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高 2024 级高一下期中期考试数学试题评分细则
一、单项选择题
1.B 2.A 3.D 4.D 5.C 6.D 7. A 8.C
8.略解在 中，由余弦定理得 ，且 的面积 ，
由 ，得 ，化简得 ，
又 ， ，联立解得 ， ，
所以 ，
为锐角三角形，有 ， ，得 ，
则有 ，可得 ，所以 .
二、多项选择题(本题共3个小题,每小题6分,共18分;在每小题给出的四个选项中,有多项
符合题目要求,全部选对得6分,部分选对得部分分,有错选得0分)
9.ABC 10.ABD 11.ACD
10题略解在 中，内切圆半径为 ， ，
得 ，故A选项正确；
又 ，由正弦定理得 ，
整理得 ，故B选项正确；
，又 ，
得 ，
1则 ，故 ，
又 ，
故 ，D选项正确.
因为 ， ，由正弦定理 ，故 ，
C选项错误.
故选：ABD
11题解：根据题意可得圆锥母线长为 ，设圆锥的底面半径为 ，
∴圆锥的高为h＝12，
对A选项，∵圆锥的表面积为 ，∴A选项正确；
对B选项，M为AB中点时，设圆锥的底面圆心为O，
易知线段△ABN为等腰三角形，其中 ，
∴图2中底面圆O中∠BON＝ ，又BO＝NO＝12，∴ ，
∴由余弦定理可得
，
∴B选项错误；
对C，D选项，由B选项图中，易知 ，又 ，
∴由余弦定理易知△ABN的三个角都为锐角，
∴过N作NM⊥AB于点M，此时MN最小，
根据等面积法可知：
解得MN＝ ，∴D选项正确．
2故选：ACD．
三、填空题
12. 13. 14.
14题：因为 ， ，所以 ，
可得： ，即 ，
因为 为锐角三角形，则有 ，即 ，解得： .
= ，
当 时，原式有最大值 ，此时 ，
则 ， ， ，即 ，所以
.
四、解答题
15.(本小题13分)
（1）由题意向量 ， ， ，
3则 ，即 ，……………………2分
故 ，
，即向量 与 的夹角 ； ……………………6分
（2）由（1）可知 ， ，
则
，……………………10分
当 时， 取得最小值，即 取最小值，
此时 ，则 ……………………13分
16.(本小题15分)
证明：（1）根据题意可知，正方体ABCD﹣A B C D 的棱长为3，
1 1 1 1
点E在棱AA 上，点F在棱CC 上，点G在棱BB 上，且AE＝C F＝B G＝
1 1 1 1 1
1，点H是棱B C 中点，
1 1
如图：在DD 上取一点N使得DN＝1， ……………………1分
1
连接CN，EN，则AE＝DN＝1，CF＝ND ＝2，又因为CF∥ND ，
1 1
所以四边形CFD N是平行四边形，所以D F∥CN，……………………3分
1 1
同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN∥AD，且EN＝AD，……………………5分
又BC∥AD，且AD＝BC，所以EN∥BC，EN＝BC，所以四边形CNEB是平行四边形，
所以CN∥BE，所以D F∥BE，所以E，B，F，D 四点共面；……………………7分
1 1
（2）因为H是B C 的中点，所以 ，因为B G＝1，所以 ，
1 1 1
4因为 ，且∠FCB＝∠GB H＝90°，所以△B HG∽△CBF，
1 1
所以∠B GH＝∠CFB＝∠FBG，所以HG∥FB，……………………10分
1
因为A E＝BG＝2，A E∥BG，所以四边形A EBG为平行四边形，所以A G∥BE，……… ……12分
1 1 1 1
因为HG∩A G＝G，HG 平面A GH，A G 平面A GH，
1 1 1 1
FB∩BE＝B，FB 平面B⊂ED
1
F，BE 平面B⊂ED
1
F，
所以平面A
1
GH∥⊂平面BED
1
F．……⊂………………15分
17.(本小题15分)
（1） ，……………………1分
因为 ，……………………3分
所以 ，即 ，…… 5分
又 ，所以 ，
因为 ，所以 ． ……………………7分
（2）由 得， ，即 ，……………………8分
由余弦定理得， ，解得 ，……………………10分
所以 ，……………………11分
又
5，
所以 ，……………………13分
所以
．……………………15分
18.(本小题17分)
解：（1）由条件可知，正四棱柱的高O O＝8，
1
所以正四棱柱的体积为6×6×8＝288，……………………1分
三棱锥P﹣A B C D 的体积为 ，……………………2分
1 1 1 1
所以该几何体的体积为288+24＝312； ……………………3分
（2）（i） ，
所以 ，……………………5分
正四棱锥P﹣A B C D 侧面的高为 ，
1 1 1 1
所以正四棱锥的侧面积为 ；……………………7分
（ii）如图，将长方形ABB A ，△PA B 和△PB C 展开在一个平面，
1 1 1 1 1 1
PA ＝PB ＝PC ＝6，A B ＝B C ＝8，……………………8分
1 1 1 1 1 1 1
设∠A B P＝ ， ，A B ＝AA ＝8， ，
1 1 1 1 1
α
，所以 ，……………………11分
所以 ，
，
6＝ ，…………… 14分
当A，Q，N，C 四点共线时，AQ+QN+NC 最短，
1 1
所以 ＝ ，
所以AQ+QN+NC 的最小值为 ．……………………17分
1
19.(本小题17分)
（1）因为 ，
由正弦定理得 ，……………………1分
由余弦定理 ，
所以 ，即 ，……………………3分
若 ，等式不成立，则 ，可得 ，
因为 ，所以 . ……………………4分
（2）由余弦定理 ，即 ，所以
，当且仅当 时取等号，
所以 ，当且仅当 时取等号，……………………6分
因为 为 边中点，所以 ，
所以
，……………………8分
7所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 的最大值为 .……………………9分
（3） .……………………10分
又 ，
所以 .……………………11分
由三维分式型柯西不等式有 .
当且仅当 即 时等号成立.……………………13分
由余弦定理 得 ，
所以 即 ，则 .
令 ，则 ……………………15分
因为 ，解得 ，当且仅当 时等号成立.
所以 .则 .
8令 ，则在 上递减，
当 即 时， 有最小值 .……………………17分
9
