2020 年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业
单独统一招生考试 数学
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 6 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项的字母填写在题后的括号内。
1.已知集合A={x|4<x<10},B={x|x=𝑛2,n∈N},则A∩B=（ ）
A. ∅ B.{3} C.{9} D.{4,9}
2.1, 3的等差中项是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
3.函数f(x)=sin2x+cos2x的最小正周期是（ ）
3𝜋 𝜋
A.2π B. C.π D.
2 2
4.函数f(x)= 3―4𝑥+𝑥2的定义域是（ ）
A.R B.[1,3] C.(-oo,1]U[3,+oo) D.[0,1]
1
5.函数y= 图象的对称轴为（ ）
𝑥2 2𝑥 2
1 1
A. x= 1 B. x= C. x= ― D. x= -1
2 2
6.已知 ，则 （ ）
3 3 3 3
A. B. C. ― D. ―
5 10 10 5
7.函数f(x)=ln(-3x2+1)的单调递减区间为（ ）
A. 0, 3 B. ― 3,0 C. ― 3, 3 D. ― 3, 3
3 3 2 2 3 3
8.若一个椭圆的两个焦点三等分它的长轴，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
9.双曲线𝑥2
―
𝑦2
＝1(a>0,b>0)的两条渐近线的倾斜角分别为α和β,则cos
𝛼 𝛽
=（ ）
𝑎2 𝑏2 2
3 1
A.1 B. C. D.0
2 2
10.已知a=0.20.3,b=0.30.3,c=0.2―0.2,则 （ ）A. a<b<c B. b<a<c C. b<c<a D. a<c<b
二、填空题：本大题共 6小题，每小题 6分，共 36分。把答案填在题中横线上。
11.从1,2,3,4,5中任取3个不同数学，这3个数字之和是偶数的概率为____________
12.已知向量a, b满足|𝑎|＝2,|a+b|=1,且a与b的夹角为150°,则|𝑏|=___________
13.不等式𝑙𝑜𝑔 𝑥>2的解集是____________
1
2
3
14.等比数列｛an}中，若𝑎 +𝑎 = ，𝑎 +𝑎 =12,则𝑎 =____________
1 2 2 4 5 3
15.(𝑥―3𝑦)5的展开式中𝑥2𝑦3的系数为______________
16.若平面α, β, r满足𝛼⊥𝛾,𝛼∩𝑟=𝑎,𝛽⊥𝛾,𝛽∩𝑟=𝑏,有下列四个判断：
①a//β
②当α//β时，a//b
③𝑎⊥𝛽
④当𝛼∩𝛽=c时，c⊥γ
其中，正确的是_____________（填写所有正确判断的序号）
三、解答题：本大题共 3小题，每小题 18分，共 54分。解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤。(学子之家精品店出品 QQ:2496342225)
17.(18分）
𝛥ABC的内角A,B,C的对边分别是a, b, c, , .
（1)若c=2, 求 ;
（2)若 ，求ΔABC的面积。18.(18分）已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F(-1,0).
（1)求C的方程；
（2)设P为C 的准线上一点，Q为直线PF与C的一个交点且F 为PQ的中点，求Q的
坐标及直线PQ 的方程。
19.(18分）
如图，正三棱柱𝐴𝐵𝐶―𝐴 𝐵 𝐶 中，P为𝐵𝐵 上一点，𝛥𝐴𝑃𝐶 为等腰直角三角形。
1 1 1 1 1
（1）证明：P为𝐵𝐵 的中点；
1
（2）证明：平面𝐴𝑃𝐶 ⊥平面𝐴𝐶𝐶 𝐴 ;
1 1 1
（3）求直线PA 与平面ABC 所成角的正弦值。2020 年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业
单独统一招生考试 数学
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 6 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项的字母填写在题后的括号内。
1.已知集合A={x|4<x<10},B={x|x=𝑛2,n∈N},则A∩B=（ ）
A. ∅ B.{3} C.{9} D.{4,9}
答案：C
解析：x=𝑛2,n∈N, N 为自然数，故x=0,1,4,9,16...求交集找相同，故A∩B={9},选C.
2.1, 3的等差中项是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：B
解析：等差中项为：若 A、B、C 成等差数列，则有 A+C=2B。设 1 和 3 的等差中项为
x, 则1+3=2x=4,故x=2,选B.
3.函数f(x)=sin2x+cos2x的最小正周期是（ ）
3𝜋 𝜋
A.2π B. C.π D.
2 2
答案：C
解析：f(x)=𝑠𝑖𝑛2𝑥+𝑐𝑜𝑠2𝑥=𝑠𝑖𝑛2𝑥+𝑐𝑜𝑠2𝑥―𝑠𝑖𝑛2𝑥=𝑐𝑜𝑠2𝑥= 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 1 + 1 = 1 𝑐𝑜𝑠2𝑥― 1 ，T=
2 2 2 2
2𝜋 2𝜋
= =𝜋，故选C.
𝜔 𝑧
4.函数f(x)= 3―4𝑥+𝑥2的定义域是（ ）
A.R B.[1,3] C.(-oo,1]U[3,+oo) D.[0,1]
答案：C
解析：函数定义域根号下大于等于 0,则 3―4x+𝑥2≥0, 解不等式可得解集｛x|x≤1 或
3≤x},故选C.
1
5.函数y= 图象的对称轴为（ ）
𝑥2 2𝑥 2
1 1
A. x= 1 B. x= C. x= ― D. x= -1
2 2
答案：A1 1
解析：y= = ，令x―1=0可得x=1为对称轴，故选A.
𝑥2 2𝑥 2 (𝑥 1)2 1
1
6.已知tan x=― ，则sin 2x=（ ）
3
3 3 3 3
A. B. C.― D. ―
5 10 10 5
答案：D
𝑠𝑖𝑛𝑥 1
解析：tan x= =― ，故 cos x=-3sinx，故𝑐𝑜𝑠2𝑥=9𝑠𝑖𝑛2𝑥，𝑠𝑖𝑛2𝑥+𝑐𝑜𝑠2𝑥=1=10
𝑐𝑜𝑠𝑥 3
1 6 3
𝑠𝑖𝑛2𝑥，故𝑠𝑖𝑛2𝑥= ，又𝑠𝑖𝑛2𝑥=2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥=―6𝑠𝑖𝑛2𝑥=― =― ，故选D.
10 10 5
7.函数f(x)=ln(-3x2+1)的单调递减区间为（ ）
A. 0, 3 B. ― 3,0 C. ― 3, 3 D. ― 3, 3
3 3 2 2 3 3
答案：A
解析：f(x)=ln(-3𝑥2+1)是一个复合函数，复合函数求单调递减区间同增异减，f(x)=lnx为
单调递增函数，故求―3𝑥2+1的递减区间即可，所求递减区间为（0,+∞),又因为对数函
数定义域―3𝑥2+1>0, 解得― 3 <𝑥< 3 ,故本题答案为（0, 3）故选A.
3 3 3
8.若一个椭圆的两个焦点三等分它的长轴，则该椭圆的离心率为（ ）
1 1 1 2
A. B. C. D.
6 3 2 3
答案：B
𝑐 2 1
解析：焦点三等分长轴即2a=3x2c=6c则离心率e= = = 故选B.
𝑎 6 3
9.双曲线𝑥2
―
𝑦2
＝1(a>0,b>0)的两条渐近线的倾斜角分别为α和β,则cos
𝛼 𝛽
=（ ）
𝑎2 𝑏2 2
3 1
A.1 B. C. D.0
2 2
答案：D
𝛼 𝛽
解析：渐近线倾斜角为α与β,可知α+β=180°,则cos ＝cos90°=0,故选D.
2
10.已知a=0.20.3,b=0.30.3,c=0.2―0.2,则 （ ）
A. a<b<c B. b<a<c C. b<c<a D. a<c<b
答案：A
解析：取特殊值计算比大小，如 0.2°=0.3°=1,在指数函数比大小中，指数相同底数越大
值就越大，底数相同且底数小于1则指数越小值就越大，故0.2―0⋅3>0.20=0.30>0.30.3
>0.20.3即a<b<c, 故选A二、填空题：本大题共 6小题，每小题 6分，共 36分。把答案填在题中横线上。
11.从1,2,3,4,5中任取3个不同数学，这3个数字之和是偶数的概率为____________
3
答案：
5
解析：总共 5 个数字，挑 3 个，总共𝐶3种挑法，3 个数之和是偶数的情况有①1，2，3；
5
②1, 2，5；③1, 3, 4;@l, 4, 5; ⑤2, 3, 5; ⑥3，4, 5，这6种，故从这5个数中挑3个不同
6 3
的数目和为偶数的概率为 =
10 5
12.已知向量a, b满足|𝑎|＝2,|a+b|=1,且a与b的夹角为150°,则|𝑏|=___________
答案： 3
解 析 ： 因 为 cos<a, b>= 𝑎⋅𝑏 =𝑐𝑜𝑠1500=― 3， 又 |a+b|=1, 则 |𝑎+𝑏|2=𝑎2+𝑏2
|𝑎|⋅|𝑏| 2
+2𝑎𝑏=4+𝑏2+2𝑎𝑏=1,令|b|=x,则可知 4+𝑥2+2ab=1, 2ab=-3―𝑥2, ab=― 3 𝑥2 ，则 3
2
𝑥2
2
2𝑥
=― 3，交叉相乘可得𝜆2―2 3𝑥+3=0,解方程x= 3即|b|= 3
2
13.不等式𝑙𝑜𝑔 𝑥>2的解集是____________
1
2
1
答案：{x|0<x< };
4
1 1 1
解析：𝑙𝑜𝑔 𝑥>2=10𝑦 ,可得x< , 又因为对数函数定义域x>0可得解集为{x|0<x< }
1 1
4 4 4
2 2
3
14.等比数列｛an}中，若𝑎 +𝑎 = ，𝑎 +𝑎 =12,则𝑎 =____________
1 2 2 4 5 3
答案：2
3 3
解析：因为𝑎 +𝑎 = 且𝑎 +𝑎 =𝑎 𝑞3+𝑎 𝑞3=𝑞3(𝑎 +𝑎 )=12= 𝑞3, 所以𝑞3=8,所
1 2 2 4 5 1 2 1 2 2
3 1 1
以 q=2 又𝑎 +𝑎 = =𝑎 +𝑎 𝑞=𝑎 +2𝑎 =3𝑎 , 所以 a= ,所以 𝑎 =𝑎 𝑞2= ×22
1 2 2 1 1 1 1 1 2 3 1 2
=2
15.(𝑥―3𝑦)5的展开式中𝑥2𝑦3的系数为______________
答案：-270
解析：二项式直接代入二项式公式𝑐𝑟𝑎𝑟𝑏𝑛―𝑟可得𝐶𝑟𝑥𝑟(―3𝑦)5―𝑟=𝐶𝑟𝑥𝑟(―3)5―𝑟𝑦5―𝑟,令
𝑛 5 5
r=2 则可得𝐶2𝑥𝑟(―3)3𝑦3 可得𝑥2𝑦3的系数为－270.
5
16.若平面α, β, r满足𝛼⊥𝛾,𝛼∩𝑟=𝑎,𝛽⊥𝛾,𝛽∩𝑟=𝑏,有下列四个判断：
①a//β
②当α//β时，a//b③𝑎⊥𝛽
④当𝛼∩𝛽=c时，c⊥γ
其中，正确的是_____________（填写所有正确判断的序号）
答案：②④
解析：垂直于同一平面的两平面相互平行，则其交线也平行；垂直于同一平面的两平面
相交于同一条直线，则该直线与平面也垂直。故正确的为②④.
三、解答题：本大题共 3小题，每小题 18分，共 54分。解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤。
17.(18分）
𝛥ABC的内角A,B,C的对边分别是a, b, c, B=30°, b=c+1.
（1)若c=2, 求sinC;
1
（2)若sinC= ，求ΔABC的面积。
4
𝑏 𝐶 3 3 2
解：(1) 因为 b=c+1,c=2 所以 b=3 由正弦定理可得 = ，所以 = 1 =6=
𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐶 𝑠𝑖𝑛300 𝑠𝑖𝑛𝐶
2
1
所以sinC=
3
𝑏 𝐶 𝑏 𝑏 1 1
（2）由正弦定理可得 = = = ，因为sin C= ，所以b=2, c=1
𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐶 𝑠𝑖𝑛300 𝑠𝑖𝑛𝐶 4
由余弦定理可得5=𝑎2+𝐶2―2𝑎𝑐 𝑐𝑜𝑠𝐵, 所以𝑎= 3 15
2
所以𝑆 = 1 𝑎𝑏𝑠𝑖𝑛𝐶= 3 15
𝛥𝐴𝐵𝐶 2 8
18.(18分）
已知抛物线C 的顶点在原点，焦点为F(-1,0).
（1)求C的方程；
（2)设P为C 的准线上一点，Q为直线PF与C的一个交点且F 为PQ的中点，求Q的
坐标及直线PQ 的方程。
𝑃
解：（1）由题可设抛物线方程为y2=-2px,又因为焦点（－1,0)可得－ ＝－1
2所以p=2, 所以𝑦2=-4x
1 𝑥
（2）设点P坐标为（1,𝑦 ), Q(𝑥 ，𝑦 ), 因为F为PQ中点，所以 2=-1, 所以𝑥 =-3
1 2 2 2 2
因为Q在抛物线上，将𝑥 =-3代入得𝑦 =±2 3, 所以Q(-3, 2 3)或（－3,-2 3)
2 2
𝑦 𝑦 𝑦 𝑦
当𝑦 =2 3时，由 1 2=0得𝑦 =―2 3;当𝑦 = ―2 3时，由 1 2=0得𝑦 =2
2 2 1 2 2 1
3
𝑦 𝑦
所以 点P(1, 2 3)或（(1,― 2 3), 所以 𝑘 = 2 1 =― 3
𝑃𝑄 𝑥 𝑥
2 1
所以 直线方程 3𝑥+𝑦―3 3=0或 3𝑥+𝑦+ 3=0
19.(18分）
如图，正三棱柱𝐴𝐵𝐶―𝐴 𝐵 𝐶 中，P为𝐵𝐵 上一点，𝛥𝐴𝑃𝐶 为等腰直角三角形。
1 1 1 1 1
（1）证明：P为𝐵𝐵 的中点；
1
（2）证明：平面𝐴𝑃𝐶 ⊥平面𝐴𝐶𝐶 𝐴 ;
1 1 1
（3）求直线PA 与平面ABC 所成角的正弦值。
解：(1) 证明：由题意可得ΔABP与Δ𝐶 𝐵 P为直角三角形，又因为ΔAP𝐶 为等腰直角
1 1 1
三角形，
所以AP=P𝐶 ,又因为三棱柱ABC-𝐴 𝐵 𝐶 为正三棱柱，所以AB=𝐵 𝐶
1 1 1 1 1 1
所以𝑅𝑡𝛥ABP≅ 𝑅𝑡𝛥𝐶 𝐵 P, 所以BP=𝐵 P, 所以 P为B𝐵 中点。
1 1 1 1
（2）证明：取A𝐶 中点H, 连接PH, 因为ΔAP𝐶 为等腰直角三角形，
1 1
所以PH⊥𝐴𝐶 ,作𝐴 𝐶 中点O,连接𝐵 O、HO,
1 1 1 1
则四边形𝐵 OHP 为平行四边形，：PHI与𝐵 O全等且平行
1 1
又因为A𝐵 𝐶 ,为正三角形，O 为𝐴 𝐶 中点，所以𝐵 𝑂⊥𝐴 𝐶 ,所以PH⊥𝐴 𝐶
1 1 1 1 1 1 1 1 1
𝐴𝐶 ∩𝐴 𝐶 =𝐶 ,所以PH⊥平面AC𝐶 𝐴 又PH⊂平面AP𝐶 ，所以平面AP𝐶
1 1 1 1 1 1 1 1
⊥平面AC𝐶 𝐴
1 1
（3）由题意可知，∠PAB为直线PA与平面ABC所成角，故设AB=2,则𝐵 O= 3=PH
1
2
因为ΔAP𝐶 为等腰直角三角形，𝐴𝐶 =2 3, 𝐴𝐴 = (2 3) ―22=2 2,则BP= 2
1 1 1
AP=5 22+( 2) 2 = 6 所以sin∠PAB= 2 = 3
6 3
