河南省顶级名校2026届高三年级5月押题导向卷（一）数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B B A C B B D B ABD BD ACD
12． 13. 14.
15. 解：（1）保有量大于3万辆的年份有第4，5，6年，共3年，
保有量不大于3万辆的年份有第1，2，3年，共3年，
设至少有1年保有量大于3万辆为事件A，2年保有量全都大于3万辆为事件B，
事件 的对立事件为2年都不大于3万辆，总选法有 ，
A C2=15
6
3 4
两年都不大于3万辆的选法为C2=3，所以P（A）=1- =
3 15 5
，--------------------------------2分
3 1
两 年 都 大 于 3 万 辆 的 选 法 为 C2=3， 所 以 P（AB）= =
3 15 5
，------------------------------------4分
则P（B¿.--------------------------------------------------------------------------6分
（2）已知模型 ，两边取对数得 ，
y=cedx(c>0) lny=lnc+dx
令t=lny，则t=lnc+dx，即转化为线性回归方程v^=α^+^βu，-----------------------7分
其中α^=lnc,^β=d,v^=t，由题意得n=6，
n
∑ x t −nxt
i i
则 d=^β= i=1 = 31.89−6×3.5×1.16 = 7.53 ≈0.43 ，------------------------------
n 91−6×3.52 17.5
∑ x2−nx2
i
i=1
---------9分
α^=v−^βu=t−^βx=1.16−0.43×3.5≈−0.345≈−0.35，-------------------------11分
因为α^=lnc，所以c=e−0.35，则y=e−0.35e0.43x=e0.43x−0.35.---------------------------13分
116．解：（1）在△ADC中，∠ACD=30°，∠BAC=45°，
AD 1
=
由正弦定理可得，
sin30° sin(180°−75°)
，---------------------------------------------------2分
1 1
sin30° 2 2 √6−√2
AD= = = = .-----------------------------
sin75° sin(30°+45°) 1 √2 √2 √3 2
× + ×
∴ 2 2 2 2
---------------5分
3π
（2）不妨设 ∠ACD=α，则 ∠CBE=α，∠ADC= −α，BE=cosα，
4
π
sin
CD AC 4
在△ACD中，由正弦定理得 = ⇒CD=
sinA sin∠ADC 3π
sin（ −α）
4
，------------------------------8分
则
π
sin
S AC⋅CD⋅sin⋅∠ACD CD 4 2
△ACD= = = =
S BC⋅BE⋅sin⋅∠CBE BE 3π π
△BCE sin（ −α）⋅cosα 1+√2sin（2α+ ）
4 4
，--------------------11分
由于 2α∈ ( 0, π )，得 2α+ π ∈ (π , 3π)，∴ sin ( 2α+ π ) ∈ (√2 ,1 ]，
2 4 4 4 4 2
π
∴ 1+sin ( 2α+ ) ∈(2,1+√2]， ---------------------------------------------------------------13
4
分
S .-------------------------------------------------------------------------------15
△ACD∈[2√2−2,1)
S
∴ △BCE
分
217．解：（1）设 ， ， ，则 ， ， ，
由题意知 ，所以 ，得 ， ， ，所以
因为 ，得 ，故曲线 的方程为 ．------------------------5
分
（2）设直线 ， ， ， ， ，联立方程组 ，
消去 得 ，所以 ①， ，--------------7分
由 得 ③，
由①③可得， ， ，-------------------------------------10分
代入②化简得， ，
即 ，---------------------------------------------------12分
由 ，得 ，即 ，---------------------------------------13分
解得 ，即 ，------------------------------------------14分
从而直线 在 轴上的截距为 ．----------------------15分
318．解：（1）在△ACD中，∵AD=6,AC=3，CD=3√5，∴AD2+AC2=CD2
∴AD⊥AC．----------------------------------------------------------------------------------------------
1分
∵PA⊥平 面 ABCD， AC⊂平 面 ABCD∴PA⊥AC
--------------------------------------------------2分
∵AD∩PA=A， AD⊂平 面 ADP， PA⊂平 面 ADP∴AC⊥平 面 ADP
-------------------------4分
∵PD⊂平面ADP∴AC⊥PD
--------------------------------------------------------------------------5分
（2）（i）以A为原点，AC,AD,AP分别为x,y,z轴建立空间直角
坐标系，如图所示，∵AD//BC，AD=AP=2BC=2AC=6，
CD=3√5.
A(0,0,0)，C(3,0,0)，B(3,−3,0)，D(0,6,0)，P(0,0,6)，
⃗PB=(3,−3,−6)，⃗PD=(0,6,−6)，----------------------------------6分
为 的重心， ， ，-------------7分
∵G △PCD ∴G(1,2,2) ∴⃗GC=(2,−2,−2)
设平面 的法向量为 ，
PBD ⃗n =(x ,y ,z )
1 1 1 1
则¿，¿，¿，
取 ，则 ，即 ，---------------------------------------------------9分
y =1 z =1,x =3 ⃗n =(3,1,1)
1 1 1 1
， ， ，
∴⃗GC⋅⃗n =6−2−2=2 |⃗n|=√11 |⃗GC|=2√3
1 1
设 GC与 平 面 PBD所 成 的 角 为 θ， 则
sinθ=|cos<⃗n,⃗GC>|=
| ⃗n⋅⃗GC |
=
2
=
√33
，
|⃗n|⋅|⃗GC| √11×2√3 33
√33
故GC与平面PBD所成角的正弦值为 ；------------------------------------------------------11
33
4分
AF
（ii）由（i）知，⃗AP=(0,0,6)，⃗AG=(1,2,2)，设 =λ，则⃗AF=λ⃗AG=(λ,2λ,2λ)，
AG
⃗PF=⃗AF−⃗AP=(λ,2λ,2λ)−(0,0,6)=(λ,2λ,2λ−6)，----------------------------13分
由（i）知，平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
PBD ⃗n =(3,1,1) ⃗PF⊥⃗n ⃗PF⋅⃗n =0
1 1 1
6 AF 6
则3λ+2λ+2λ−6=0，解得λ= ，即 = .----------------------------------------17分
7 AG 7
1
19．解：（1）f (x)=x+ ，x∈(−2026,0)，
x
由对勾函数性质，当x∈(−2026,−1)时，f (x)严格单调递增，在(−1,0)上严格单调递
减，
当x ∈(−2026,−1]时，若x<x ，恒有f (x)<f (x )，
0 0 0
所 以 f (x)在 x∈(−2026,0)上 的 最 大 “ Ω点 ” 为 −1
；----------------------------------------------4分
（2）不存在“Ω点”，理由如下：
1
f'(x)=3cosx+1，令f'(x)=0得cosx = ，------------------------------------------------5分
0 3
[2π ] [ 5π]
当x∈ ,x ，f (x)=3sinx+x单调递减，当x∈ x , ，f (x)=3sinx+x
3 0 0 3
单调递增，
(2π ) 3√3 2π (5π ) 3√3 5π
f = + >f =− + ，
3 2 3 3 2 3
(2π ) 3√3 2π [2π 5π]
所 以 f = + 是 f (x)=3sinx+x在 , 上 的 最 大
3 2 3 3 3
值，-----------------------------7分
[2π 5π] (2π
)
[2π 5π]
对 任 意 t∈ , ， 都 有 f ≥f (t)， 在 , 上 不 存 在 “ Ω
3 3 3 3 3
点”----------------------------9分
（3）由函数g（x）=（2+ax）ln（1+x）−2x在[0,1]上不存在"Γ点"，
得 g（x）≤g（0）在 [0,1]上 恒 成
立，-----------------------------------------------------------10分
52+ax
求 导 得 g' （x）=aln（1+x）+ −2， 令
x+1
2+ax
u（x）=aln（1+x）+ −2,x∈[0,1]，
x+1
a a（1+x）−（2+ax） ax+2a−2
求导得u' （x）= + =
，
1+x （x+1） 2 （x+1） 2
当a≤0时，u' （x）<0恒成立，函数u（x）在[0,1]上单调递减，
2+0
则g' （x）=u（x）≤g' （0）=aln1+ −2=0，
0+1
因 此 函 数 g（x）在 [0,1]上 单 调 递 减 ， g（x）≤g（0）， 符 合 要
求；--------------------------------12分
2−2a 2
当a>0时，令ax+2a−2=0，则x= = −2，
a a
2
①当 −2≤0，即a≥1时，u' （x）≥0，即u（x）在[0,1]上单调递增，则
a
g' （x）=u（x）≥g' （0）=0， 函 数 g（x）在 [0,1]上 单 调 递 增 ，
g（x）≥g（0），不符合要求；----------------------------------13分
2 2
②当 −2≥1，即0<a≤ 时，u' （x）<0恒成立，函数u（x）在[0,1]上单调递减，
a 3
则
g' （x）=u（x）≤g' （0）=0， 函 数 g（x）在 [0,1]上 单 调 递 减 ， 此 时
g（x）≤g（0），符合要求；14分
2 2 2
③ 当 −2∈（0,1）， 即 <a<1时 ， 若 x∈（0, −2）,u' （x）<0， 若
a 3 a
2
x∈（ −2,1）,u' （x）>0，
a
2 2
函数u（x）在（0, −2）上单调递减，在（ −2,1）上单调递增，而
a a
a−2
u（0）=0,u（1）=aln2+ ，
2
若u（1）≤0，则u（x）≤0在[0,1]上恒成立，g（x）在[0,1]上单调递减，此
时g（x）≤g（0），
若 u（1）>0， 则 存 在 x ∈（0,1）， 使 得 u（x ）=0， 当 x <x≤1时 ，
0 0 0
u（x）>0，
函数g（x）在[0,x ]上单调递减，在[x ,1]上单调递增，
0 0
62
则 要 g（x）≤g（0）恒 成 立 ， 只 需 g（1）≤g（0）， 解 得 a≤ −2
ln2
，-----------------------------15分
e2
ln 2
由 2 2−3ln2 lne2−ln23 8 ，得 −2<1，
−2−1= = = <0 ln2
ln2 ln2 ln2 ln2
e3
2ln 2 2
由 2 2 2（3−4ln2） 2（lne3−ln24 ） 16 ，得 −2> ，
−2− = = = >0 ln2 3
ln2 3 3ln2 3ln2 3ln2
2 2 2 e
即当 <a≤ −2时，符合要求，所以a的取值范围是a≤ −2=2log .----------17
3 ln2 ln2 22
分
7
