文档内容
16.3 二次根式的加减
知识点1：同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式。
知识点2：二次根式的加减
二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简的二次根式，再将被开方数相同的根式进行合并。
知识点3：二次根式的混合运算
(1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；
(2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.
√9 √1
【例题1】（2020•常德）计算： − +√8= ．
2 2
【答案】3√2．
3√2 √2
【解析】原式= − +2√2
2 2
＝3√2．
【点拨】直接化简二次根式进而合并得出答案．
【例题2】（2019•山东省滨州市 ）计算：（﹣ ）﹣2﹣| ﹣2|+ ÷ ＝ ．
【答案】2+4 ．
【解析】根据二次根式的混合计算解答即可．
原式＝ ，
故答案为：2+4 ．
a−4b a+b+2√ab √a √b
− ÷( + )
√a−2√b a+√ab a b
【例题3】计算【答案】见解析。
√a=x,√b=y
【解析】设 ，则
a=x2,b=y2
x2 −4 y2 x2 +y2 +2xy x y
原式= − ÷( + )
x−2y x2 +xy x2 y2
(x+2y)(x−2y) (x+y) 2 xy
¿ − ⋅
x−2y x(x+y) x+y
¿x+2y−y=x+y
¿√a+√b
【例题4】（2019山东枣庄）观察下列各式：
＝1+ ＝1+（1﹣ ），
＝1+ ＝1+（ ﹣ ），
＝1+ ＝1+（ ﹣ ），
…
请利用你发现的规律，计算：
+ + +…+ ，
其结果为 ．
【答案】2018 ．
【解析】根据题意找出规律，根据二次根式的性质计算即可．
+ + +…+
＝1+（1﹣ ）+1+（ ﹣ ）+…+1+（ ﹣ ）
＝2018+1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣＝2018
一、选择题
1．（2020•泰州）下列等式成立的是（ ）
1
A．3+4√2=7√2 B．√3×√2=√5 C．√3÷ =2√3 D．√(−3) 2=3
√6
【答案】D
【解析】A．3与4√2不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；
B．√3×√2=√6，此选项计算错误；
1
C．√3÷ =√3×√6=3√2，此选项计算错误；
√6
D． 3，此选项计算正确。
√(−3) 2=
【点拨】根据二次根式的加、乘、除法法则及二次根式的性质逐一判断即可得．
2.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 的结果是（ ）
A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b
【答案】A．
【解析】直接利用数轴上a，b的位置，进而得出a＜0，a﹣b＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简
得出答案．
由图可知：a＜0，a﹣b＜0，则
|a|+ =﹣a﹣（a﹣b）=﹣2a+b．
3.计算－9的结果是( )
A．－ B.
C．－ D.
【答案】B
【解析】－9＝4－3＝
4．下列计算正确的是( )
A.＋＝ B.×＝6
C.－＝ D.÷＝4
【答案】C
【解析】－＝2－＝.
5.下列计算正确的是（ ）
A． ab•ab=2ab B． （2a）3=2a3
C． 3 ﹣ =3（a≥0） D． • = （a≥0，b≥0）
【答案】D
【解析】此题主要考查了二次根式的加减运算以及积的乘方运算等知识，正确掌握相关性质是解题关键．
分别利用积的乘方以及二次根式的乘法运算法则化简求出即可．
A．ab•ab=a2b2，故此选项错误；
B．（2a）3=8a3，故此选项错误；
C．3 ﹣ =2 （a≥0），故此选项错误；
D． • = （a≥0，b≥0），正确．
6．下列运算正确的是（ ）
A． ﹣ = B． =﹣3 C．a•a2=a2 D．（2a3）2=4a6
【答案】D
【解析】直接利用二次根式加减运算法则以及积的乘方运算法则和幂的乘方运算法则、同底数幂
的乘法运算法则、二次根式的性质分别化简判断即可．
A． ﹣ 无法计算，故此选项错误；
B． =3，故此选项错误；
C．a•a2=a3，故此选项错误；
D．（2a3）2=4a6，正确．
7．计算 3 ﹣2 的结果是（ ）
A． B．2 C．3 D．6
【答案】A
【解析】直接利用二次根式的加减运算法则求出答案．
原式=（3﹣2） = ．
8．下列计算正确的是（ ）A．
B．xy2÷
C．2
D．（xy3）2=x2y6
【答案】D
【解析】分别利用二次根式加减运算法则以及分式除法运算法则和积的乘方运算法则化简判断即
可．
A． 无法化简，故此选项错误；
B．xy2÷ =2xy3，故此选项错误；
C．2 +3 ，无法计算，故此选项错误；
D．（xy3）2=x2y6，正确．
9．下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】直接利用同类二次根式的定义分别化简二次根式求出答案．
A． =3 ，与 不是同类二次根式，故此选项错误；
B． = ，与 ，是同类二次根式，故此选项正确；
C． =2 ，与 不是同类二次根式，故此选项错误；
D． = = ，与 不是同类二次根式，故此选项错误。
10.下列计算正确的是（ ）
A． B． =2C． （ ）﹣1= D． （ ﹣1）2=2
【答案】B
【解析】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数整数幂．根据二次根式的加减法对 A进行判断；根据二次根式的
除法法则对B进行判断；根据负整数整数幂对B进行判断；根据完全平方公式对D进行判断．
A. 与 不能合并，所以A选项错误；
B.原式= =2，所以B选项正确；
C.原式= = ，所以C选项正确；
D.原式=3﹣2 +1=4﹣2 ，所以D选项正确．
11．已知x=2﹣ ，则代数式（7+4 ）x2+（2+ ）x+ 的值是（ ）
A． 0 B． C． 2+ D． 2﹣
【答案】C
【解析】未知数的值已给出，利用代入法即可求出．
把x=2﹣ 代入代数式（7+4 ）x2+（2+ ）x+ 得：
=（7+4 ）（7﹣4 ）+4﹣3+
=49﹣48+1+
=2+ ．
二、填空题
12．（2019•衡阳）√27−√3= ．
【答案】2√3．
【解析】原式＝3√3−√3=2√3．
【点拨】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案．
3√5−√20
13.（2019贵州遵义）计算
的结果是
√5
【答案】
3√5−√20=3√5−2√5=√5
【解析】
14.（2019•南京）计算 ﹣ 的结果是 ．
【答案】0
【解析】先分母有理化，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．
原式＝2 ﹣2 ＝0．15.计算： ﹣2 等于 ．
【答案】2 ．
【解析】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，
再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．先把各根
式化为最简二次根式，再合并同类项即可．
原式=3 ﹣ =2 ．
16.（ ﹣ ）× = ．
【答案】8
【解析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式利用乘法分配律及二次根式乘法法则计算即可得到结果．
解答： 解：原式= ﹣ =9﹣1=8
17．计算：（ + ）2﹣ = ．
【答案】5
【解析】本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，掌握运算顺序，先运用完全平方公式，
再将二次根式化为最简二次根式的形式后再运算是解答此题的关键．
原式=2+2 +3﹣2 =5．
18．实数a在数轴上的位置如图，化简 +a= ．
【答案】1
【解析】本题考查了实数的性质与化简， =a（a≥0）是解题关键．
根据二次根式的性质，可化简二次根式，根据整式的加法，可得答案．
+a=1﹣a+a=1
19．当a= ﹣1时，代数式 的值是 ．
【答案】 ．
【解析】根据已知条件先求出a+b和a﹣b的值，再把要求的式子进行化简，然后代值计算即可．∵a= ﹣1，
∴a+b= +1+ ﹣1=2 ，a﹣b= +1﹣ +1=2，
= = = ；
∴ =
三、解答题
1
20．（2020•铜仁市）计算：2÷ −（﹣1）2020−√4−（√5−√3）0．
2
【答案】见解析。
【分析】原式利用除法法则，乘方的意义，算术平方根定义，以及零指数幂法则计算即可求出值；
【解析】（1）原式＝2×2﹣1﹣2﹣1
＝4﹣1﹣2﹣1
＝0；
21.判断下列各组根式是否是同类根式：
√ 15 2√ 3
（1）−√175；− 3 ； 85
16 3 4
【答案】见解析。
【解析】几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次
根式，所以判断几个二次根式是否为同类二次根式，首先要将其化为最简二次根式。
√ 15 √63 √9×7 3
− 3 =− =− =− √7；
16 16 16 4
2 √
85
3
=
2 √343
=
2 √49×7
=
7
√7
3 4 3 4 3 4 3
∴−√175，− √ 3 15 ， 2 √ 85 3 是同类二次根式
16 3 4
所以两个根式是同类根式。
a−4b
（1） ÷(a+4√ab+4b)
√a−2√b
22.化简：
【答案】见解析。
2 2 2 2
【解析】
a>0，b>0
，所以
a=(√a) ，b=(√b)
，
a−4b
可看作
(√a) −4(√b)
可利用乘法公式来进行
化简，使运算变得简单。(√a+2√b)(√a−2√b)
（1）原式= ÷(√a+2√b) 2
√a−2√b
原式
2
=(√a+2√b)÷(√a+2√b)
1 √a−2√b
¿ =
√a+2√b a−4b
23．计算：（ +1）（ ﹣1）+ ﹣（ ）0．
【答案】见解析。
【解析】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，
然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂．先根据平方差公式和零指数幂的意义得到原式=3﹣1+2 ﹣
1，然后进行加减运算．
原式=3﹣1+2 ﹣1=1+2 ．
24．阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 3+ =（1+ ）
2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b =（m+n ）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b =m2+2n2+2mn ．
∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b 的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b = ，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=
，b= ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： +2 =（ + ）2；
（3）若a+4 = ，且a、m、n均为正整数，求a的值？
【答案】（1）m2+3n2，2mn．
（2）4、1．
（3）13
【解析】根据完全平方公式运算法则，即可得出 a、b的表达式；首先确定好m、n的正整数值，然后根据
（1）的结论即可求出a、b的值；根据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，
n=2，然后即可确定好a的值．（1）∵a+b = ，
∴a+b =m2+3n2+2mn ，
∴a=m2+3n2，b=2mn．
（2）设m=1，n=1，
∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2．
故答案为4、2、1、1．
（3）由题意，得：
a=m2+3n2，b=2mn
∵4=2mn，且m、n为正整数，
∴m=2，n=1或者m=1，n=2，
∴a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13．
25.求值：
（1） ( √18−4 √1 + 1 ) ÷ √3
2 √3+√2 3
（2）√15÷(1 + 1 )
√2 √3
【答案】见解析。
【解析】迅速、准确地进行二次根式的加减乘除运算是本章的重点内容，必须掌握，要特别注意运算顺序
和有意识的使用运算律，寻求合理的运算步骤，得到正确的运算结果。
(√3+√2) √3+√2
（2）原式=√15÷ =√15÷
√2·√3 √6
√6 3√10(√3−√2)
=√15× =
√3+√2 (√3+√2)(√3−√2)
=3√30−6√5
26.当 .
【答案】3
【解析】
，将 代入，原式=3.
27．计算： ×（﹣ ）+|﹣2 |+（ ）﹣3．
【答案】见解析。
【解析】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，
然后合并同类二次根式．也考查了负整数整数幂。根据二次根式的乘法法则和负整数整数幂的意义得到原
式=﹣ +2 +8，然后化简后合并即可．
原式=﹣ +2 +8
=﹣3 +2 +8
=8﹣ ．
28.先化简，再求值：（ + ）÷ ，其中a，b满足 +|b﹣ |=0．
【答案】见解析。
【解析】先把分子和分母因式分解和除法运算化为乘法运算，再计算括号内的运算，然后约分得到原式= ，
再根据非负数的性质得到a+1=0，b﹣ =0，解得a=﹣1，b= ，然后把a和b的值代入计算即可．
原式=[ ﹣ ]•
=（ ﹣ ）•
= • = ，
∵ +|b﹣ |=0，
∴a+1=0，b﹣ =0，
解得a=﹣1，b= ，
当a=﹣1，b= 时，原式=﹣ =﹣
29．已知：x=1﹣ ，y=1+ ，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．
【答案】见解析。
【解析】根据x、y的值，先求出x﹣y和xy，再化简原式，代入求值即可．∵x=1﹣ ，y=1+ ，
∴x﹣y=（1﹣ ）﹣（1+ ）=﹣2 ，
xy=（1﹣ ）（1+ ）=﹣1，
∴x2+y2﹣xy﹣2x+2y=（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+xy
=（﹣2 ）2﹣2×（﹣2 ）+（﹣1）
=7+4 ．
1
30. 计算：（-3）0—
√27
+
|1−√2|
+
√2+√3
．
【答案】-2 ．
【解析】观察，可以首先去绝对值以及二次根式化简，再合并同类项．
1
（-3）0—
√27
+
|1−√2|
+
√2+√3
√3−√2
√3 √2 (√2+√3)(√3−√2）
=1-3 + -1+
=-3 + + -
=-2 ．
2√6
31.用配方法化简
√2+√3+√5
【答案】见解析。
(√2) 2 +(√3) 2 +2√6−(√5) 2
=
【解析】原式
√2+√3+√5
(√2+√3) 2 −(√5) 2
=
√2+√3+√5
(√2+√3+√5)(√2+√3−√5)
¿
√2+√3+√5
¿√2+√3−√5
√5−√2 √7−√3 1
− +
(√2+√3)(√3+√5) (√3+√5)(√5+√7) √5+√7
32.计算【答案】见解析。
√5−√2=(√5+√3)−(√3+√2)
【解析】因为
√7−√3=(√7+√5)−(√5+√3)
1 1 1 1 1
= − + − +
所以原式
√2+√3 √3+√5 √3+√5 √5+√7 √5+√7
1
= =√3−√2
√2+√3
1 1 b±a
± =
a b ab
注：逆用法则 进行转换，再应用“互为相反数的两数和为零”的性质。
2 2 x2 y2
x= ,y=
33.已知
2+√3−√5 2+√3+√5
，求
x2 +2xy+y2
的值。
【答案】见解析。
x2y2 xy
2
=( )
【解析】因为
x2 +2xy+y2 x+y
，
x+y 1 1
2 2
( ) =( + )
xy x y
所以它的倒数
1 2+√3−√5 1 2+√3+√5
= , =
x 2 y 2
而
1 1
2
( + )
x y
则2+√3−√5 2+√3+√5
2
=( + )
2 2
¿(2+√3) 2
x2y2
故
x2 +2xy+y2
¿(2−√3) 2
¿7−4√3
34．阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
斐波那契（约1170﹣1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契
数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结
果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契
数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用
[ ﹣ ]表示（其中，n≥1）．
这是用无理数表示有理数的一个范例．
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．
【答案】1， 1
【解析】此题考查二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键．分别
把1、2代入式子化简求得答案即可．
第1个数，当n=1时，
[ ﹣ ]
= （ ﹣ ）
= ×
=1．
第2个数，当n=2时，
[ ﹣ ]= [（ ）2﹣（ ）2]
= ×（ + ）（ ﹣ ）
= ×1×
=1．
