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6.2.2 线段的比较与运算
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\教学设计.TIF" \* MERGEFORMATINET
教学目标
课题 6.1.2线段的比较与运算 授课人
素养目标 1.能用尺规作图，会画一条线段等于已知线段.
2.会用度量法与叠合法来比较线段的长短.理解两条线段的长短比较所隐含的意义，能从
“量”与“形”上进行转化.
3.掌握线段的基本事实：两点之间，线段最短.理解两点间距离的意义，能度量和表达两点
间的距离.
4.理解线段的和、差及线段中点的意义，了解三等分点、四等分点的意义.会画两条线段的
和、差，体会数形结合思想，并能进行简单的应用.
教学重点 1.线段长短的比较.
2.关于线段的基本事实.
3.线段的中点.
教学难点 线段的中点、三等分点、四等分点的表示方法及运用.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情 【问题引入】 【教学建议】
境，导入新课 观察这三组图形，你能比较出每组图形中线段 a和b的长短 这里可先让学
设计意图 吗？ 生通过直观观察说
由几何中线段视觉 出线段的长短，再
错觉问题作为引 结合学生的回答引
入，激发学生的学 出本节课的内容.
习兴趣和解决问题 三组图形中，线段a和b的长度均相等.
的热情. 很多时候，眼见未必为实.准确比较线段的长短还需要更加严
谨的方法.如何找到更为严谨的方法呢？这就是本节课要解决的问
题.
活动二：实践探 探究点1尺规作图、线段长短的比较 【教学建议】
究，获取新知 Ⅰ.尺规作图 对于问题2，这
设计意图 问题1 如图，老师手里的纸上有一条线段，你能在你的本子上 是学生首次接触尺
作出一条同样长短的线段吗？ 规作图，学生能完
尺规作图的概念和 INCLUDEPICTURE "E:\\李琪洲\\2024秋\\作业课件\\8.29 R7教案\ 成作图即可，不要
“作一条线段等于 求说出作法，教师
\BF128.TIF" \* MERGEFORMATINET
已知线段”是为后 也可以鼓励学生用
可用刻度尺直接测量后画出.
面线段的运算做铺 自己的语言表述作
问题2 除了常用的用刻度尺度量的方法，是否还有其他方法？
垫. 图过程.
可用圆规和无刻度的直尺作图.
注 意 提 醒 学
生：尺规作图一般
要求作出图形 ， 说
明结果 ， 并保留作
图痕迹.
概念引入：
在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图.教学步骤 师生活动
问题3想一想，两种方法中，刻度尺、直尺和圆规分别发挥了什 【教学建议】
么作用？ 这里学生类比
刻度尺可以量出长度和画出相应线段.直尺只能用来画线，不 后会用到下面的方
能测量线段的长度，圆规可测量线段的长度. 法：
①用刻度尺分
别测量出两位同学
设计意图 Ⅱ.线段的长短比较
的身高，将所得的
如何进行更为严谨的线段长短比较，我们可从身高比较中找一
数值进行比较.
让学生从身高比较 找方法.
②让两人并排
引出比较线段长短 问题1 下面两人要比较身高，类比上面尺规作图中的方法，说
站在同一块平地
的两种方法：度量 一说你是如何比较的？
上，脚底平齐，观看
法和叠合法.并通
两人的头顶，直接
过尺规作图，让学
生进一步理解线段
比出高矮.
比较的实质，渗透 可通过这两种
数形结合思想，培 方法的介绍，引出
养学生几何直观. 线段比较中的度量
法和叠合法.
另外教师可用
两根长短不一的粉
可按直接测量的方法或脚底平齐再看两人头顶高度的方法进
笔再举下例子.
行比较.
【教学建议】
在两条线段长
问题2 （1）类似地，我们如何比较两条线段的长短呢？
短的比较中，度量
①度量法：
法比较好理解.这个
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叠合法就是将其中
案\\BF131.TIF" \* MERGEFORMATINET 一条线段“移”到
另一条线 段上 ，使
其一端点与另一线
段的一端点重合，
然后观察 两条线段
另外两个端点的位
②叠合法：使用圆规按【教学建议】中的方法进行“叠合”.
置作比较.教师注意
INCLUDEPICTURE "E:\\李琪洲\\2024秋\\作业课件\\8.29 R7教
向学生解释，并提
案\\BF132.TIF" \* MERGEFORMATINET
醒学生注意：这里
虽然线段的位置改
变了，但线段的长
短保持不变.
注意事项：叠合线段时要注意两条线段的一个端点对齐（重
合），另一个端点落在同一侧.
（2）你认为按照叠合法，两条线段的长短比较有哪些可能性？
【对应训练】
教材P166练习第1题.教学步骤 师生活动
设计意图 探究点2 关于线段的基本事实 【教学建议】
问题1 （教材P165探究） 如图，从A地到B地有四条道路，除 “两点之间，线
通过设置的问题， 它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路？如果能，请你联系 段最短”是学生容
让学生经历观察、 易接受的结论，对
以前所学的知识，在图上画出最短道路.
猜想、验证新知的 此基本事实是让学
过程，强化对线段 生通过观察、思考
基本事实的理解， 得到的，这种经过
并在探究中培养学 实验比较得到结论
生独立思考、合作 的方法是科学的方
交流、口头表达的 法，有广泛的应用
能力. 价值.在此基础上，
从图②可以看出线段AB最短. 可以让学生举出一
概念引入： 些实际应用以认识
①关于线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短. 此性质的实际价值.
简单说成：两点之间，线段最短.
②距离的概念：连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离.
问题2如上图②中，线段AB的长度就是点A与点B之间的距
离.想一想，我们能说A，B两点间的距离是线段AB吗？
不能，两点间的距离是一个具体的数量，而线段是图形，因此
不能把A，B两点间的距离说成线段AB.
问题3你能举出线段的基本事实在生活中的一些应用吗？
应用举例1 河道改直问题
如图，把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道
长度有什么变化？
河道的长度变短了.
应用举例2 九曲桥问题
如图，公园里修建了曲折迂回的桥，这样做对游人观赏湖面风
光有什么影响？与修一座笔直的桥相比，这样做是否增加了游人在
桥上行走的路程？说出其中的道理.
由于“两点之间，线段最短”，这样做
增加了桥的长度，一方面能容纳更多的游人
来观光，另一方面也增加了游人在桥上行走
的路程，有利于游人更好地观赏湖面风光.
【对应训练】
如图，这是A，B两地之间的公路，在公路工
程改造计划时，为使A，B两地行程最短，应如何
设计道路？请在图中画出，并说明理由.
解：设计道路如图中线段AB.理由：两点之
间，线段最短.
设计意图 探究点3 线段的运算
Ⅰ.线段和、差的意义及作图
由判断线段的长短 问题1 （1）如图，线段AB和AC的大小关系是怎样的？
引出线段的运算，
让学生掌握线段
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和、差的作图方
案\\BF141.TIF" \* MERGEFORMATINET
法；将用图形表示
AB＜AC.
和、差与用符号表
（2）上图中AB，BC，AC有怎样的和、差关系？
示和、差结合起
来.
AC＝AB＋BC，AB＝AC－BC，BC＝AC－AB.
教学步骤 师生活动问题2 如图，已知线段a和线段b，怎样通过作 【教学建议】
图得到a与b的和、a与b的差呢？ 教师引导学生思
考并总结：几何中
线段的和、差与代
数中数的和、差有
联系也有区别，在
数量上是线段长度
的和、差，在图形上
作线段的和、差得
到的图形是一条线
段.
【教学建议】
例 （教材P165例1） 如图，已知线段a，b，作一条线段，使它等于
对于线段的和、
2a－b.
差、中点，应以图形
INCLUDEPICTURE "E:\\李琪洲\\2024秋\\作业课件\\8.29 R7教案\ 认识为主，让学生
\BF145.TIF" \* MERGEFORMATINET 看到相应图形的形
成，培养识图能力，
进一步可要求学生
解：如图，在直线上作线段AB＝a，再在线段AB的延长线上作线
能在图形和相应数
段BC＝a，则线段AC＝2a.在线段AC上作线段CD＝b，则线段AD＝ 量关系之间建立起
2a－b. 联系，并与有关的
教师总结： 符号表示联系起
作线段的和、差时，按“右加左减”的方法作图.线段的倍数也可 来，如由点M是线
转化为线段的和进行作图. 段AB的中点，就有
Ⅱ.线段的中点、三等分点、四等分点及倍、分 AB＝2AM＝2BM，
问题1 在一张透明的纸上画一条线段，折 AM＝BM＝ AB（反
叠纸片，使线段的端点重合.折痕与线段的交点 过来，如果点M在
是线段的什么位置？ 线段AB上，且有这
中点位置. 样的数量关系，那
问题2 如图，已知线段a，求作线段AB＝ 么点M是线段AB
2a. 的中点），这对于以
INCLUDEPICTURE "E:\\李琪洲\\2024秋\\作业课件\\8.29 R7教案\ 后的学习（用符号
\BF148.TIF" \* MERGEFORMATINET 表示推理）很有帮
助.
如图，线段AB即为所求.
知识引入：
如问题2图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，点
M叫作线段AB的中点.
教师总结：教学步骤 师生活动
问题3那么什么叫做三等分点？四等分点呢？ 【教学建议】
教师提醒学生注
意：线段的中点只
有一个，且一定在
线段上，类似地，线
段的三等分点有两
个，线段的四等分
点有三个，且这些
点都在线段上.
【对应训练】
教材P166练习第2，3题.
活动三：随堂训 【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.
练，课堂总结 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.什么是尺规作图？如何用尺规作一条线段等于已知线段？
2.比较线段的长短有哪些方法？
3.线段的基本事实是什么？
4.什么是两点间的距离？
5.如何作线段的和，线段的差？
6.什么是线段的中点、三等分点、四等分点？
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P167习题6.2第4，5题.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
板书设计
教学反思 本节课通过比较线段视觉错觉问题，引导学生思考严谨的比较线段长短的方法，从而
引出课题，极大地激发了学生的学习兴趣；并通过动手操作，亲身体验用叠合法比较线段
的长短.教师要尝试让学生自主学习，优化课堂教学中的反馈与评价.通过评价，激发学生
的求知欲，坚定学生学习的自信心.
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INCLUDEPICTURE "E:\\李琪洲\\2024 秋\\作业课件\\8.29 R7 教案\\解题大招.TIF" \*
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\解题大招.TIF" \* MERGEFORMATINET
解题大招一 线段的长短比较
实际做题时，线段的长短比较主要是用叠合法，比较时关键要注意两条线段的一个端点
要重合.
例1 为了比较线段AB与CD的长短，李明将点A与点C重合使两条线段在一条直线上，
结果点B在线段CD的延长线上，则（ B ）
A. ABCD C. AB＝CD D.以上都不对
例2 体育课上，刘伟在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图
中的M，N，P，Q四个点处，则表示他最好成绩的是（ C ）
A.点M B.点N C.点P D.点Q
解题大招二 与线段有关的作图
（1）到两点的距离之和最小就是求作连接两点的线段.
（2）线段和、差的作图方法：
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例3 如图，要在铁路l旁建一仓库P，使P到铁路两旁的A，B
的距离之和最短，请在l上标出点P的位置，并说明理由.
解：如图，点P为所求.理由：两点之间，线段最短.
例4 已知线段a，b.求作：线段AC，使AC＝a－2b.
INCLUDEPICTURE "E:\\李琪洲\\2024秋\\作业课件\\8.29 R7教案\\BF156.TIF" \*
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解：如图，线段AC即为所求.
解题大招三 与线段中点有关的计算
表达方式：（1）点M在线段AB上，且AM＝BM；
（2）AB＝2AM＝2BM；（3）AM＝BM＝ＡAB
M为线段AB的中点
1.直接计算
例5 如图，AC＝8 cm，CB＝6 cm，O是线段AB的中点，求线段OC的长度.
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思路分析
INCLUDEPICTURE "E:\\李琪洲\\2024秋\\作业课件\\8.29 R7教案\\BF159.TIF" \*
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解：因为AB＝AC＋CB＝8＋6＝14（cm），O是线段AB的中点，所以OB＝AB＝×14＝7（cm），所以OC＝OB－CB＝7－6＝1（cm）.
2.用方程思想解决线段中点计算问题
有关线段长的计算问题，若直接求解无法计算，则可考虑借助未知数，特别是条件有连
比的情况，通过相关线段之间的数量关系构建方程求解.
例6 如图，B，C是线段AD上两点，且AB∶BC∶CD＝3∶2∶5，E，F分别是AB，CD的
中点，且EF＝24，求线段AB，BC，CD的长.
INCLUDEPICTURE "E:\\李琪洲\\2024秋\\作业课件\\8.29 R7教案\\BF161.TIF" \*
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分析：根据已知条件AB∶BC∶CD＝3∶2∶5，不妨设AB＝3x，BC＝2x，CD＝5x，然后运
用线段的和、差、倍、分，用含x的代数式表示EF的长，从而得到一个关于x的一元一次方程，
解方程，得到x的值，即可得到所求各线段的长.
解：设AB＝3x，BC＝2x，CD＝5x. 因为E，F分别是AB，CD的中点，所以BE＝AB＝x，CF
＝CD＝x，所以EF＝BE＋BC＋CF＝x＋2x＋x＝6x.因为EF＝24，所以6x＝24，解得x＝4.所
以AB＝3x＝12，BC＝2x＝8，CD＝5x＝20.
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培优点 与线段运算有关的分类讨论问题
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