文档内容
第2节 特殊的平行四边形
知识点1：矩形
1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2.矩形的性质
（1）矩形具有平行四边形的所有性质,
（2）矩形的四个角都是直角，
（3）矩形的对角线相等且互相平分.
注意：直角三角形的一个性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3.矩形的判定方法
①一个角是直角的平行四边形是矩形；
②三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形.
知识点2：菱形
1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2. 菱形的性质
（1）菱形具有平行四边形的所有性质，
（2）菱形的四条边相等，（3）其对角线互相垂直平分，且平分一组对角.
3.菱形的判定
（1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（2）四条边相等的四边形是菱形。
知识点3：正方形
1.正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形。
2.正方形的性质
（1）正方形的四条边相等；
（2）四个角都是直角；
（3）对角线相等并且互相垂直平分；
（4）每条对角线平分一组对角.
3.正方形的判定
（1）一组邻边相等的矩形是正方形；
（2）有一个角是直角的菱形是正方形.
【例题1】（2020•泰安）如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于
点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：
①DN＝BM；
②EM∥FN；
③AE＝FC；④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】证△DNA≌△BMC（AAS），得出 DN＝BM，∠ADE＝∠CBF，故①正确；证△ADE≌△CBF
（ASA），得出AE＝FC，DE＝BF，故③正确；证四边形NEMF是平行四边形，得出EM∥FN，故②正确；
证四边形DEBF是平行四边形，证出∠ODN＝∠ABD，则DE＝BE，得出四边形DEBF是菱形；故④正确；即
可得出结论．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠DAE＝∠BCF＝90°，OD＝OB＝OA＝OC，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAN＝∠BCM，
∵BF⊥AC，DE∥BF，
∴DE⊥AC，
∴∠DNA＝∠BMC＝90°，
{∠DAN=∠BCM
在△DNA和△BMC中， ∠DNA=∠BMC，
AD=BC
∴△DNA≌△BMC（AAS），
∴DN＝BM，∠ADE＝∠CBF，故①正确；{∠ADE=∠CBF
在△ADE和△CBF中， AD=BC ，
∠DAE=∠BCF
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE＝FC，DE＝BF，故③正确；
∴DE﹣DN＝BF﹣BM，即NE＝MF，
∵DE∥BF，
∴四边形NEMF是平行四边形，
∴EM∥FN，故②正确；
∵AB＝CD，AE＝CF，
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵AO＝AD，
∴AO＝AD＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠ADO＝∠DAN＝60°，
∴∠ABD＝90°﹣∠ADO＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADN＝ODN＝30°，
∴∠ODN＝∠ABD，
∴DE＝BE，
∴四边形DEBF是菱形；故④正确；正确结论的个数是4个.
【例题2】（2019贵州省安顺市） 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D为斜边BC上
的一个动点，过D分别作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为 .
A
M
N
B D C
12
5
【答案】
【解析】连接AD，即可证明四边形AMDN是矩形；由矩形AMDN得出MN＝AD，再由三角形的面积关系求出
AD的最小值，即可得出结果．
连接AD，如图所示：
A
M
N
B D C
∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠AMD＝∠AND＝90°，
又∵∠BAC＝90°，∴四边形AMDN是矩形；∴MN＝AD，
∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝5，
当AD⊥BC时，AD最短，
1 1
2 2
此时△ABC的面积＝ BC•AD＝ AB•AC，AB⋅AC 12
=
BC 5
∴AD的最小值＝ ，
12
5
MN的最小值为
∴线段 。
【例题3】（2019湖南郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正
方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，则正方形ADOF的边长是（ ）
A．√2 B．2 C．√3 D．4
【答案】B
【解析】设正方形ADOF的边长为x，
由题意得：BE＝BD＝4，CE＝CF＝6，
∴BC＝BE+CE＝BD+CF＝10，
在Rt△ABC中，AC2+AB2＝BC2，
即（6+x）2+（x+4）2＝102，
整理得，x2+10x﹣24＝0，
解得：x＝2，或x＝﹣12（舍去），
∴x＝2，
即正方形ADOF的边长是2一、选择题
1．（2020•南充）如图，面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC的中点，过点E作
EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，则四边形EFOG的面积为（ ）
1 1 1 1
A． S B． S C． S D． S
4 8 12 16
【答案】B
1
【解析】由菱形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，S= AC×BD，证出四边形EFOG是矩形，EF∥OC，
2
1 1 1 1
EG∥OB，得出EF、EG都是△OBC的中位线，则EF= OC= AC，EG= OB= BD，由矩形面积即可得出答
2 4 2 4
案．
∵四边形ABCD是菱形，
1
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，S= AC×BD，
2
∵EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，
∴四边形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB，
∵点E是线段BC的中点，
∴EF、EG都是△OBC的中位线，1 1 1 1
∴EF= OC= AC，EG= OB= BD，
2 4 2 4
1 1 1
∴矩形EFOG的面积＝EF×EG= AC× BD= S；
4 4 8
2．（2020•黑龙江）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若
OA＝6，S ＝48，则OH的长为（ ）
菱形ABCD
A．4 B．8 C．√13 D．6
【答案】A
【解析】由菱形的性质得出OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，则AC＝12，由直角三角形斜边上的中线性质得
1
出OH= BD，再由菱形的面积求出BD＝8，即可得出答案．
2
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，
∴AC＝12，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
1
∴OH= BD，
2
1 1
∵菱形ABCD的面积= ×AC×BD= ×12×BD＝48，
2 2
∴BD＝8，1
∴OH= BD＝4；
2
3.（2019•广东广州）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝
3，AF＝5，则AC的长为（ ）
A．4 B．4 C．10 D．8
【答案】A
【解析】连接AE，由线段垂直平分线的性质得出OA＝OC，AE＝CE，证明△AOF≌△COE得出AF＝CE＝
5，得出AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝8，由勾股定理求出AB＝ ＝4，再由勾股定理求出AC即
可．
连接AE，如图：
∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，AE＝CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF和△COE中， ，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE＝5，∴AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝3+5＝8，
∴AB＝ ＝ ＝4，
∴AC＝ ＝ ＝4 ；
故选：A．
4.（2019内蒙古赤峰）如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长
是（ ）
A．2.5 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD为菱形，
20
∴CD＝BC= =5，且O为BD的中点，
4
∵E为CD的中点，
∴OE为△BCD的中位线，
1
∴OE= CB＝2.5
2
5.（2019•贵州省铜仁市）如图，四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠DAB＝60°，点E、F分别在边DC、BC上，且CE＝ CD，CF＝ CB，则S ＝（ ）
△CEF
B． C． D．
A．
【答案】D．
【解答】∵四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠DAB＝60°
∴AB＝BC＝CD＝2，∠DCB＝60°
∵CE＝ CD，CF＝ CB
∴CE＝CF＝
∴△CEF为等边三角形
∴S ＝ ＝
△CEF
6. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若AC=4，
则四边形CODE的周长是（ ）
E
D C
O
A B
A.4 B.6 C.8 D. 10【答案】C
【解析】考点有矩形的性质，菱形的判定和性质。
∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形。
∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD。∴OD=OC= AC=2。
∴四边形CODE是菱形。∴四边形CODE的周长为：4OC=4×2=8。故选C。
7.如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】C
【解析】考点有矩形的性质；平行线的性质．过点D作DE∥a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，
∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣60°=30°，
∵a∥b，
∴DE∥a∥b，
∴∠4=∠3=30°，∠2=∠5，
∴∠2=90°﹣30°=60°．8. 如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连
结 DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：① FB 垂直平分 OC；②△EOB≌△CMB；③ DE=EF；
④S ：S =2：3．其中正确结论的个数是（ ）
△AOE △BCM
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】①∵矩形ABCD中，O为AC中点，
∴OB=OC，
∵∠COB=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC，
∵FO=FC，
∴FB垂直平分OC，
故①正确；
②∵FB垂直平分OC，
∴△CMB≌△OMB，
∵OA=OC，∠FOC=∠EOA，∠DCO=∠BAO，
∴△FOC≌△EOA，
∴FO=EO，
易得OB⊥EF，∴△OMB≌△OEB，
∴△EOB≌△CMB，
故②正确；
③由△OMB≌△OEB≌△CMB得∠1=∠2=∠3=30°，BF=BE，
∴△BEF是等边三角形，
∴BF=EF，
∵DF∥BE且DF=BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE=BF，
∴DE=EF，
故③正确；
④在直角△BOE中∵∠3=30°，
∴BE=2OE，
∵∠OAE=∠AOE=30°，
∴AE=OE，
∴BE=2AE，
∴S ：S =S ：S =1：2，
△AOE △BCM △AOE △BOE
故④错误；
所以其中正确结论的个数为3个。
9.下列命题中，真命题的个数是（ ）
①同位角相等
②经过一点有且只有一条直线与这条直线平行③长度相等的弧是等弧
④顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【解析】考点是命题与定理．
根据平行线的性质对①进行判断；根据平行公理对②进行判断；根据等弧的定义对③进行判断；根据中点
四边的判定方法可判断顺次连接菱形各边中点得到的四边形为平行四边形，加上菱形的对角线垂直可判断
中点四边形为矩形．
两直线平行，同位角相等，所以①错误；
经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，所以②错误；
在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，所以③选项错误；
顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形，所以④正确．
10. 如图，正方形ABCD的对角线BD长为2 ，若直线l满足：
①点D到直线l的距离为 ；
②A、C两点到直线l的距离相等．
则符合题意的直线l的条数为（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
【答案】B【解析】连接AC与BD相交于O，根据正方形的性质求出OD= ，然后根据点到直线的距离和平行线间的
距离相等解答．
如图，连接AC与BD相交于O，
∵正方形ABCD的对角线BD长为2 ，
∴OD= ，
∴直线l∥AC并且到D的距离为 ，
同理，在点D的另一侧还有一条直线满足条件，
故共有2条直线l．
11．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（
）
A.2.5 B. C. D. 2
【答案】B
【解析】如图，连接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，
∴AC= ，CF=3 ，
∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，
由勾股定理得，AF= = =2 ，
∵H是AF的中点，
∴CH= AF= ×2 = ．
二、填空题
12.（2020湖北恩施州）如图，正方形 的边长为4，点 在 上且 ， 为对角线 上
一动点，则 周长的最小值为（ ）．
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B
【解析】连接ED交AC于一点F，连接BF，根据正方形的对称性得到此时 的周长最小，利用勾股定理求出DE即可得到答案.
连接ED交AC于一点F，连接BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于AC对称，
∴BF=DF，
∴ 的周长=BF+EF+BE=DE+BE，此时周长最小，
∵正方形 的边长为4，
∴AD=AB=4，∠DAB=90°，
∵点 在 上且 ，
∴AE=3，
∴DE= ，
∴ 的周长=5+1=6，
故选：B.
【点睛】此题考查正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角以及正方形的对称性质，还考查了勾股
定理的计算，依据对称性得到连接DE交AC于点F是 的周长有最小值的思路是解题的关键.
13.（2019湖南娄底）如图，要使平行四边形 ABCD 是矩形，则应添加的条件是 （添加一个条
件即可）．【答案】∠ABC=90°或 AC=BD．
【解析】解：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩
形；故添加条件：∠ABC=90°或 AC=BD．
故答案为：∠ABC=90°或 AC=BD．
14.（2019·贵州贵阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连
接DF，以DF为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运
动过程中，点E的运动路径长是 ．
【答案】 ．
【解析】E的运动路径是EE'的长；
∵AB＝4，∠DCA＝30°，
∴BC＝ ，
当F与A点重合时，
在Rt△ADE'中，AD＝ ，∠DAE'＝30°，∠ADE'＝60°，
∴DE'＝ ，∠CDE'＝30°，
当F与C重合时，∠EDC＝60°，
∴∠EDE'＝90°，∠DEE'＝30°，在Rt△DEE'中，EE'＝
.
15.（2019湖北十堰）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE＝3，则菱形
的周长为 ．
【答案】24
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO，
∵点E是BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴CD＝2OE＝2×3＝6，
∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24
三、解答题
16.（2020湖北恩施）如图， ， 平分∠ABC交 于点 ，点C在 上且 ，连接．求证：四边形 是菱形．
【答案】见解析
【解析】由 ，BD平分∠ABC得到∠ABD=∠ADB，进而得到△ABD为等腰三角形，进而得到AB=AD，
再由BC=AB，得到对边AD=BC，进而得到四边形ABCD为平行四边形，再由邻边相等即可证明ABCD为菱形．
证明：∵ ，
∴∠ADB=∠DBC，
又BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴△ABD为等腰三角形，
∴AB=AD，
又已知AB=BC，
∴AD=BC，
又 ，即AD BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又AB=AD，∴四边形ABCD为菱形．
【点睛】本题考了角平分线性质，平行线的性质，菱形的判定方法，平行四边形的判定方法等，熟练掌握
其判定方法及性质是解决此类题的关键．
17．（2019湖南怀化）已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形AECF是矩形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC，
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°，
在△ABE和△CDF中， ，
∴△ABE≌△CDF（AAS）；
（2）证明：∵AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AEB＝90°，
∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
18.（2019•四川省凉山州）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．过
点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．【答案】见解析。
【解析】根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OB＝OA，根据AM⊥BE，即可得出∠MEA+∠MAE＝
90°＝∠AFO+∠MAE，从而证出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE＝OF．
证明：∵四边形ABCD是正方形．
∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．
又∵AM⊥BE，
∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，
∴∠MEA＝∠AFO．
∴△BOE≌△AOF（AAS）．
∴OE＝OF．
19．（2019湖南湘西州）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，且AF
＝CE．
（1）求证：△ABF≌△CBE；
（2）若AB＝4，AF＝1，求四边形BEDF的面积．【答案】（1）见解析；（2）12．
【解答】（1）在△ABF和△CBE中
，
∴△ABF≌△CBE（SAS）；
（2）由已知可得正方形ABCD面积为16，
△ABF面积＝△CBE面积＝ ×4×1＝2．
所以四边形BEDF的面积为16﹣2×2＝12．
20．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线
分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．
（1）已知BD= ，求正方形ABCD的边长；
（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．
【答案】见解析。
【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴2AB2=BD2，
∵BD=
∴AB=1，∴正方形ABCD的边长为1；
（2）CN= CM．
证明：∵CF=CA，AF是∠ACF的平分线，
∴CE⊥AF，
∴∠AEN=∠CBN=90°，
∵∠ANE=∠CNB，
∴∠BAF=∠BCN，
在△ABF和△CBN中，
，
∴△ABF≌△CBN（AAS），
∴AF=CN，
∵∠BAF=∠BCN，∠ACN=∠BCN，
∴∠BAF=∠OCM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∴∠ABF=∠COM=90°，
∴△ABF∽△COM，
∴ = ，
∴ = = ，
即CN= CM．21.已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．
（1）求证：AP=BQ；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差
等于PQ的长．
【答案】见解析。
【解析】考点有正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
（1）∵正方形ABCD
∴AD=BA，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90°
∵DP⊥AQ ∴∠ADP+∠DAP=90°∴∠BAQ=∠ADP
∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P
∴∠AQB=∠DPA=90°
∴△AQB≌△DPA（AAS） ∴AP=BQ
（2）①AQ﹣AP=PQ
②AQ﹣BQ=PQ
③DP﹣AP=PQ④DP﹣BQ=PQ
22.边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC的面积为 ．
【答案】 ．
【解析】考点有正方形的性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．.
过点C作CD和CE垂直正方形的两个边长，再利用正方形和等边三角形的性质得出CE的长，进而得出
△ABC的面积即可．
过点C作CD和CE垂直正方形的两个边长，如图，
∵一个正方形和一个等边三角形的摆放，
∴四边形DBEC是矩形，
∴CE=DB= ，
∴△ABC的面积= AB•CE= ×1× = ，
23．如图，已知四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，过O点作EF⊥BD，分别交
AD、BC于点E、F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．【答案】见解析。
【解析】首先证明四边形ABCD是平行四边形，再利用ASA证明△AOE≌△COF；
结论：四边形BEDF是菱形．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；
（1）证明：∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF．
（2）解：结论：四边形BEDF是菱形，
∵△AOE≌△COF，∴AE=CF，
∵AD=BC，∴DE=BF，∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵OB=OD，EF⊥BD，∴EB=ED，∴四边形BEDF是菱形．
24．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点
F，连接CF．
（1）求证：AF=DC；
（2）若AC⊥AB，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．【答案】见解析。
【解析】连接DF，由AAS证明△AFE≌△DBE，得出AF=BD，即可得出答案；根据平行四边形的判定得出平
行四边形ADCF，求出AD=CD，根据菱形的判定得出即可；
（1）证明：连接DF，
∵E为AD的中点，∴AE=DE，
∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS），∴EF=BE，
∵AE=DE，
∴四边形AFDB是平行四边形，∴BD=AF，
∵AD为中线，∴DC=BD，∴AF=DC；
（2）四边形ADCF的形状是菱形，理由如下：
∵AF=DC，AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AC⊥AB，∴∠CAB=90°，
∵AD为中线，∴AD= BC=DC，
∴平行四边形ADCF是菱形。
25．已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交
于点C，∠BGE=∠ADE．
（1）如图1，求证：AD=CD；
（2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图 2中
四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍．
【答案】见解析。
【解析】由AC⊥BD、BF⊥CD知∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，根据∠BGE=∠ADE=∠CGF得出∠DAE=∠GCF即可
得；设 DE=a，先得出 AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a，据此知 S =2a2=2S ，证
△ADC △ADE
△ADE≌△BGE得BE=AE=2a，再分别求出S 、S 、S ，从而得出答案．
△ABE △ACE △BHG
（1）∵∠BGE=∠ADE，∠BGE=∠CGF，∴∠ADE=∠CGF，
∵AC⊥BD、BF⊥CD，
∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，∴∠DAE=∠GCF，∴AD=CD；
（2）设DE=a，
则AE=2DE=2a，EG=DE=a，
∴S = AE•DE= •2a•a=a2，
△ADE∵BH是△ABE的中线，∴AH=HE=a，
∵AD=CD、AC⊥BD，∴CE=AE=2a，
则S = AC•DE= •（2a+2a）•a=2a2=2S ；
△ADC △ADE
在△ADE和△BGE中，
∵ ，
∴△ADE≌△BGE（ASA），
∴BE=AE=2a，
∴S = AE•BE= •（2a）•2a=2a2，
△ABE
S = CE•BE= •（2a）•2a=2a2，
△ACE
S = HG•BE= •（a+a）•2a=2a2，
△BHG
综上，面积等于△ADE面积的2倍的三角形有△ACD、△ABE、△BCE、△BHG．
26．如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且
AF=CD，连接CF．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．【答案】见解析。
【解析】由AF∥BC得∠AFE=∠EBD，继而结合∠EAF=∠EDB、AE=DE即可判定全等；根据AB=AC，且AD是BC
边上的中线可得∠ADC=90°，由四边形ADCF是矩形可得答案．
证明：（1）∵E是AD的中点，∴AE=DE，
∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∠EAF=∠EDB，∴△AEF≌△DEB（AAS）；
（2）连接DF，
∵AF∥CD，AF=CD，∴四边形ADCF是平行四边形，
∵△AEF≌△DEB，∴BE=FE，
∵AE=DE，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF=AB，
∵AB=AC，∴DF=AC，
∴四边形ADCF是矩形．
27．（2019湖南岳阳）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF，
求证：∠1＝∠2．
【答案】见解析．
【解析】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，
在△ADF和△CDE中， ，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴∠1＝∠2．
28. （2019•海南省）如图，在边长为l的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点
A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．
（1）求证：△PDE≌△QCE；
（2）过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB＝PQ时，
①求证：四边形AFEP是平行四边形；
②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．
【解析】（1）由四边形ABCD是正方形知∠D＝∠ECQ＝90°，由E是CD的中点知DE＝CE，结合∠DEP＝
∠CEQ即可得证；
（2）①由PB＝PQ知∠PBQ＝∠Q，结合AD∥BC得∠APB＝∠PBQ＝∠Q＝∠EPD，由△PDE≌△QCE知PE＝
QE，再由EF∥BQ知PF＝BF，根据Rt△PAB中AF＝PF＝BF知∠APF＝∠PAF，从而得∠PAF＝∠EPD，据此
即可证得PE∥AF，从而得证；
②设AP＝x，则PD＝1﹣x，若四边形AFEP是菱形，则PE＝PA＝x，由PD2+DE2＝PE2得关于x的方程，解
之求得x的值，从而得出四边形AFEP为菱形的情况．
【解答】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠ECQ＝90°，
∵E是CD的中点，∴DE＝CE，又∵∠DEP＝∠CEQ，
∴△PDE≌△QCE（ASA）；
（2）①∵PB＝PQ，∴∠PBQ＝∠Q，
∵AD∥BC，
∴∠APB＝∠PBQ＝∠Q＝∠EPD，
∵△PDE≌△QCE，∴PE＝QE，
∵EF∥BQ，∴PF＝BF，
∴在Rt△PAB中，AF＝PF＝BF，
∴∠APF＝∠PAF，
∴∠PAF＝∠EPD，
∴PE∥AF，
∵EF∥BQ∥AD，
∴四边形AFEP是平行四边形；
②当AP＝ 时，四边形AFEP是菱形．
设AP＝x，则PD＝1﹣x，
若四边形AFEP是菱形，则PE＝PA＝x，
∵CD＝1，E是CD中点，∴DE＝ ，
在Rt△PDE中，由PD2+DE2＝PE2得（1﹣x）2+（ ）2＝x2，解得x＝ ，
即当AP＝ 时，四边形AFEP是菱形．
