文档内容
2019 年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业
单独统一招生考试 数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题6分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1.设集合𝑀= x│x>―1 ,𝑁={𝑥|𝑥2>1},则𝑀∩𝑁=（ ）
A.{x|𝑥>―1} B. x│𝑥>―1 或 {x|𝑥>1} C. {x|𝑥>1} D. {x|―1<𝑥<1}
2.已知向量𝑎=（1，2），𝑏=（1，-3），则| 3𝑎+𝑏 |=（ ）
A.5 B.4 C.3 D. 5
3.点（1，-1）到直线𝑥―2𝑦―8=0的距离是（ ）
4.已知 ，则 （ ）
1
5.若2𝑥+5 > ，则 的取值范围是（ ）
4
A.（-7,+∞） B.（7,+∞） C.（-3,+∞） D.（3,+∞）
6.已知圆锥的母线长为4，底面周长为2𝜋，该圆锥的表面积是（ ）
A. 4𝜋 B. 5𝜋 C. 8𝜋 D. 9𝜋
7.从1,2,3,4,5这5个数中，任取2个不同的数，其和为偶数的概率是（ ）
3 3 1 2
A. B. C. D.
4 5 2 5
8.记等差数列{𝑎 }的前𝑛项和为𝑆 ，若𝑎 +𝑎 +𝑎 =15，则𝑆 =（ ）
𝑛 𝑛 5 6 7 11
A.110 B.80 C.55 D.30
9.若方程𝑥2+𝑦2+4𝑎𝑥―2𝑦+5𝑎=0表示的曲线是圆，则𝑎的取值范围是（ ）
1 1
A.（ ,1） B. （―1,― ）
4 4
1 1
C.（ ―∞， ）∪（1，+∞） D. （ ―∞，―1 ）∪（― ，+∞）
4 4
10.函数𝑓(𝑥)=sin𝑥cos𝑥+cos2𝑥的最大值是 （ ）
二、填空题：本题共6小题，每小题6分，共36分.
11. 的展开式中 的系数是_________.(用数字作答)
12.双曲线𝑥2 ―𝑦2=1的离心率是_________.
413.已知{𝑎 }是各项均为正数的等比数列，且𝑎 ，3𝑎 ，𝑎 ，成等差数列，则的公比为 .
𝑛 3 2 4
14.在𝛥𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶=2，𝐵𝐶=3，𝐴𝐵=4，则cos∠𝐴𝐶𝐵=_________.
15.已知二次函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2―3𝑎2x―1，若𝑓(𝑥)在(1,+∞)单调递增，则𝑎的取值范围是_________.
16.已知正四棱柱𝐴𝐵𝐶𝐷―𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 的底面边长为2，点𝑃是底面𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 的中心，且点𝑃到直线𝐴𝐵的
1 1 1 1 1 1 1 1
距离是3，则𝛥𝑃𝐴𝐶的面积为_________.
三、解答题：本题共3小题，每小题18分，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【淘
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17.（18分）
已知 的内角𝐴,𝐵,𝐶成等差数列.
（1）求𝐵；
（2）求 的最大值.
18.（18分）
已知椭圆𝑐:
𝑥2
+
𝑦2
=1(𝑎>𝑏>0)的离心率为
6
，焦距为4.
𝑎2 𝑏2 3
（1）求𝐶的方程
（2）过点（-3，0）且斜率k的直线𝑙与椭圆𝐶交于𝐴,𝐵两点，𝑂为坐标原点，当𝐴𝑂⊥𝐵𝑂时，求𝑘的值。19.（18分）
如图，四棱锥𝑃―𝐴𝐵𝐶𝐷的底面是边长为2的正方形，侧面𝑃𝐴𝐷⊥底面𝐴𝐵𝐶𝐷，且𝑃𝐴=𝑃𝐷= 2, 𝐸,𝐹分
别为𝑃𝐶,𝐵𝐷的中点.
（1）证明：𝐸𝐹//平面𝑃𝐴𝐷
（2）求二面角𝑃―𝐷𝐵―𝐴的正切角.2019 年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业单独统一招生考试
参考答案
一、选择题：（每小题6分，共60分）
1.C 2.A 3.B 4.D 5.A 6.B 7.D 8.C 9.C 10.B
二、填空题：（每小题6分）【淘宝搜店铺：学子之家精品店 微信：HAIWANG103】
11. 84 12 . 5 13. 2 14. ― 1 15. 0, 2 16. 4
2 4 3
三、解答题：（每小题6分）【淘宝搜店铺：学子之家精品店 微信：HAIWANG103】
17.解：
（1）由𝐴,𝐵,𝐶成等差数列可知𝐴+𝐶=2𝐵
𝜋
又𝐴+𝐵+𝐶=𝜋，可得𝐵= . ······6分
3
𝜋
（2）sin𝐴+ 3cos𝐴=2sin 𝐴+ . ······12分
3
又𝐴∈ 0, 2 𝜋 ，所以当𝐴= 𝜋 时，sin𝐴+ 3cos𝐴取得最大值2. ······18分
3 6
18.解：
（1）由题设得
2 = 6 𝑎2=6
解得
𝑏2
𝑎
=𝑎2
3
―4
，解得 𝑏2=2
所以𝐶的方程为𝑥2
+
𝑦2
=1. ······8分
6 2
（2）由题设得l的方程为𝑦=𝑘(𝑥+3)，设点𝐴,𝐵的坐标分别为(𝑥 ,𝑦 ),(𝑥 ,𝑦 )，
1 1 2 2
则𝑦 =𝑘(𝑥 +3)，𝑦 =𝑘(𝑥 +3).
1 1 2 2
将𝑦=𝑘(𝑥+3)代入𝑥2
+
𝑦2
=1，整理得
6 2
(1+3k2)𝑥2+18𝑘2𝑥+27𝑘2―6=0
则
18𝑘2 27𝑘2―6
𝑥
1
+𝑥
2
=―
1+3𝑘2
, 𝑥
1
𝑥
2
=
1+3𝑘2
······12分
因为𝐴𝑂⊥𝐵𝑂，所以𝑥 𝑥 +𝑦 𝑦 =0，
1 2 1 2
即𝑥 𝑥 +𝑘2(𝑥 +3)(𝑥 +3)=0，
1 2 1 2
1
所以𝑘2= ，
5
即𝑘= 5或𝑘=― 5
5 5
此时𝑙与𝐶的两个交点.所以𝑘= 5或𝑘=― 5. ······18分
5 5
19.解：
（1）如图，连接𝐴𝐶.因为𝐸,𝐹分别为𝑃𝐶,𝐴𝐶的中点，所以𝐸𝐹//𝑃𝐴，故𝐸𝐹//平面
𝑃𝐴𝐷 ······8分
（2）如图，作𝑃𝑃 ⊥𝐴𝐷，垂足为𝑃 ；作𝑃 𝐹 ⊥𝐵𝐷，垂足为𝐹 .连接𝑃𝐹 .
1 1 1 1 1 1
因为侧面𝑃𝐴𝐷⊥底面𝐴𝐵𝐶𝐷，所以𝑃𝑃 ⊥底面𝐴𝐵𝐶𝐷，故𝐵𝐷⊥𝑃𝑃 .又𝑃 𝐹 ⊥𝐵𝐷，所以𝐵𝐷⊥平面𝑃𝑃 𝐹 ，
1 1 1 1 1 1
故𝑃𝐹
1
⊥𝐵𝐷，因此∠𝑃𝐹
1
𝑃
1
是二面角𝑃―𝐷𝐵―𝐴的平面角. ······12分
由𝑃𝐴=𝑃𝐷= 2可知𝑃 为𝐴𝐷中点，𝑃𝑃 =1,由𝐴𝐹⊥𝐵𝐷可知，
1 1
𝑃 𝐹 //𝐴𝐹, 𝑃 𝐹 = 1 𝐴𝐹= 2,
1 1 1 1 2 2
则在𝑅𝑡𝛥𝑃𝑃 𝐹 中，tan∠𝑃𝐹 𝑃 = 2.
1 1 1 1
所以二面角𝑃―𝐷𝐵―𝐴的正切值为 2. ······18分
