文档内容
2025 年中考押题预测卷（北京卷 01）
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D D A A C C B
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
9．
10．
11．
12．0
13．①②③
14．
15．
16．
三、解答题（本大题共12个小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步
骤）
17．
【详解】解：
………………………………2分
………………………………3分．………………………………5分
18．
【详解】解： ，
由①得， ；………………………………2分
由②得， ，………………………………4分
∴原不等式组的解集为： ．………………………………5分
19．
【详解】解：原式 ．………………………3分
∵ ，
∴ ， ………………………………4分
∴原式 ． ………………………………5分
20．使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是60亩．
【详解】解：设人工每小时对茶园打药的作业面积是x亩，则使用无人机每小时对茶园打
药的作业面积是 亩．
由题意，得 ． ………………………………2分
解得 ． ………………………………3分
经检验， 是原方程的解，且符合题意． ………………………………4分
答：使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是60亩．………………………………5分
21．(1) ，
(2)
【详解】（1）解：把 代入 中，得到方程组 ，………………………………1分
将 代入 ，解得 ，
该函数表达式为 ．………………………………2分
过点 且平行于 轴的直线方程为 ．
点 在直线 上，同时也在 上，
把 代入 ，得 ，………………………………3分
点 的坐标为 ；………………………………4分
（2）解：当 时，需满足 ，
左边不等式：
整理得： ，
，
，
，则 ，
，即 ，
右边不等式： ，
整理得： ，
，需保证 ，即 时成立）．
综合条件： 且 ，故 ．………………………………6分
22．(1)见解析
(2)2
【详解】（1）证明： 四边形 是菱形，
， ，
，
，………………………………1分又 ，
四边形 是平行四边形；………………………………2分
（2）解： 四边形 是菱形，
， ， ，
四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
，………………………………3分
设 ，则 ，
，
， ，
，
在 中， ，………………………………4分
，
，………………………………5分
．………………………………6分
23．(1)30、否
(2)200名
(3) ，
【详解】（1）解：该抽样的样本容量为 ，
，
抽取学生成绩的平均数 ，
所以抽取学生成绩的平均数 可能位于 ，但不能确定一定位于该组，
故答案为：30、否；………………………………2分
（2）解：全校1200名学生中， 等级的人数可以估计为 （名 ，
故答案为：200名；………………………………3分
（3）列表如下：70 71 72 73 74
76 6 5 4 3 2
76 6 5 4 3 2
77 7 6 5 4 3
78 8 7 6 5 4
79 9 8 7 6 5
由表知，共有25种等可能结果，其中他们的分数之差不低于8分的只有3种结果，
所以他们的分数之差不低于8分的概率为 ；………………………………4分
甲组数据为75、76、76、77、78、79，
其平均数为 ，
方差 ，
乙组数据为70、71、72、73、74、75，
其平均数为 ，
方差
，
，………………………………5分
故答案为： ， ．………………………………5分
24．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：如图，连接 ， ．………………………………1分
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．………………………………2分
∵ 是 的直径， 是 的中点，则 ，
∴ ．
∴ ．
∴ ，即 ．
∴ ．
∴ 为 的切线．………………………………3分
（2）解：如图，连接 ，过 作 ，垂足为 ．
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，………………………………3.5分∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，解得 ，………………………………4分
设 的半径为 ，则 ．
解之得 ．………………………………4.5分
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．……………………………… 5分
∵ 为 中点，
∴ ．
∴ ， ．
∴ ．……………………………… 5.5分
∴ ．………………………………6分
25．(1)见解析
(2)① ②
【详解】（1）解：根据描点法画图象，画图如下：………………………………2分
（2）①通过分析，发现 是x的二次函数， 是x的一次函数
设 ，
根据题意，得 ，
解得 ，
故 ；
设 ，
根据题意，得 ，
解得 ，
故 ；
当 时， ；当 时， ，
故 ；
故答案为： ；………………………………3.5分
②根据题意，当 克时，
，
解得 ， （舍去），
∵
∴ ，
当 克时，
，
解得 ，
故 ，
故答案为： ．………………………………5分
26．(1) ；
(2) ．
【详解】（1）解：∵抛物线过点 ，
∴ 关于对称轴对称，
∴抛物线的对称轴是 ．………………………………2分
（2）解：设抛物线 的对称轴为 ，
由题知， 在 的右侧， 在 的左侧，………………………………2.5分
∵ ，存在 ，
∴点 到 大于 点 到 的距离，………………………………3分
∴ 到 的距离为： ，点 到 的距离为： ，
∴ ，………………………………4分
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，………………………………5分
∴ 都在函数的左侧，
∴ ，
∴抛物线 开口向上，在对称轴左侧函数随着 的增大而减小，
∵ ，
∴ ．………………………………6分
27．(1)① ， ；②
(2) ，证明过程见详解
【详解】（1）解：①∵ ，
∴ 是等腰直角三角形， ，
∵将 绕点 逆时针旋转到 的位置， ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；………………………………1分
如图所示，过点 作 于点 ，则 ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形， ， ，
∵ 是 的角平分线， ，
∴ ，
∴设 ，则 ， ，
∴在 中， ，
∴ ，
由（1）可得， ，则 ， ，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
解得， ，
∴ ； ………………………………2分
故答案为： ， ；
②根据上述计算， ；………………………………4分
（2）解： ，理由如下，
证明：如图所示，延长 到点 ，使得 ，则 ，
．………………………………5分
∵点 分别是 的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，………………………………6分
∴ ，∴ ．………………………………7分
28．(1)
(2)① 或 ；②
【详解】（1）解：当 时，则一次函数解析式为 ，
∴此时一次函数与坐标轴的交点坐标为 ，
∵ 到原点的距离都为1，
∴ 都在 上，即 与一次函数的交点坐标即为 ，
∴“圆截距” ；………………………………1分
（2）解：①如图2-1所示，当直线l经过点 时，
∴ ，
∴ ；
………………………………2分
∵ ．
∴ ．
∴ ．………………………………2.5分设 与 的另一个交点为C，连接 ，可知 ．
∴ ．即此时直线l关于 的“圆截距”为 ．
结合图形可知 ．………………………………3分
如图2-2所示，当直线l经过点 时，同理可得 ．
………………………………4分
由对称性可知此时直线l关于 的“圆截距”为 ．………………………………4.5分
结合图形可知 ．………………………………5分
综上，当 或 时直线l关于 的“圆截距”小于 ；
②如图所示，设直线l与 交于B、C，与y轴交于D，过点M作 于E，连接
，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴当 最大时， 最小，即此时 最小，
∵ ，
∴当点E与点D重合时， 最大，即此时 最小，
∵直线l关于 的“圆截距”的最小值为 ，即 ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ．………………………………7分
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，一次函数与几何综合，解直角三角形，
勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键．
