共有9种等可能的情况数；（4分）
（2）①小明获胜的可能性大，理由如下：
当m＝0时，﹣2+m＝﹣2＜0，m+1＝1＞0，﹣2+1＝﹣1＜0，
4
∴a+b≥0的情况有4种，概率为 ，（5分）
9
5
a+b＜0的情况有5种，概率为 ，（6分）
9
4 5
∵a+b≥0，则小红获胜；若a+b＜0，则小明获胜， ＜ ，
9 9
∴小明胜可能性大；（7分）
②如果小红获胜的可能性比小明大，则剩下5种情况中至少有4个满足a+b≥0，
∴﹣2+m≥0，1+m≥0，（9分）
解得m≥2，
即如果小红获胜的可能性比小明大，m的取值范围为m≥2．（10分）
26．（10分）
【解答】解：（Ⅰ）由题意得，N（4，9），B（10，0），
设经过A、N、B三点的抛物线解析式为y＝a（x﹣4）2+9，
∴0＝a（10﹣4）2+9，
1
∴a=− ，
4
1
∴经过A、N、B三点的抛物线解析式为y=− (x−4) 2+9，（2分）
4
1
当x＝0时，y=− (0−4) 2+9=5，
4
∴A（0，5），
∴OA＝5m，
答：水管AO的高度为5m；（3分）
1 1
（Ⅱ）①在y=− (x−4) 2+9中，当y＝2.75时，− (x−4) 2+9=2.75，
4 4
解得x＝﹣1或x＝9，（4分）
∴E（9，2.75），
∴F（9，0），
∴OF＝9m，答：景观射灯EF与水管AO的水平距离为9m；（6分）
1
②设下降后的抛物线解析式为y=− (x−4) 2+n，
4
∵下降后的抛物线经过F（9，0），
1
∴0=− (9−4) 2+n，
4
25
∴n= ，（8分）
4
25 11
∵9− = ，
4 4
11
∴水管AO要降低 m，
4
11
答：水管AO要降低 m．（10分）
4
