文档文本内容
2022-2023 三年级数学下册
寒假经典奥数-平面图形计数
一、填空题
1．填一填。
有( )个长方形 有( )个正方形
2．图中共有( )个三角形。
3．在下面的图中，包含苹果的正方形一共有( )个。
4．图中内部有阴影的正方形共有( )个。
5．图中有( )个正方形，有( )个三角形。
1 / 206．在图中，包含 的三角形一共有( )个。
7．如图，其中同时包括两个☆的长方形有( )个。
8．如下图在钉子板上有16个点，每相邻的两个点之间距离都相等，用绳子在
上面围正方形，你可以得到( )个正方形。
9． 根火柴可以摆成一个小三角形。图中用很多根火柴摆成了一个中空的大三
角形。已知大三角形外沿上每条边都是 根火柴。摆成这个图共需要( )根
火柴。
2 / 2010．在图中，一共有( )个三角形，( )条线段。
二、解答题
11．下图中包含香蕉的正方形有几个？
12．下图的两个图形（实线）是分别用10根和16根单位长的小棍围成的。如果
按此规律（每一层比上面一层多摆出两个小正方形）围成的图形共用了60多根
小棍，那么围成的图形有几层，共用了多少根小棍？
3 / 2013．用三根火柴可拼成一个小“△”，若用108根火柴拼成如图所示形状的大
三角形，请你数一数共有多少个三角形？
14．如图，连接一个正六边形的各顶点。问图中共有多少个等腰三角形（包括
等边三角形）？
15．在3×3的方格纸上（如图1），用铅笔涂其中的5个方格，要求每横行和每
竖行列被涂方格的个数都是奇数，如果两种涂法经过旋转后相同，则认为它们
是相同类型的涂法，否则是不同类型的涂法。例如图2和图3是相同类型的涂法。
回答最多有多少种不同类型的涂法？说明理由。
4 / 2016．如图，AB，CD，EF，MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差
是多少?
17．如图，数一数，图中有多少个三角形？
18．如图，这是一个长为9，宽为4的网格，每一个小格都是一个正方形．请问：
（1）从中可以数出多少个长方形？
（2）从中可以数出包含黑点的长方形有多少个？
5 / 2019．如图，数一数，图中共有多少个平行四边形？
20．下图中有多少个长方形？
6 / 20参考答案：
1． 3 5
【分析】基本的长方形有2个，2个基本的长方形又组成1个大的长方形，一共
有3个长方形；
基本的正方形有4个，4个基本的正方形又组成1个大的正方形，一共有5个正
方形。
【详解】由题意得：
【点睛】此题主要考查的是长方形及正方形的初步认识和计数，计数时，要做
到不要重复、不要遗漏。
2．20
【分析】图中的三角形都是等边三角形，可以假设最小的等边三角形的边长是
1，然后分类枚举出每一类的数量，最后相加得到总数。
【详解】分类枚举：
边长是 个单位长度的有 个三角形；
边长是 个单位长度的有 个三角形；
边长是 个单位长度的有 个三角形；
7 / 20共有 （个）
【点睛】本题考查的是几何计数问题，求解几何计数问题最常用的方法是分类
枚举。
3．13
【分析】把最小的正方形边长看成是1，那么包含苹果的正方形的边长可能是
1、2、3、4，分类枚举，最后相加得到总数。
【详解】设最小的正方形边长看成是1；
包含苹果的边长是1的正方形有1个；
包含苹果的边长是2的正方形有4个；
包含苹果的边长是3的正方形有6个；
包含苹果的边长是4的正方形有2个；
（个）
所有包含苹果的正方形一共有13个。
【点睛】分类枚举是求解几何计数问题最常用的方法，枚举的时候要按照一定
的顺序，避免遗漏和重复。
4．26
【分析】根据图形的对称性，可以先考虑左边，把最小的正方形的边长看成是
1，含阴影的正方形的边长可能是1、2、3、4，分类枚举，最后相加得到总数。
8 / 20【详解】设最小的正方形的边长看成是1；
先考虑左边：
含阴影边长是1的正方形，4个；
含阴影边长是2的正方形， 4个；
含阴影边长是3的正方形，4个；
含阴影边长是4的正方形，1个；
（个）
（个）
所以内部有阴影的正方形共有26个。
【点睛】本题考查的是几何计数问题，在枚举的时候可以利用图形的对称性简
化步骤。
5． 95 155
【分析】数正方形，可以按照正方形的大小进行分类枚举，最后相加得到总数；
数三角形，可以把最小的直角三角形看成是计数基本单位，然后数其它的三角
形，最后相加得到总数。
【详解】第一问，数正方形：
可以计算不同面积的正方形各有多少个，以面积大小数正方形，记最小的正方
形面积为1；
9 / 20则面积为1的正方形的个数为36；
面积为2的正方形的个数为4；
面积为4的正方形的个数为25；
面积为9的正方形的个数为16；
面积为16的正方形的个数为9；
面积为25的正方形的个数为4；
面积为36的正方形的个数为1；
所以，共有正方形 （个）
第二问，数三角形：
以图中的最小的直角三角形为计数基本单位数三角形：
只有1个基本图形单位的三角形共72个；
由2个基本图形单位组成的三角形共37个；
由4个基本图形单位组成的三角形共30个；
由8个基本图形单位组成的三角形共4个；
由9个基本图形单位组成的三角形共10个；
由16个基本图形单位组成的三角形共2个；
所以图中共有三角形72＋37＋30＋4＋10＋2＝155（个）
10 / 20【点睛】本题考查的是几何计数的问题，分类枚举是求解几何计数问题最常用
的方法，枚举的时候要做到不重不漏。
6．9
【分析】设最小的正三角形的边长是1，包含A的正三角形的边长可能是1、
2、3、4，分类枚举，最后相加得到总数。
【详解】设最小的正三角形的边长是1；
包含五角星的边长是1的三角形，1个；
包含五角星的边长是2的三角形， 4个；
包含五角星的边长是3的三角形，3个；
包含五角星的边长是4的三角形，1个；
包含五角星的三角形一共有 （个）
【点睛】分类枚举计数是求解几何计数问题最常用的方法，注意在这里三角形
有正放和倒放两种情况。
7．24
【分析】分别数出上边☆的左上角的格点个数，以及下边的☆右下角的格点个
数，从左上角选一个点，右下角选一个点，构成的长方形一定同时包括两个☆。
【详解】 （个）
同时包括两个☆的长方形有24个。
11 / 20【点睛】本题考查的是几何计数问题，这种方法我们称为“鼠标法”，是对应
法计数中的一种。
8．20
【分析】可以先按照正放和斜放分成两大类，然后在每一类里面再按照大小进
一步细分，求出每一类的数量，相加得到总数。
【详解】先看横着的正方形如下图（1），可以得到 个正方形；
再看斜着的正方形如下图（2）可以得到4个正方形，如下图（3）可以得到2个
正方形；
这样一共可以得到 个正方形。
（1） （2） （3）
【点睛】本题考查的是几何计数问题，在分类枚举的时候，可以按照一定的顺
序进行，避免重复和遗漏。
9．222
【分析】可以分成三个方向来分析，水平方向，“/”方向和“\”方向，而这三个
方向的火柴棒的数量是一样的。
12 / 20【详解】水平方向：
（根）
摆成这个图共需要：
（根）
【点睛】本题考查的是几何计数问题，在枚举的时候可以考虑图形的特殊性，
枚举的时候按照方向、大小等进行分类。
10． 10 40
【分析】可以把图形分成两部分，中间的五角星和外面的部分，三角形只存在
于中间的五角星部分；数线段也可以先数五角星中的线段条数，再数外面的线
段条数，相加得到总数。
【详解】（1）五角星的每个角上分别有1个小三角形，总共有5个；另外还有
5个较大的三角形，所以共有 （个）三角形。
（2）中间五角星中有5条长线段，每条长线段上共可以数出： （条）线
段，那么五角星中共有 （条）线段，再加上外面图形的线段，
（条）线段。
【点睛】本题考查的是几何计数问题，再枚举的时候可以利用图形本身的特性。
11．4个
13 / 20【解析】略
12．
【分析】对于由n层组成的图形，其竖直方向的小棍数量是2n，水平方向的小
棍数量是 ，总共是 ，根据围成的图形共用了60多根小棍这一个条件，
找到n的取值。
【详解】围成的图形有n层的话，其所需要的小棍的数量是 ；
当n取11 的时候，总数恰好在60~70之间，符合题目要求；
答：围成的图形有11 层，共用了64根小棍。
【点睛】本题考查的是图形找规律的问题，总结出所需小棍的通项公式后，求
解起来会简单很多。
13． 个
【分析】题目只是给出了一共用了108根火柴，并未画出全部的图形，所以首
先要确定图形有多少层，然后按照三角形的大小进行分类枚举。
【详解】从上往下，第一层用 根火柴；第二层用 根火柴；第三层用
根火柴；第四层用 根火柴；第五层用 根火柴；……；第 层用
根火柴。根据题意，有： ，故 ，所以，
，即形状如图的大三角形共有8层，是边长为8根火柴的大正三角形。然后，
14 / 20数出共有多少个三角形。
尖朝上的三角形共：
（个）；
尖朝下的三角形共： （个）；
所以，共有三角形： （个）。
答：共有170个三角形。
【点睛】尖朝上的三角形：每一种尖朝上的三角形个数都是由1开始的连续自
然数的和，其中连续自然数最多的和中最大的加数就是三角形每边被分成的基
本线段的条数，依次各个连续自然数的和都比上一次少一个最大的加数，直到1
为止。尖朝下的三角形的个数也是从1开始的连续自然数的和，它的第一个和
恰是尖朝上的第二个和，依次各个和都比上一个和少最大的两个加数，以此类
推直到零为止。
14． 个
【分析】正六边形，连接其对角线后，得到的等腰三角形是比较多的，可以按
照其大小进行分类，分类枚举，最后相加得到总数。
【详解】本题需要分类进行讨论。
（1）先考虑其中的等边三角形。
图①中，六边形的每1个顶点是某个小号等边三角形的顶点，而且，每个小号
15 / 20等边三角形，有且仅有一个顶点是六边形的一个顶点，既然六边形有6个顶点，
所以图中有6个小号三角形；
图②中，六边形的每一条边是某个中号等边三角形的一条边，而且，每个中号
等边三角形有且仅有一条边是六边形的一条边，既然六边形有6条边，所以图
中有6个中号等边三角形；
图③中，大号等边三角形有2个；
（2）再考虑其中非等边的等腰三角形。
图中非等边的等腰三角形，按照面积大小分类有3种类型，见图④。
其中小号的等腰三角形有6个，因为这类三角形均以六边形的一条边为其边长，
并且，六边形的每一条边只唯一对应一个小号等腰三角形，而正六边形有6条
边，所以有6个小号等腰三角形；
16 / 20中号的等腰三角形有12个，因为每个中号等腰三角形的长边都是六边形的一条
非直径的弦，并且，以非直径的弦为长边的三角形有2个，如图⑤，这样的弦
共有6条，所以有12个中号等腰三角形；
大号的等腰三角形有6个，因为每个大号等腰三角形的长边都是六边形的一条
直径，每条直径上都对应有2个大号三角形，如图⑥，共有3条直径，所以有6
个大号等腰三角形。
那么图中共有 个等腰三角形。
答：图中共有38个等腰三角形。
【点睛】可以发现，除了特殊情况，一般每种等腰三角形的个数都是6的倍数
个，这是由图形本身的特性决定的。
15． 种
【分析】每横行和每竖行列被涂方格的个数都是奇数，那么只能是1格或3格，
总共涂5格，可以按照1、1、3进行分配。
【详解】如图所示：
不同类型的涂法有3种；
由于经过旋转或翻转后重合的两种涂法算作一种，所以符合要求的涂法是比较
17 / 20少的。
【点睛】本题考查的是几何计数的问题，分类枚举是最基础的方法，也是适应
性最广泛的方法。
16．20
【详解】图中共有三角形(1+2+3+4)×4＝40个，
梯形(1+2+3+4)×(1+2+3)＝60个，
梯形比三角形多60－40＝20个．
17．48个
【详解】观察图形：①三角形顶点向上的三角形个数：以一条线段为边的三角
形有：1+2+3+4+5=15 个；以两条线段为边的有：1+2+3+4=10 个；以3条线段
为边的三角形有：1+2+3=6 个；以4条线段为边的三角形有：1+2=3 个；以5条
线段为边的三角形有1个；
②三角形顶点向下的有：以1条线段为边的三角形有：1+2+3+4=10 个；以两条
线段为边的三角形有：1+2=3 个．由此利用加法原理即可求得图中的三角形个数．
[（1+2+3+4+5）+（1+2+3+4）+（1+2+3）+（1+2）+1]+[1+2+3+4）+（1+2）]
=[15+10+6+3+1]+[10+3]
=35+13
=48（个）
18 / 20答：图中有48个三角形．
18．（1）450个；（2）96个
【分析】（1）分类进行统计，横数有（1+9）×9÷2=45 个，竖数有（1+4）
×4÷2=10 个，因此可以数出45×10=450 个．
（2）在小黑点所在的竖行中，按照由1个、2个、3个、4个小长方形所组成的
长方形的顺序去计算；在小黑点所在的横行中，按照由1个、2个、3个、4个、
5个、6个、7个、8个、9个小长方形所组成的长方形的顺序去计算．分别计算
出包含小黑点的长方形的个数，相乘即可．
【详解】（1）（1+9）×9÷2=45（个）
（1+4）×4÷2=10（个）
45×10=450（个）
答：一共可以数出450个．
（2）在小黑点所在的竖行中，按照由1个、2个、3个、4个小长方形所组成的
长方形的顺序去计算，包含小黑点的长方形共有：1+2+2+1=6（个）
在小黑点所在的横行中，按照由1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个、
9个小长方形所组成的长方形的顺序去计算，包含小黑点的长方形共有：
1+2+2+2+2+2+2+2+1=16（个）
所以包含小黑点的长方形共有：6×16=96（个）
19 / 20答：从中可以数出包含黑点的长方形有96个．
19．45个
【详解】试题分析：对于平行四边形，先计算同一层的个数，再计算相邻层组
成的个数，再计算三层的个数，最后就是四层的个数，相加即可求解．
解：第二层有2个平行四边形，第三层有6个平行四边形，第四层有12个平行
四边形，第一和第二层组合可组成1个，第二和第三层组合可组成4个，第三和
第四层组合可组成9个，第一和第二和第三层组合可组成2个，第二和第三和第
四层组合可组成6个，第一和第二和第三和第四层组合可组成3个，
故共有2+6+12+1+4+9+2+6+3=45 个平行四边形．
答：图中共有45个平行四边形．
点评：本题考查确定图形数量的知识，难度不大，对于此类题目一定要有序地
查找．
20．100
【详解】（5×4÷2）×（5×4÷2）=100
20 / 20
