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2022年上海市高考数学试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1. 双曲线𝑥2 −𝑦2=1的实轴长为 ．
9
2. 函数𝑓(𝑥)=cos2𝑥−sin2𝑥+1的周期为 ．
|𝑎 1| |𝑎 0|
3. 已知𝑎∈𝑅，行列式 的值与行列式 的值相等，则𝑎＝ ．
3 2 4 1
4. 已知圆柱的高为4，底面积为9𝜋，则圆柱的侧面积为 ．
5. 𝑥﹣𝑦≤0，𝑥+𝑦﹣1≥0，求𝑧＝𝑥+2𝑦的最小值 ．
6. 二项式(3+𝑥)𝑛的展开式中，𝑥2项的系数是常数项的5倍，则𝑛＝ ．
𝑎2𝑥−1 𝑥<0
7. 若函数𝑓(𝑥)= 𝑥+𝑎 𝑥>0，为奇函数，求参数𝑎的值为 ．
0 𝑥=0
8. 为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，
则每一类都被抽到的概率为 ．
9. 已知等差数列{𝑎 }的公差不为零，𝑆 为其前𝑛项和，若𝑆 =0，则𝑆(𝑖=0,1,2,…,100)中不同的数值有 个．
𝑛 𝑛 5 𝑖
|→| |→| |→| → → → → → →
10. 若平面向量 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 =𝜆，且满足𝑎⋅𝑏=0，𝑎⋅ 𝑐 =2，𝑏⋅ 𝑐 =1，则𝜆＝ ．
11. 设函数𝑓(𝑥)满足𝑓(𝑥)=𝑓 1 对任意𝑥∈[0,+∞)都成立，其值域是𝐴 ，已知对任何满足上述条件的𝑓
𝑓
1+𝑥
(𝑥)都有{𝑦|𝑦=𝑓(𝑥),0≤𝑥≤𝑎}=𝐴 ，则𝑎的取值范围为 ．
𝑓
二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.
1. 若集合𝐴＝[﹣1,2)，𝐵＝𝑍，则𝐴∩𝐵＝（ ）
A.{﹣2,﹣1,0,1} B.{﹣1,0,1} C.{﹣1,0} D.{﹣1}
2. 若实数𝑎、𝑏满足𝑎＞𝑏＞0，下列不等式中恒成立的是（ ）
𝑎 𝑎
A.𝑎+𝑏>2 𝑎𝑏B.𝑎+𝑏<2 𝑎𝑏C. +2𝑏>2 𝑎𝑏 D. +2𝑏<2 𝑎𝑏
2 2
3. 如图正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 中，𝑃、𝑄、𝑅、𝑆分别为棱𝐴𝐵、𝐵𝐶 、𝐵𝐵 、𝐶𝐷 的中点，联结
1 1 1 1 1
𝐴 𝑆，𝐵 𝐷．空间任意两点𝑀、𝑁，若线段𝑀𝑁上不存在点在线段𝐴 𝑆、 𝐵 𝐷上，则称𝑀𝑁两点可视，则下列
1 1 1 1
选项中与点𝐷 可视的为（ ）
1
第1页 | 共4页A.点𝑃 B.点𝐵 C.点𝑅 D.点𝑄
| 2 |
4. 设集合𝛺= (𝑥,𝑦) (𝑥−𝑘)2+ 𝑦−𝑘2 =4 𝑘|,𝑘∈𝑍
①存在直线𝑙，使得集合𝛺中不存在点在𝑙上，而存在点在𝑙两侧；
②存在直线𝑙，使得集合𝛺中存在无数点在𝑙上；（ ）
A.①成立②成立 B.①成立②不成立
C.①不成立②成立 D.①不成立②不成立
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）.
1. 如图所示三棱锥，底面为等边△𝐴𝐵𝐶，𝑂为𝐴𝐶边中点，且𝑃𝑂⊥底面𝐴𝐵𝐶，𝐴𝑃＝𝐴𝐶＝2．
（1）求三棱锥体积𝑉 ；
𝑃−𝐴𝐵𝐶
（2）若𝑀为𝐵𝐶中点，求𝑃𝑀与面𝑃𝐴𝐶所成角大小．
2. 𝑓(𝑥)=log (𝑎+𝑥)+log (6−𝑥)．
3 3
（1）若将函数𝑓(𝑥)图像向下移𝑚(𝑚>0)后，图像经过(3,0)，(5,0)，求实数𝑎，𝑚的值．
（2）若𝑎>﹣3且𝑎≠0，求解不等式𝑓(𝑥)≤𝑓 6﹣𝑥 ．
3. 如图，在同一平面上，𝐴𝐷＝𝐵𝐶＝6，𝐴𝐵＝20，𝑂为𝐴𝐵中点，曲线𝐶𝐷上任一点到𝑂距离相等，∠𝐷𝐴𝐵＝∠
𝐴𝐵𝐶＝120∘，𝑃，𝑄关于𝑂𝑀对称，𝑀𝑂⊥𝐴𝐵；
第2页 | 共4页（1）若点𝑃与点𝐶重合，求∠𝑃𝑂𝐵的大小；
（2）𝑃在何位置，求五边形𝑀𝑄𝐴𝐵𝑃面积𝑆的最大值．
4. 设有椭圆方程𝛤:
𝑥2
+
𝑦2
=1(𝑎>𝑏>0)，直线𝑙:𝑥+𝑦−4 2=0，𝛤下端点为𝐴，𝑀在𝑙上，左、右焦点分别
𝑎2 𝑏2
为𝐹 (− 2,0)、𝐹 ( 2,0) ．
1 2
（1）𝑎＝2，𝐴𝑀中点在𝑥轴上，求点𝑀的坐标；
3
（2）直线𝑙与𝑦轴交于𝐵，直线𝐴𝑀经过右焦点𝐹 ，在△𝐴𝐵𝑀中有一内角余弦值为 ，求𝑏；
2 5
（3）在椭圆𝛤上存在一点𝑃到𝑙距离为𝑑，使|𝑃𝐹 |+|𝑃𝐹 |+𝑑=6，随𝑎的变化，求𝑑的最小值．
1 2
5. 数列{𝑎 }对任意𝑛∈𝑁∗且𝑛≥2，均存在正整数𝑖∈[1,𝑛﹣1]，满𝑎 =2𝑎 −𝑎，𝑎 =1， 𝑎 =3．
𝑛 𝑛+1 𝑛 𝑖 1 2
（1）求𝑎 可能值；
4
（2）命题𝑝：若𝑎 ,𝑎 ,⋯,𝑎 成等差数列，则𝑎 <30，证明𝑝为真，同时写出𝑝逆命题𝑞，并判断命题𝑞是真是
1 2 8 9
假，说明理由；
（3）若𝑎 =3𝑚，(𝑚∈𝑁∗)成立，求数列{𝑎 }的通项公式．
2𝑚 𝑛
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