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专题 17 相似三角形（10 个高频考点）（强化训练）
【考点1 比例的性质】
a 3
1．（2022·辽宁抚顺·统考一模）若 = ，且a+b=14，则2a−b的值是（ ）
b 4
A．2 B．4 C．6 D．8
b 2 a−b
2．（2022·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考一模）若 = ，则 的值为（ ）
a 5 a+b
1 3 3 7
A． B． C． D．
4 7 5 5
b+c a+c a+b
3．（2022·河北·模拟预测）已知a，b，c为正实数，且 = = =k，则直线y=kx+(k+1)一定
a b c
不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2 3 5 5x−y
4．（2022·四川内江·统考一模）已知实数x，y，z满足 = = ，则 的值为_________．
x y−z z+x y+2z
5．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）锐角三角形△ABC的外心为O，外接圆直径为d，延长AO,BO,CO，
分别与对边BC,CA,AB交于D,E,F．
OD OE OF
(1)求 + + 的值；
AD BE CF
1 1 1 4
(2)求证： + + = ．
AD BE CF d
【考点2 比例线段】
6．（2022·甘肃甘南·校考一模）下列各组线段中，成比例的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm，5cm B．2cm，4cm，6cm，8cm
C．3cm，6cm，8cm，12cm D．1cm，3cm，5cm，15cm7．（2022·统考一模）已知线段a=√5+1，b=√5−1，则a，b的比例中项线段等于______．
8．（2022·江苏扬州·统考一模）如图，将一条长为60cm的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，
然后在重合部分(阴影处)沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺分成了三段，若这三段长度由短到长的
比为1:2:3，则折痕对应的刻度有________种可能．
9．（2022·江苏盐城·校考一模）在比例尺为1：100 000的盐都旅游地图上，测得大纵湖东晋水城与杨侍生
态园的距离约为31 cm，则大纵湖东晋水城与杨侍生态园的实际距离约为______km．
a b c+1
10．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知三条线段 a，b，c 满足 = = ，且 a+b+c=17 ．
3 2 4
（1）求 a，b，c 的值；
（2）若线段 d 是线段 a 和 b 的比例中项，求 d 的值．
【考点3 黄金分割】
11．（2022·湖南衡阳·统考中考真题）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）
的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，
那么该雕像的下部设计高度约是（ ）（结果精确到0.01m．参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，
√5≈2.236）
A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m
12．（2022·山东枣庄·校考模拟预测）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，
BP AP
点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足 = ，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生
AP AB
活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长
20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（
）A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）
C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对
13．（2022·云南玉溪·统考一模）如图，点A坐标是(0，0)，点C坐标是(2，2)，现有E、F两点分别从点
D(0，2)和点B(2，0)向下和向右以每秒一个单位速度移动，Q为EF中点．设运动时间为t．
（1）在运动过程中始终与线段EC相等的线段是 ；四边形CEAF面积＝ ．
（2）当t＝1秒时，求线段CQ的长．
（3）过点B作BP平行于CF交EC于点P．当t＝ 时，线段AP最短，此时作直线EP与x轴交于点
K，试证明，点K是线段AB的黄金分割点．
AC BC
14．（2011·河北廊坊·统考中考模拟）如图1，点C将线段AB分成两部分，如果 = ，那么称点C为
AB AC
线段AB的黄金分割点．
某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：
直线 将一个面积为 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为 ， ，如果S S ，那么称直线 为该
l S S S 1= 2 l
1 2 S S
1
图形的黄金分割线．
（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄
金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC
于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．
（4）如图4，点E是 ▱ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF
是 ▱ABCD的黄金分割线．请你画一条 ▱ABCD的黄金分割线，使它不经过 ▱ABCD各边黄金分割点．
15.（2022·辽宁沈阳·沈阳市外国语学校校考一模）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出
了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中
MG GN √5−1 √5−1
项，即满足 = = ，后人把 这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分
MN MG 5 2
割”点．如图，在△ABC中，已知AB=AC=3，BC=4，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则△ADE的面
积为______．
【考点4 平行线分线段成比例】
16．（2022春·九年级单元测试）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点
F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3√3，则△ABC的周长为_____．
AF 1
17．（2022·北京·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，若AB=3,AC=5, = ，则AE的长为
FC 4
_______．18．（2022·上海·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上，
AD DE AE
= ，则 =_____．
AB BC AC
19．（2022·浙江丽水·统考中考真题）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条
直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB=3，则线段BC的长是（ ）
2 3
A． B．1 C． D．2
3 2
．（ 湖南长沙长沙市北雅中学校考模拟预测）知识拓展
20 2022· ·如图1，由DE∥BC，AD=DB，可得AE=EC；
如图2，由AB∥CD∥EF，AE=EC，可得BF=FD；
m
解决问题 如图3，直线AB与坐标轴分别交于点A(m，0)，B(0,n) (m＞0,n＞0)，反比例函数y=
x
(x>0)的图象与AB交于C，D两点．
(1)若m+n=8，n取何值时ΔABO的面积最大？
(2)若S =S =S ，求点B的坐标．
ΔAOC ΔCOD ΔBOD
【考点5 相似多边形】
21．（2022·山东青岛·校考一模）下列结论不正确的是 （ ）
A．所有的正方形都相似 B．所有的菱形都相似
C．所有的等腰直角三角形都相似 D．所有的正五边形都相似
22.（2022·广东阳江·统考一模）若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ）
A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．1：16
23．（2022·河北·模拟预测）如图所示的四边形，与选项中的四边形一定相似的是（ ）
A． B．C． D．
24.（2022·河北衡水·统考一模）在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：
甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，它们的对应边间距为1，则新菱形与原菱形
相似．
乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则
新菱形与原菱形相似；
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）．
A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
25.（2022·山东青岛·山东省青岛实验初级中学校考模拟预测）如图，一张矩形纸片沿它的长边对折（EF为
折痕），得到两个全等的小矩形，如果小矩形与原来的矩形相似，那么小矩形的长边与短边的比是_____．
【考点6 相似三角形的判定与性质】
3
26．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，直线y= x+6分别与x轴、y轴交于点A、B，点C为线段
4
AB上一动点（不与A、B重合），以C为顶点作∠OCD=∠OAB，射线CD交线段OB于点D，将射线
OC绕点O顺时针旋转90°交射线CD于点E，连接BE．CD OD
(1)证明： = ；（用图1）
DB DE
(2)当△BDE为直角三角形时，求DE的长度；（用图2）
(3)点A关于射线OC的对称点为F，求BF的最小值．（用图3）
27．（2022·江苏淮安·统考中考真题）在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如
图（1），在菱形ABCD中，∠B为锐角，E为BC中点，连接DE，将菱形ABCD沿DE折叠，得到四边形
A′B′ED，点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′．
(1)【观察发现】A′D与B′E的位置关系是______；
(2)【思考表达】连接B′C，判断∠DEC与∠B′CE是否相等，并说明理由；
(3)如图（2），延长DC交A′B′于点G，连接EG，请探究∠DEG的度数，并说明理由；
(4)【综合运用】如图（3），当∠B=60°时，连接B′C，延长DC交A′B′于点G，连接EG，请写出B′C、
EG、DG之间的数量关系，并说明理由．
28．（2022·宁夏·中考真题）如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点，
m
与反比例函数y= (m≠0,x>0)的图象相交于点A，OB=1，tan∠OBC=2，BC：CA=1：2．
x(1)求反比例函数的表达式；
(2)点D是线段AB上任意一点，过点D作y轴平行线，交反比例函数的图象于点E，连接BE．当△BDE面
积最大时，求点D的坐标．
29．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D在直线AC上，
连接BD，将DE绕点D逆时针旋转120°，得到线段DE，连接BE，CE．
(1)求证：BC=√3AB；
CE
(2)当点D在线段AC上（点D不与点A，C重合）时，求 的值；
AD
AN
(3)过点A作AN∥DE交BD于点N，若AD=2CD，请直接写出 的值．
CE
30．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，
D、E分别为BC、PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接
DG，交PC于点H．(1)∠EDC的度数为 ；
(2)连接PG，求△APG 的面积的最大值；
(3)PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；
CH
(4)求 的最大值．
CE
【考点7 网格中的相似三角形】
31．（2022·湖北恩施·统考模拟预测）如图，在边长相等的正方形网格中，A、B、C 为小正方形的顶点，
则∠ABC=_______．
32．（2022·山东济宁·模拟预测）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF
的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C ，△DEF的周长为C ，则C 的值等于_____．
1 2 1
C
2
33．（2022·浙江宁波·统考一模）如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，△ABC是格点三角形
（顶点在方格顶点处）．(1)在图1中画出一个格点△A B C ，使得△A B C 与△ABC相似，周长之比为2：1；
1 1 1 1 1 1
(2)在图2中画出一个格点△A B C ，使得△A B C 与△ABC相似，面积之比为2：1．
2 2 2 2 2 2
34．（2022·吉林长春·统考一模）图①、图②、图③分别是6×6的正方形网格，网格中每个小正方形的边
长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、E、P、Q、M、N均在格点上，仅用无刻度的直尺
在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，画线段AB的中点F．
(2)在图②中，画△CDE的中位线GH，点G、H分别在线段CD、CE上，并直接写出△CGH与四边形
DEHG的面积比．
(3)在图③中，画△PQR，点R在格点上，且△PQR被线段MN分成的两部分图形的面积比为1：3．
35．（2022·湖北武汉·统考一模）如图是由边长为1的小正方形构成的6×9网格，各个小正方形的顶点叫
做格点．△ABC的顶点在格点上，边BC上的点D也是一个格点．仅用无刻度的直尺在定网格中画图．画
图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．(1)在图1中，先画出AC的平行线DE交AB边于点E，可在BC边上画点F，使△ACF∽△BCA；
(2)在图2中，先在边AB找点M，使△MDC与△MAC的面积相等，再在AC上画点N，使△CDN的面积是
△ABC的面积的三分之一．
【考点8 相似三角形中的动点问题】
3
36．（2022·浙江金华·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=10,sinB= ，点E从点B出发沿折
5
线B−C−D向终点D运动．过点E作点E所在的边（BC或CD）的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF
的右侧作矩形EFGH．
(1)如图1，点G在AC上．求证：FA=FG．
(2)若EF=FG，当EF过AC中点时，求AG的长．
(3)已知FG=8，设点E的运动路程为s．当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与△BEF相似
（包括全等）？
37．（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=6cm，
AC=12cm.动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方
向以1cm/s的速度向点A运动．当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，以AP为一边向上作正方形
APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F.设点P的运动时间为t(单位：s)，正方形和梯形重合部分的面
积为Scm2．
(1)当t= ______ s时，点P与点Q重合；(2)当t= ______ s时，点D在QF上；
(3)当点P在Q，B两点之间(不包括Q，B两点)时，求S与t之间的函数关系式；
(4)是否存在某一时刻，使得正方形APDE的面积被直线QF平分？若存在，直接写出t的值；若不存在，请
说明理由．
38．（2022·山东青岛·校考二模）已知，如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P以每秒1个单位从点
C向点B运动，同时点Q沿着AC以每秒2个单位从A向C运动，在点Q运动的同时，作QF⊥AC交AD于
F，当点F移动到D时，点P和点Q停止运动．以QF和PQ为边作平行四边形PQFE，设运动时间为t秒．
(1)几秒时，△AQF ∽ △CPQ？
(2)设平行四边形PQFE的面积是S，用t表示S；
(3)当PF⊥AD时，CP=PQ吗？说明理由．
(4)存不存在某个时刻，使得QE∥BC？若存在，求出t；若不存在，说明理由．
39．（2022·浙江绍兴·一模）如图1，平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（5，0），D（3，0），点P
从点A出发，沿y轴负方向在y轴上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，过点P作PE∥x轴交直线AD
于点E．
(1)设点P的运动时间为t（s），DE的单位长度为y，求y关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；
(2)当t为何值时，以EP为半径的⊙E恰好与x轴相切？并求此时⊙E的半径；
(3)在点P的运动过程中，当以D，E，P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求此时t的值；(4)如图2，将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB′D，连结B′O，如果∠AOE=∠BOB′，求t值．（直
接写出答案，不要求解答过程）．
40．（2022·辽宁大连·统考三模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm，AD平分
∠BAC交BC于点D，动点P从点A出发以2cm/s的速度沿边AB运动，当点P与点B重合时，停止运动．
过点P作AB的垂线，交射线BC于点F．设点P的运动时间为t（s），△BPF与△ABD重合部分图形面积
为s（cm2）．
(1)请直接写出AB的长；
(2)求∠DAB的正切值；
(3)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
【考点9 相似三角形的应用】
41．（2022·广西贺州·统考中考真题）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点
单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．
“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径
是6cm，高是6cm；圆柱体底面半径是3cm，液体高是7cm．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”
中液体的高度为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
42．（2022·贵州铜仁·模拟预测）如图1，某温室屋顶结构外框为△ABC，立柱AD垂直平分横梁BC，
∠B=30°，斜梁AC=4m，为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为△EBC(
点E在BA的延长线上)，立柱EF⊥BC，如图2所示，若EF=3m，则斜梁增加部分AE的长为（ ）
A．0.5m B．1m C．1.5m D．2m
43．（2022·河北邯郸·校考三模）一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状
态时的示意图（数据如图，单位：mm），则从闭合到打开B，D之间的距离减少了（ ）
A．25 mm B．20mm C．15 mm D．8mm
44．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，为了测量校园内旗杆AB的高度，九年级数学应用实践小组，
根据光的反射定律，利用镜子、皮尺和测角仪等工具，按以下方式进行测量：把镜子放在点O处，然后观
测者沿着水平直线BO后退到点D，这时恰好能在镜子里看到旗杆顶点A，此时测得观测者观看镜子的俯
角α=60°，观测者眼睛与地面距离CD=1.7m，BD=11m，则旗杆AB的高度约为_________m．（结果取整数，
√3≈1.7）45．（2022·浙江杭州·统考中考真题）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标
杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，
EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则AB=_________m．
【考点10 位似变换】
46．（2022·广西·中考真题）已知△ABC与△ABC 是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△ABC 的
1 1 1 1 1 1
面积比（ ）
A．1 ：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1
47．（2022·山东威海·统考中考真题）由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝
∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S ＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为( )
△AOB
4 4 4 3
A．（ ）3 B．（ ）7 C．（ ）6 D．（ ）6
3 3 3 4
48．（2022·广西河池·统考三模）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'，
以下说法正确的有（ ）个①
S :S =1:2
△ABC △A′B′C′
②AB:A′B′=1:2
③点A，O，A′三点在同一条直线上
④BC∥B′C′
A．1 B．2 C．3 D．4
49．（2022·河北保定·统考模拟预测）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点均在
格点上，△ABC与△A′B′C′位似，点A为位似中心，且位似比为1：2．若在网格中建立坐标系，点A的坐
标为(−3,2)，则点C的对应点C′的坐标为（ ）
A．(−5,2) B．(−1,2)或(−5,2) C．(−5,0) D．(−5,0)或(−1,4)
50．（2022·广西河池·统考中考真题）如图、在平面直角坐标系中， ABC的三个顶点的坐标分别为A
（4，1），B（2，3），C（1，2）． △(1)画出与△ABC关于y轴对称的△ABC ；
1 1 1
(2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个 ABC ，使它与 ABC的相似比为2:1，并写出点B 的坐
2 2 2 2
标． △ △
