2024年广东省广州市黄埔区中考数学一模试卷-解析版_初中近3年全区全科一模真题_2024年广州初三一模各区全科真题卷（70份）_数学2024年广州中考一模

2024 年广东省广州市黄埔区中考一模数学试题 一、单选题 1．下列各数为无理数的是（ ） A．3 B．3.14 C． 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 1 2 2 23 D． 7 2．如图表示互为相反数的两个点是（ ） A．点A与点 B B．点A与点 D C．点 C 与点 B D．点C与点 D 3． 1 2 位参加歌唱比赛的同学的成绩各不相同，按成绩取前 6 位进入决赛．如果小尹知道了自己的成绩后， 要判断自己能否进入决赛，他还要知道这 1 2 位同学成绩的（ ） A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数 4．下列运算正确的是（ ） A． a + b = a + b B． 2 a  3 b = 5 a b C． 5 + 3 = 5 3 D． 20− 5= 5 5．分式方程 x 2 − 3 = 1 x 的解是（ ） A． x = 3 B． x = − 3 C． x = 1 D．x=0 6．在 A B C D 中，对角线 A C 、 B D 交于点O，若 A D = 5 ， A C = 1 0 ，BD=6， B O C 的周长为（ ） A．13 B．16 C．18 D．21 7．如图，Rt△ABC中，C=90， A B = 1 0 ，AC=8， E 是 A C 上的一点， E D ⊥ A B ，垂足为D，若 A D = 4 ， 则 B E 的长为（ ）A． 2 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 3 5 B． 3 6 C． 1 8 5 D．3 8．如图，在平面直角坐标系中，菱形 A B C D 的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反 比例函数 y = k x ( x  0 ) 的图象上，点 D 的坐标为 (4,3) ，将菱形 A B C D 向右平移 m 个单位，使点 D 刚好落在 反比例函数 y = k x ( x  0 ) 的图象上，则 m 的值为（ ） A． 5 B． 6 20 32 C． D． 3 3 9．如图，在塔前的平地上选择一点，由A点看塔顶的仰角是，在A点和塔之间选择一点 B ，由 B 点看塔 顶的仰角是．若测量者的眼睛距离地面的高度为 1 .5 m ， A B = 9 m ， 4 5  =  ，=50，则塔的高度大约 为（ ）m．（参考数据： s in 5 0   0 .8 ， ta n 5 0   1 .2 ） A．55.5 B．54 C．46.5 D．45 10．已知抛物线 y = a x 2 + b x + c （a，b，c是常数，a0， c  1 ），经过点 ( 2 , 0 ) ，其对称轴是直线 x = 1 2 ．则 下列结论：①abc<0；②关于x的方程 a x 2 + b x + c = a 无实数根；③当x0时，y随x增大而减小；④ a + b = 0 . 其中正确的结论有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 x+4 11．代数式 在实数范围内有意义时，x应满足的条件是 ． 212．因式分解 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 3 4 a 3 − a = ． 13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ADC＝60°，∠B＝30°，若CD＝3cm，则BD＝ cm． 14．关于x的一元二次方程 ( k − 1 ) x 2 − 2 x + 3 = 0 有实数根，则 k 的取值范围是 ． 15．如图， A B C D 绕点A逆时针旋转 3 0  ，得到 A B C D  （点 B  与点B是对应点，点 C  与点 C 是对应点， 点 D 与点 D 是对应点），点 B  恰好落在 B C 边上，则 C  的度数为 ． 16．如图，已知正方形ABCD的边长为2，E为 A B 的中点，F是 A D 边上的一个动点，连接 E F ，将 △ A E F 沿 E F 折叠得 H E F ，若延长 F H 交边BC于点M，则DH 的取值范围 ． 三、解答题 17．解方程：x2+6x+5=0． 18．如图，在四边形ABCD中，BD平分ADC和ABC．求证：AD=CD， A B = C B ．19．已知 4 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 T = a a 2 − 1 − a 1 + 1 ． (1)化简 T ； (2)已知反比例函数 y = 2 x 的图象经过点 A ( a − 1 , a + 1 ) ，求 T 的值． 20．“2023广州黄埔马拉松”比赛当天，某校玩转数学小组针对其中一个项目“半程马拉松”（21.0975公里） 进行调查． (1)为估算本次参加“半程马拉松”的人数，调查如下： 调查总人数 20 50 100 200 500 参加“半程马拉松”人数 7 17 31 58 150 参加“半程马拉松”频率 0.35 0.34 0.31 0.29 0.30 已知共有20000人参与“2023广州黄埔马拉松”比赛，请估算本次赛事中，参加“半程马拉松”项目的人数约 为______人； (2)本赛事某岗位还需要2名志愿者参与服务工作，共有4人参加了志愿者遴选，其中初中生2名，高中生 1名，大学生1名，请利用画树状图或列表的方法，求恰好录取2名初中生志愿者的概率． 21．某文具店准备购进甲、乙两种圆规，若购进甲种圆规10个，乙种圆规30个，需要340元；若购进甲 种圆规30个，乙种圆规50个，需要700元． (1)求购进甲、乙两种圆规的单价各是多少元； (2)文具店购进甲、乙两种圆规共100个，每个甲种圆规的售价为15元，每个乙种圆规的售价为12元，销 售这两种圆规的总利润不低于480元，那么这个文具店至少购进甲种圆规多少个？ 1 22．如图，二次函数y=− (x+a)(x−3a)(a0) 的图象与 4 x 轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与 y 轴交于点E． (1)尺规作图：作抛物线的对称轴，交x轴于点D，并标记抛物线的顶点C，连接AE，且AE与对称轴相交于点 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 5 F ；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中，若 A O = 2 O E ，求CAD的大小及AF的值． 23．如图， A B C 内接于 O ， A B = A C ， C O 的延长线交 A B 于点 D ． (1)求证： A O 平分BAC； (2)若 B C = 1 2 ， s in  B A C = 3 5 ，求 A C 和 C D 的长． 24．如图，在矩形 A B C D 和矩形 A G F E 中，AD=4， A E = 2 ， A B = 3 A D , A G = 3 A E ．矩形 A G F E 绕着 点A旋转，连接 B G ，CF， A C ， A F ． (1)求证： A B G ∽ A C F ； (2)当 C E 的长度最大时， ①求 B G 的长度； ②在△ACF内是否存在一点P，使得CP+AP+ 3PF的值最小?若存在，求CP+AP+ 3PF的最小值；若 不存在，请说明理由． 25．已知二次函数y=ax2+2ax+c图象与x轴交于点A和点B(−3,0) ，与y轴交于点C(0,3) ． (1)求点A的坐标； (2)若点D是直线 B C 上方的抛物线上的一点，过点D作DE∥y轴交射线AC于点E，过点D作 D F ⊥ B C 于点F，求 3 2 D F − D E 的最大值及此时点D坐标； (3)在（2）的条件下，若点P，Q为x轴下方的抛物线上的两个动点，并且这两个点满足PBQ=90，试 求点D到直线PQ的最大距离．2024 年广东省广州市黄埔区中考一模数学试题 参考答案与试题解析 1．C 【分析】本题考查无理数的概念，无限不循环小数就是无理数，这是解题的关键． 根据无理数的概念逐一分析判定． 【详解】A．3是整数，属于有理 ，不符合题意； B．3.14是有限小数，属于有理数，不符合题意； C．2 2是无理数，符合题意； D． 6 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 2 7 3 是分数，属于有理数，不符合题意； 故选：C． 2．B 【分析】根据一个数的相反数定义求解即可． 【详解】解：在-3，-1,2,3中，3和-3互为相反数，则点A与点D表示互为相反数的两个点． 故选：B． 【点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号：一个正数的相反数是负 数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0． 3．D 【分析】参赛选手要想知道自己是否能进入前6名，只需要了解自己的成绩与全部成绩的中位数的大小即 可． 【详解】由于总共有12个人，且他们的分数互不相同，要判断是否进入前6名，只要把自己的成绩与中 位数进行大小比较.故应知道中位数的多少. 故选D. 【点睛】此题考查统计量的选择，解题关键在于掌握中位数的意义. 4．D 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的加减，乘法计算，然后逐项判断即可．【详解】解：A． 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 7 a 与 b不是同类二次根式，不可以合并，故运算错误； B． 2 a  3 b = 6 a b ，故原运算错误； C．5与 3 不是同类二次根式，不可以合并，故运算错误； D． 2 0 − 5 = 2 5 − 5 = 5 ，故原运算正确， 故选：D． 5．B 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意验根．分式方程去分母 转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： x 2 − 3 = 1 x ， 去分母，得 2 x = x − 3 ， 移项、合并同类项，得x=−3， 检验：把 x = − 3 代入 x ( x − 3 ) = 1 8  0 ， ∴分式方程的解为x=−3， 故选：B． 6．A 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，利用平行四边形的性质对角线互相平分，进而得出 B O ， C O 的长，即可得出 B O C 的周长． 【详解】解：∵ A B C D 的两条对角线交于点O，AC=10， B D = 6 ，AD=5， ∴BO=DO=3， A O = C O = 5 ， B C = A D = 5 ， ∴ B O C 的周长为： B O + C O + B C = 3 + 5 + 3 = 1 3 ． 故选：A． 7．A 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质即判定，利用相似三角形的性质建立比例关系是解题的 关键． 利用勾股定理求出BC的长，利用相似三角形的判定方法判定出△AED∽△ABC，再通过相似的性质建立 边的比值关系求出ED的长，再利用勾股定理运算求解即可．【详解】解：∵ 8 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 R t △ A B C 中，C=90， A B = 1 0 ， A C = 8 ， ∴ B C = A B 2 − A C 2 = 1 0 2 − 8 2 = 6 ， ∵ E D ⊥ A B ， ∴  E D A =  C ， ∵  A =  A ， ∴ △ A E D ∽ △ A B C ， ∴ A A D C = E B D C ，即： 4 8 = E D 6 ， 解得： E D = 3 ， ∵ B D = A B − A D = 1 0 − 4 = 6 ， ∴ B E = E D 2 + B D 2 = 3 2 + 6 2 = 3 5 ， 故选：A． 8．C 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，勾股定理，菱形的性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐 标特征是解题的关键． 过 D 作DF⊥x轴于点 F ，利用勾股定理求出菱形的边长，再求出A的坐标后，代入反比例函数解析式求 出 k 的值，利用平移的性质得到点 D 的坐标后，代入反比例函数解析式中运算求解即可． 【详解】解：过 D 作DF⊥x轴于点 F ，如图所示： ∴DFO=90， ∵D点的坐标为 (4,3) ， ∴DF=3，OF =4， ∴OD= DF2+OF2 = 32+42 =5，∵四边形 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 9 A B C D 是菱形， ∴ A D = O D = 5 ， ∴ A F = A D + D F = 5 + 3 = 8 ， ∴ A ( 4 , 8 ) ， ∵点A在反比例函数 y = k x 的图象上， ∴把A代入 y = k x 可得：k=32， ∴ y = 3 2 x ， 又∵点 D 向右平移 m 个单位后的坐标为： ( 4 + m , 3 ) ， ∴把 x = 4 + m ， y = 3 代入 y = 3 2 x 可得： 3 = 4 3 + 2 m ， 解得： m = 2 0 3 ， 故选：C． 9．A 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟悉利用三角函数边的比值关系建立等量关系是解题的关 键． 根据锐角三角函数边的比值关系建立等式运算求解即可． 【详解】解：由题意可建立如图所示平面图： ∴ C D = A B = 9 ， E F = A C = 1 .5 ， ∵GCE==45， ∴设GE=EC=x，则ED=EC−CD=x−9，∴ 10 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 ta n G D E ta n G E E D x x 9 ta n 5 0 1 .2   =  = = − =   ，即 x x − 9 = 1 .2 ， 解得： x = 5 4 ， ∴ G E = 5 4 ， ∴ G F = F E + E F = 5 4 + 1 .5 = 5 5 .5 ，即塔高为 5 5 .5 m， 故选：A． 10．B 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数解析式中的系 数与图象的有关系是解题的关键． 利用对称轴判定④，根据c1，结合抛物线的解析式判定①，根据 a  − 1 2 ，结合对称轴判定③，根据二次 函数与一元二次方程的关系判定②． 【详解】∵对称轴是直线 x = 1 2 ， ∴ − b 2 a = 1 2 ， 整理，得 a + b = 0 ，④正确； 即： b = − a ， 把点 ( 2 , 0 ) 代入解析式，得 0 = 4 a + 2 b + c ， 即 0 = 4 a − 2 a + c ， ∴c=−2a， ∵ c  1 ， ∴−2a1， 解得： a  − 1 2 ， b = − a  1 2 ， ∴abc<0，①正确； ∵ a  − 1 2 ， 1 ∴抛物线的开中向下，当x 时，y随x增大而减小，③错误； 2 1 ∵a− 1c， 2∴直线 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 11 y = a 与抛物线有两个交点， ∴关于x的方程 a x 2 + b x + c = a 有两个不相等的实数根，②错误； 综合分析可得，正确的有：①④， 故选：B. 11．x−4 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟悉掌握二次根式的概念是解题的关键． 根据二次根式有意义的概念运算求解即可． 【详解】解：∵ x + 4  0 ， ∴ x  − 4 ， 故答案为： x  − 4 ． 12． a ( 2 a + 1 ) ( 2 a − 1 ) 【分析】先提公因式，然后再用平方差公式分解因式． 【详解】解： 4 a 3 − a = a ( 4 a 2 − 1 ) = a ( 2 a + 1 ) ( 2 a − 1 ) ． 故答案为： a ( 2 a + 1 ) ( 2 a − 1 ) ． 【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，准确计算． 13．6 【分析】根据30°直角三角形的比例关系求出AD,再根据外角定理证明∠DAB=∠B,即可得出BD=AD． 【详解】∵∠B＝30°，∠ADC＝60°， ∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝30°， ∴AD＝BD， ∵∠C＝90°， ∴∠CAD＝30°， ∴BD＝AC＝2CD＝6cm， 故答案为：6． 【点睛】本题考查30°直角三角形的性质、三角形的外角性质，关键在于熟练掌握基础知识并灵活运用． 4 14．k  且k1 3【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义，以及根 的判别式 12 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季   0 ，得出不等式，解不等式即可求解．掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：根据题意得 k − 1  0 且 b 2 − 4 a c = 4 − 4 ( k − 1 )  3  0 ， 解得： k  4 3 且k1． ∴ k 的取值范围为 k  4 3 且k1． 故答案为： k  4 3 且k1． 15．105 【分析】由旋转的性质可知，BAB=30，AB= AB，再根据等腰三角形点性质及三角形内角和定理， 得到  B = 7 5  ，然后根据平行四边形和平行线的性质，即可求出C的度数． 【详解】解：由旋转的性质可知，BAB=30，AB= AB，   B =  A B B ， BAB+B+ABB=180，   B = 7 5  ， A B C D ，  A B ∥ C D ， ∴  B +  C = 1 8 0  ，   C = 1 0 5  ， 故答案为：105． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形点性质，三角形内角和定理，平行四边形的性质等知识，熟 练掌握旋转的性质是解题关键． 16． 5−1DH 2 【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，一点到圆上一点距离的最值问题，勾股定理，先由正方形的 性质得到AD=2，AE=1，∠BAD=90，则由勾股定理得到 D E = 5 ；由折叠的性质可得 ∠FHE=∠FAE=90，EH =AE=1，则点H在以点E为圆心，半径为1的圆上运动，据此可得当点H在 DE上时，DH 有最小值，最小值为 5−1；当点F运动到点D时，DH 有最大值，利用勾股定理求出DH最大值即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 13 D E ， ∵正方形 A B C D 的边长为2，E为 A B 的中点， ∴ A D = 2 ， A E = 1 ， ∠ B A D = 9 0  ， ∴ D E = A D 2 + A E 2 = 5 ， 由折叠的性质可得 ∠ F H E = ∠ F A E = 9 0  ， E H = A E = 1 ， ∴点H在以点E为圆心，半径为1的圆上运动， ∴当点H在 D E 上时，DH 有最小值，最小值为 5−1； ∵点F在AD上运动， ∴当点F运动到点D时， D H 有最大值， ∴ D H 最 大 值 = D E 2 − E H 2 = 2 ， ∴ 5−1DH 2， 故答案为： 5−1DH 2． 17．x 1 =-1，x 2 =-5 【分析】方程利用因式分解法求出解即可． 【详解】x2+6x+5=0 (x+1)(x+5)=0 ∴x+1=0或x+5=0 ∴x 1 =-1．x 2 =-5 【点睛】此题考查了解一元二次方程−−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 18．证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，由角平分线的定义得到14 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 ∠ A D B = ∠ C D B ， ∠ A B D = ∠ C B D ，进而利用 A S A 证明 △ A B D ≌ △ C B D ，据此可证明AD=CD， A B = C B ． 【详解】证明：∵BD平分 A D C  和 A B C  ， ∴ ∠ A D B = ∠ C D B ， ∠ A B D = ∠ C B D ， 又∵ B D = B D ， ∴ △ A B D ≌ △ C B D ( A S A ) ， ∴ A D = C D ， A B = C B ． 19．(1) ( a + 1 1) ( a − 1 ) (2) 2 2 【分析】本题考查了分式的化简求值，反比例函图象点的坐标特征，因式分解等知识点，熟练运用运算法 则运算是解题的关键． （1）利用因式分解对分式进行通分，再运算化简即可； （2）把点 A 代入 y = 2 x 得到关于a的式子后，代入T 运算即可． a 1 a (a−1) a−(a−1) 1 【详解】（1）解：T = − = − = = ； a2−1 a+1 (a+1)(a−1) (a+1)(a−1) (a+1)(a−1) (a+1)(a−1) 2 （2）解：∵A(a−1,a+1) 在反比例函数y= 上， x ∴把 x = a − 1 ， y = a + 1 2 2 代入y= 可得：a+1= ， x a−1 整理得： (a+1)(a−1)= 2， ∴ T = ( a + 1 1) ( a − 1 ) = 1 2 = 2 2 ． 20．(1)6000 (2) 1 6 【分析】本题主要考查的是频率，用列表法或树状图法求概率，解题的关键是正确的画出表格或数状图． （1）利用表格中的数据确定出参加“2023广州黄埔马拉松” 比赛的频率，根据频率求频数；（2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）由表格中的数据可得：本次赛事参加“半程马拉松”人数的频率为 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 15 0 .3 ， ∴参加“半程马拉松”项目的人数约为： 2 0 0 0 0  0 .3 = 6 0 0 0 （人）， 故答案为：6000； （2）列表得： 初中生1 初中生2 高中生 大学生 初中生2， 高中生， 大学生， 初中生1 初中生1 初中生1 初中生1 初中生1， 高中生， 大学生， 初中生2 初中生2 初中生2 初中生2 初中生1， 初中生2， 大学生， 高中生 高中生 高中生 高中生 初中生1， 初中生2， 高中生， 大学生 大学生 大学生 大学生 由表格可得，共有12种等可能出现的结果，其中恰好录取2名初中生志愿者的情况有 2 种， 恰好录取2名初中生志愿者的概率 = 1 2 2 = 1 6 ． 21．(1)购进甲圆规每个需要10元，乙圆规每个需要8元 (2)这个文具店至少购进甲种圆规80个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，解题的关键是： （1）设购进甲圆规每个需要x元，乙圆规每个需要y元，根据“若购进甲种圆规10个，乙种圆规30个， 需要340元；若购进甲种圆规30个，乙种圆规50个，需要700元”，可列关于x、y的二元一次方程组， 求解即可； （2）设购进甲圆规m个，则购进乙圆规 (100−m) 个，根据“销售这两种圆规的总利润不低于480元”列出 关于m的不等式，求解即可．【详解】（1）解：设购进甲圆规每个需要x元，乙圆规每个需要y元， 根据题意，得 16 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季  1 3 0 0 x x + + 3 5 0 0 y y = = 3 7 4 0 0 0 ， 解得  x y = = 1 8 0 ， 答：购进甲圆规每个需要10元，乙圆规每个需要8元； （2）解：设购进甲圆规m个，则购进乙圆规 ( 1 0 0 − m ) 个， 根据题意，得 (1 5 − 1 0 ) m + (1 2 − 8 ) (1 0 0 − m )  4 8 0 ， 解得 m  8 0 ， 答：这个文具店至少购进甲种圆规80个． 22．(1)详情见解析； (2)  C A D = 4 5  ； A F = 2 5 ． 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，垂直平分线的作法，一次函数的图象性质等知识点，熟悉掌握 各函数点的坐标特征是解题的关键． （1）根据抛物线的对称轴为AB的中垂线，按要求作图即可； （2）求出点 A 和 E 的坐标，由 A O = 2 O E 列式运算出a的值，根据 a 的值求出各边的长进而求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知抛物线的对称轴为 A B 的中垂线，再按要求作图如下： 1 1 3 （2）解：把x=0代入y=− (x+a)(x−3a) 可得：y=− (0+a)(0−3a)= a2， 4 4 4 ∴ O E = 3 4 a 2 ， 1 1 把y=0代入y=− (x+a)(x−3a) 可得：0=− (x+a)(x−3a) ， 4 4 解得：x =−a或x =3a， 1 2∵ 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 17 a  0 ， ∴ B ( − a , 0 ) ， A ( 3 a , 0 ) ， ∴ A O = 3 a ， ∵ A O = 2 O E ，即 3 a = 2  3 4 a 2 ， 解得： a = 2 或 a = 0 （舍去）， ∴A(6,0) ，B(−2,0) ，E(0,3) ， y = − 1 4 ( x + 2 ) ( x − 6 ) ， ∵ A B 的中点坐标为： − 2 + 2 6 = 2 ，即D(2,0) ， ∴把 x = 2 代入 y = − 1 4 ( x + 2 ) ( x − 6 ) 可得： y = − 1 4 ( 2 + 2 ) ( 2 − 6 ) = 4 ， ∴ C ( 2 , 4 ) ， ∴ C D = 4 = A D ， ∵  C D A = 9 0  ， ∴  C A D = 4 5  ， 设直线 A E 的函数解析式为 y = k x + b ， 则：  6 b k = + 3 b = 0 ，  1 k =− 解得： 2，  b=3 所以直线 A E 1 的表达式为：y =− x+3， 2 把 x = 2 代入 y = − 1 2 x + 3 1 可得：y=− 2+3=2， 2 ∴F(2,2) ， ∴DF =2， ∵AD=AO−OD=6−2=4， ∴ A F = D F 2 + A D 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5 ． 23．(1)证明见详解；(2) 18 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 A C = 6 1 0 180 ；CD= ． 13 【分析】（1）延长 A O 交 B C 于 H ，连接 B O ，证明 A ， O 在线段 B C 的垂直平分线上，得出AH ⊥BC，再 由等腰三角形的性质即可得出结论； （2）延长 C D 交 O 于 E ，连接BE，则 C E 是 O 的直径，可得  E B C = 9 0  ，由圆周角定理得出  E =  B A C ， 可得 s in E = s in ∠ B A C ，求出 C E 的长，由勾股定理求出 B E ，利用平行线判定出 E D B ∽ O D A ，由相似三 角形的比值关系求出 O D ，即可得到 C D ；由三角形的中位线定理求出 O H 的长，再通过勾股定理求 A C 即 可． 【详解】（1）延长AO交 B C 于 H ，连接 B O ，如图所示： ∵ A B = A C ， O B = O C ， ∴ A ，O在线段BC的垂直平分线上， ∴ A H ⊥ B C ， 又∵ A B = A C ， ∴ A O 平分 B A C  ； （2）延长 C D 交 O 于E，连接 B E ，如图所示： ∴CE是 O的直径， ∴EBC=90，BC⊥BE， ∵BC=BC∴ 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 19  E =  B A C ， ∴ s in E = s in ∠ B A C ， ∴ B C C E = 3 5 ， ∴ C E = 5 3 B C = 5 3  1 2 = 2 0 ， ∴ B E = C E 2 − B C 2 = 2 0 2 − 1 2 2 = 1 6 ， O A = O E = O C = 1 2 C E = 1 2  2 0 = 1 0 ， ∵ A H ⊥ B C ， ∴ B E ∥ O A ， ∴ E D B ∽ O D A ， ∴ O B A E = O D D E = O E O − D O D ，即： 1 1 0 6 = 1 0 O − D O D ， 解得： O D = 5 1 0 3 ， ∴ C D = O D + O C = 5 1 0 3 + 1 0 = 1 8 0 1 3 ， ∵ A H ⊥ B C ，AB=AC， ∴ H 是 B C 的中点， ∴ C H = 1 2 B C = 1 2  1 2 = 6 ， ∵ O 是 E C 的中点， ∴ O H 是 C E B 的中位线， ∴ O H = 1 2 B E = 1 2  1 6 = 8 ， ∴ A H = A O + O H = 1 0 + 8 = 1 8 ， ∴在 R t A C H 中：AC= AH2+CH2 = 182+62 =6 10． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的性质及判定，三角 函数等知识点，合理作出辅助线是解题的关键． 24．(1)见解析 (2)①BG=2 21；②存在，最小值是4 13【分析】（1）根据矩形的性质，先证 20 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 A B C ∽ A G F ，利用相似三角形的性质准备条件，再证 A B G ∽ A C F 即可； （2）①先确定当E在矩形 A B C D 外，且 C , A , E 三点共线时， C E 的长度最大，并画出图形，在 R t △ C E F 中 求出 C F 的长，最利用 A B G ∽ A C F 的性质求解即可；②将 A P 绕着点A顺时针旋转 3 0  ,且使AK = 3AP， 连接 P K ，同理将 A F 绕着点A顺时针旋转 3 0  ,得到 A L , 且使AL= 3AF，连接 L K ，过P作 P S ⊥ A K 于 S，过点L作 L Q 垂直 C E 的延长线于点Q，确定CP+ AP+ 3PF CL，当C、P、K、L四点共线时， C L 的长最小，再根据 3 0  直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵ AB= 3AD， A G = 3 A E ， ∴ A A B G = 3 3 A A D E = A A D E ， ∵矩形 A B C D 和矩形 A G F E ， ∴ A D = B C ， A E = G F ，  A B C =  A G F = 9 0  ， ∴ A A B G = A A D E = B G C F ， ∴ A B C ∽ A G F ，  B A C =  G A F ， ∴ A A C F = A A B G ， ∠ B A C − ∠ G A C = ∠ G A F − ∠ G A C ， 即 A A C B = A A F G ，BAG=CAF， ∴ A B G ∽ A C F （2）∵ A C + A E  C E ， ∴当 E 在矩形 A B C D 外，且 C , A , E 三点共线时，CE的长度最大，如图所示： 此时AC+AE=CE，CEF=90， ①∵AD=4，AB= 3AD=4 3， ∴AC= AB2+BC2 =8，BAC=30，在 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 21 R t △ C E F 中， E F = A G = 3 A E = 2 3 ， C E = A C + A E = 1 0 ， ∴ C F = C E 2 + E F 2 = 1 0 2 + ( 2 3 ) 2 = 4 7 ， 由（1）得： A B G ∽ A C F ， BG AB ∴ = ， 即 CF AC B 4 G 7 = 4 8 3 ， ∴ B G = 2 2 1 ； ②如图，将 A P 绕着点A顺时针旋转 3 0  ,且使 A K = 3 A P ，连接 P K ，同理将AF绕着点A顺时针旋转 3 0  , 得到 A L , 且使 A L = 3 A F ，连接LK， 由旋转可得：PAF =KAL=30−FAK， ∴ A K L ∽ A P F ， ∴ K P L F = A A K P = 3 ， ∴ K L = 3 P F , 1 过P作PS⊥ AK于S，则 PS = AP， 2 A S = 2 3 A P ， ∴ K S = A K − A S = 2 3 A P PS 3 ，则 tanPKS = = ， KS 3 ∴PKS =30， ∴ P K = A P ， ∵ C P + P K + K L  C L ，即CP+ AP+ 3PF CL， 当C、P、K、L四点共线时， C L 的长最小， 由题意，LAC=90+30+30=150，AF =4， AC=8，AL=4 3， 过点L作LQ垂直CE的延长线于点Q，LAQ=180−150=30， ∴ 22 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 Q L = 2 3 ， A Q = 6 ， 则 C Q = A C + A Q = 1 4 ， 在Rt CQL中，根据勾股定理得 C L = C Q 2 + Q L 2 = 4 1 3 ， ∴ C P + A P + 3 P F 的最小值为 4 1 3 . 【点睛】本题是一道压轴题，主要考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，解 直角三角形，等腰三角形的判定，最短路径等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关的知识与 联系，适当添加辅助线是解答的关键. 25．(1) A ( 1 ， 0 ) (2) 3 2 D F − D E 最大值为4，此时点D的坐标为 ( − 1 ， 4 ) ； (3) 2 9 【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点A的坐标即可； （2）先求出直线 B C 解析式为 y x 3 ，同理可得直线 A C 解析式为 y = − 3 x + 3 ，设 D ( m ， − m 2 − 2 m + 3 ) ， 则 E ( m ， − 3 m + 3 ) ， H ( m ， − m + 3 ) ，可得 D E = m 2 − m ，DH =−m2−3m；再证明△DHF是等腰直角三角形， 得到 D H = 2 D F ，则 3 2 D F − D E = 3 D H − D E = − 4 ( m + 1 ) 2 + 4 ，据此可得答案； （3）设P ( s，−s2−2s+3 )，Q ( t，−t2−2t+3 ) ，设直线PB解析式为y=kx+b，可利用待定系数法求出 k=−s+1， b  = 3 k  ，同理可得直线 Q B 解析式为 y = k x + b  = ( − t + 1 ) x + b  ， b  = 3 k  ；如图所示，设直线 P B ， Q B 分别与y轴交于T、R，可求出 O T = b  = 3 k ， O R = − b  = − 3 k  ，证明△BOT∽△ROB，可推出 k   k  = − 1 ， 进而得到st−s−t+2=0；设直线 P Q y=k x+b 解析式为y=kx+b，联立 1 1 得x2+(k +2)x+b −3=0， 1 1 y=−x2−2x+3 1 1 则 s + t = − k 1 − 2 ， s t = b 1 − 3 ，据此可得 k 1 + b 1 = − 1 ，即直线PQ经过定点 H ( 1 ， − 1 ) ；设点D到直线PQ得距 离为h，由垂线段最短可得 h  D H ，则当DH ⊥PQ时，h最大，最大值为DH = (−1−1)2+4−(−1) 2 = 29．   【详解】（1）解：∵抛物线 y = a x 2 + 2 a x + c 经过B(−3,0) ， C ( 0 , 3 ) ， 9a−6a+c=0 ∴ ， c=3 a=−1 ∴ ， c=3∴抛物线解析式为y=−x2−2x+3， 在 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 23 y = − x 2 − 2 x + 3 中，当 y = − x 2 − 2 x + 3 = 0 ，解得x=1或 x = − 3 ， ∴ A ( 1 ， 0 ) ； （2）解：设直线 B C 解析式为 y = k x + b ，直线DE交直线 B C 于H， −3k+b=0 ∴ ， b=3 ∴  k b = = 1 3 ， ∴直线 B C 解析式为y x 3， 同理可得直线 A C 解析式为 y = − 3 x + 3 ， 设 D ( m ， − m 2 − 2 m + 3 ) ，则 E ( m ， − 3 m + 3 ) ， H ( m ， − m + 3 ) ， ∴ D E = − 3 m + 3 − ( − m 2 − 2 m + 3 ) = m 2 − m ， D H = − m 2 − 2 m + 3 − ( m + 3 ) = − m 2 − 3 m ； ∵B(−3，0)，C(0，3) ， ∴ O B = O C ， ∴  O C B = 4 5  ， ∵ H E ∥ y 轴， ∴ ∠ D H F = ∠ O C B = 4 5  ， ∴ △ D H F 是等腰直角三角形， ∴ D H = 2 D F ， ∴3 2DF−DE=3DH−DE=−3m2−9m−m2+m=−4m2−8m=−4(m+1)2+4， ∴ m = − 1 时， 3 2 D F − D E 有最大值，最大值为4， ∴此时点D的坐标为 (−1，4) ；（3）解：设 24 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 P ( s ， − s 2 − 2 s + 3 ) ， Q ( ，t − t 2 − 2 t + 3 ) ， 设直线 P B 解析式为 y = k x + b  ， sk+b=−s2−2s+3 ∴ ， −3k+b=0 ∴ k  = − s 2 − s + 2 s 3 + 3 = − ( s + s 3 + ) ( 3 s − 1 ) = − s + 1 ， b  = 3 k  ∴直线PB解析式为 y = ( − s + 1 ) x + b  ， 同理可得直线 Q B 解析式为 y = k x + b  = ( − t + 1 ) x + b  ， b  = 3 k  如图所示，设直线PB， Q B 分别与y轴交于T、R， ∴ T ( 0 ， b  ) ， R ( 0 ， b  ) ， ∴ O T = b  = 3 k ， O R = − b  = − 3 k  ， ∵  P B Q = 9 0  ， ∴ ∠ T B R = 9 0  ， ∴∠OTB+∠OBT =90=∠OBR+∠OBT， ∴∠OTB=∠OBR， 又∵ ∠ B O T = ∠ R O B = 9 0  ， ∴△BOT∽△ROB， ∴ O O B T = O O R B 3 −3k ，即 = ， 3k 3 ∴ k   k  = − 1 ， ∴(−s+1)(−t+1)=−1， ∴st−s−t+2=0；设直线 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 25 P Q 解析式为 y = k 1 x + b 1 ， 联立  y y = = k − x 1 x + 2 − b 1 2 x + 3 得 x 2 + ( k 1 + 2 ) x + b 1 − 3 = 0 ， ∴ s + t = − k 1 − 2 ， s t = b 1 − 3 ， ∴b −3−(−k −2)+2=0， 1 1 ∴ k 1 + b 1 = − 1 ， ∴直线PQ经过定点H(1，−1) ； 设点D到直线PQ得距离为h， 由垂线段最短可得hDH， ∴当 D H ⊥ P Q 时，h最大，最大值为 D H = ( − 1 − 1 ) 2 +  4 − ( − 1 )  2 = 2 9 ． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，等腰直角三角 形的性质与判定，勾股定理等等，解（2）的关键在于证明 △ D H F 是等腰直角三角形得到 D H = 2 D F ，解 （3）的关键是推出直线 P Q 经过定点 H ( 1 ， − 1 ) ．