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第1单元 数 与 式
一、 选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项符合要求)．
1．如果鸭绿江水位高1 m时水位变化记作＋1 m，那么水位下降0．5 m时水
位变化记作( A )
A．－0．5 m B．0．5 m C．1．5 m D．－1．5 m
2．过度包装既浪费资源又污染环境，据测算，如果全国每年减少 10%的过度包
装纸用量，那么可减排二氧化碳 3 120 000吨，数3 120 000用科学记数法表
示为( C )
A．3．12×104 B．3．12×105
C．3．12×106 D．0．312×107
3．如图，数轴上的两点A，B表示的数分别为a，b，下列结论正确的是( A
)
A．b－a＞0 B．a－b＞0
C．ab＞0 D．a＋b＞0
4．在实数，，0，，，－1．414中，无理数有( B )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．下列说法：①若 a，b互为相反数，则 a＋b＝0；②若a＋b＝0，则a，b互
为相反数；③若a，b互为相反数，则＝－1；④若＝－1，则a，b互为相反数．
其中正确的结论是( C )
A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②
6．下面是一位同学做的四道题：
①a3＋a3＝a6 ②x2·x3＝x6③(－a)2÷2a＝2a ④(－2xy2)3＝－6x3y6．
其中做对了几道题( A )
A．0 B．1 C．2 D．3
7．使代数式有意义的x的取值范围是( D )
A．x＞3 B．x≥3 C．x＞4 D．x≥3且x≠4
8．已知一列均不为 1的数a ，a ，a ，…，a 满足如下关系：a ＝，a ＝，a
1 2 3 n 2 3 4
＝，…，a ＋1＝，若a ＝2，则a 的值是( C )
n 1 2 026
A．－ B． C．－3 D．2
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)．
9．在1，－3，－，0，π五个数中，最小的数是 － 3 ．
10．的立方根是 ．
11．因式分解：x4－16＝ ( x ＋ 2 ) ( x － 2) ( x 2 ＋ 4 ) ．
12．若实数m，n满足(m－1)2＋＝0，则(m＋n)3＝ － 1 ．
13．若a＝b＋2，则代数式a2－2ab＋b2的值为 4 ．
14．某农场原计划用m天收割小麦960亩，实际每天比原计划多割40亩，则实
际 天完成了任务．
15．如图，下列图案是由火柴棒按某种规律搭成的，第(1)个图案中有2个正方
形，第(2)个图案中有5个正方形，第(3)个图案中有8个正方形……则第(5)个图
案中有 1 4 个正方形，第n个图案中有 ( 3 n － 1 ) 个正方形．16．如图是由10个不同的正整数组成的三角形数阵，其构造思路源于我国南宋
数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角”．该三角形数阵从
第二行开始，每一个数字都等于其上一行的左右两个数字之和．例如：a＝a ＋
7
a ，a ＝a ＋a ，若a ＝21，则a ＝ 4 ．
8 5 8 9 1 5
三、解答题(本大题共9小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过
程或演算步骤)．
17．(6分)计算：2sin 60°＋2－1－2 0260－|1－|．
解：原式＝2×＋－1－(－1)
＝＋－1＋1－
＝．
18．(6分)计算：()－1＋()2×(－2)3－(π－3)0．
解：原式＝3－2－1＝0．
19．(6分)先化简，再求值：(2a＋b)(2a－b)＋3(2a－b)2，其中a＝1，b＝－2．
解：原式＝4a2－b2＋12a2－12ab＋3b2＝16a2－12ab＋2b2，
当a＝1，b＝－2时，
原式＝16＋24＋8＝48．
20．(7分)化简：÷(－a－2)．
解：原式＝÷
＝·＝－．
21．(8分)已知：x＝＋1，y＝－1，求代数式x2－3xy＋y2的值．
解：∵x＝＋1，y＝－1，
∴x－y＝2，xy＝1，
∴原式＝x2－2xy＋y2－xy
＝(x－y)2－xy
＝22－1＝3．
22．(8分)先化简代数式÷(1－)，再从－4＜x＜4的范围内选取一个合适的整数 x
代入求值．
解：原式＝÷(－)
＝·
＝，
令x＝0(x≠±1且x≠2)，则原式＝．
23．(8分)定义：a，b，m为实数，若a＋b＝m，则称a与b是关于的对称数．
(1)2与4是关于 3 的对称数，7与 － 1 是关于3的对称数；
(2)若a＝－2x2＋3(x2＋x)－4，且a与b是关于－1的对称数，试用含有x的代数
式表示b．
解：(2)根据题意得－2x2＋3(x2＋x)－4＋b＝－1×2，
解得b＝－x2－3x＋2．
24．(11分)如图是一组有规律的图案，第1个图案中有7个六边形，第2个图案
中有13个六边形，第3个图案中有19个六边形，…，按此规律，
(1)第5个图案中有 3 1 个六边形；
(2)用含n的代数式表示第n个图案中六边形的个数；(3)若第n个图案中有601个六边形，求n的值．
解：(2)第n个图案中六边形的个数为(6n＋1)个．
(3)由题意得，
令6n＋1＝601，
解得n＝100，
∴n的值为100．
25．(12分)【问题背景】
欧拉(Euler，1707年~1783年)为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、
物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多
面体的顶点数V(Vertex)、棱数E(Edge)、面数F(Flatsurface)之间存在一定的数量
关系，给出了著名的欧拉公式．
【问题探究】
探究一：多面体的顶点数V(Vertex)、棱数E(Edge)、面数F(Flatsurface)之间存在
的一定的数量关系，如图给出的正多面体(指多面体的各个面都是形状大小完全
相同的正多边形)示意图．
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
图形
顶点数V 4 6 8 ①
棱数E 6 ② 12 ③
面数F 4 5 ④ 8
请补全上述表格① 6 ；② 9 ；③ 1 2 ；④ 6 ．
【结论归纳】分析表中的数据，你能发现 V、E、F之间有什么关系吗?请写出
关系式： V ＋ F － E ＝ 2 ．
探究二：当我们没有正12面体的图形时，我们可以根据计算了解它的形状：
我们设正12面体每个面都是正n(n≥3)边形，每个顶点处有m(m≥3)条棱，则共有12n÷2＝6n条棱，有12n÷m＝个顶点．
欧拉定理得到方程：＋12－6n＝2，且m，n均为正整数，
去掉分母后：12n＋12m－6nm＝2m，
将n看作常数移项：12m－6nm－2m＝－12n，
合并同类项：(10－6n)m＝－12n，
化系数为1：m＝＝，
变形：m＝＝＝＋＝2＋．
分析：m(m≥3)，n(n≥3)均为正整数，所以是正整数，所以n＝5，m＝3，即6n
＝30，＝20．
【归纳分析】因此正12面体每个面都是正 五 边形，共有 30 条棱， 20 个顶
点．
【问题解决】
正20面体每个面都是正几边形?共有几条棱?几个顶点?请根据上面的探究方法，
写出推理过程与结论．
【综合应用】已知某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形
和六边形两种多边形拼接而成，且有18个顶点，每个顶点处都有4条棱，设该
多面体外表面三角形的个数为m个，六边形的个数为n个，m＋n的值是 2 0 ；
又已知m＋2q＝18，求代数式(3n－6q)2－的值是 3 6 ．
解：【问题解决】正20面体每个面都是正n(n≥3)边形，每个顶点处有m(m≥3)
条棱，则共有20n÷2＝10n条棱，有20n÷m＝个顶点．
欧拉定理得到方程：＋20－10n＝2，且m，n均为正整数，
去分母：20n＋20m－10nm＝2m，
移项：20m－10nm－2m＝－20n，
合并同类项：(18－10n)m＝－20n，
化系数为1：m＝，
∴m＝＝＝2＋，
又∵m(m≥3)，n(n≥3)均为正整数，
∴是正整数，
即n＝3，m＝5，
∴10n＝30，＝12，故正20面体每个面都是正三边形，共有30条棱，有12个顶点．
