福州市2026届高中毕业班4月适应性练习数学答案_副本_12.2026年4月全国各地高考模拟卷_2026年4月_2026届福建省福州市高三4月适应性练习全科_02数学_福建省福州市高三4月适应性练习

2026 届高中毕业班适应性练习（四月）
数学参考答案及评分细则
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内
容比照评分标准制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，
可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答
有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。
一、单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C D C C B C D
二、多项选择题
题号 9 10 11
答案 BCD AD ACD
三、填空题
12．60° 13．
数学参考答案及评分细则 第1页（共 15页）
3 0 14． 4 3
四、解答题
15.本小题主要考查函数的奇偶性、函数的零点、三角恒等变换、等差数列求和等基础知识，考查运算求
解能力、逻辑推理能力等，考查函数与方程思想、分类与整合思想等，考查逻辑推理、数学运算等核
心素养，体现基础性.满分13分.
解法一：（1）因为 f ( x ) 为奇函数，所以 f ( − x ) = − f ( x ) ， ··························································· 1分
即sin(−2x)−sin(−x+)=−[sin(2x)−sin(x+)]恒成立.
得sin(x+)+sin(−x+)=0恒成立， ·············································································· 2分
所以sinxcos+sincosx+sincosx−sinxcos=0恒成立， ··············································· 3分
所以 s in c o s x 0  =
公众号：高考试卷君
恒成立， ··························································································· 4分
所以sin=0， ··········································································································· 5分
解得=kπ,kZ. ······································································································· 6分（2）因为
数学参考答案及评分细则 第2页（共 15页）
π
2
 = ，所以 f ( x ) = s in 2 x − s in ( x +
π
2
) ，
令 f ( x ) = 0 ，则 s in 2 x = s in ( x +
π
2
) ， ················································································ 8分
所以 2 x = x +
π
2
+ 2 k
1
π , k
1
 Z 或 2 x + x +
π
2
= π + 2 k
2
π , k
2
 Z ， ················································· 10分
解得 x =
π
2
+ 2 k
1
π , k
1
  或 x =
π
6
+
2
3
k
2
π , k
2
  ， ································································ 11分
3 2 1
令a =(2n− )，b =( n− )，则
n 2 n 3 2
b
3 k − 2
 a
k
 b
3 k − 1
, k  N * ，
所以 S
2 0
= x
1
+ x
2
+   + x
2 0
= ( a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
) + ( b
1
+ b
2
+ + b
1 5
) ， ·································· 12分
所以 S
2 0
=
5 ( a
1
+
2
a
5
)
+
1 5 ( b
1
+
2
b
1 5
)
=
4 5
2
π
+
4 3 5
6
π
= 9 5 π ． ······················································· 13分
解法二：（1）因为 f ( x ) 为 R 上的奇函数，所以 f ( 0 ) = 0 ， ························································· 2分
所以 s in 0  = ， ··········································································································· 3分
解得=kπ,kZ， ···································································································· 4分
经检验， f ( x ) = s in 2 x − s in ( x + k π ) , k   是奇函数，
所以 k π , k  =  Z . ······································································································· 6分
（2）因为
π
2
 = ，所以 f ( x ) = s in 2 x − c o s x ， ···································································· 7分
令 f(x)=0，则 s in 2 x − c o s x = 0 ， ·················································································· 9分
所以 c o s x ( 2 s in x − 1 ) = 0 ， ···························································································· 10分
1
所以cosx=0或sinx= ，
2
解得 x =
π
2
+ k
1
π , k
1
  或 x =
π
6
+ 2 k
2
π , k
2
  或 x =
5 π
6
+ 2 k
3
π , k
3
  ， ····································· 11分
1
令a =(n− )π，
n 2
b
n
= ( 2 n −
1 1
6
) π ， c
n
= ( 2 n −
7
6
) π
公众号：高考试卷君
，则(2k−2)πb a c a 2kπ,kN*，
k 2k−1 k 2k
所以
数学参考答案及评分细则 第3页（共 15页）
S
2 0
= x
1
+ x
2
+   +  x
2 0
= ( a
1
+ a
2
+ + a
1 0
) + ( b
1
+ b
2
+ + b
5
) + ( c
1
+ c
2
+ + c
5
) ，
所以 S
2 0
=
1 0 ( a
1
+
2
a
1 0
)
+
5 ( b
1
+
2
b
5
)
+
5 ( c
1
+
2
c
5
)
= 9 5 π ． ·························································· 13分
解法三：（1）同解法一． ···································································································· 6分
（2）因为
π
2
 = ，所以 f ( x ) = s in 2 x − s in ( x +
π
2
) ，因为 f ( x + 2 π ) = f ( x ) ，
所以 2 π 是 f ( x ) 的一个周期， ························································································· 7分
π
当0x„ 2π时，令 f(x)=0，则sin2x=sin(x+ )， ··························································· 9分
2
解得 x =
π
6
,
π
2
,
5 π
6
,
3 π
2
， ································································································ 10分
所以 f ( x ) 在区间 ( 0 , 2 π ] 的零点之和为
π
6
+
π
2
+
5 π
6
+
3 π
2
= 3 π ． ··············································· 11分
令 a
n
= x
4 n − 3
+ x
4 n − 2
+ x
4 n − 1
+ x
4 n
，
则{a }是以3π为首项，
n
8 π 为公差的等差数列， ································································ 12分
所以 S
2 0
= x
1
+ x
2
+  + x
2 0
= a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
=
5 ( a
1
+
2
a
5
)
=
5  ( 3 π
2
+ 3 5 π )
= 9 5 π ． ······································································ 13分
16.本小题主要考查导数的几何意义、导数的应用等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力等，考
查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体
现基础性．满分15分．
解法一：（1）函数 f ( x )
a
的定义域为(0,+)， f(x)=x− ． ·················································· 2分
x
当 a = 2 时，因为 f ( x ) = x −
2
x
，所以 f(1)=−1，·························································· 3分
又 f (1 ) =
1
2
公众号：高考试卷君
， ····································································································· 4分
1
所以曲线y= f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y− =−(x−1)，
2即
数学参考答案及评分细则 第4页（共 15页）
2 x + 2 y − 3 = 0 ． ······························································································ 7分
（2）(i)当 a  0 时， f ( e
1a
) =
1
2
( e
1a
) 2 − a ln e
1a
=
1
2
e
2a
− 1  0 不符合题意，舍去； ······················ 9分
(ii)当 a = 0
1
时， f(x)= x2 0显然成立； ································································· 11分
2
(iii)当 a  0 时，令 f ( x )  0 ，得0x a ，令 f ( x )  0 ，得 x  a ；
所以 f ( x ) 在(0, a)单调递减，在 ( a , +  ) 单调递增． ·················································· 13分
所以 f ( x )
m in
= f ( a ) =
1
2
a − a ln a  0 ，解得0ae． ··············································· 14分
综上所述， a 的取值范围为 [ 0 , e ) ． ··············································································· 15分
解法二：（1）同解法一． ···························································································· 7分
（2）由已知，得
1
2
x 2 − a ln x  0 ．
(i)当 0  x  1 时，可得 a 
2
2 x
ln x
． ··········································································· 8分
因为 0  x  1 ，所以
2
2 x
ln x
 0 ， ··············································································· 9分
又因为 x → 0 时，
2
2 x
ln x
→ 0 ，
所以 a … 0 ； ······································································································ 10分
(ii)当x=1时，
1
2
x 2 − a ln x  0 恒成立，所以aR； ····················································· 11分
(iii)当 x  1 时，可得 a 
2
2 x
ln x
．
令 g ( x ) =
2
2 x
ln x
( x  1 ) ， g ( x ) =
2 x ln
2 (
x
ln
−
x
x
)
2
2

1
x
=
x ( 2
2
ln
( ln
x
x
−
2 )
1 )
， ··········································· 12分
1
当1xe2时， g ( x )  0 ， g ( x ) 单调递减；
当 x  e
12
时，g(x)0，g(x)单调递增； ·································································· 13分
1
所以g(x) =g(e2)=e，所以
min
a  e
公众号：高考试卷君
． ······································································· 14分
综上所述，a的取值范围为[0,e)． ·········································································· 15分
17.本小题主要考查椭圆的定义、直线与椭圆的位置关系、三点共线等基础知识，考查逻辑推理能力、直
观想象能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、转化与化归思想等，考查逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性与综合性．满分15分．
解法一：（1）当
数学参考答案及评分细则 第5页（共 15页）
M F
2
⊥ x 轴时， | M F
2
|=
3
2
，
所以 | M F
1
|= | M F
2
2| + | F
1
F
2
2| =
9
4
+ 4 =
5
2
， ······························································ 1分
所以 2 a = | M F
1
| + | M F
2
|=
5
2
+
3
2
= 4 ， ·········································································· 3分
从而 a = 2 ，b2 =3， ···························································································· 5分
故C的方程为
x
4
2
+
y
3
2
= 1 ． ···················································································· 6分
（2）设 M ( x
0
, y
0
) ( y
0
 0 ) ， P ( − 4 , y
P
) ， Q ( 4 , y
Q
) ， ························································ 7分
则
x
04
2
+
y
03
2
= 1 ，即 3 x
0
2 + 4 y
0
2 − 1 2 = 0 ． ···································································· 8分
又F(−1,0),F (1,0)，
1 2
所以
F 
1
M  =
( x
0
+ 1 , y
0
) ，
F 
1
P =
( − 3 , y
P
) ，
F 
2
M  = 
( x
0
− 1 , y
0
) ，
F 
2
Q = 
( 3 , y
Q
) . ····························· 10分
因为 P F
1
⊥ M F
1
， Q F
2
⊥ M F
2
，
所以
F 
1
M   F P
1
 =
− 3 ( x
0
+ 1 ) + y
0
y
P
= 0 ，
F 
2
M   F Q
2
 = 3 (
x
0
− 1 ) + y
0
y
Q
= 0 ， ································· 12分
两式相加、减，得 y
P
+ y
Q
=
6
y
0
， y
P
− y
Q
=
6 x
0
y
0
， ···························································· 13分
又因为
P M   =
( x
0
+ 4 , y
0
− y
P
)

，QM =(x −4,y −y )，
0 0 Q
( x
0
+ 4 ) ( y
0
− y
Q
) − ( x
0
− 4 ) ( y
0
− y
P
) = x
0
( y
P
− y
Q
) + 8 y
0
− 4 ( y
P
+ y
Q
) =
6 x
0
2 + 8
y
y
0
0
2 − 2 4
= 0 ， ········· 14分
所以
P M  ∥  Q M   
，故 P , M , Q 三点共线. ·········································································· 15分
解法二：（1）当 M F
2
⊥ x 轴时， | M F
2
|=
3
2
，
3
所以M(1, )或
2
M (1 , −
3
2
)
公众号：高考试卷君
P y
M
Q
F1 O F2 x
， ····················································································· 1分所以
数学参考答案及评分细则 第6页（共 15页）
1
a 2
+
9
4b
2
= 1 ①， ····························································································· 2分
又a2 −b2 =1②， ································································································ 4分
由①②，解得 a 2 = 4 ，b2 =3， ··············································································· 5分
故 C 的方程为
x
4
2
+
y
3
2
= 1 ． ···················································································· 6分
（2）设 M ( x
0
, y
0
) ( y
0
 0 ) ，则
x
04
2
+
y
03
2
= 1 ，即 y
0
2 = 3 −
3
4
x
0
2 ． ········································· 7分
(i)当直线 M F
1
， M F
2
y
斜率均存在时，k = 0 ，
MF1 x +1
0
k
M F 2
=
x
y
0
0−
1
，
所以直线 P F
1
: x = −
x
y
0
0+
1
y − 1 ， Q F
2
: x = −
x
y
0
0−
1
y + 1 ， ·················································· 9分
由

x
x
=
=
−
−
x
4
y
0
0+
1
y − 1 ,
得 P ( − 4 ,
3 ( x
0y
+
0
1 )
) ， ···································································· 10分
由

x
x
=
=
−
4
x
y
0
0−
1
y + 1 ,
得 Q ( 4 , −
3 ( x
0y
−
0
1 )
) ， ·································································· 11分
所以
P M   =
( x
0
+ 4 , y
0
−
3 ( x
0y
+
0
1 )
) ，
Q M   =
( x
0
− 4 , y
0
+
3 ( x
0y
−
0
1 )
) ，
因为 ，
所以
P M  ∥  Q M   
，故P,M,Q三点共线. ····································································· 12分
(ii)当直线MF或MF 斜率不存在时，根据对称性，不妨设MF 斜率不存在，且y 0，
1 2 2 0
此时点 M (1 ,
3
2
) ，Q(4,0)， k
M F1
=
3
4
，故直线 P F
1
: x = −
3
4
y − 1 ，从而 P ( − 4 , 4 )
1
， 则k =− ，
MQ 2
k
M P
= −
1
2
，
所以 P , M , Q 三点共线. ························································································ 14分
综上， P , M , Q
公众号：高考试卷君
3
6x 2 +8(3− x 2)−24
3(x −1) 3(x +1) 6x 2 +8y 2 −24 0 4 0
(x +4)[y + 0 ]−(x −4)[y − 0 ]= 0 0 = =0
0 0 y 0 0 y y y
0 0 0 0
三点共线. ···················································································· 15分
18.本小题主要考查随机变量的分布列、数学期望、条件概率与全概率公式等基础知识，考查数学建模能
力、运算求解能力等，考查分类与整合思想、概率与统计思想等，考查数学运算、逻辑推理、数据分析、数学建模等核心素养等.体现基础性，应用性.满分17分.
解：（1）由题可知，
数学参考答案及评分细则 第7页（共 15页）
k (1 ) 2 k k k (1 ) 1    − + + + − = ， ························································· 1分
化简可得 k
2
1
2 3  
=
− +
， ················································································· 2分
1 4
当= 时，k = ，
2 9
16
则E(X)=k+2k +3k(1−)=k(5−2)= ，
9
即顾客一次性购买文创盲盒数量的平均值为
1 6
9
. ·························································· 4分
（2）（i）设事件 A
i
= “一次性购买 i 个文创盲盒”（i=0,1,2,3），事件B=“顾客为幸运客户”，
······················································································································ 5分
则 P ( A
0
) k 1 2  = （ − ） ， P ( A
1
) k  = ， P ( A
2
) = k ， P ( A
3
) k (1 )  = − .
依题意，得 P ( B | A
0
) = 0 ， P ( B | A
1
) =
1
3
， ··································································· 6分
因为每个盲盒是否为封面款相互独立，
所以 P ( B | A
2
) = (
1
3
) 2 =
1
9
， P ( B | A
3
) = (
1
3
) 3 + C 13 
2
3
 (
1
3
) 2 =
7
2 7
， ········································· 8分
又由题意知， B = A
0
B   A
1
B A
2
B A
3
B ，且 A
0
B , A
1
B , A
2
B , A
3
B 两两互斥， ·························· 9分
所以 P ( B )
i
3
0
P ( A Bi )
i
3
0
[ P ( A
i
) P ( B | A
i
) ] 0
1
3
k
1
9
k
7
2 7
k (1 )
2 k ( 5
2 7
) 
  = 
=
= 
=
 = + + + − =
+
， ············ 11分
由（1）得， k
2
1
2 3  
=
− +
，代入化简可得 P ( B )
2 7 (
2 (
2
5
2
)
3 )

 
=
−
+
+
，
所以 f ( )
2 7 (
2 (
2
5
2
)
3 )


 
=
−
+
+
， ( 0 1 )   ， . ···································································· 12分
（ii）设事件 C = “一次性购买的文创盲盒全部是封面款”，
依题意，得 P ( C | A
i
) = (
1
3
) i , i = 1 , 2 , 3 ， ······································································· 13分
且C= ACAC AC，AC,AC,AC两两互斥，
1 2 3 1 2 3
3 3 4k(1+2)
所以P(C)=P(AC)=[P(A)P(C|A)]= ， ············································· 14分
i i i 27
i=1 i=1
由（i）得， P ( B )
2 k ( 5
2 7
) 
=
+
公众号：高考试卷君
，所以幸运客户中，一次性购买的文创盲盒全部是封面款的概率为
数学参考答案及评分细则 第8页（共 15页）
P ( C | B ) =
P
P
( B
(
C
B )
)
=
P
P
(
(
C
B
)
)
=
2 (1
5
+
+
2 ) 
， ······································································ 16分

1
由题意P(C|B)„ ，可得
2
2 (1
5
2 ) 1
2


+
+
„ ，解得
1
7
 „ ，
又因为 0 1    ，所以 ( 0 ,
1
7
]   . ············································································ 17分
19.本小题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成角，二面角，平面轨迹方程等基础知识；考查运算求解能力，直观想象能力，逻辑推理能力等；考查函数与方程思想，数形结合思想，化归与 转化思想等；考查数学运算，逻辑推理，直观想象等核心素养．体现综合性和创新性．满分17分．
解法一：（1） 因为PA⊥平面， A B , A D   ,所以 P A ⊥ A B ， P A ⊥ A D ． ·································· 1分
不妨设AB=a,AD=b,AP=c，且 a ≤ b ≤ c ，
因为 A B ⊥ A D ，所以 B D 2 = a 2 + b 2 ， P B 2 = a 2 + c 2 ， P D 2 = b 2 + c 2 ，
所以 B D ≤ P B ≤ P D ，所以  P B D 为△ P B D 的最大内角． ················································· 2分
PB2 +BD2 −PD2 a2
由余弦定理，得cosPBD= = 0， ········································· 3分
2PBBD PBBD
所以  P B D  ( 0 ,
π
2
) ，所以△ P B D 是锐角三角形． ························································· 4分
（2）（i）因为 P A ⊥ ， Q 在 C P 上，且CQB=CQD，
由对称性知 B , D 在同一个轨迹上，且轨迹关于 A C 对称，
故以 A 为原点，
A C  , A P  
分别为x轴和z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 A − x y z ．
设B(x ,y ,0)，D(x ,y ,0)，因为
1 1 2 2
A P = A C = 3 ，所以 P ( 0 , 0 , 3 ) ， C ( 3 , 0 , 0 ) ．
因为 Q 是线段CP上靠近C的三等分点，
21
故AQ= AC+ AP=(2,0,1)，即Q(2,0,1)， ······························································ 5分
3 3
 
故QC=(1,0,−1)，QB=(x −2,y,−1)，
1 1
c o s  C Q B =
QQ  
C
 
C
   
Q B
  
Q B

 =
2  ( x
1
x
1
−
−
2
1
2 ) + y 21 + 1
公众号：高考试卷君
z
P
y
Q
D
x
A C
γ B
，依题意得
数学参考答案及评分细则 第9页（共 15页）
2  ( x
1
x
1
−
−
2
1
2 ) + y 21 + 1
=
1
2 ，化简得 x 21 − y 21 = 3 ， ················································ 6分
且 x
1
− 1  0 ，即 x
1
 1 ，故 x ≥1 3 ，又点 B 不在直线 A C 上，故 x
1
 3 ，
同理， x 22 − y 22 = 3 ，且 x
2
 3 ， ··············································································· 7分
故在坐标平面 x A y 中， B , D 是双曲线x2 − y2 =3右支上的动点，且 B , D 在 x 轴的两侧，如图．
因为 x 2 − y 2 = 3 的两条渐近线分别为 y = x 和 y = − x ，它们的夹角为
π
2
，
所以 0   B A D 
π
2
． ···························································································· 8分
因为平面 P A B  平面 P A D = P A ， P A ⊥ A B ， P A ⊥ A D ，
所以  B A D 是二面角B−AP−D的平面角，所以二面角B−AP−D为锐角． ························· 9分
（ii）因为△ P B D 不是任何一个长方体的截面，所以△ P B D 是直角三角形或钝角三角形． ······ 10分
证明如下：
若△ P B D 为锐角三角形，有 P B 2 + P D 2 − B D 2  0 ， P B 2 + B D 2 − P D 2  0 ， B D 2 + P D 2 − P B 2  0 ，
可令 a  =
P B 2 + B D
2
2 − P D 2
， b  =
P D 2 + B D
2
2 − P B 2
， c  =
P B 2 + P D
2
2 − B D 2
，
则存在以 A B = a , A D = b , A P = c  为共点棱的长方体，△ P B D 为该长方体的截面．
由（1）知，若△ P B D 是长方体的截面，则△ P B D 是锐角三角形，
所以△ P B D 不是任何一个长方体的截面等价于△ P B D 是直角三角形或钝角三角形． ··············· 11分
由（i）知， 0   B A D 
π
2

，所以ABAD0，又因为 P A ⊥ A B ， P A ⊥ A D ，
所以
P B   
 P
D  = ( P A  + A B    ) (

P A  + A  D ) =  P A 2 +  A B 
A D  0 ，故 0   B P D 
π
2
． ··························· 12分
因为PA⊥，所以PBA,PDA分别是直线 P B , P D 与所成的角， 即 P B A = , P D A =     ，
PA2 9
不妨设AB≤AD，则≥，且PB≤PD，所以=，tan2= = ， ···················· 13分
AB2 x2 + y2
1 1
A
y
D
B
x
公众号：高考试卷君且
数学参考答案及评分细则 第10页（共 15页）
 P B D ≥
π
2
  P D B ．
作QM ⊥BD于M，因为平面 Q B D ⊥ ，平面 Q B D  B D  = ， Q M  平面 Q B D ，
所以 Q M ⊥ ，又 P A ⊥ ，所以 P A ∥ Q M ．
因为 Q 是线段CP上靠近C的三等分点，所以 M 是线段AC上靠近C的三等分点，
所以M(2,0,0)，即直线BD过M(2,0,0)， ·································································· 14分
所以  P B D =  P B M ≥
π
2

，所以BMBP=(2−x,−y ,0)(−x,−y ,3)=x2 −2x + y2≤0， ············· 15分
1 1 1 1 1 1 1
这样，问题等价于在平面直角坐标系 x A y 中， B ( x
1
, y
1
) , D ( x
2
, y
2
) 在双曲线x2 − y2 =3的右支上，直线BD
过点 M ( 2 , 0 ) ， A B  A D ， x
1
2 − 2 x
1
+ y
1
2 ≤ 0 ，求 ta n 2
x
1
2
9
y
1
2
 =
+
的最小值．
如图，不妨设点 B 在第四象限，则 y
1
 0 ， x
1
 2 ．因为 B , D
−y
都在双曲线的右支，故k =k = 1 1，
BD BM 2−x
1
即 − y
1
 2 − x
1
 0 ，所以 y
1
2 （ 2 − x ）1 2 ，又 x
1
2 − 2 x
1
+ y
1
2 ≤ 0 ， x 21 − y 21 = 3 ，
故
 x
x
1
1
2
2
−
−
3
2
（
x
1
2
+
−
x
1
x
2
）1
−
2
3
,
≤ 0 ,
解得

x
1
1
−

2
7
4
7
，
≤ x
1
≤
1 +
2
7
,
即
7
4
 x
1
≤
1 +
2
7
， ···································· 16分
所以 ta n 2 =
x
1
2
9
+ y
1
2
≥
2
9
x
1
≥
1 +
9
7
=
3 7
2
− 3
 ，
1+ 7 π
当x = ，即PBD= 时，等号成立．
1 2 2
故 ta n 2 的最小值为 3 7
2
− 3 ． ················································································ 17分
解法二：（1）因为PA⊥平面， A B , A D   ，所以PA⊥AB， P A ⊥ A D ． ································· 1分
又因为 A B ⊥ A D ，故可以 A 为原点，
A B  ,
A
 D , A P   
分别为x轴，y轴和z轴的正方向，建立如图所示的
空间直角坐标系A−xyz． ······················································································ 2分
A
y
B
M
D
x
公众号：高考试卷君设
数学参考答案及评分细则 第11页（共 15页）
A B = a , A D = b , A P = c ，所以B(a,0,0),D(0,b,0),P(0,0,c)，在△PBD中，
B D   B P  =
( − a , b , 0 )  ( − a , 0 , c ) = a 2  0 ，所以PBD为锐角，

DBDP=(a,−b,0)(0,−b,c)=b2 0，所以PDB为锐角，
P B   P D  =
( a , 0 , − c )  ( 0 , b , − c ) = c 2  0 ，所以BPD为锐角，
所以 △ P B D 是锐角三角形． ··················································································· 4分
（2）（i）同解法一． ··························································································· 9分
（ii）因为△ P B D 不是任何一个长方体的截面，所以△ P B D 是直角三角形或钝角三角形． ······ 10分
证明如下：
若△ P B D 为锐角三角形，有 P B 2 + P D 2 − B D 2  0 ， P B 2 + B D 2 − P D 2  0 ， B D 2 + P D 2 − P B 2  0 ，
可令 a  =
P B 2 + B D
2
2 − P D 2
， b  =
P D 2 + B D
2
2 − P B 2
， c  =
P B 2 + P D
2
2 − B D 2
，
则存在以 A B = a , A D = b , A P = c  为共点棱的长方体，△PBD为该长方体的截面．
由（1）知，若△ P B D 是长方体的截面，则△ P B D 是锐角三角形，
所以△ P B D 不是任何一个长方体的截面等价于△ P B D 是直角三角形或钝角三角形． ··············· 11分
作QM ⊥BD于M，因为平面 Q B D ⊥ ，平面QBD B D  = ，QM 平面 Q B D ，
所以QM ⊥，又 P A ⊥ ，所以 P A ∥ Q M ．
因为 Q 是线段 C P 上靠近C的三等分点，所以 M 是线段AC上靠近C的三等分点，
γ
γ
P
A
P
A
z
z
D
D
y
Q
B
Q
M
B
y
x
C
C
x
公众号：高考试卷君所以
数学参考答案及评分细则 第12页（共 15页）
M ( 2 , 0 , 0 ) ，即直线 B D 过M(2,0,0)． ·································································· 12分
在平面直角坐标系 x A y 中，设直线 B D 的方程为 x = ty + 2 ，
联立
 x
x
2
=
− y
ty
2
+
=
2
3 ,
得 ( t2−1 ) y2+4ty+1=0，
t2 −10, 
依题意，有
=(4t)2 −4 ( t2 −1 ) 0,
且


y
y
1
1
+
y
2
y
=
2 =
2 t
−
1
−
t
1
4
2
.
t
− 1 ,
因为 y
1
y
2
 0 ，所以 t 2  1 ．
因为
P B  = (  
x ,
1
y  ,
−
1
3 )
, P D = ( x
2
, y
2
, − 3 ) , B D = ( x
2
− x
1
, y
2
− y
1
, 0 ) ，

所以PBPD=xx +y y +9=(ty +2)(ty +2)+y y +9
1 2 1 2 1 2 1 2
= ( t 2 + 1 ) y
1
y
2
+ 2 t ( y
1
+ y
2
) + 1 3 =
6 ( 2 t
2 t
−
− 1
2 )
 0 ， ··························································· 13分
B P  B D  = x
1
( x
1
− x
2
) + y
1
( y
1
− y
2
) = x 21 + y 21 − ( x
1
x
2
+ y
1
y
2
) ，
同理
D P  D

B  = 
x 22 + y 22 − ( x
1
x
2
+ y
1
y
2
) ，
不妨设 x 21 + y 21 ≤ x 22 + y 22 ，则必有
B P  B D  = x
21 + y 21 − ( x
1
x
2
+ y
1
y
2
) ≤ 0 ．
因为 x 21 + y 21 − ( x
1
x
2
+ y
1
y
2
) = x 21 + y 21 − [ ( t 2 + 1 ) y
1
y
2
+ 2 t ( y
1
+ y
2
) + 4 ] = x 21 + y 21 +
3 2 t
2 t
+
−
3
1
= 2 x 21 +
t 2
6
− 1
，
因为 x
1
= ty
1
+ 2 且 y
1
 0 ，所以 t =
x
1
−
y
1
2
，代入上式得到
6 6
x2 +y2 −(xx +y y )=2x2+ =2x2+
1 1 1 2 1 2 1 t2 −1 1 x −2 2
 1  −1
 y 1 
= 2 x 21 +
( x
1
−
6
2
2 y 12
) − y 21
= 2 x 21 +
( x
1
−
6
2
( 2 x 1
2 ) −
−
(
3
x
)
21 − 3 )
··························································· 14分
 1− 7  1+ 7 
2 ( 4x3−10x2 +9 ) 2(2x 1 −3)   x 1 − 2     x 1 − 2   ，
1 1   
= =
4x −7 4x −7
1 1
所以
2 ( 2 x
1
− 3 )

x
1
−
1
4
−
x
1
2
−
7
7
 
x
1
−
1 +
2
7 
≤ 0
公众号：高考试卷君
，
7 1+ 7
又因为x  3，所以x  , ． ···································································· 15分
1 1   4 2 因为
数学参考答案及评分细则 第13页（共 15页）
P A ⊥ ，所以PBA,PDA分别是直线 P B , P D 与所成的角，即 P B A , P D A    =  = ，
因为 x 21 + y 21 ≤ x 22 + y 22 ，所以 A B ≤ A D ，所以  ≥ ，所以  = ， ····································· 16分
ta n 2 ta n 2
P
A
A
B
2
2 x
1
2
9
y
1
2 2 x
1
92
3
3 7
2
3
  = = =
+
=
−
≥
−
，
当 x
1
=
1 +
2
7 π
，即PBD= 时，等号成立．
2
故tan2的最小值为
3 7
2
− 3
． ················································································ 17分
解法三：（1）因为 P A ⊥ 平面，AB,AD，所以 P A ⊥ A B ， P A ⊥ A D ． ································· 1分
又因为 A B ⊥ A D ，所以在△PBD中，
B P   
 B
D  = ( B A  + A P   
) (

B A  + A  D ) = B
A
2
 0 ，所以PBD为锐角， ········································· 2分
D B   D P  = ( D  A +  A B )   
(
D
A +  A P   
)
= D A
2
 0 ，所以PDB为锐角， ········································· 3分
P B   
 P
D  = ( P A  + A B   
) (

P A  + A  D ) = P
A
2
 0 ，所以BPD为锐角，
所以 △ P B D 是锐角三角形． ··················································································· 4分
（2）（i）同解法一． ··························································································· 9分
（ii）因为△ P B D 不是任何一个长方体的截面，所以△ P B D 是直角三角形或钝角三角形． ······ 10分
证明如下：
若△ P B D 为锐角三角形，有 P B 2 + P D 2 − B D 2  0 ， P B 2 + B D 2 − P D 2  0 ， B D 2 + P D 2 − P B 2  0 ，
可令 a  =
P B 2 + B D
2
2 − P D 2
， b  =
P D 2 + B D
2
2 − P B 2
， c  =
P B 2 + P D
2
2 − B D 2
，
则存在以 A B = a , A D = b , A P = c  为共点棱的长方体，△ P B D 为该长方体的截面．
由（1）知，若△ P B D 是长方体的截面，则△ P B D 是锐角三角形，
所以△ P B D 不是任何一个长方体的截面等价于△ P B D 是直角三角形或钝角三角形． ··············· 11分
由（i）知， 0   B A D 
π
2

，所以ABAD0，又因为PA⊥AB，PA⊥AD，
 ( ) ( ) 2
所以PBPD= PA+AB  PA+AD =PA +ABAD0，故 0   B P D 
π
2
． ··························· 12分
因为 P A ⊥ ，所以PBA,PDA分别是直线PB,PD与所成的角，即PBA=,PDA=，
不妨设 A B ≤ A D
PA2 9
，则≥，且PB≤PD，所以=，tan2= = ， ·················· 13分
AB2 x2 + y2
1 1
且  P B D ≥
π
2
  P D B
公众号：高考试卷君
．作QM ⊥BD于M，因为平面
数学参考答案及评分细则 第14页（共 15页）
Q B D ⊥ ，平面 Q B D  B D  = ， Q M  平面 Q B D ，
所以 Q M ⊥ ，又 P A ⊥ ，所以 P A ∥ Q M ．
因为 Q 是线段 C P 上靠近C的三等分点，所以 M 是线段AC上靠近 C 的三等分点，
所以 M ( 2 , 0 , 0 ) ，即直线 B D 过M(2,0,0)， ·································································· 14分
所以  P B D =  P B M ≥
π
2
，所以
B A  
B
 M  = ( B P  + P  A )  
 B
M  =  B P  B M  ≤ 
0 ． ······························· 15分
这样，问题等价于在平面直角坐标系 x A y 中， B ( x
1
, y
1
) , D ( x
2
, y
2
) 在双曲线x2 − y2 =3的右支上，直线 B D
过点 M ( 2 , 0 )

，BABM≤0，求 ta n 2
x
1
2
9
y
1
2
 =
+
的最小值．
如图，不妨设点 B 在第四象限，因为
B A  
B
 M ≤  0
，所以点B在以 A M 为直径的圆 N 内（含边界），记
圆 N 与双曲线在第四象限的交点为 B
0
，则 A B ≤ A B
0
．
因为AB 在渐近线
0
y = − x 的上方，故 k
A B 0
 − 1 ，而k k =−1，故k 1，即直线
AB BM BM 0 0 0
B
0
M 与双曲
线右支有两个交点 B
0
, D
0
，符合条件．所以当点 B 位于点B 时， AB 最大，则
0
ta n 2 最小． ····· 16分
 (x−1)2 + y2 =1,
联立 ，得
x2 −y2 =3
2 x 2 − 2 x − 3 = 0 ，解得 x =
1 +
2
7
或 x =
1 −
2
7
（舍去），
γ
A
y
P
A
z
N
B
M
0
D
y
D
0
Q
M
B
x
C
x
公众号：高考试卷君故当
数学参考答案及评分细则 第15页（共 15页）
x
1
=
1 +
2
7
，即  P B D =
π
2
时， ta n 2 的最小值为
1 +
9
7
=
3 7
2
− 3
．
故 ta n 2 的最小值为
3 7
2
− 3
． ······················································································ 17分
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