文档内容
2024—2025 学年高一上学期十二月联考
数学试题
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本
试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间为120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】列举出集合B中的元素，由并集的定义求 .
【详解】集合 ， ，
则 .
故选：C.
2. 命题:“ ， ”的否定为（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，【答案】D
【解析】
【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得到结果.
【详解】因为原命题为全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，并且需要否定结论，
所以原命题“ ， ”的否定为“ ， ”，
故选：D.
3. 已知 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由不等式的性质逐个判断即可.
【详解】对于AC，当 时，AC显然错误；
对于B，取 满足 ，显然 ，显然 不成立，故
错误；
对于D，由 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，故D正确.
故选：D
4. 下列各组函数是同一个函数的是（ ）
① 与 ；② 与 ；③ 与 ；④ 与 .
A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①④
【答案】C
【解析】
【分析】整理函数解析式并求其定义域，逐项进行比较，可得答案.
【详解】对于①，由函数 可得 ，解得 ，则其定义域为
，
由函数 可得 ，解得 ，则其定义域为 ，故①不符合题意；
对于②，函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，故②符合题意；
对于③，函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，故③不符合题意；
对于④，函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，
故④符合题意.
故选：C
5. 命题“ ”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由存在量词命题为真求得 的范围，再根据“必要不充分条件”即可确定选项.【详解】由 ，可得 在 上能成立，
因 ，故得 .
由题意知， 是选项的范围的真子集即可.
故选：D.
6. 已知关于 的不等式 的解集为 ，则 的最大值是（
）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先解含参数的一元二次不等式得到 和 的值，再代入 中，结合均值不等式求
解最值即可.
【详解】不等式 可化 为，
因为 ，所以 ，所以不等式的解集为 ，
所以 ， ，则 ，
因为 ，所以 ， ，
则 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 .
故选：D．
7. 设 ， ， ，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用幂函数与对数函数的单调性即可得解.
【详解】因为 ， ， ，
又因为 在 上单调递增，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
又因为 在 上单调递增，所以 ，即 ，
综上： .
故选：D.
8. 已知 是定义在 上的偶函数，且对任意 ，有 ，当 时，
，则下列结论错误的是（ ）
A.B.
C. 函数 有3个零点
D. 当 时，
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数对称性和奇偶性，可得 的周期可判断A；根据 解析式及周期，代入数据可
判断B；分别作出 和y=f (x)的图象可判断C；根据函数周期及奇偶性，化简整理，可判断
D.
【详解】对于A，因为 ，且 为偶函数，
所以
，
即4是 的一个周期，故A正确；
对于B，由4是 的一个周期，知 ， ，
所以 ，故B错误；
对于C，令 ，可得 ，
作函数 和y=f (x)的图象如下图所示，由图可知，两个函数图象有3个交点，故C正确；
对于D，当 时， ，
则 ，故D正确．
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 方程组 的解集是
B. 若集合 中只有一个元素，则
C. “ ”是“一元二次方程 有一正一负根”的充要条件
D. 已知集合 ，则满足条件 的集合 的个数为4
【答案】CD
【解析】
【分析】根据一元一次方程组的解是有序数对可判断 A；对参数 是否为零进行分类讨论可得 或
可判断B；利用韦达定理可判断C；由 可得 是集合 的子集可判断D.
【详解】对于A，因为 ，解得 ，所以解集为 ，故A错误；
对于B，当 时， ，解得 ，此时集合 ，满足题意；
当 时，需满足 ，可得 ，因此 或 ，故B错误；
对于C，由 可知一元二次方程 的判别式 ，即该方程有两根，且两根之积 ，即两根异号，所以充分性成立；
若一元二次方程 有一正一负根，可知两根之积为负，
即 ，也即 ，所以必要性成立，故C正确；
对于D，由 可知 是集合 的子集，
所以集合 可以是 ， ， ， 共4个，故D正确.
故选：CD.
10. 已知正数 ， 满足 ，下列说法正确的是（ ）
A. 的最大值为
B. 的最小值为
C. 的最小值为
D. 的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用逐项求解判断即可.
【详解】正数 ， 满足 ，
对于A， ，解得 ，当且仅当 时取等号，A错误；
对于B， ，
当且仅当 时取等号，B正确；对于C， ，当且仅当 时取等号，C正确；
对于D， ，
当且仅当 ，即 时取等号，D正确.
故选：BCD
11. 对于函数 下列说法正确的是（ ）
A. 当 时， 的最小值为0
B. 当 时， 存在最小值
C. 当 时， 在 上单调递增
D. 的零点个数为 ，则函数 的值域为
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A，写出此时函数解析式，得到当 时， 取得最小值，最小值为0；
对于B，举出反例；对于C，两分段均单调递增，但端点处，左端点的函数值不一定小于右端点的函数值，
故③错误；
对于D，分类讨论，结合零点存在性定理得到函数 的值域为 .
【详解】选项A： 时， ，又因为 ， ，故函数最小
值为0（当x=0时取到），选项正确；选项B：不妨设 ，此时 ，
当 时，
当 时，
故 ，此时函数不存在最小值，选项错误；
选项C： 在 上单调递增，且 ，
当 时， 在 上单调递增，且 ，
当 时， ，故当 时， 在R上不单调递增，选项错误；
选项D： 在 上单调递增，
当 时，设 ，显然 单调递增，
( 1)
又t(−1)<0,t − >0，故存在 使得 ，
2
当 时， 无解，即 在 上无零点，
此时 有两个零点，0和 ，故此时 ，
当 时， 在 上有1个零点，
此时 有两个零点，0和 ，故此时 ，
当 时， ，由A知，此时有1个零点，即 ，当 时， 在 上无零点， 在 上也无零点，
此时 ，则函数 的值域为 ，选项正确.
故选：AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 不等式 对 恒成立，则实数 的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】分 和 两种情况讨论，当 时只需 即可求出参数的取值范围.
【详解】当 时， ，符合题意，所以 ；
当 ，只需 ，解得 ，
综上实数 的取值范围为 .
故答案为： .
13. 函数y=f (x)是 上的增函数，且y=f (x)的图象经过点 和 ，则不等式
的解集为______.
【答案】
【解析】
【分析】由函数的单调性性和经过 和 ，确定 自变量取值范围，再解不等
式即可.
【详解】因为y=f (x)的图象经过点 和 ，所以 ， .又 ，所以 ，即 ．
因为函数y=f (x)是 上的增函数，
{ 1
{2x−1>−2 x>−
所以 ，即 ，即 2，
2x−1<1
x<1
所以 ，
故答案为： .
14. 已知函数 若 ，则函数 的零点个数为______；若函数
的最小值为a，则实数a的值为______.
【答案】 ①. 1 ②. 或
【解析】
【分析】讨论 与0，1的大小关系，判断 在 和 两区间和上的单调性与最小值，根
据的 最小值列方程求出答案．
{2|x−1|,x>0
【详解】（1）当 时，f (x)= ，
x2+x+2,x≤0
当 时，由 ，得 ，解得 ，
当 时，由 ，得 ， ，无解，
所以函数 的零点为 ，即函数y=f (x)的零点个数为1；
{
a+1,01，
x2−ax+2,x≤0所以 在 上单调递减，最小值为 ；
在 上的最小值为 ．
因为函数 最小值为 ，所以 ．
②当 ，即 时，则 ，
所以 在 上先减后增，最小值为 ；
在 上的最小值为 ．
因为函数 最小值为 ，所以 ，
解得 ，不合题意，舍去．
③当 ，即 时，则 ，
所以 在 上先减后增，最小值为 ；
在 上的最小值为 ．
因为函数 最小值为 ，所以 ，
解得 或 （舍去）．
综上可得 或 .故答案为：1； 或 .
【点睛】关键点点睛：由分段函数求参数问题，解题的关键是讨论 与0，1的大小关系，判断 在
和 两区间和上的单调性与最小值．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设集合 ， .
（1）若 ，求 ； ；
（2）若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
【答案】（1） ；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求出集合 和集合 的取值，再根据集合的运算求出结果；
（2）根据“ ”是“ ”的充分不必要条件，得到 是 的真子集，即可得到结果.
【小问1详解】
当 时， ，
，
所以 ，
或 ，
则 或x>6}={x|x≠6}；
【小问2详解】
因为“ ”是“ ”的充分不必要条件，所以 是 的真子集，对于集合 ，不等式 ，即 ，
解得 ，所以 ，
因为 是B的真子集， ，
{m−1>−1
所以 ，解得 ，
m+1<6
所以实数m的取值范围是 .
16. 某国产车企业在自动驾驶技术方面日益成熟，近期拟推出一款高阶智驾新车型，并决定大量投放市场.
已知该车型年固定研发成本为3000万元，每生产 百辆，需另投入成本 万元，且
，由市场调研知，每辆车的售价为9万元，且生产的车辆当年能
全部销售完.
（1）求出年利润 （万元）关于年产量x（百辆） 的函数关系式；（利润=销售量×售价 成本）
（2）年产量为多少百辆时，该企业所获年利润最大？并求出最大年利润.
【答案】（1）
（2）当年产量为 百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为 万元.
【解析】
【分析】（1）根据利润=销售量×售价 成本，即可得利润 （万元）关于年产量 （百辆）的函数
关系式；
（2）分别根据配方法和基本不等式求出每段函数的最大值，再比较大小即可.
【小问1详解】
当 时， ，当 时， .
综上所述，
【小问2详解】
当 时， ，
所以当 时， ；
当 时， ，
当且仅当 ，即 时等号成立.
所以当 时， .
所以当 ，即当年产量为 百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为 万元.
17. 已知 ，函数 是奇函数， .
（1）求实数a的值；
（2）若 ， ，使得 ，求实数k的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的定义，建立方程，结合对数运算，经过验根，可得答案；
（2）整理是函数解析式，利用复合函数单调性，求得函数在对应区间上的最小值，由题意化简不等式，
可得答案.【小问1详解】
由函数 是奇函数，则 ，
可得 ， ， ，解得 ，
由 ，则 ，
当 时， ，可得 ， ，解得 ，
所以函数 的定义域为 ，经检验， 符合题意.
【小问2详解】
由函数 ，则函数 在 上单调递增，
所以函数 在 上的最小值 ；
由函数 ，且当 时， ，
则 在 上的最小值 .
由 ， ，使得 ，则 ，
即 ，解得 .
18. 已知函数 .
（1）判断 在区间 上的单调性，并用定义证明；
（2）判断 的奇偶性，并求 在区间 上的值域；（3）解不等式 .
【答案】（1） 在区间 上的单调递增，证明见解析
（2） 为奇函数，理由见解析， 在区间 的值域为 ；
（3）
【解析】
【
分析】（1）定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论；
（2）由题可得函数的定义域，并得到 ，可判断函数的奇偶性，并根据函数单调性得到函
数值域；
（3）先根据定义域得到 ，分 和 两种情况，变形得到
和m(m+2)(m2−m−1)>0，标根法求出不等式的解集，得到答案.
【小问1详解】
在区间 上的单调递增，证明如下：
任取 ，且 ，
则 ，
因为 ，且 ，
所以 ，故 ，
所以 ，故 在区间 上的单调递增；
【小问2详解】为奇函数，理由如下：
的定义域为 ，
，故 为奇函数，
由于 在区间 上的单调递增，故 在 上单调递增，
又 ， ，
故 在 上值域为 ；
【小问3详解】
的定义域为 ，
令 ，解得 ，
由 得 ，
当 ，即 时，
可得 ，
整理得 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，其中 的根为 或 ，
由数轴标根法得到不等式解为 或 ，
又 ，所以 或 ，
当 ，即 或 时，
由 得 ，
所以m(m+2)(m2−m−1)>0，
其中 的根为 或 ，
同理得到不等式解为 或 或 ，
又 或 ，
所以 或 ，
故不等式的解为
19. 已知函数 对一切实数 ， ，都有 成立，且 ，
.（1）求 的值；
（2）求 的解析式；
（3）若关于 的方程 有三个不同的实数解，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题目中的等式，利用赋值法，整理方程，可得答案
（2）由（1）的结果，利用赋值法整理等式，结合题意，可得答案；
（3）利用换元法整理方程并构造函数，根据分类讨论研究新函数的单调性，结合函数图象，可得答案.
【
小问1详解】
由等式 ，
令 ，可得 ，
由 ，解得 .
【小问2详解】
由等式 ，
令 ，可得 ，
由（1）中的 ，整理可得 ，
即 ，所以 .
【小问3详解】令 ，则 ，令 ，
当 时， ，易知函数 在(0,+∞)上单调递增，
此时方程 至多只存在一个根，故不符合题意；
当 时， ，
此时 ，当且仅当 时，等号成立，
由 ，
则 ，所以方程 在(0,+∞)上无解，故不符合题意；
当 时， ，根据对勾函数的单调性，
可得函数 在上单调递减，在 上单调递增，
由 ， ， ，
即 ， ，
(1 )
则函数 在 ,1 存在唯一零点，且在 存在唯一零点，
2
所以方程 存在两个根 ，且 ，
由函数 可作图如下：由图可知方程 存在三个不同的根.
综上所述， .
