第17讲图形的相似（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）-冲刺2023年中考数学热点、重难点题型解题方法与策略+真题演练（通用版）（原卷版）_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习

第 17 讲 图形的相似（知识精讲+真题练+模拟练+自招练） 【考纲要求】 1.了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质． 2.探索并掌握三角形相似的性质及条件，并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题． 3.掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小． 4.掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出它 的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置． 【知识导图】 相似多边形的特征 相似的图形 概念 1.定义 2.两角对应相等 识别方法 3.两边对应成比例且夹角相等 4.三边对应成比例 图 形 1.对应角相等 相似三角形 的 2.对应边、对应中线、对应角平分线、 相 性质 对应高线、周长的比等于相似比 似 3.面积的比等于相似比的平方 应用:解决实际问题 位似 用坐标来确定位置 图形与坐标 图形的运动与坐标 【考点梳理】 考点一、比例线段 1. 比例线段的相关概念 如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是 a m  b n ，或写成a：b=m：n.在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项. 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简 称比例线段. 若四条a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项， 线段b，c叫做比例内项.a b  b c 如果作为比例内项的是两条相同的线段，即 或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中 项. 2、比例的性质   b2  ac （1）基本性质：①a：b=c：d ad=bc ②a：b=b：c . （2）更比性质（交换比例的内项或外项） a b  c d （交换内项） a c d c    b d b a （交换外项） d b  c a （同时交换内项和外项） a c b d    b d a c （3）反比性质（交换比的前项、后项）： a c ab cd    b d b d （4）合比性质： a c e m acem a    (bd  f n  0)  b d f n bd  f n b （5）等比性质： 3、黄金分割 把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割， 5 1 点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC= 2 AB0.618AB. 考点二、相似图形 1. 相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形. 也就是说：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的.(全等是特殊的相似 图形). 2. 相似多边形：对应角相等，对应边的比相等的两个多边形叫做相似多边形. 3.相似多边形的性质： 相似多边形的对应角相等，对应边成的比相等. 相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方. 4.相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形. 5.相似三角形的性质： (1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. (2)相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比. (3)相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. 6.相似三角形的判定： (1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； (2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； (3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似； (4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. (5)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相 等， 那么这两个三角形相似. 考点三、位似图形 1. 位似图形的定义： 两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，不经过交点的对应边互相平行，像这样的两 个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心. 2.位似图形的分类： (1)外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外. (2)内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上. 3.位似图形的性质 位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上； 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； 位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 3. 作位似图形的步骤 第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 第二步：作位似中心与各关键点连线； 第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 第四步：顺次连接截取点. 【典型例题】 题型一、比例线段 3 例 1. 已知三个数 1,2, ,请你再添上一个(只填一个)数, 使它们能构成一个比例式,则这个数是 _________. 【变式】将一个菱形放在2倍的放大镜下，则下列说法不正确的是( )A．菱形的各角扩大为原来的2倍 B．菱形的边长扩大为原来的2倍 C．菱形的对角线扩大为原来的2倍 D．菱形的面积扩大为原来的4倍 题型二、相似图形 例2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别 作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB= ；②当点E与点B重合时，MH= ；③AF+BE=EF；④MG•MH= ，其中正确结论为（ ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 例3．如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF=EC，连结EF，DE，DF，M是FE 中点，连结MC，设FE与DC相交于点N．则4个结论：①DN=DG；②△BFG∽△EDG∽△BDE；③CM垂直BD； ④若MC= ，则BF=2；正确的结论有（ ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【变式】如图8，△ABC,是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片 上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与 HG的交点为M. AM HG  ; (1)求证： AD BC (2)求这个矩形EFGH的周长.(8，0) B(8，6) 例4. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为 ，直线BC经过点 ， C(0，6)  OABC OA BC ，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转 度得到四边形 ，此时直线 、直线 分别与直线BC相交于点P、Q． BP 90° BQ （1）四边形OABC的形状是 ，当 时， 的值是 ；BP （2）①如图1，当四边形 OABC 的顶点B 落在 y 轴正半轴时，求 BQ 的值； [来源:学科网ZXXK] ②如图2，当四边形 OABC 的顶点B 落在直线 BC 上时，求 △OPB 的面积． 1 BP  BQ 0≤180° 2 （3）在四边形OABC旋转过程中，当 时，是否存在这样的点P和点Q，使 ？若存 在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 例5．如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点， EF⊥DE交BC于点F． ①求证：ADE∽BEF； x y x y ②设正方形的边长为4， AE= ，BF= ．当 取什么值时， 有最大值?并求出这个最大值．题型三、位似图形 例6 . 如图，用下面的方法可以画出△AOB的“内接等边三角形”，阅读后证明相应的问题. 画法：(1)在△AOB内画等边△CDE，使点C在OA上，点D在OB上； (2)连结OE并延长，交AB于点E′，过E′作E′C′∥EC，交OA于点C′，作E′D′∥ED，交OB于 点D′； (3)连结C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接三角形.请判断△C′D′E′是否是等边三角形，并说明 理由. 【中考过关真题练】 一．选择题（共7小题） 1．（2022•巴中）如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA边上一点，AC：OC＝1：2，过C作CD∥OB交AB于点D，C、D两点纵坐标分别为1、3，则B点的纵坐标为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（2022•徐州）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（ ） A．5 B．6 C． D． 3．（2022•德州）如图，把一根长为 4.5m的竹竿AB斜靠在石坝旁，量出竿长 1m处离地面的高度为 0.6m，则石坝的高度为（ ） A．2.7m B．3.6m C．2.8m D．2.1m 4．（2022•盐城）“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法， 步骤： 第一步：水平举起右臂，大拇指紧直向上，大臂与身体垂直； 第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上； 第三步：闭上右眼，睁开左眼，此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置有一段横向 距离，参照被测物体的大小，估算横向距离的长度； 第四步：将横向距离乘以10（人的手臂长度与眼距的比值一般为10），得到的值约为被测物体离观测 点的距离值． 如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为4米，则汽车到观 测点的距离约为（ ）A．40米 B．60米 C．80米 D．100米 5．（2022•攀枝花）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别为BC、CD的中点，BF、DE 相交于点G，过点E作EH∥CD，交BF于点H，则线段GH的长度是（ ） A． B．1 C． D． 6．（2022•东营）如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，点M，N分别是边 BC、CD上的动点，∠BAC＝∠MAN＝60°，连接MN、OM．以下四个结论正确的是（ ） ①△AMN是等边三角形； ②MN的最小值是 ； ③当MN最小时S△CMN ＝ S菱形ABCD ； ④当OM⊥BC时，OA2＝DN•AB． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④7．（2022•衢州）西周数学家商高总结了用“矩”（如图 1）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图 2 的位置，从矩的一端A（人眼）望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出BG长，即可算 得物高EG．令BG＝x（m），EG＝y（m），若a＝30cm，b＝60cm，AB＝1.6m，则y关于x的函数表达 式为（ ） A．y＝ x B．y＝ x+1.6 C．y＝2x+1.6 D．y＝ +1.6 二．填空题（共6小题） 8．（2022•镇江）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆．衡 杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放 在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜 衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的 倍． 9．（2022•东营）如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩 形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的长为 ．10．（2022•锦州）如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，连接BE交AC于点F．若AB＝6，则 △AEF的面积为 ． 11．（2022•淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AC边上的一点，过点D作 DF∥AB，交BC于点F，作∠BAC的平分线交DF于点E，连接BE．若△ABE的面积是2，则 的值 是 ． 12．（2022•阜新）如图，在矩形ABCD中，E是AD边上一点，且AE＝2DE，BD与CE相交于点F，若 △DEF的面积是3，则△BCF的面积是 ． 13．（2022•丹东）如图，四边形ABCD是边长为6的菱形，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，点 E，F分别是线段AB，AC上的动点（不与端点重合），且BE＝AF，BF与CE交于点P，延长BF交边AD（或边CD）于点G，连接OP，OG，则下列结论：①△ABF≌△BCE；②当BE＝2时，△BOG的 面积与四边形OCDG面积之比为1：3；③当BE＝4时，BE：CG＝2：1；④线段OP的最小值为2 ﹣2 ．其中正确的是 ．（请填写序号） 三．解答题（共10小题） 14．（2022•朝阳）如图，AC是 O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，∠DAF＝ ∠B． ⊙ （1）求证：AF是 O的切线； （2）若 O的半径⊙为5，AD是△AEF的中线，且AD＝6，求AE的长． ⊙ 15．（2022•内蒙古）如图， O是△ABC的外接圆，EF与 O相切于点D，EF∥BC分别交AB，AC的延 ⊙ ⊙长线于点E和F，连接AD交BC于点N，∠ABC的平分线BM交AD于点M． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）若AB：BE＝5：2，AD＝ ，求线段DM的长． 16．（2022•徐州）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱 AB，其旁边有一个坡面CQ，坡角∠QCN＝ 30°．在阳光下，小明观察到AB在地面上的影长为120cm，在坡面上的影长为180cm．同一时刻，小明 测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度． 17．（2022•镇江）如图1是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是30cm，高为 42.9cm．它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆．小明画出了它的主视图，是由上、下底面圆的直径AB、CD以及 、 组成的轴对称图形，直线l为对称轴，点M、N分别是 、 的中点， 如图2，他又画出了 所在的扇形并度量出扇形的圆心角∠AEC＝66°，发现并证明了点E在MN上． 请你继续完成MN长的计算． 参考数据：sin66°≈ ，cos66°≈ ，tan66°≈ ，sin33°≈ ，cos33°≈ ，tan33°≈ ． 18．（2022•襄阳）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，点D为 的中点，连接AC，BC， AD，AD与BC相交于点G，过点D作直线DE∥BC，交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是 O的切线； ⊙ （2）若 ＝ ，CG＝2 ，求阴影部分的面积． 19．（2022•淮安）如图，湖边A、B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连．为了计算A、B两点之间 的距离，经测量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝58°，AC＝80米，求A、B两点之间的距离．（参考数据： sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60） 20．（2022•阜新）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度 AB，在居 民楼前方有一斜坡，坡长CD＝15m，斜坡的倾斜角为 ，cos ＝ ．小文在C点处测得楼顶端A的仰角 α α为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30°（点A，B，C，D在同一平面内）． （1）求C，D两点的高度差； （2）求居民楼的高度AB． （结果精确到1m，参考数据： ≈1.7） 21．（2022•巴中）四边形ABCD内接于 O，直径AC与弦BD交于点E，直线PB与 O相切于点B． ⊙ ⊙ （1）如图1，若∠PBA＝30°，且EO＝EA，求证：BA平分∠PBD； （2）如图2，连接OB，若∠DBA＝2∠PBA，求证：△OAB∽△CDE． 22．（2022•内蒙古）在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得 该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tan ＝ ，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB． θ （结果精确到0.1m，参考数据： ≈1.732） 23．（2022•资阳）如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM＝4，点E为BC边上 的动点（不与B、C重合，过点E作直线AB的垂线，垂足为F，连接DE、DF． （1）求证：△ABM∽△EBF； （2）当点E为BC的中点时，求DE的长； （3）设BE＝x，△DEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求当x为何值时，y有最大值，最 大值是多少？【中考挑战满分模拟练】 一．选择题（共9小题） 1．（2023•邢台一模）4sin260°的值为（ ） A．3 B．1 C． D． 2．（2023•邢台一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF关于原点O位似，且OB＝2OE，若 S△ABC ＝4，则S△DEF 为（ ） A．1 B．2 C． D． 3．（2023•碑林区校级模拟）如图，AD是△ABC的高，AB＝4，∠BAD＝60°，tan∠CAD＝ ，则BC的 长为（ ） A． +1 B．2 +2 C．2 +1 D． +4 4．（2023•深圳模拟）如图，九年级（1）班课外活动小组利用平面镜测量学校旗杆的高度，在观测员与 旗杆AB之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记E，当观测到旗杆顶端在镜子中的像与镜子 上的标记重合时，测得观测员的眼睛到地面的高度CD为1.6m，观测员到标记E的距离CE为2m，旗杆 底部到标记E的距离AE为16m，则旗杆AB的高度约是（ ）A．22.5m B．20m C．14.4m D．12.8m 5．（2023•雁塔区校级一模）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，△ABC面积为1，△DEF面 积为9，则 的值为（ ） A． B． C． D．2 6．（2023•吉阳区一模）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A ＝88°，∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为（ ） A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50° 7．（2023•深圳模拟）数学中余弦定理是这样描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、 b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的 2倍．用公式可描述为：a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC．在△ABC中， AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，则BC的值是（ ） A．5 B． C． D．2 8．（2023•深圳模拟）某品牌20寸的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子 上沿的高度AB与从轮子底部到拉杆顶部的高度CD之比是黄金比（约等于0.618）．已知CD＝80cm， 则AB约是（ ）A．30cm B．49cm C．55cm D．129cm 9．（2023•邢台一模）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠BAC，则添加下列条件后，不能判定△ADC 和△BAC相似的是（ ） A．CA平分∠BCD B．∠DAC＝∠ABC C． D． 二．填空题（共10小题） 10．（2023•福安市一模）若cos（ ﹣15）°＝ ，则 ＝ ． 11．（2023•雁塔区一模）如图，点 α P把线段AB的黄金 α 分割点，且AP＜BP．如果AB＝2，那么BP＝ （结果保留小数）． 12．（2023•碑林区校级模拟）如图，已知直线AB∥CD∥EF，且AE：EC＝2：3，BD＝15，则DF＝ ． 13．（2023•未央区校级三模）某综合实践活动课，老师要求学生测量教学楼外的旗杆高度．组长将成员 分为两，选择了一个身高1.6m的同学站立在旗杆影子的前方，并要求组内同学测量他的影子长度，另 一组成员测量旗杆的影子长度．经过测量，该同学的影长为 1.2m，旗杆影长为9m．那么他们得到旗杆 的高度是 m．14．（2023•未央区校级三模）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝5，AC＝6，则 tanA的值为 ． 15．（2023•碑林区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝135°，BC＝6，CD＝2 ，点E，F分 别是边AB，AD的三等分点，AE＝ AB，AF＝ AD，连接CE，CF，EF，若四边形ABCD的面积为 24，则△CEF的面积是 ． 16．（2023•偃师市一模）如图，在平面直角坐标系 xOy中．边长为3的等边△OAB的边OA在x轴上， C、D、E分别是AB、OB、OA上的动点，且满足BD＝2AC，DE∥AB，连接CD、CE，当点E坐标为 时，△CDE与△ACE相似． 17．（2023•市南区校级一模）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧 所在圆的圆心，A是圆弧 与直线AG的切点，B是圆弧 与直线BC的切点，四边形 DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC＝ ，BH∥DG，EF＝12cm，DE＝2cm，A到直线DE 和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为 cm2． 18．（2023•镇海区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点E、F分别是边AB，BC 边上的点（E、F不与端点重合），且EF∥AC．将△BEF沿直线EF折叠，点B的对应点为点M，延长 EM交AC于点G，若以M、G、F为顶点的三角形与△BEF相似，求BF的长 ． 19．（2023•青岛一模）如图，正方形ABCD中，AD＝12，点E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作 EF⊥AE，交BC于点F，连接AF，交BD于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接AM，交EF 于点N，若点F是BC边的中点，下列说法正确的是 .（填序号） ①△AGD∽△FGB； ②∠EFG＝∠ABD＝45°； ③AM＝10 ； ④S△EAM ＝ ．三．解答题（共6小题） 20．（2023•莲湖区一模）为测量一棵大树的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度 CD＝3m，人的眼 睛A、标杆的顶端C和大树顶端M在一条直线上，标杆与大树的水平距离DN＝14m，人的眼睛与地面 的高度 AB＝1.6m，人与标杆 CD的水平距离 BD＝2m，B、D、N三点共线，AB⊥BN，CD⊥BN， MN⊥BN，求大树MN的高度． 21．（2023•深圳模拟）如图，已知菱形ABCD，点E是BC上的点，连接DE，将△CDE沿DE翻折，点C 恰好落在AB边上的F点上，连接DF，延长FE，交DC延长线于点G． （1）求证：△DFG∽△FAD； （2）若菱形ABCD的边长为5，AF＝3，求BE的长． 22．（2023•碑林区校级二模）小明家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小明利 用相关数学知识测量了这个路灯的高．如图，路灯顶部A处发光，光线透过窗子BC照亮地面的长度为 DE，小明测得窗户距离地面高度BF＝0.6m，窗高BC＝1.4m，某一时刻，FD＝0.6m，DE＝2.4m，其中 O、F、D、E四点在同一条直线上，C、B、F三点在同一条直线上，且OA⊥OE，CF⊥OE，请求出路 灯的高度OA．23．（2023•雁塔区校级二模）长安塔是2011西安世园会的标志，也是园区的观景塔，游人可登塔俯瞰， 全园美景尽收眼底．该塔的设计既体现了中国建筑文化的内涵，又彰显出时尚现代的都市风貌，是生态 建筑的实践和示范，建成后的目标是成为提升西安城市建筑文化内涵的标志性建筑．小华是一位数学受 好者，想利用所学的知识测量长安塔的高度，阳光明媚的一天，小华站在点D处利用测倾器测得塔尖A 的仰角为42°，然后沿着DM方向走了60米到达点F处，此时塔的影子顶端与小华的影子顶端恰好重合， 小华身高EF＝1.7米，测得FG＝3米，测倾器的高度CD＝0.8米，已知AB⊥BG，CD⊥BG，EF⊥BG． 请你根据以上信息，计算塔AB的高度．（结果精确到1米；参考数据：tan42°≈0.9）24．（2023•雁塔区校级二模）问题探究： （1）如图①，点D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，且DE∥BC， ，则△ADE与△ABC 的高之比为 ； （2）如图②，在△ABC中，BC＝10，S△ABC ＝50，矩形DEFG的顶点D，E分别在边AB、AC上，顶 点F、G在边BC上，若设DG＝x，求当x取何值时，矩形DEFG面积最大． 问题解决： （3）某市进行绿化改造，美化生态环境．如图③，现有一块四边形的空地ABCD计划改造公园，经测 量AB＝50m，BC＝100m，CD＝72m，且∠B＝∠C＝60°，按设计要求，要在四边形公园ABCD内建造 一个矩形活动场所PQMN，顶点M、N同在边BC上，顶点Q、P分别在边AB、CD上，为了满足居民 需求，计划在矩形活动场所PQMN中种植草坪，在公园内其它区域种植花卉．已知花卉每平方米200元， 草坪每平方米80元，则绿化改造所需费用至少为多少元？（结果保留根号）25．（2023•邢台一模）如图 1，在 Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E分别为边 AB，AC上的点，且 DE∥BC．已知BC＝10， ． （1）DE的长为 ；△ADE与△ABC的周长比为 ； （2）将△ADE绕点A旋转，连接BD，CE． ①当△ADE旋转至图2所示的位置时，求证：△ABD∽△ACE； ②如图3，当△ADE旋转至点D在BC上时，AD⊥BC，直接写出AB及EC的长． 【名校自招练】一．选择题（共6小题） 1．（2022•北碚区自主招生）如图，已知△ABC和△AED是以点A为位似中心的位似图形，且S△ABC ： S△AED ＝1：4，则△ABC与△AED的相似比是（ ） A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1 2．（2022•南岸区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC与菱形ODEF位似，位似中心是坐 标原点O．若点A（5，0），点D（10，0），则菱形OABC与菱形ODEF的周长比是（ ） A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3 3．（2022•长寿区自主招生）如图，四边形ABCD和四边形A B C D 是以点O为位似中心的位似图形，若 1 1 1 1 OA：OA ＝ ：3，则四边形ABCD与四边形A B C D 的面积比为（ ） 1 1 1 1 1 A． ：3 B．5：3 C．5：9 D． ：9 4．（2022•荣昌区自主招生）如图，将△ABC以点O为位似中心缩小得到△DEF，若OD＝AD，则△ABC 与△DEF的相似比是（ ）A．1：1 B．2：1 C．1：2 D．3：1 5．（2022•巴南区自主招生）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且OA：OD＝3：2，则 △ABC与△DEF的面积之比为（ ） A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．9：5 6．（2022•渝北区自主招生）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OC：CF＝1： 2，则△ABC和△DEF的周长之比是（ ） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9 二．解答题（共4小题） 7．（2022•南陵县自主招生）如图，方格纸中的每个小正方格都是边长为 1的正方形，我们把以格点间连 接为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC就是格点三角形，在建立平面直角坐标系后，O是 坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）． （1）以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大两倍（即新图与原图的相似比为2），在该坐标系 中画出图形； （2）分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标； （3）如果△OBC内部一点M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标．8．（2022•荣昌区自主招生）如图，为学校创造安全环境，决定在A点东偏北30°方向直线延伸的主公路 的旁边修一条学生的步行路．测绘员在A处测学校M在A点东偏北60°方向，测绘员沿主公路步行2000 米到达C处，测得学校M位于C的北偏西60°方向，请你在主公路上寻找点N，使到学校的路程最短， 并求AN的长． 9．（2022•北碚区自主招生）如图，某水库大坝的横断面为梯形ABCD，已知坝顶BC为8米，坝高BE为 6米，斜坡AB的坡角∠BAD＝37°，斜坡CD的坡度i＝1：1． （1）求AB的长；（精确到1米）（2）求AD的长．（精确到1米） （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 10．（2022•九龙坡区自主招生）如图①是新建的房屋，如图②是该房屋的侧面示意图，它是一个轴对称 图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，小明同学为了测量该房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A 的仰角为38°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走6m到达 点D时，又测得屋檐E点的仰角为60°，房屋的顶层横梁EF＝10m，EF∥CB，AB交EF于点G（点 C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：sin38°≈0.6，cos38°≈0.8，tan38°≈0.8， ≈1.7） （1）求屋顶到横梁的距离AG（结果精确到0.1m）； （2）求房屋的高AB（结果精确到0.1m）.