2021年高考数学试卷（新高考Ⅱ卷）（空白卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按试卷类型分类）2008-2025_全国卷·数学（2008-2025）

2021年全国统一高考数学试卷（新高考全国Ⅱ卷）
使用省份：海南､辽宁､重庆
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
2-i
1. 复数 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
1-3i
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 设集合U ={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},B ={2,3,4}，则A I ð U B=（ ）
A {3} B. {1,6} C. {5,6} D. {1,3}
.
3. 抛物线y2 =2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为 2 ，则 p=（ ）
A. 1 B. 2 C. 2 2 D. 4
4.
北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位
于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一
个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直
接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为a，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为
S =2pr2(1-cosa)（单位：km2），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A 26% B. 34% C. 42% D. 50%
.
5. 正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
56 28 2
A. 20+12 3 B. 28 2 C. D.
3 3
6. 某物理量的测量结果服从正态分布N
 10,s2
，下列结论中不正确的是（ ）
A.
s越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大
B.
s越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C.
s越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D.
s越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等
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7. 已知a =log 2，b=log 3，c= ，则下列判断正确的是（ ）
5 8 2
A. c<b<a B. b<a<c C. a<c<b D. a<b<c
8. 已知函数 f x 的定义域为R， f x+2 为偶函数， f 2x+1 为奇函数，则（ ）
æ 1ö
f - =0 f -1=0 f 2=0 f 4=0
A. ç ÷ B. C. D.
è 2ø
二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列统计量中，能度量样本x 1 ,x 2 , L ,x n 的离散程度的是（ ）
A. 样本x 1 ,x 2 , L ,x n 的标准差 B. 样本x 1 ,x 2 , L ,x n 的中位数
C. 样本x 1 ,x 2 , L ,x n 的极差 D. 样本x 1 ,x 2 , L ,x n 的平均数
10.
如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足MN ^OP的是
（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知直线l:ax+by-r2 =0与圆C:x2 + y2 =r2，点A(a,b)，则下列说法正确的是（ ）
A. 若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C. 若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D. 若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
12.
设正整数n =a
0
×20 +a
1
×2+
L
+a
k-1
×2k-1+a
k
×2k，其中a
i
Î0,1 ，记wn=a
0
+a
1
+
L
+a
k
．则（
第2页 | 共4页）
A.
w2n=wn
B.
w2n+3=wn+1
C. w8n+5=w4n+3 D. w  2n -1  =n
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
x2 y2
13. 已知双曲线 - =1a>0,b>0的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_______________
a2 b2
14. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数 f x: _______．
① f x x = f x  f x  ；②当xÎ(0,+¥)时， f¢(x)>0；③ f¢(x)是奇函数．
1 2 1 2
r r r r r r r r r r r r r
15. 已知向量a+b+c=0， a =1， b = c =2，a×b+b×c+c×a=_______．
16.
已知函数 f(x)= ex -1,x <0,x >0，函数 f(x)的图象在点A  x , f x  和点B  x , f x  的两条切
1 2 1 1 2 2
| AM |
线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则 取值范围是_______．
|BN |
四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
17. 记S 是公差不为0的等差数列 a  的前n项和，若a = S ,a a = S ．
n n 3 5 2 4 4
（1）求数列 a  的通项公式a ；
n n
（2）求使S >a 成立的n的最小值．
n n
18. 在 V ABC 中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，b=a+1，c=a+2.．
（1）若2sinC =3sin A，求 ABC 的面积；
V
（2）是否存在正整数a，使得 ABC 为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
V
19. 在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD =2,QD =QA= 5,QC =3．
第3页 | 共4页（1）证明：平面QAD^平面ABCD；
（2）求二面角B-QD- A的平面角的余弦值．
x2 y2 6
20. 已知椭圆C的方程为 + =1(a >b>0)，右焦点为F( 2,0)，且离心率为 ．
a2 b2 3
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线MN 与曲线x2 + y2 =b2(x >0)相切．证明：M，N，F三点共线的
充要条件是|MN |= 3．
21.
一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，
再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个
微生物个体繁殖下一代的个数，P(X =i)= p (i =0,1,2,3)．
i
（1）已知 p =0.4,p =0.3,p =0.2,p =0.1，求E(X)；
0 1 2 3
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程： p + p x+ p x2 + p x3 = x
0 1 2 3
的一个最小正实根，求证：当E(X)£1时， p=1，当E(X)>1时， p<1；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
22. 已知函数 f(x)=(x-1)ex -ax2 +b．
（1）讨论 f(x)的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明： f(x)有一个零点
1 e2
① <a £ ,b>2a；
2 2
1
②0<a< ,b£2a．
2
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