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第2节 特殊的平行四边形
知识点1：矩形
1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2.矩形的性质
（1）矩形具有平行四边形的所有性质,
（2）矩形的四个角都是直角，
（3）矩形的对角线相等且互相平分.
注意：直角三角形的一个性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3.矩形的判定方法
①一个角是直角的平行四边形是矩形；
②三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形.
知识点2：菱形
1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2. 菱形的性质
（1）菱形具有平行四边形的所有性质，
（2）菱形的四条边相等，（3）其对角线互相垂直平分，且平分一组对角.
3.菱形的判定
（1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（2）四条边相等的四边形是菱形。
知识点3：正方形
1.正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形。
2.正方形的性质
（1）正方形的四条边相等；
（2）四个角都是直角；
（3）对角线相等并且互相垂直平分；
（4）每条对角线平分一组对角.
3.正方形的判定
（1）一组邻边相等的矩形是正方形；
（2）有一个角是直角的菱形是正方形.
【例题1】（2020•泰安）如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于
点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：
①DN＝BM；
②EM∥FN；
③AE＝FC；④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例题2】（2019贵州省安顺市） 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D为斜边BC上
的一个动点，过D分别作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为 .
A
M
N
B D C
【例题3】（2019湖南郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正
方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，则正方形ADOF的边长是（ ）
A．√2 B．2 C．√3 D．4一、选择题
1．（2020•南充）如图，面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC的中点，过点E作
EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，则四边形EFOG的面积为（ ）
1 1 1 1
A． S B． S C． S D． S
4 8 12 16
2．（2020•黑龙江）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若
OA＝6，S ＝48，则OH的长为（ ）
菱形ABCD
3.（2019•广东广州）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝
3，AF＝5，则AC的长为（ ）A．4 B．4 C．10 D．8
4.（2019内蒙古赤峰）如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长
是（ ）
A．2.5 B．3 C．4 D．5
5.（2019•贵州省铜仁市）如图，四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠DAB＝60°，点E、F分别在边DC、BC
上，且CE＝ CD，CF＝ CB，则S ＝（ ）
△CEF
B． C． D．
A．
6. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若AC=4，
则四边形CODE的周长是（ ）
E
D C
O
A B
A.4 B.6 C.8 D. 107.如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
8. 如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连
结 DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：① FB 垂直平分 OC；②△EOB≌△CMB；③ DE=EF；
④S ：S =2：3．其中正确结论的个数是（ ）
△AOE △BCM
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9.下列命题中，真命题的个数是（ ）
①同位角相等
②经过一点有且只有一条直线与这条直线平行
③长度相等的弧是等弧
④顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
10. 如图，正方形ABCD的对角线BD长为2 ，若直线l满足：
①点D到直线l的距离为 ；
②A、C两点到直线l的距离相等．
则符合题意的直线l的条数为（ ）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
11．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（
）
A.2.5 B. C. D. 2
二、填空题
12.（2020湖北恩施州）如图，正方形 的边长为4，点 在 上且 ， 为对角线 上
一动点，则 周长的最小值为（ ）．
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
13.（2019湖南娄底）如图，要使平行四边形 ABCD 是矩形，则应添加的条件是 （添加一个条
件即可）．14.（2019·贵州贵阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连
接DF，以DF为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运
动过程中，点E的运动路径长是 ．
15.（2019湖北十堰）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE＝3，则菱形
的周长为 ．
三、解答题
16.（2020湖北恩施）如图， ， 平分∠ABC交 于点 ，点C在 上且 ，连接
．求证：四边形 是菱形．
17．（2019湖南怀化）已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形AECF是矩形．
18.（2019•四川省凉山州）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．过
点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．
19．（2019湖南湘西州）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，且AF
＝CE．
（1）求证：△ABF≌△CBE；
（2）若AB＝4，AF＝1，求四边形BEDF的面积．
20．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线
分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．
（1）已知BD= ，求正方形ABCD的边长；
（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．21.已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．
（1）求证：AP=BQ；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差
等于PQ的长．
22.边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC的面积为 ．
23．如图，已知四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，过O点作EF⊥BD，分别交
AD、BC于点E、F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．24．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点
F，连接CF．
（1）求证：AF=DC；
（2）若AC⊥AB，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
25．已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交
于点C，∠BGE=∠ADE．
（1）如图1，求证：AD=CD；
（2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图 2中
四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍．
26．如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且
AF=CD，连接CF．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．27．（2019湖南岳阳）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF，
求证：∠1＝∠2．
28. （2019•海南省）如图，在边长为l的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点
A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．
（1）求证：△PDE≌△QCE；
（2）过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB＝PQ时，
①求证：四边形AFEP是平行四边形；
②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．
