福州市2026届高中毕业班4月适应性练习数学答案_3246_副本_12.2026年4月全国各地高考模拟卷_2026年4月_2026届福建省福州市高三4月适应性练习全科

2026 届高中毕业班适应性练习（四月）
数学参考答案及评分细则
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内
容比照评分标准制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，
可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答
有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。
一、单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C D C C B C D
二、多项选择题
题号 9 10 11
答案 BCD AD ACD
三、填空题 公众号：高考试卷君
12．60° 13．30 14．4 3
四、解答题
15.本小题主要考查函数的奇偶性、函数的零点、三角恒等变换、等差数列求和等基础知识，考查运算求
解能力、逻辑推理能力等，考查函数与方程思想、分类与整合思想等，考查逻辑推理、数学运算等核
心素养，体现基础性.满分13分.
解法一：（1）因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)f(x)， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1分
即sin(2x)sin(x)[sin(2x)sin(x)]恒成立.
得sin(x)sin(x)0恒成立， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分
所以sinxcossincosxsincosxsinxcos0恒成立， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分
所以sincosx0恒成立， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分
所以sin0， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分
解得kπ,kZ. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分
数学参考答案及评分细则 第1页（共 15页）π π
（2）因为 ，所以 f(x)sin2xsin(x )，
2 2
π
令 f(x)0，则sin2xsin(x )， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分
2
π π
所以2xx 2k π,k Z或2xx π+2k π,k Z， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分
2 1 1 2 2 2
π π 2
解得x 2k π,k 或x  k π,k ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11分
2 1 1 6 3 2 2
3 2 1
令a (2n )，b ( n )，则b a b ,kN*，
n 2 n 3 2 3k2 k 3k1
所以S
20
x
1
x
2


x
20
(a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
)(b
1
b
2


b
15
)， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分
5(a a ) 15(b b ) 45π 435π
所以S  1 5  1 15   95π． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙13分
20 2 2 2 6
解法二：（1）因为 f(x)为R上的奇函数，所以 f(0)0， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分
所以sin0， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分
解得kπ,kZ， ∙∙∙∙公∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙众∙∙∙∙∙∙∙∙∙号∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙：∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙高∙∙∙∙∙∙∙∙∙考∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙试∙∙∙∙∙∙∙∙∙卷∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙君∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分
经检验， f(x)sin2xsin(xkπ),k是奇函数，
所以kπ,kZ. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分
π
（2）因为 ，所以 f(x)sin2xcosx， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7分
2
令 f(x)0，则sin2xcosx0， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分
所以cosx(2sinx1)0， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分
1
所以cosx0或sinx ，
2
π π 5π
解得x k π,k 或x 2k π,k 或x 2k π,k ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11分
2 1 1 6 2 2 6 3 3
1 11 7
令a (n )π，b (2n )π，c (2n )π，
n 2 n 6 n 6
数学参考答案及评分细则 第2页（共 15页）则(2k2)πb a c a 2kπ,kN*，
k 2k1 k 2k
所以S
20
x
1
x
2


x
20
(a
1
a
2


a
10
)(b
1
b
2


b
5
)(c
1
c
2


c
5
)，
10(a a ) 5(b b ) 5(c c )
所以S  1 10  1 5  1 5 95π． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙13分
20 2 2 2
解法三：（1）同解法一． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分
π π
（2）因为 ，所以 f(x)sin2xsin(x )，因为 f(x2π) f(x)，
2 2
所以2π是 f(x)的一个周期， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7分
π
当0x„ 2π时，令 f(x)0，则sin2xsin(x )， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分
2
π π 5π 3π
解得x , , , ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分
6 2 6 2
π π 5π 3π
所以 f(x)在区间(0,2π]的零点之和为    3π． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11分
6 2 6 2
令a x x x x ，
n 4n3 4n2 4n1 4n
公众号：高考试卷君
则{a }是以3π为首项，8π为公差的等差数列， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分
n
所以S
20
x
1
x
2


x
20
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
5(a a ) 5(3π35π)
 1 5  95π． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙13分
2 2
16.本小题主要考查导数的几何意义、导数的应用等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力等，考
查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体
现基础性．满分15分．
a
解法一：（1）函数 f(x)的定义域为(0,)， f(x)x ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分
x
2
当a2时，因为 f(x)x ，所以 f(1)1， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分
x
1
又 f(1) ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分
2
1
所以曲线y f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y (x1)，
2
数学参考答案及评分细则 第3页（共 15页）即2x2y30． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7分
1 1 1 1 1 2
（2）(i)当a0时， f(ea) (ea)2 alnea  ea 10不符合题意，舍去； ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分
2 2
1
(ii)当a0时， f(x) x2 0显然成立； ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11分
2
(iii)当a0时，令 f(x)0，得0x a ，令 f(x)0，得x a；
所以 f(x)在(0, a)单调递减，在( a,)单调递增． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙13分
1
所以 f(x)  f( a) aaln a 0，解得0ae． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙14分
min 2
综上所述，a的取值范围为[0,e)． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙15分
解法二：（1）同解法一． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7分
1
（2）由已知，得 x2 alnx0．
2
x2
(i)当0x1时，可得a ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分
2lnx
x2
因为0x1，所以 0， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分
2lnx
x2
又因为x0时， 0，
2lnx公众号：高考试卷君
所以a…0； ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分
1
(ii)当x1时， x2 alnx0恒成立，所以aR； ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11分
2
x2
(iii)当x1时，可得a ．
2lnx
1
2xlnxx2
x2 x x(2lnx1)
令g(x) (x1)，g(x)  ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分
2lnx 2(lnx)2 2(lnx)2
1
当1xe2时，g(x)0，g(x)单调递减；
1
当xe2时，g(x)0，g(x)单调递增； ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙13分
1
所以g(x) g(e2)e，所以ae． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙14分
min
综上所述，a的取值范围为[0,e)． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙15分
17.本小题主要考查椭圆的定义、直线与椭圆的位置关系、三点共线等基础知识，考查逻辑推理能力、直
观想象能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、转化与化归
数学参考答案及评分细则 第4页（共 15页）思想等，考查逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性与综合性．满分15分．
3
解法一：（1）当MF x轴时，|MF | ，
2 2 2
9 5
所以|MF | |MF |2 |FF |2  4  ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1分
1 2 1 2 4 2
5 3
所以2a|MF ||MF |  4， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分
1 2 2 2
从而a2，b2 3， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分
x2 y2
故C的方程为  1． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分
4 3
（2）设M(x ,y )(y 0)，P(4,y )，Q(4,y )， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7分
0 0 0 P Q
x 2 y 2
则 0  0 1，即3x 2 4y 2 120． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分
4 3 0 0
又F(1,0),F (1,0)，
1 2
   
所以FM (x 1,y )，FP(3,y )，FM (x 1,y )，FQ(3,y ). ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分
1 0 0 1 P 2 0 0 2 Q
因为PF MF ，QF MF ，
1 1 2 2
   
所以FM FP3(x 1) y y 0，FM FQ3(x 1) y y 0， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分
1 1 0 0 P 2 2 0 0 Q
公6众号：6x高考试卷君
两式相加、减，得y  y  ，y  y  0 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙13分
P Q y P Q y
0 0
 
又因为PM (x 4,y  y )，QM (x 4,y  y )，
0 0 P 0 0 Q
6x 2 8y 2 24
(x 4)(y  y )(x 4)(y  y )x  y  y  8y 4  y  y   0 0 0， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙14分
0 0 Q 0 0 P 0 P Q 0 P Q y
0
 
所以PM∥QM ，故P,M,Q三点共线. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙15分
P y
M
Q
F1 O F2 x
3
解法二：（1）当MF x轴时，|MF | ，
2 2 2
3 3
所以M(1, )或M(1, )， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1分
2 2
数学参考答案及评分细则 第5页（共 15页）9
1 4
所以  1①， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分
a2 b2
又a2 b2 1②， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分
由①②，解得a2 4，b2 3， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分
x2 y2
故C的方程为  1． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分
4 3
x 2 y 2 3
（2）设M(x ,y )(y 0)，则 0  0 1，即y 2 3 x 2． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7分
0 0 0 4 3 0 4 0
y y
(i)当直线MF，MF 斜率均存在时，k  0 ，k  0 ，
1 2 MF1 x 1 MF2 x 1
0 0
y y
所以直线PF :x 0 y1，QF :x 0 y1， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分
1 x 1 2 x 1
0 0
 y
x 0 y1, 3(x 1)
由 x 1 得P(4, 0 )， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分
0 y
 x4 0
 y
x 0 y1, 3(x 1)
由 x 1 得Q(4, 0 )， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11分
0 y
 x4 0
公众号：高考试卷君
 3(x 1)  3(x 1)
所以PM (x 4,y  0 )，QM (x 4,y  0 )，
0 0 y 0 0 y
0 0
3
6x 2 8(3 x 2)24
3(x 1) 3(x 1) 6x 2 8y 2 24 0 4 0
因为(x 4)[y  0 ](x 4)[y  0 ] 0 0  0，
0 0 y 0 0 y y y
0 0 0 0
 
所以PM∥QM ，故P,M,Q三点共线. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分
(ii)当直线MF或MF 斜率不存在时，根据对称性，不妨设MF 斜率不存在，且y 0，
1 2 2 0
3 3 3 1
此时点 M(1, )， Q(4,0)， k  ，故直线 PF :x y1，从而 P(4,4)， 则 k  ，
2 MF1 4 1 4 MQ 2
1
k  ，
MP 2
所以P,M,Q三点共线. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙14分
综上，P,M,Q三点共线. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙15分
18.本小题主要考查随机变量的分布列、数学期望、条件概率与全概率公式等基础知识，考查数学建模能
数学参考答案及评分细则 第6页（共 15页）力、运算求解能力等，考查分类与整合思想、概率与统计思想等，考查数学运算、逻辑推理、数据分
析、数学建模等核心素养等.体现基础性，应用性.满分17分.
解：（1）由题可知，k(1)2 kk k(1)1， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1分
1
化简可得k  ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分
2 23
1 4
当 时，k  ，
2 9
16
则E(X)k2k 3k(1)k(52) ，
9
16
即顾客一次性购买文创盲盒数量的平均值为 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分
9
（2）（i）设事件A “一次性购买i个文创盲盒”（i0,1,2,3），事件B“顾客为幸运客户”，
i
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分
则P(A )（k 1）2，P(A)k，P(A )k，P(A )k(1).
0 1 2 3
1
依题意，得P(B|A )0，P(B|A) ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分
0 1 3
因为每个盲盒是否为封面款相互独立，
1 1 1 2 1 7
所以P(B|A )( )2  公 ，P(B 众 |A ) 号 ( )3： C1高  ( 考 )2  试 ， 卷 ∙∙∙∙∙∙∙∙ 君 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分
2 3 9 3 3 3 3 3 27
又由题意知，B A
0
B

A
1
B

A
2
B

A
3
B，且A
0
B,A
1
B,A
2
B,A
3
B两两互斥， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分
3 3 1 1 7 2k(5)
所以PBPAB[PAPB|A]0 k k k(1) ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11分
i i i 3 9 27 27
i0 i0
1 2(5)
由（1）得，k  ，代入化简可得P(B) ，
2 23 27(2 23)
2(5)
所以 f() ，(0，1). ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分
27(2 23)
（ii）设事件C “一次性购买的文创盲盒全部是封面款”，
1
依题意，得P(C|A)( )i,i1,2,3， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙13分
i 3
且C  A
1
C

A
2
C

A
3
C，A
1
C,A
2
C,A
3
C两两互斥，
3 3 4k(12)
所以PCPAC[PAPC|A] ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙14分
i i i 27
i1 i1
2k(5)
由（i）得，PB ，
27
数学参考答案及评分细则 第7页（共 15页）所以幸运客户中，一次性购买的文创盲盒全部是封面款的概率为
P(BC) P(C) 2(12)
P(C|B)   ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙16分
P(B) P(B) 5
1 2(12) 1 1
由题意P(C|B)„ ，可得 „ ，解得„ ，
2 5 2 7
1
又因为01，所以(0, ]. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙17分
7
19.本小题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成角，二面角，平面轨迹方程等基础知识； 考查运算求解能力，直观想象能力，逻辑推理能力等；考查函数与方程思想，数形结合思想，化归与 转化思想等；考查数学运算，逻辑推理，直观想象等核心素养．体现综合性和创新性．满分17分．
解法一：（1） 因为PA平面，AB,AD,所以PA AB，PA AD ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1分
不妨设ABa,ADb,APc，且a≤b≤c，
因为AB AD ，所以BD2 a2 b2，PB2 a2 c2，PD2 b2 c2，
所以BD≤PB≤PD，所以PBD为△PBD的最大内角． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分
PB2 BD2 PD2 a2
由余弦定理，得cosPBD  0， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分
2PBBD PBBD
π
所以PBD(0, )，所以△PBD是锐角三角形． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分
2
（2）（i）因为PA ，Q在CP上，且CQBCQD，
由对称性知B,D在同一个轨迹上，且轨迹关于AC对称，
故以A为原点，  A  C  ,  A  P  分别为x轴和z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Axyz．
公众号：高考试卷君
z
P
y
Q
D
x
A C
γ B
设Bx ,y ,0，Dx ,y ,0，因为AP AC3，所以P0,0,3，C3,0,0．
1 1 2 2
因为Q是线段CP上靠近C的三等分点，
 2 1
故AQ AC AP2,0,1，即Q2,0,1， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分
3 3
 
故QC1,0,1，QBx 2,y ,1，
1 1
 
QCQB x 1
cosCQB    1 ，
QC QB 2 x 22  y2 1
1 1
数学参考答案及评分细则 第8页（共 15页）x 1 1
1 
依题意得 2 x 22  y2 1 2 ，化简得x 1 2 y 1 2 3， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分
1 1
且x 10，即x 1，故x≥ 3，又点B不在直线AC上，故x  3，
1 1 1 1
同理，x2 y2 3，且x  3， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7分
2 2 2
故在坐标平面xAy中，B,D是双曲线x2 y2 3右支上的动点，且B,D在x轴的两侧，如图．
y
D
A x
B
π
因为x2 y2 3的两条渐近线分别为yx和yx，它们的夹角为 ，
2
π
所以0BAD ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分
2
因为平面PAB  平面PAD PA，PA AB，PA AD ，
公众号：高考试卷君
所以BAD是二面角BAPD的平面角，所以二面角BAPD为锐角． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分
（ii）因为△PBD不是任何一个长方体的截面，所以△PBD是直角三角形或钝角三角形． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分
证明如下：
若△PBD为锐角三角形，有PB2 PD2 BD2 0，PB2 BD2 PD2 0，BD2 PD2 PB2 0，
PB2 BD2 PD2 PD2 BD2 PB2 PB2 PD2 BD2
可令a ，b ，c ，
2 2 2
则存在以ABa,ADb,APc为共点棱的长方体，△PBD为该长方体的截面．
由（1）知，若△PBD是长方体的截面，则△PBD是锐角三角形，
所以△PBD不是任何一个长方体的截面等价于△PBD是直角三角形或钝角三角形． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11分
π  
由（i）知，0BAD ，所以ABAD0，又因为PA AB，PA AD ，
2
      2   π
所以PBPD PAAB  PAAD PA ABAD0，故0BPD ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分
2
因为PA，所以PBA,PDA分别是直线PB,PD与所成的角， 即PBA=,PDA=，
PA2 9
不妨设AB≤AD，则≥，且PB≤PD，所以，tan2  ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙13分
AB2 x2  y2
1 1
数学参考答案及评分细则 第9页（共 15页）π
且PBD≥ PDB．
2
作QM BD于M ，因为平面QBD，平面QBD

BD，QM 平面QBD，
所以QM ，又PA，所以PA∥QM ．
因为Q是线段CP上靠近C的三等分点，所以M 是线段AC上靠近C的三等分点，
所以M2,0,0，即直线BD过M2,0,0， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙14分
π  
所以PBDPBM≥ ，所以BM BP(2x ,y ,0)(x ,y ,3)x2 2x  y2≤0， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙15分
2 1 1 1 1 1 1 1
这样，问题等价于在平面直角坐标系xAy中，B(x,y ),D(x ,y )在双曲线x2 y2 3的右支上，直线BD
1 1 2 2
9
过点M(2,0)，AB AD，x2 2x  y2≤0，求tan2 的最小值．
1 1 1 x2  y2
1 1
y
D
M
A x
B
公众号：高考试卷君
如图，不妨设点 B在第四象限，则 y 0， x 2．因为 B,D都在双曲线的右支，故
1 1
y
k k  1 1，
BD BM 2x
1
即y 2x 0，所以y2 （2x）2，又x2 2x  y2≤0，x2 y2 3，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
 7
x  ，
 x2 3（2x）2,   1 4 7 1 7
故 1 1 解得 即 x≤ ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙16分
x
1
2 2x
1
x
1
2 3≤0, 1 7
≤x≤
1+ 7
,
4 1 2
 2 1 2
9 9 9 3 7 3
所以tan2 ≥ ≥  ，
x2  y2 2x 1 7 2
1 1 1
1 7 π
当x  ，即PBD 时，等号成立．
1 2 2
故tan2的最小值为3 73． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙17分
2
解法二：（1）因为PA平面，AB,AD，所以PA AB，PA AD ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1分
又因为AB AD ，故可以A为原点，  A  B  ,  A  D  ,  A  P  分别为x轴，y轴和z轴的正方向，建立如图所示的
数学参考答案及评分细则 第10页（共 15页）空间直角坐标系Axyz． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分
z
P
Q
y
D
A C
x
γ B
设ABa,ADb,APc，所以Ba,0,0,D0,b,0,P0,0,c，在△PBD中，
 
BDBP(a,b,0)(a,0,c)a2 0，所以PBD为锐角，
 
DBDP(a,b,0)(0,b,c)b2 0，所以PDB为锐角，
 
PBPD(a,0,c)(0,b,c)c2 0，所以BPD为锐角，
所以△PBD是锐角三角形． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分
（2）（i）同解法一． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分
（ii）因为△PBD不是任何一个长方体的截面，所以△PBD是直角三角形或钝角三角形． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分
证明如下：
公众号：高考试卷君
若△PBD为锐角三角形，有PB2 PD2 BD2 0，PB2 BD2 PD2 0，BD2 PD2 PB2 0，
PB2 BD2 PD2 PD2 BD2 PB2 PB2 PD2 BD2
可令a ，b ，c ，
2 2 2
则存在以ABa,ADb,APc为共点棱的长方体，△PBD为该长方体的截面．
由（1）知，若△PBD是长方体的截面，则△PBD是锐角三角形，
所以△PBD不是任何一个长方体的截面等价于△PBD是直角三角形或钝角三角形． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11分
z
P
y
Q
D
M x
A C
γ B
作QM BD于M ，因为平面QBD，平面QBD

BD，QM 平面QBD，
所以QM ，又PA，所以PA∥QM ．
数学参考答案及评分细则 第11页（共 15页）因为Q是线段CP上靠近C的三等分点，所以M 是线段AC上靠近C的三等分点，
所以M2,0,0，即直线BD过M2,0,0． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分
在平面直角坐标系xAy中，设直线BD的方程为xty2，
联立


x2  y2 3,
得  t2 1  y2 4ty10，
xty2
 4t
  t2 10,   y 1  y 2  t2 1 ,
依题意，有
  4t2 4  t2 1  0,
且
y y  1 .
 1 2 t2 1
因为y y 0，所以t2 1．
1 2
  
因为PBx ,y ,3,PDx ,y ,3,BDx x ,y y ,0，
1 1 2 2 2 1 2 1
 
所以PB PDx x  y y 9ty 2ty 2 y y 9
 1 2 1 2 1 2 1 2
6  t2 2 
  t2 1  y y 2ty  y 13 0， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙13分
1 2 1 2 t2 1
 
BP BDx x x  y y y x2  y2 x x  y y ，
 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2
 
同理DP DBx2  y2 x x  y y ，
 2 2 1 2 1 2
 
不妨设x 1 2  y 1 2≤x 2 2  y 2 2， 公 则必 众 有BP 号 BD ： x 1 2  高 y 1 2 x 考1 x 2  试 y 1 y 2 ≤ 卷 0． 君
3t2 3 6
因为x2  y2 (x x  y y )x2  y2 [(t2 1)y y 2t(y  y )4]x2  y2  2x2  ，
1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 t2 1 1 t2 1
x 2
因为x ty 2且y 0，所以t 1 ，代入上式得到
1 1 1 y
1
6 6
x2  y2 x x  y y 2x2  2x2 
1 1 1 2 1 2 1 t2 1 1 x 2 2
 1  1
 y 1 
2x2  6y 1 2 2x2  6  x 1 2 3  ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙14分
1 x 22  y2 1 x 22   x2 3 
1 1 1 1
 1 7  1 7 
2  4x3 10x2 9  22x 1 3   x 1  2     x 1  2   ，
1 1   
 
4x 7 4x 7
1 1
 1 7  1 7 
22x 3 x  x  
所以 1  1 2  1 2  ，
  
≤0
4x 7
1
数学参考答案及评分细则 第12页（共 15页）7 1 7
又因为x  3，所以x  , ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙15分
1 1   4 2 
因为PA，所以PBA,PDA分别是直线PB,PD与所成的角，即PBA,PDA，
因为x2  y2≤x2  y2，所以AB≤AD，所以≥，所以， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙16分
1 1 2 2
PA2 9 9 3 73
tan2tan2   ≥ ，
AB2 x2  y2 2x2 3 2
1 1 1
1 7 π
当x = ，即PBD 时，等号成立．
1 2 2
3 73
故tan2的最小值为 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙17分
2
解法三：（1）因为PA平面，AB,AD，所以PA AB，PA AD ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1分
又因为AB AD ，所以在△PBD中，
      2
BPBD BAAP  BAAD BA 0，所以PBD为锐角， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分
      2
DBDP DAAB  DAAP DA 0，所以PDB为锐角， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分
      2
PBPD PAAB  PAAD PA 0，所以BPD为锐角，
所以△PBD是锐角三角形． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分
（2）（i）同解法一． ∙∙∙∙公∙∙∙∙∙∙∙∙∙众∙∙∙∙∙∙∙∙∙号∙∙∙∙∙∙∙∙∙：∙∙∙∙∙∙∙∙∙高∙∙∙∙∙∙∙∙∙考∙∙∙∙∙∙∙∙∙试∙∙∙∙∙∙∙∙∙卷∙∙∙∙∙∙∙∙∙君∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分
（ii）因为△PBD不是任何一个长方体的截面，所以△PBD是直角三角形或钝角三角形． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分
证明如下：
若△PBD为锐角三角形，有PB2 PD2 BD2 0，PB2 BD2 PD2 0，BD2 PD2 PB2 0，
PB2 BD2 PD2 PD2 BD2 PB2 PB2 PD2 BD2
可令a ，b ，c ，
2 2 2
则存在以ABa,ADb,APc为共点棱的长方体，△PBD为该长方体的截面．
由（1）知，若△PBD是长方体的截面，则△PBD是锐角三角形，
所以△PBD不是任何一个长方体的截面等价于△PBD是直角三角形或钝角三角形． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11分
π  
由（i）知，0BAD ，所以ABAD0，又因为PA AB，PA AD ，
2
      2   π
所以PBPD PAAB  PAAD PA ABAD0，故0BPD ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分
2
因为PA，所以PBA,PDA分别是直线PB,PD与所成的角，即PBA,PDA，
PA2 9
不妨设AB≤AD，则≥，且PB≤PD，所以，tan2  ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙13分
AB2 x2  y2
1 1
数学参考答案及评分细则 第13页（共 15页）π
且PBD≥ PDB．
2
z
P
y
Q
D
M x
A C
γ B
作QM BD于M ，因为平面QBD，平面QBD

BD，QM 平面QBD，
所以QM ，又PA，所以PA∥QM ．
因为Q是线段CP上靠近C的三等分点，所以M 是线段AC上靠近C的三等分点，
所以M2,0,0，即直线BD过M2,0,0， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙14分
π       
所以PBDPBM≥ ，所以BABM  BPPA BM BPBM≤0． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙15分
2
这样，问题等价于在平面直角坐标系xAy中，B(x,y ),D(x ,y )在双曲线x2 y2 3的右支上，直线BD
1 1 2 2
9
过点M(2,0)，  B  A    B  M  ≤0，求tan2 的最小值．
x2  y2
1 1
公众号：高考试卷君
y
D
0
A N M
x
B
0
 
如图，不妨设点B在第四象限，因为BABM≤0，所以点B在以AM 为直径的圆N内（含边界），记
圆N与双曲线在第四象限的交点为B ，则 AB≤ AB ．
0 0
因为AB 在渐近线yx的上方，故k 1，而k k 1，故k 1，即直线B M 与双曲
0 AB 0 AB 0 B 0 M B 0 M 0
线右支有两个交点B ,D ，符合条件．所以当点B位于点B 时， AB 最大，则tan2最小． ∙∙∙∙∙∙∙16分
0 0 0
 (x1)2  y2 1, 1 7 1 7
联立 ，得2x2 2x30，解得x 或x （舍去），
x2  y2 3 2 2
数学参考答案及评分细则 第14页（共 15页）1 7 π 9 3 7 3
故当x  ，即PBD 时，tan2的最小值为  ．
1 2 2 1 7 2
3 73
故tan2的最小值为 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙17分
2
公众号：高考试卷君
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