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16.3 二次根式的加减
知识点1：同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式。
知识点2：二次根式的加减
二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简的二次根式，再将被开方数相同的根式进行合并。
知识点3：二次根式的混合运算
(1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；
(2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.
√9 √1
【例题1】（2020•常德）计算： − +√8= ．
2 2
【例题2】（2019•山东省滨州市 ）计算：（﹣ ）﹣2﹣| ﹣2|+ ÷ ＝ ．
a−4b a+b+2√ab √a √b
− ÷( + )
【例题3】计算
√a−2√b a+√ab a b
【例题4】（2019山东枣庄）观察下列各式：
＝1+ ＝1+（1﹣ ），
＝1+ ＝1+（ ﹣ ），
＝1+ ＝1+（ ﹣ ），
…请利用你发现的规律，计算：
+ + +…+ ，
其结果为 ．
一、选择题
1．（2020•泰州）下列等式成立的是（ ）
1
A．3+4√2=7√2 B．√3×√2=√5 C．√3÷ =2√3 D．√(−3) 2=3
√6
2.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 的结果是（ ）
A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b
3.计算－9的结果是( )
A．－ B.
C．－ D.
4．下列计算正确的是( )
A.＋＝ B.×＝6
C.－＝ D.÷＝4
5.下列计算正确的是（ ）
A． ab•ab=2ab B． （2a）3=2a3
C． 3 ﹣ =3（a≥0） D． • = （a≥0，b≥0）
6．下列运算正确的是（ ）
A． ﹣ = B． =﹣3 C．a•a2=a2 D．（2a3）2=4a6
7．计算 3 ﹣2 的结果是（ ）
A． B．2 C．3 D．6
8．下列计算正确的是（ ）A．
B．xy2÷
C．2
D．（xy3）2=x2y6
9．下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
10.下列计算正确的是（ ）
A． B． =2C． （ ）﹣1= D． （ ﹣1）2=2
11．已知x=2﹣ ，则代数式（7+4 ）x2+（2+ ）x+ 的值是（ ）
A． 0 B． C． 2+ D． 2﹣
二、填空题
12．（2019•衡阳）√27−√3= ．
3√5−√20
13.（2019贵州遵义）计算
的结果是
14.（2019•南京）计算 ﹣ 的结果是 ．
15.计算： ﹣2 等于 ．
16.（ ﹣ ）× = ．
17．计算：（ + ）2﹣ = ．
18．实数a在数轴上的位置如图，化简 +a= ．
19．当a= ﹣1时，代数式 的值是 ．
三、解答题
1
20．（2020•铜仁市）计算：2÷ −（﹣1）2020−√4−（√5−√3）0．
221.判断下列各组根式是否是同类根式：
√ 15 2√ 3
（1）−√175；− 3 ； 85
16 3 4
a−4b
（1） ÷(a+4√ab+4b)
√a−2√b
22.化简：
23．计算：（ +1）（ ﹣1）+ ﹣（ ）0．
24．阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 3+ =（1+ ）
2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b =（m+n ）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b =m2+2n2+2mn ．
∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b 的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b = ，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=
，b= ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： +2 =（ + ）2；
（3）若a+4 = ，且a、m、n均为正整数，求a的值？
25.求值：
（1） ( √18−4 √1 + 1 ) ÷ √3
2 √3+√2 3
（2）√15÷(1 + 1 )
√2 √3
26.当 .
27．计算： ×（﹣ ）+|﹣2 |+（ ）﹣3．
28.先化简，再求值：（ + ）÷ ，其中a，b满足 +|b﹣ |=0．
29．已知：x=1﹣ ，y=1+ ，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．1
30. 计算：（-3）0—
√27
+
|1−√2|
+
√2+√3
．
2√6
31.用配方法化简
√2+√3+√5
√5−√2 √7−√3 1
− +
(√2+√3)(√3+√5) (√3+√5)(√5+√7) √5+√7
32.计算
2 2 x2 y2
x= ,y=
33.已知
2+√3−√5 2+√3+√5
，求
x2 +2xy+y2
的值。
34．阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
斐波那契（约1170﹣1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契
数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结
果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契
数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用
[ ﹣ ]表示（其中，n≥1）．
这是用无理数表示有理数的一个范例．
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．
